Calcul de |, vj, ^. — Nous avons trouvé

Ht/^-Î>-

et nous avons posé

/ rfu y irfç / rfu^ y

V^^iog/x/ ~(/log|ut' \rflog]5jt7 ~"

e/log/jL'

d*où

rfg J du y rflogfx rfg .f d[}' \ d\o^ix' dik~^ \d\ogii) rfjut ' du.' ^ \diogu/J rf/x'

et par suite

Il est facile de conclure de cette formule l'expression de Çetde-o. En effet, pour avoir Ç, on choisit sur la sphère un rayon OP et un méridien origine passant par OP, le sens des longitudes étant le sens direct relativement à OP; la distance d'un point M de la surface au plan diamétral qui a pour axe OP est précisément égale à Ç, la direction OP étant celle des Ç positifs.

Pour avoir §, il suffît de considérer de même le rayon OP4 perçant la sphère au point P,, pour lequel 11 = i^ et de choisir une nouvelle variable |X|, définie, comme on l'a vu, par l'équation

§ étant la distance du point M au plan diamétral conjugué àOP|, on

aura Mais on a

ensuite, comme U, = U,

et pareillement pour l'expression conjuguée.

Donc

Pour avoir >î, on considérera de même une nouvelle variable jXj, dont le pôle origine corresponde à |x = i, et qui, par suite, soit donnée par la formule

on aura puis

et, par conséquent,

On peut donner à ces équations d'autres formes. Posons

a4 NIEWENGLOWSKI.

alors on aura

j'¥{[Ji]d(,-^j'F,{[i']dy/.

1= ijF(^)(fi-l)rfp+ljF.(^')(F'-^)rf/^'.

et, par suite,

En tenant compte des formules

on trouve^ par une substitution facile.

Ces dernières formules nous semblent compléter la solution de M. 0. Bonnet pour trouver autant que Ton veut de surfaces minima a contour indéterminé. Il est bon de les démontrer directement, sans passer par les fonctions U et U'.

15, Nous avons vu que les fonctions dx^ylf\x^) et dy^\lf[{y^) restent invariables quand on remplace le système de coordonnées employé par un autre également trirectangulaire. L'expression de Ç peut se mettre sous la forme

r r[x,)dx, ^ r f[[rs)dr'\ ^

J dxt J dxi

D'après toutes les explications qui précèdent, on a donc

^-j dx\ -^J dr\

OÙ x\ eiy\ sont définis par les équations

|txi r:z ^/^''«^'', x\ = :r' -h iy\ >', -^ x' — iy.

Mais l'équation

l — fX

équivaut à celle-ci

e'/. izz ^,