PHYSIQUES
38. Jusqu'ici nous n'avons fait en quelque sorte que de l'arithmétique pure : nous avons énuméré des combinlaisous; cherché des rapports entre les nombres qi^i expriment combien il y a de combinaisons propres à ^onener un même résultat, et combien dç combinaisons contraires ; assigné des limites à ces rapports quand les nombres croissent à l'infini dans le passage du discontinu au continu; examiné comment les valeurs de ces rapports, pour des résultats composés, dépendent des valeurs qu'on a trouvées en considérant les résultats simples. Il s'agit maintenant de savoir si toute cette théorie n'est qu'un jeu d'esprit, une spéculation curieuse , ou si elle a au contraire pour objet des lois très-importantes et très-générales , qui régissent le monde réel. Pour opérer ce passage, de l'idée d'un rapport abstrait à celle d'une loi efficace dans l'ordre des réalités et des phénomènes, les raisonnements mathématiques, appuyés sur une série d'identités, sont évidemment insuffisants. Il faut recourir à d'autres notions, à d'autres principes de connaissance; en un mot, il faut faire de la critique philosophique. Nous appellerons sur ce point délicat toute
l'aUention du lecteur; et bien que le sujet ait été, suivant nous, imparfaitement compris ou exposé par les géomètres philosophes comme par les philosophes étrangers à la géométrie, nous ne désespérerons pas d'y mettre assez de clarté pour prévenir toute ambiguïté et toute méprise dans les applications ultérieures.
39. Aucun phénomène ou événemeot n'est produit sans cause : c'est là le principe souverain et régulateur de la raison humaine, dans l'investigation des faits réels. Souvent la cause d'un phénomène nous échappe , ou nous prenons pour cause ce qui ne l'est pas : mais, ni l'impuissance où nous nous trouvons d'appliquer le principe de causalité , ni les méprises dans lesquelles il nous arrive de tomber en l'appliquant, ne peuvent nous ébranler dans notre adhésion à ce principe conçu comme une règle absolue et nécessaire.
Nous remontons d'un effet à sa cause immédiate ; cette cause à son toui^ est conçue comme effet , et ainsi de suite; sans que l'entendement conçoive rien qui limite cette loi de régression dans l'ordre des phénomènes. L'effet actuel devient ou peut devenir à son tour cause d'un effet subséquent , et ainsi à l'infini. Cette chaîne infinie de causes et d'effets liés dans Tordre du temps, chaîne dont le phénomène actuel forme un anneau , constitue une série linéaire [4]. Une infinité de séries pareilles peuvent coexister dans le temps : elles peuvent se croiser, de manière qu'un même phénomène, à la production duquel plusieurs phénomènes ont concouru, tienne comme effet à plusieurs séries distinctes de causes génératrices, ou engendre à son tour plusieurs séries d'effets qui resteront distinctes et parfaitement séparées , au delà du t«rme initial. On se fait une idée simple de ce croise-
ment et de cet isolement des chaînons par la comparaison avec les générations humaines. Un homme tient par ses père et mère à deux séries d'ascendants; et dans l'ordre ascendant les séries paternelle et maternelle se bifurquent à chaque génération. Il peut à son tour devenir l'origine ou l'auteur commun de plusieurs lignes descendantes qui , une fois issues de l'auteur commun , ne se croiseront plus, ou ne se croiseront qu'accidentellement par des alliances de famille. Dans le laps du temps, chaque famille ou faisceau généalogique contracte des alliances avec une multitude d'autres; mais d'autres faisceaux, en bien plus grand nombre, se propagent collatéralement en restant parfaitement distincts et isolés les uns des autres; ou, s'ils ont une origine commune, l'authenticité de cette origine repose sur d'autres bases que celles de la science et des preuves historiques.
Chaque génération humaine ne donne lieu qu'à une division bifide dans l'ordre ascendant; mais l'on conçoit l'existence possible d'un bien plus grand nombre de divisions, tant dans l'ordre régressif que dans l'ordre progressif, lorsqu'il â'agit de causes et d'effets quelconques. Tel phénomène peut être conçu comme tenant à une multitude de causes diverses ; et même il semble conforme au plan général de la nature [i5] de passer, dans la plupart des cas, de la discontinuité à la continuité, en faisant croître à l'infini le nombre des causes concourantes. Alors les faisceaux de lignes concourantes, par lesquels l'imagination se représente l'enchaînement des phénomènes dans l'ordre de la causalité, semblables à des faisceaux de rayons lumineux, deviendraient comme des masses qui se pénètrent, s'épanouissent et se concentrent, sans qu'il y ait de solution de continuité dans leur tissu.
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JDU HASARD. 73
40. Mais, soit qu'il y ait lieu de regarder comme fini ou comme infini le nombre des causes génératrices de tel phénomène, c'est un principe de sens commun qu'il y a des séries de phénomènes solidaires^ ou dépendant les unes des autres, et d'autres. séries qui se développent parallèlement ou successivement^ sans qu'il y ait entre elles aucune dépendance, aucun lien de solidarité. A la vérité, certains philosophes se sont imaginé que tout dans le monde se tenait, et ils l'ont prouvé à leur manière , ou par des arguments subtils , ou par des plaisanteries ingénieuses; mais, ni leurs subtilités, ni leurs plaisanteries ne sauraient prévaloir contre les croyances du sens commun. Personne ne pensera sérieusement qu'en frappant la terre du pied il dérange le navigateur qui voyage aux antipodes , ou qu'il ébranle le système des satellites de Jupiter. Quand on voudrait admettre en théorie l'existence de pareilles perturbations, opérées par de telles causes, il faudrait reconnaître que ces perturbations sont inappréciables pour nous; que nous n'avons aucun moyen d'en suivre la trace dans les phénomènes; en d'autres termes, que la solidarité prétendue ne se manifeste par aucun signe sensible et que, dans l'ordre des faits observables, elle est comme n'existant pas.
« Les événements amenés par la combinaison ou la rencontre de phénomènes qui appartiennent à des séries indépendantes, dans l'ordre de la causalité, sont ce qu'on nomme des événements fortuits ou des résultats du ha* sard. »
41. Éclaircissons ceci par des exemples. Je suppose que deux frères, qui servent dans le même corps, périssent dans la même bataille. Quand on songe au lien qui
les unissait, et au malheur commun qui les atteint, il y a dans ce rapprochement quelque chose qui frappe; mais, en y réfléchissant, on s'aperçoit que ces deux circonstances pourraient bien n'être pas indépendantes l'une de l'autre, et que le hasard seul n'a pas amené ce funeste rapprochement. Car, peut-être le cadet n'a-t-il embrassé la carrière militaire qu'à l'exemple de son frère ; en suivant la même carrière , il est naturel qu'ils aient cherché à servir dans le même corps; servant dans le même corps, ils ont dû partager les mêmes périls , se porter au besoin du secours ; et si le péril a été grand pour tous deux, il n'est pas surprenant que tous deux aient succombé. Des causes indépendantes de leur lien de parenté ont pu jouer un rôle dans cet événement; mais il n'y a pas rencontre purement fortuite entre leur qualité de frères et leur fin commune.
Je suppose maintenant qu'ils servent dans deux armées , l'un à la frontière du Nord , l'autre au pied des Alpes : il y a un combat le même jour sur les deux frontières, et les deux frères y périssent. On sera fondé à regarder cette rencontre comme. un résultat du hasard; car, à une si grande distance, les opérations des deux armées composent deux séries de faits dont la direction première peut partir d'un centre commun , mais qui se développent ensuite dans une parfaite indépendance l'une de l'autre, en s'accommodant aux circonstances locales. Les circonstances qui amenaient tel jour un combat sur un point de l'une des frontières, ne se liaient point aux circonstances qui amenaient le même jour un combat sur l'autre frontière. Si les corps auxquels les deux frères appartiennent respectivement ont donné dans les deux combats , ai la mêlée a été meurtrière da
pu HASABD. 75
deux côtés, si tous deux ont succombé, il n'y a rien dans leur qualité de frères qui rende raison d'un tel rapprochement.
Un homme surpris par l'orage se réfugie sous un arbre isolé, et il y est frappé de la foudre. Cet accident n'est pas purement fortuit ; car la physique nous apprend que le fluide électrique a une tendance à se décharger sur les cimes des arbres comme sur toutes les pointes. Il y avait une raison pour que l'homme ignorant des principes de la physique choisît l'arbre comme abri , et il y en avait une pour que la foudre vînt le chercher précisément à cette place. Au contraire , si l'homme avait été frappé au milieu d'une prairie ou d'une forêt, l'événement serait fortuit ; car il n'y aurait plus aucune liaison entre les causes qui ont amené l'homme sur ce point, et celles qui font que la foudre s'y rencontre en même temps que lui.
Un homme qui ne sait pas lire extrait un à un des caractères d'imprimerie entassés sans ordre : ces caractères, dans l'ordre où il les amène, donnent le mot Alexandre. C'est une rencontre fortuite ou un résultat du hasard ; car il n'y a nulle liaison entre les causes qui ont dirigé la main de cet homme, et celles qui ont imposé le nom A' Alexandre à un conquérant fameux, qui l'ont attribué ensuite à d'autres personnages historiques, qui en ont fait un nom ou un prénom vulgaire, et l'un des mots les plus connus de la langue.
42. Ce n'est point parce que les événements pris pour exemples sont rares et surprenants qu'on doit les qualifier de résultats du hasard. Au contraire (comme cela va êti-e expliqué, et comme on peut déjà le près-
76 CHAPITRK IV.
sentir d'après ce qui a été dit dans le chapitre précédent), c'est parce que le hasard les amène, entre beaucoup d'autres auxquels donneraient lieu des combinaisons différentes , qu'ils sont rares ; et c'est parce qu'ils sont rares , qu'ils nous surprennent. Quand un homme extrait , les yeux bandés, des boules d'une urne qui renferme autant de boules blanches que de boules noires, l'extraction d'une boule blanche n'a rien de rare ni de surprenant, pas plus que l'extraction d'une boule tioire; et pourtant l'un et l'autre événement sont considérés avec raison comme des résultats du hasard ; parce qu'il n'y a manifestement aucune liaison entre les causes qui font tomber sur telle ou telle boule les mains de l'opérateur, et les couleurs de ces boules.
Il est bien vrai que, dans le langage familier, on emploie plus volontiers l'expression de hasard , lorsqu'il s'agit de combinaisons rares et surprenantes. Si Ton a extrait quatre fois de suite une boule noire de Fume qui renferme autant de boules blanches que de noires, on dira que cette combinaison est l'effet d'un grand hasard ; ce qu'on ne dirait peut-être pas si l'on avait amené d'abord deux boules blanches et ensuite deux boules noires , et à plus forte raison si les boules blanches et noires s'étaient succédé avec moins de régularité; quoique, dans toutes ces hypothèses, il y ait eu une parfaite indépendance entre les causes qui ont dirigé la main de l'opérateur, et celles qui ont imprimé aux boules leur couleur. On remarquera le hasard qui a fait périr les deux frères le même jour, et l'on ne remarquera pas , ou l'on remarquera moins celui qui les a fait mourir à un mois , à trois mois , à six mois d'intervalle; quoiqu'il n'y ait toujours aucune solidarité
entre les causes qui ont amené tel jour la mort de l'aîné, et celles qui ont amené tel autre jour la mort du cadet, ni entre ces causes et leur qualité de frères. Dans le tirage aveugle d'une suite de caractères entassés sans ordre, on ne fera pas attention aux assemblages de lettres qui ne représenteront pas des sons articulables, ou des mots employés dans une langue connue; quoiqu'il y ait toujours absence de liaison entre les causes qui dirigent successivement la main de l'opérateur sur tel ou tel morceau de métal, et celles qui ont imprimé tels ou tels caractères sur les morceaux extraits. Mais cette nuance d'expression , attachée au mot de hasard dans la conversation familière et dans le langage du monde , nuance vague et mal définie, doit être écartée lorsqu'on parle le langage sévère de la science et de la philosophie. Il faut , pour bien s'entendre, s'attacher exclusivement à ce qu'il y a de fondamental et de catégorique dans la notion du hasard , savoir à l'idée de l'indépendance ou de l'absence de solidarité entre diverses séries de faits ou de causes. 43; A cette notion s'en rattache une autre qui est de grande conséquence pour la théorie comme pour la pratique: nous voulons parler de \ impossibilité physique. C'est encore ici le cas de recourir à des exemples pour faciliter l'intelligence des généralités abstraites.
On regarde comme physiquement impossible qu'un cône pesant se tienne en équilibre sur sa pointe ; que Timpulsion communiquée à une sphère soit précisément dirigée suivant une droite passant par le centre, de manière à n'imprimer à la sphère aucun mouvement de rotation; que le centre d'un disque projeté sur un parquet carré tombe précisément au point d'intersection des diagonales ; qu'un instrumenta mesurer les angles soit
esiacteinent centré; qu'une balance se trouve rigoureusement exacte; qu'une mesure quelconque soit rigoureusement conforme à l'étalon; et ainsi de suite. Toutes ces impossibilités physiques sont de même nature, et se lient évidemment à la notion que nous nous sommes faite des rencontres fortuites ou de l'indépendance des causes. En effet, supposons qu'il s'agisse de trouver le centre d'un cercle : l'adresse de l'artiste et la précision de ses instruments assignent des limites à l'erreur qu'il peut commettre , ou à la distance du centre véritable au point que l'artiste détermine et qu'il indique comme centre. Mais, d'autre part, entre de certaines limites différentes des premières et plus resserrées , l'artiste cesse d'être guidé par ses sens et par ses instruments. La fixation du point central, dans ce champ plus ou moins rétréci, s'opère sans doute en vertu de certaines causes, mais de causes a\feugles^ c'est-à-dire de causes tout à fait indépendantes des conditions géométriques qui déterminent le véritable centre. Il y a une infinité de points sur lesquels ces causes aveugles peuvent fixer l'instrument de l'artiste, sans qu'il y ait de raison, prise dans la nature de l'œuvre, pour que cescauses fixent l'instrument sur un point plutôt que sur l'autre. La coïncidence de la pointe de l'instrument et du véritable centre est un événement complètement assimilable à l'extraction d'une boule blanche par un agent aveugle , quand l'urne renferme une seule boule blanche et une infinité de boules noires. V événement physique^ ment impossible est donc celui dont la probabilité mathématique est infiniment petite ; et cette seule remarque donne une consistance, une valeur objective et phénoménale à la théorie de la probabilité mathématique.
De même, lorsqu'une sphère est rencontrëe par un corps mû dans l'espace, en vertu de causes indépendantes de la présence actuelle de cette sphère en tel lieu de l'espace , il est physiquement impossible, il n'afrrive pas que, sur le nombre infini de directions dont le corps choquant est susceptible, les causes motrices lui aient précisément donné celle qui va passer par le centre de la sphère. En conséquence on admet l'impossibilité physique que la sphère ne prenne pas un mouvement de rotation en même temps qu'un mouvement de translation. Si l'impulsion était communiquée par un être intelligent qui visât , avec des sens d'une perfection bornée , à obtenir ce résultat, il serait encore physiquement impossible qu'il en vînt à bout : car , quelle que fut son adresse, la direction de la force impulsive serait abandonnée, entre de certaines limites d'écart, à des causes indépendantes de sa volonté ; et pour peu qu'elle dévie de la ligne qui passe par le centre de la sphère, le mouvement de rotation doit se produire. On expliquerait de la même manière l'impossibilité physique, admise par tout le monde , de mettre un cône en équilibre sixr sa pointe, quoique l'équilibre soit mathématiquement possible; et l'on ferait des raisonnements analogues dans tous les cas cités.
Sans doute la notion de l'impossibilité physique diffère essentiellement de celle de l'impossibilité mathématique ou métaphysique, et il n'y a aucun moyen d'établir la transition de l'une à l'autre. La chose physiquement impossible est conçue comme possible mathématiquement ou métaphysiquement, mais de fait elle n'arrive pas ; parce qu'il n'y a aucune raison pour que la combinaison fortuite entre des faits ou des causes in-
80 CHJLPITRE IV.
dépendantes, qui seule pourrait l'amener, se présente de préférence à une infinité d'autres. Comme cette notion générale et abstraite , de l'indépendance des causes et de l'infinie multitude des combinaisons possibles , est ce qui rend raison de l'impossibilité physique, sans qu'on ait besoin de recourir à des notions empiriques sur la matière comme celles que nos sens nous donnent, il vaudrait peut-être mieux qualifier l'impossibilité phy sique â" impossibilité de fait ^ par opposition à l'impossibilité qu'on appelle mathématique ou métaphysique, et qu'il semblerait plus juste de désigner par la dénomination S impossibilité rationnelle ou absolue,
44. I/événement impossible de fait, ou physiquement, est celui dont la probabilité mathématique est infiniment petite, et qu'on peut assimiler à l'extraction d'une boule blanche par un agent aveugle , quand l'urne renferme une seule boule blanche contre une infinité de boules noires: mais, quel que soit le rapport fini du nombre des boules blanches à celui des boules noires , si l'on répète un nombre de fois de plus en plus grand l'épreuve du tirage, on aura, par les théorèmes de Bernoulli, une probabilité croissante que le rapport du nombre des boules blanches extraites, à celui des boules noires-, s'écartera de uioins en moins du rapport entre la probabilité mathématique de l'extraction d'une boule blanche et la probabilité contraire. Pour un nombre infini de tirages , on a une probabilité infiniment petite, ou il devient physiquement impossible que les deux rapports diffèrent l'un de l'autre d'une fraction donnée, si petite qu'elle soit. Ainsi , pourvu qu'on assigne un nombre suffisant d épreuves , et des limites convenables à l'écart, toute la doctrine des probabilités
mathématiques se rattache à la notion de Timpossibilité physique : la probabilité mathématique n'est plus un simple rapport abstrait, tenant au point de vue de notre esprit , mais l'expression d'un rapport que la.nature même des choses maintient, et que l'observation manifeste, lorsque, sous l'influence de causes indépendantes qui se combinent fortuitement, les épreuves des mêmes hasards se multiplient indéfiniment, comme cela arrive sans cesse dans l'ordre des phénomènes naturels et des faits sociaux. Dans le langage rigoureux qui convient aux vérités abstraites et absolues des mathématiques et de la métaphysique , une chose est possible ou elle ne l'est pas : il n'y a pas de degrés de possibilité ou d'impossibilité. Mais, dans l'ordre des faits et des réalités phénoménales , lorsque deux phénomènes contraires sont susceptibles de se produire et se produisent effectivement, selon les combinaisons fortuites de certaines causes variables
avec d'autres causes ou données constantes, il est naturel de regarder un phénomène comme doué d'une habileté d'autant plus grande à se produire, ou comme étant d'autant plus possible, de fait ou physiquement , ((u'il se reproduit plus souvent dans un grand nombre d'épreuves. La probabilité mathématique devient alors la mesure de la possibilité physique y et Tune de ces expressions peut être prise pour l'autre. Ce n'est là au surplus qu'une définition de mots. L'avantage du terme ^^possibilité (dont le sentiment des vérités que nous exposons ici a déjà amené l'usage), c'est qu'il désigne nettement l'existence d'un rapport qui subsiste entre les choses mêmes, et qui ne tient pas à notre manière de juger ou de senfir, variable d'un individu à l'autre, selon les circonstances où ils sont placés et la n^c^ure de
leurs connaissances : c'est enfin, pour employer le langage technique de l'école, que le terme Ae possibilité se prend dans un sens objectif j tandis que le terme de probabilité implique dans ses acceptions ordinaires un sens subjectif (\m a fait illusion à d'excellents esprits, a été cause d'une foule d'équivoques, et a faussé l'idée qu'on devait se faire de la théorie des chances et des probabilités mathématiques.
45. Ainsi l'on a souvent répété cette pensée de Hume, «qu'il n'y point de hasard à proprement parler, mais qu'il y a son équivalent : l'ignorance où nous sommes des vraies causes des événements;» et Laplace lui-même pose en principe au commencement de son livre, <c que la probabilité est relative, en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance;» d'où il suit que, pour une intelligence supérieure qui saurait démêler toutes les causes et en suivre toiis les effets , la science des probabilités s'évanouirait faute d'objet. Mais toutes ces pensées manquent de justesse. Sans doute le mot de hasard n'indique pasi une cause substantielle , mais une idée : cette idée est celle de la combinaison entre plusieurs systèmes de causes ou de faits qui se développent, chacun dans leur série propre, indépendamment les uns des autres. Une intelligence supérieure à l'homme ne différerait de l'homme qu'en ce qu'elle se tromperait moins souvent que lui , ou même ne se tromperait jamais dans l'application de cette donnée de la raison. Elle ne serait pas exposée à regarder comme indépendantes, des séries qui s'influencent réellement , dans l'ordre de la causalité, ou inversement, à se figurer une dépendance entre des causes réellement indépendantes. Elle ferait avSc une plus grande sûreté, ou même avec une
exactitude rigoureuse, la part qui revient au hasard dans le développement des phénomènes successifs. Elle assignerait à priori les résultats du concours de causes indépendantes, ce que nous sommes le plus souvent dans l'impuissance de faire. Par exemple, étant donné un dé de structure irrégulière, qui doit être projeté un grand nombre de fois, par des forces impulsives dont l'intensité, la direction et le point d'application sont déterminés à chaque coup par des causes indépendantes de celles qui agissent aux coups suivants, elle saurait, ce que nous ne savons pas, quel doit être à très-peu près le rapport du nombre des coups amenant une face déterminée-, au nombre total des coups; et cette science aurait un objet certain, soit qu'elle connût les forces qui agissent et qu'elle en pût calculer les effets, pour chaque coup particulier, soit que cette connaissance et ce calcul surpassassent encore ses forces. Eh un mot, elle pousserait plus loin que nous et appliquerait mieux la science de ces rapports mathématiques, tous liés à la nolion du hasard , et qui deviennent des lois de la nature, danà Tordre des phénomènes.
Il est juste de dire en ce sens (comme on l'a aussi répété si souvent ) que le hasard gouverne le monde , ou plutôt qu'il a une part, et une part notable, dans le gouvernement du monde; ce qui ne répugne en aucune façon à l'idée qu'on doit se faire d'une direction suprême et providentielle : soit que la direction providentielle ne porte que sur les résultats moyens et généraut, assurés par les lois mêmes du hasard; soit que la <ïause suprême dispose des détails et des faits particuliers pour les coordonner à des vues qui surpassent nos sciences et nos théories.'
£n restant clans Tordre des causes secondaires et des faits naturels qui sont le domaine propre de. la science, la théorie mathématique du hasard nous apparaît comme l'application la plus vaste de la science des nombres, et celle qui justifie le mieux l'adage inundwn regunt nwneri. En effet, quoi qu'en aient pensé certains philosophes, rien ne nous autorise à croire que la. raison de tous les phénomènes se trouve dans les notions d'étendue, de temps, de mouvement, en un mot dans les notions des grandeurs continues et mesurables qui sont l'objet de la géométrie. Les actes des êtres vivants, intelligents et moraux ne s'expliquent nullement, dans l'état de nos connaissances , et nous pouvons hardiment prononcer qu'ils né s'expliqueront jamais par la mécanique des géomètres. Ils ne tombent donc point, par le côté géométrique ou mécanique, dans le domaine des nombres; mais ils s'y retrouvent placés, en tant que les notions de combinaison et de chance, de cause et de hasard , sont supérieures dans l'ordre des abstractions à la géométrie et à la mécanique, et s'appliquent aux faits de la nature vivante, à ceux du monde intellectuel et du monde moral, comme aux phénomènes produits par les mouvements de la matière inerte.
46. Au fond, la théorie des chances et des probabilités mathématiques s'applique à deux ordres de questions bien distincts : à des questions de possibilité qui ont une existence objective, ainsi qu'on vient de l'expliquer, et à des questions àe probabilité (\[x\ sont en effet relatives, en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance. Quand nous disons que la probabilité d'amener un sonnez au jeu de trictrac est ~ [6], nous pou-
oo
vons avoir en vue un jugement de possibilité; et alors cela signifie que, si les clés sont parfaitement réguliers, cubiques et homogènes, de manière qu'il n'y ait aucune raison prise dans leur structure physique pour qu'une face soit amenée plutôt que l'autre, le nombre des sonnez amenés dans un grand nombre de coups, par des forces impulsives dont la direction est absolument indépendante des points inscrits sur les faces, sera sensiblement un 36* du nombre total. Mais nous pouvons avoir aussi en vue un jugement de simple probabilité; et sans nous enquérir si cette régularité de structure existe ou n'existe pas, il suffit que nous ignorions dans quel sens agissent les irrégularités de structure, si elles existent, pour que nous n'ayons aucune raison de supposer qu'une face paraîtra plutôt que l'autre. Alors l'apparition du sonnez ^ pour laquelle 11 nJy a qu'une combinaison sur 36, sera moins probable pour nous que celle du point deux et asj en faveur de laquelle nous apercevons deux combinaisons, suivant que l'as se trouve sur un dé ou sur l'autre; bien que ce dernier événement soit peut-être physiquement moins possible , ou même impossible. Si un joueur parie pour sonnez et un autre pour deux et aSy en convenant de regarder comme nuls les coups qui n'amèneraient pas l'un ou l'autre de ces points, il n'y aura pas moyen (comme nous l'expliquerons dans le chapitre qui va suivre) de régler leurs enjeux autrement que dans le rapport de un à deux ; et l'équité sera satisfaite par ce règlement aussi bien qu'elle pourrait l'être si Ton était certain d'une parfaite régularité de structure : tandis que le même règlement serait inique de la part de l'arbitre qui saurait que les dés sont pipés, et qu'ils le sont de manière à favoriser l'un des joueurs.
"^ A cela se bornent à peu près les applications de la
théorie, en tant qu'elle a pour objet de simples jugements de probabilité , variables selon les connaissances et l'ignorance des juges. Que si l'on veut transporter dans la discussion des phénomènes naturels ou des faits sociaux les conséquences déduites de pareils jugements^ on s'expose à tomber dans des méprises dont nous donnerons des exemples, et qui peuvent ébranler la confiance due aux applications légitimes.
47. Le calcul des hasards a pris naissance à l'occa- ^ sion de Ces règlements d'équité (règle des partis , co/«-
positio sortis, etc.). On voit par un passage remarquable de Pascal (^), qu'il ne songeait nullement aux appli-
(*) « Novissimâ autem ac penitus intractatae materiae tractatiO| « scilicet de compositione aleae in ludis ipsi subjectis (quod « gallico nostro idiomate dicitur faire les partis des jeux) : ubi < anceps fortuna aequitate rationis ita reprimitur ut utrique « lusorum quod Jure competit exacte semper assignetur. Quod « quidemeo fortius ratiocinando quaerendum, ^«o minus tentando « inçestigari possît : ambigui enim*sortis eventus fortuitae coutin- « geutiae potius quam naturali nécessita ti mérite tribuuotur. Ideo « res hactenus erravit incerta; nunc autem quae experimento « rebellis /uerat, rationis dominium effugere non potuit : eam «quippe tanta securitate in artem per geometriam reduximus, «ut, certitudinis ejus particeps facta, jam audacter prodeat; et « sic, matheseos demonstrationes cum aleae inccrtitudinejungendo, « et quae contraria videnturconciliando, ab utraquenominationem « suam accipiens, stupendum hune titulum jure sibi arrogat : « aleae geometria. » [OEuvres de Pascal, t. IV, p. 358 de Tédition de 1819,)
Ce passage est extrait d*un petit écrit latin adressé en i654 à une réunion libre de savants, Celeberrimae matheseos Academiae Parisiensi, L* Académie des sciences n a été fondée qu'en 1666.
DU HiiSi^RD. 87
citions que sa géométrie du hasard comportait , daps l'ordre des jugements de possibilité, et relativement à l'économie des faits naturels. Les grands génies du dixseptième siècle, Fermât, Leibnitz, Huygens, qui s'occupaient du calcul des combinaisons et des chances en même temps que Pascal ou quelques années après lui , n'avaient non plus en vue que la règle des partis. Jacques Bernoulli, dans VJrs conjeclandi , déterminait formellement le but essentiel , la valeur objective de la théorie des hasards; mais en même temps, par l'emploi continuel des termes à^ probabilité y de conjecture y etc.^ il pi*eparait les équivoques qui en ont rendu l'exposition confuse et les applications incertaines. Le titre de l'ouvrage de Moivre {^Doctrine of chances)^ dont la première édition a paru en 1718, cinq ans après la publication de X^érs conjectandi , n'avait point cet inconvénient ; et maintenant encore les auteurs disent quelquefois la chance d'un événement, dans le sens où Von prend aussi les mots de possibilité et de probabilité. Malheureusement il y a des inconvénients à employer le même terme dans une double acception : tan^t pour désigner chacune des combinaisons fortuites qui amènent un événement déterminé, tantôt pour désigner le rapport du nombre de ces cpmbinaisons au nombre total des combinaisons fortuites; soit que l'un et l'autre nombre restent finis, soit que leur rapport converge vers une limite assignable pendant que les deux termes croissent au delà de toutes limites.
Nous continuerons donc, pour nous conformer à l usage le plus ordinaire, d'employer le mot de proba* oïlité comme synonyme de possibilité physique, sauf les cas où le sens du discours indiquera que le même terme
est pris dans son acception subjective. Nous examinerons, à la fin de cet ouvrage, s'il n'y a pas d'autres jugements de probabilité que ceux qui se rattachent à la théorie mathématique des chances et du hasard , et nous tâcherons de compléter ainsi l'exposition de notre sujet. 48. Au terme de probabilité, pris dans le sens subjectif, correspond celui de certitude^ et l'on dit souvent que, les probabilités étant mesurées par des fractions, l'unité est la mesure de la certitude. En effet, si toutes les chances ou combinaisons fortuites possibles sont favorables à un événement, il est certain que cet événement arrivem : la probabilité de l'événement contraire est rigoureusement nulle. Mais, d'un autre coté, on reconnaît qu'il y a une différence d'essence et non pas de grandeur, entre la probabilité et la certitude absolue : de sorte qu'il y aurait absurdité à dire que la certitude absolue se compose de la somme de deux ou d'un plus grand nombre de probabilités. C'est qu'en effet, dans toute la doctrine des probabilités mathématiques ou des possibilités, le terme de comparaison n'est pas l'événement CCTtain , d'une certitude rationnelle , métaphysique ou absolue , mais l'événement physiquement certain , celui dont la probabilité ne diffère de l'unité que d'une quantité infiniment petite, ou l'événement dont le contraire est physiquement impossible , ainsi qu'on Fa expliqué plus haut, tant par des raisonnements généraux que par des exemples. De cette manière on rétablit l'homogénéité qui doit toujours se trouver dans les chosessoumises aux mesures etau calcul, et on lève jusqu'à l'apparence d'une difficulté pour les personnes familiarisées avec le sens des expressions en mathématiques.
DU MARCHÉ AUÉATOIBE. 89
DE LA YALEUE VÉNALE DES CHANCES OU DES PROBABILITES. — DU MARCHE ALEATOIRE ET DU JEU EN GÉNÉRAL.
49. Après qu'un objet commerçable a été mis en loterie, chacun des billets qui représente un droit éventuel à cet objet peut à son tour être mis dans le commerce, et sa valeur vénale sera celle de la chance ou du droit éventuel dont ce billet est le signe. Il n'y ^ absolument aucune raison pour attribuer à l'un des billets plus de valeur qu'à l'autre : par conséquent, deux personnes nanties, l'une de m, l'autre de n billets, posséderont des valeurs qui seront entre elles dans le rapport de m
Ce que nous disons des chances d'une loterie, représentées vulgairement par des billets, pouvant s'appliquer également à toute espèce de chances, il en résulte que, lorsque plusieurs personnes ont des droits éventuels à un objet commerçable, et que ces droits peuvent à leur tour entrer dans le commerce, leurs valeurs vénales sont nécessairement proportionnelles aux probabilités que ces personnes ont respectivement d'obtenir fobjet dont il s'agit.
Cette considération ne suffit pas encore pour nous apprendre la valeur absolue de chaque chance ; et en effet il est clair que chacun peut apprécier la valeur
d'une chance vénale, aussi bien que celle de toute autre marchandise 9 selon sa convenance particulière. Mais, de même qu'il s'établit un cours pour les choses qui sont habituellement dans le commerce , il s'en établirait un pour les chances qui pourraient devenir l'objet de spéculations journalières ; et cela posé , le prix de chaque chance serait au prix de la chose même sur laquelle la chance confère un droit aléatoire, comme l'unité est au nombre total des chances. En effet, si le cours assignait au prix de chaque chance une valeur moins élevée, le possesseur de la, chose n'en retrouverait pas le prix courant, et ne choisirait pas cette voie pour s'en défaire. Si au contraire le cours assignait à chaque chance, une valeur plqs élevée, les spéculateurs trouveraient avantage à acheter directement la chose ou des choses du même genre, pour en distribuer la valeur sur des chances négociables, et par leur concurrence ils feraient baisser le cours jusqu'à ce qu'il se trouvât ramené au taux qu'il avait momentanément dépassé. Dans ce raisonnement purement théorique ixous faisons abstraction, pour plus de simplicité , des frai» et des salaires que toute négociation entraîne avec elle : nous substituons à l'état réel dçs choses un état fictif, d'autant plus voisin de la réalité que les rouages du commerce ont acquis un plus libre jeu; ainsi qu'on doit le faire quand on procède à la re** cherche des lois de l'équilibre commercial.
50. Par une association de mots assez bizarre , on appelle espérance mathématique le produit qu'on obtient en multipliant la valeur d'une chose en unités monér taires, par la fraction qui exprime la probabilité mathématique du gain de c^te chose. D'après ce qui précède, r^spérapice piathématique est la limite dont tend saD$
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cesse à s'approcher, par les lois qui régissent le commerce libre, la valeur vénale des chances possédées par chaque prétendant à la chose, ou la valeur vénale de sa probabilité de gain.
Quand la chose sur laquelle on acquiert des droits aléatoires est une somme d'argent, la^aleur de la chose est soustraite aux variations du cours : l'espérance mathématique de chaque prétendant se trouve fixée dès que Ton connaît les probabilités de gain de chacun d'eux, ainsi que cela a lieu pour les jeux de pur hasard dont on est parvenu à supputer les combinaisons.
Si les joueurs conviennent de rompre a partie, ils doivent, par cela seul que chaque chance leprésente un droit égal à l'enjeu , se partager cet enjeu dans la proportion de leurs probabilités de gain. La règle de l'espérance mathématique revient alors à la règle des pa.rlis y dont il a déjà été question \ki\i ^^ ^ l'occasion de laquelle ont été entreprises les premièies recherches sur la probabilité mathématique.
Si Pierre parie pour l'événement A et Paul pour l'é vénement B, les paris de Pierre et de Paul, dont la «omme forme l'enjeu, doivent être respectivement proportionnels à la probabilité mathématique de l'événe- Baent A et à celle de l'événement B : car, en supposant qu'on eût énuméré toutes les chances oi combinaisons fortuites également possibhss qui peuvent aipcner Tévéoement A, et toutes celles qui peuvent amener l'événefflent B, il n'y aurait aucune raison déparier plus pour lune de ces chances que pour l'autre. Or, la somme pariée pour l'événement A peut être corsidérée comme le total des sommes pariées pour chacune des chances qui «nèneraient l'événement A ; et il en «st de riaême à l'é-
gard de la somme pariée pour Tévénement B. Envisagée sous cet autre point de vue, la règle de l'espérance mathématique se confond donc avec la règle des paris.
51. Verdre une chose à juste prix, c'est vendre au prix oîi la Ibre concurrence des acheteurs et des vendeurs porterait la%iose : l'espérance mathématique est donc aussi \e^ juste prix des chances, ou la limite dont le juste prix s'approche, quand les frais de négociation diminuent. Si le prix qu'on exige est différent, le marché aléatoire cesse d'être réglé par des conditions équitables ; de niême que tout marché cesse d'être équitable, si l'un des contractants profite des avantages de sa position, des besoins, des passions ou de l'ignorance de l'autre contnctant, pour lui donner en échange de la valeur fournie une valeur moindre que celle qui eût été déterminée ptr une libre concurrence , en l'absence de toute illusion
Il ne suit pas de là que la même chose convienne à tout le monde au même prix, ni qu'une dépense soit judicieuse par cela seul qu'on n'a pas payé la chose audessus du cou-s. La valeur de coriifenance^ par opposition au prix commercial, est évidemment subordonnée à la position particulière et à la fortune de l'acheteur. Il est impossibe de mesurer et de soumettre au calcul la vaïeur de convenance des choses, aussi bien celle des chances que cdle de toute autre marchandise. Sans doute on voit bim qu'un homme risque d'autant plus en achetant une clunce, c'est-à-dire un bien incertain, que le prix certain qu'il en donne est plus considérable relativement à sa fortune. La raison dit aussi que l'importance d'une somme d'argent diminue pour celui dont la fortune s'accroît; de telle sorte que si un ouvrier
