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Le rapport d^ ce nombre au nombre trouvé plus haut est évidemment

Q. 10. II. 12 go ^ ^^^

et ce rapport peut être commodément calculé , sans qu'on ait besoin de former deux nombres, l'un et l'autre si considérables.

10. On a pu voir par ces exemples avec quelle rapidité croît le nombre des combinaisons, pour peu que le nombre des choses à combiner croisse lui-même. Bientôt il devient impossible, non-seulement de former ou d'examiner ces combiafiisaQS une à une, mais même d'effectuer les opérations de calcul desquelles dépend la détermination arithmétique du nombre des combinaisons. Supposons une assemblée composée , comme l'est maintenant en France notre Chambre des Députés , de

459 membres, que le sort répartit en 9 bureaux, chacun

de 5j membres. Le nombre des distributions possibles

a pour expression

mais le' calcul de ce nombre, par les procédés de l'arithmétique ordinaire , serait une opération impraticable ou d'une excessive longueur. Avec des tables de logarithmes, ou plutôt de sommes de logarithmes, comme on en a calculé spécialement pour cet objet (*), on peut déterminer, au moins jusqu'aux décimales du 12® ordre, le logarithme du nombre (j;), que l'on trouve égal à

Ceci nous apprend que le nombre (a:), exprimé dans notre systèipç de numération décimale, aurait 4^9 chiffres ou figures : les premiers chiffres sur la gauche , qui expriment les plus hautes unités, étant 278692 . . . • ; de sorte qu'il tombe entre le nombre exprimé par les chiffres 278692, suivis de ^^3 zéros, et le nombre exprimé par les chiffres 278698, suivis aussi de 4^3 zéros.

(') Tabularum ad faciliorem et brèviorem probabilitatis cornputationem ùtilium enneas; auct. Degen; Havniac, 1824.

DBS GHAKGBS ET DE LA PROBABILITÉ MATHillATIQUE.

11. Nous avons déjà annonce [2] (') que la théorie des combinaisons s'applique principalement aux cas où des combinaisons très-multipliées peuvent se distribuer, sous un certain point de vue, en un petit nombre de catégories différentes : de sorte qu'on ait seulement intérêt à connaître combien de combinaisons, sur le nombre total , viennent se ranger dans une catégorie , et combien dans une autre.

Par exemple, lorsqu'un joueur se met au jeu avec la résolution de jouer un nombre détetminé de parties , tel que trente , le nombre des hypothèses ou des combinaisons auxquelles donne lieu la succession incertaine des pertes et des gains [8], est égal à 2^^ ou au nombre 4 ig4 3o4* Mais d'un autre côté il est clair que le nombre des parties gagnées ou perdues en fin de compte est tout ce qui intéresse le joueur; en sorte qu'il doit comprendre dans une même catégorie toutes les combinaisons où le nombre final est le même, et qui ne diffèrent l'une de l'autre que par l'ordre suivant lequel les parties gagnées ou perdues se succèdent. Il n'y a plus

(') Les chiffres entre crochets [ ] indiquent les n** du texte auxquels on renvoie.

'iV:

le Bombre total des chances , ni le nombre absolu des chances favorables ou contraires à l'apparition de l'événeraept, mais seulement le rapport du nombre des chances favorables à Té^fénement, au nombre total des chances, rapport qui reste le même quand ses deux termes varient proportionnellement. Il faut donner à ce rapport un nom qui dispense d'en reproduire sans 6esse la définition : on l'appelle la probabilité mathématique, ou simplement \di probabilité de l'événement.

13. Par cette substitution du calcul d'un rapport au calcul des deux termes de ce rapport, la théorie des combinaisons subit une transformation et reçoit une extension dont il faut bien apprécier l'importance.

On a vu dans le premier chapitre combien croissent rapidement, avec le nombre des éléments à combiner, les nombres donnés par les formules de la synthèse combinatoire. Bientôt ces formules conduisent à des calculs inexécutables, et cependant on conçoit que la valeur approchée du rapport de deux nombres incalculables, ne dépendant sensiblement que des chiffres qui expriment les plus hautes unités de l'un et de l'autre nombre, peut encore être susceptible d'évaluation..

Par exemple, nous avons trouvé [9] pour le nombre total des combinaisons auxquelles donne lieu la distribution des cartes au jeu de piquet,

et pour le nombre des combinaisons qui donnent les quatre as au joueur en premier, avant qu'il n^aille aux cartes,

Ces deux nombres, quoique déjà très*considérables,

ont pu être déterminés par ua calcul qui n'est pas trop laborieux ; et leur rapport exact

( ou la prohahilité que le joueur en premier relèvera les quatre as dans son paquet) a pu être calculé sans qu'on ait éu besoin d'effectuer le calcul de l'un et de l'autre nombre. Mais supposons qu'on n'ait pas eu cette facilité, et que, par un calcul de logarithmes, semblable à celui qui a été indiqué au n*" 10, on ait trouvé pour l'expression approchée du premier nombre les chiffres 15928 suivis de onze zéros, pour celle du second nombre les chiffres 219 suivis pareillement de onze zéros : on eu conclura que la probabilité de la Wée des quatre as par le joueur en premier a sensiblement pour valeur la fraction

laquelle 9 convertie en décimales, donne 0,0137169, et ^ confond par conséquent avec la valeur exacte, à moins d'un dix-millième près.

Le calcul des probabilités se compose en quelque sorte tout entier d'artifices analogues, auxquels on est conduit par l'introduction de la probabilité mathématique dans la théorie des combinaisons, et qui multiplient singulièrement les applications de cette théorie. Cependant, plus les questions se compliquent, plus ces artifices exigent de sagacité et de savoir dans l'analyse mathématique. En général, les obstacles que rencontrent les applications des sciences exactes naissent, ou de la nature même des choses, qui les rend inaccessibles

20 CHAPITRK I.

459 uicnibres, que le sort répartit en 9 bureaux, chacun de 5j membres. Le nombre des distributions possibles a pour expression

mais le calcul de ce nombre^ par les procédés de l'arithmëtique ordinaire , serait une opération impraticable ou d'une excessive longueur. Avec des tables de logarithmes , ou plutôt de sommes de logarithmes, comme on en a calculé spécialement pour cet objet ('), on peut déterminer, au moins jusqu'aux décimales du 12^ ordre, le logarithme du nombre (x), que l'on trouve égala

' 4^Sf 44s i^S i55 760. ••

Ceci nous apprend que le nombre (^), exprimé dans i^otre systèipç de numération décimale, aurait 4^9 chiffres ou figures : les premiers chiffres sur la gauche , qui expriment les plus hautes unités, étant 278692 . . . . ; de sorte qu'il tombe entre le nombre exprimé par les chiffres 278692, suivis de 4^3 zéros, et le nombre exprimé par les chiffres 278698, suivis aussi de 4^3 zéros.

(*) Tabularum ad faciliorem et bréviorem probabîlitatis computationem ùdlium enneas; auct. Degen; Havniac, 1824.

DES CITANCES. 21

DBS GHAKGBS ET DE LA PROBABILITÉ MATHillATIQUE.

11. Nous avons déjà annoncé [7] (') que la théorie des combinaisons s'applique principalement aux cas où des combinaisons très-multipliées peuvent se distribuer, sous un certain point de vue, en un petit nombre de catégories différentes : de sorte qu'on ait seulement intérêt à connaître combien de combinaisons, sur le nombre total, viennent se ranger dans une catégorie, et combien dans une autre.

Par exemple, lorsqu'un joueur se met au jeu avec la résolution de jouer un nombre déterminé de parties , tel que trente , le nombre des hypothèses ou des combinaisons auxquelles donne lieu la succession incertaine des pertes et des gains [8], est égal à n^^ ou au nombre 4 ig4 3o4* Mais d'un autre côté il est clair que le nombre des parties gagnées ou perdues en fin de compte est tout ce qui intéresse le joueur; en sorte qu'il doit comprendre dans une même catégorie toutes les combinaisons où le nombre final est le même, et qui ne diffèrent l'une de l'autre que par l'ordre suivant lequel les parties gagnées ou perdues se succèdent. Il n'y a plus

(') Les chiffres entre crochets [ ] indiquent les n** du texte auxquels on renvoie.

alors ëvidemment que 3 1 hypothèses distinctes^ comme on le conclurait d'ailleurs de la formule (C) du n^ 6. Il en serait autrement, si la somme dont le joueur dispose pouvait être absorbée par des pertes consécutives qui l'empêcheraient de jouer le nombre de parties fixé à l'avance ; l'ordre de succession cesserait d'être indifférent, et de là dériverait la nécessité de distribuer les combinaisons possibles en un plus grand nombre de catégories distinctes.

ËQ général, dans les jeux dits de hasard, la forme

du jeu détermine un certain nombre de combinaisons ou d'hypothèses qui toutes peuvent se réaliser, sans qu'on ait siucune raison de supposer à l'avance que l'une se réalisera plutôt que l'autre. Ces hypothèses ou combinaisons se nomment des chances^ et viennent naturellement ^ distribuer en deux catégories : celles qui sont favorables au joueur ou qui le font gagner; celles qui lui sont défavorables ou qui le font perdre. Il est clair que l'intérêt du joueur, de ceux qui s'associent à ses espérances et à ses craintes, n'est pas d'énumérer ou d'examiner une à une toutes les chances possibles, opértfioA qui deviendmit presque toujours impraticable, mais de pouvoir directement calculer combien il y a de chances favor;iblès et combien de chances contraires.

12* Il est même aisé de voir que le joueur connaîtrait tout ce qu'il lui importe de connaître , s'il pouvait feulement calculer le rapport du nombre des chances fivQrables au nombre des chances contraires, ou , ce qui revient au même^ le rapport du nombre des chances favorables au nombre total des chances. Cette proposition revient à dire qu'il est indifférent pour le joueur que le nombre des chances favorables et celui des chances con-

traires augmeotexU oii diminuent , pourvu que ceB qoqIbres augmentent ou diminuent proportionnellement

Quoique la proposition énoncée puisse passer pour une de ces notions fondamentales qu'on risque d'obscurcir en voulant les développer, voici une image physique à Laquelle il est permis de recourir, à l'ei^mple de I^aplace, afin d'en rendre au besoin la vérité plus sensible.

Concevons deux urnes : l'une qui renferipe ao billets blancs et 1 5 billets noirs, l'autre qui renferme 4o billets de la première couleur et 3o de la seconde. L'extraction d'un billet blanc fera gagner le joueur, celle d'un billet noir le fera perdre. Cela supposé, nous disons qu'il est indifférent au joueur que le tirage se fasse dans la première urne ou dans la seconde. Car on peut imaginer tous les billets blancs de la seconde urne, comme aussi les billets noirs , réunis deux à deux par des fils , de maaière à former 20 couples blancs et |5 noirs. Il eu résultera que la main qui viendra saisir et extraire un billet, en entraînera un autre de même couleur; mais cela ne changera rien aux chances que l'on a de mettre la main sur un billet blanc ou sur un noir. D'un autre côté, n'est-il pajs évident qu'en vertu des liaisons établies par les fils, le tirage dans la première urne équivaut parfaitement au tirage dans la seconde, chaque couple de celle-ci remplaçant un billet simple de l'autre ? Si l'on niait cette proposition , autant vaudrait dire que les conditions du tirage changeraient, suivant qu'on emploierait des billets non plies , ou tous plies de la

même manière.

Concluons donc que , lorsqu'il s'agit d'un événement aléatoii», ce qu'on a intérêt à connaître , ce n'est point

le Bombre total des chances , ni le nombre absolu des chances favorables ou contraires à l'apparition de Tévénemept, mais seulement le rapport du nombre des chances favorables à révénement, au nombre total des chances, rapport qui reste le même quand ses deux termes varient proportionnellement. Il faut donner à ce rapport un nom qui dispense d'en reproduire sans ûesse la définition : on l'appelle la probabilité mathématique, ou simplement \dL probabilité de l'événement.

On a vu dans le premier chapitre combien croissent rapidement, avec le nombre des éléments à combiner, les nombres donnés par les formules de la synthèse corabinatoire. Bientôt ces formules conduisent à des calculs inexécutables, et cependant on conçoit que la valeur approchée du rapport de deux nombres incalculables, ne dépendant sensiblement que des chiffres qui expriment les plus hautes unités de l'un et de l'autre nombre, peut encore être susceptible d'évaluation..

Par exemple, nous avons trouvé [9] pour le nombre total des combinaisons auxquelles donne lieu la distribution des cartes au jeu de piquet,

I 592 8i4 947 (>6S Soo ,

et pour le nombre des combinaisons qui donnent les quatre as au joueur en premier, avant qu'il n^aille aux cartes ,

Ces deux nombres, quoique déjà très *considérab les,

ont pu être déterminés par ua calcul qui n'est pas trop laborieux ; et leur rapport exact

(ou la probabilité que le joueur en premier relèvera les quatre as dans son paquet) a pu être calculé sans qu'on ait ëa besoin d'efTectuer le calcul de l'un et de l'autre nombre. Mais supposons qu'on n'ait pas eu cette facilité, et que, par un calcul de logarithmes, semblable à celui qui a été indiqué au n*" 10, on ait trouvé pour lexpression approchée du premier nombre les chiffres 15928 suivis de onze zéros, pour celle du second nombre les chiffres a 19 suivis pareillement de onze zéros : on eu conclura que la probabilité de la levée des quatre as par le joueur en premier a sensiblement pour valeur la fraction

laquelle 9 convertie en décimales, donne 0,0137169, et ^ confond par conséquent avec la valeur exacte, à moins d'un dix-millième près.

26 CHAPITHV II.

à nos calcub ^ ou de la longueur et de la complication des calculs qui les rendent impraticables pour nous^ après que nous en avons conçu la théorie. Ce sont principalement des obstacles de cette dernière espèce qui se présentent dans le calcul des probabilités ; et c'est pour vaincre ces difficultés de pure exécution , que les analystes ont dû employer toutes les ressources que leur offrait le perfectionnement de l'analyse. La nature de cet ouvrage ne nous permet point d'exposer leurs méthodes : mais il était à propos de donner au moins une idée du but vers lequel elles tendent essentiellement (*).