Un homme qui joue habituellement contre le

premier venu, à un jeu de pur hasard, est comme un

ponte dont le public serait le banquier; mais en pareil

eas il joue communément à jeu égal, c'est-à-dire que sa

HÛae est égale à son espérance mathématique ; et de plus

iljoae le plus souvent à chances égales, c'est«à-dire

^ue sa probabilité de gain est -. Pour une série de

3 000 coups, il y aurait un contre un à parier que la P^te ou le gain du joueur serait moindre que 19 fois ^ mise, et aQOOO à parier contre un que la perte ou ^ 8^Q m surpasserait pas m fois la mise. Il faudrait

multiplier ces limites par 2, 3, 4? ^^^'j ^^ ^^ nombre de coups devenait 4 fois, 9 fois, 16 fois plus grand, etc.: la perte ou le gain probable augmentant toujours avec le nombre des coups, quoique dans une progression beaucoup moins rapide , et qui va toujours se ralentissant.

Quand les deux mêmes joueurs parient constamment l'un contre l'autre, la progression dont on vient de parler, quelque ralen.tie qu'elle soit, doit certainement amener la ruine de l'un ou de Tautre des joueurs, si le jeu se prolonge indéfiniment; et elle doit très-probablement en ruiner un , après un nombre de coups qu'il faudra supposer plus ou moins grand selon le rapport des enjeux à la fortune de chaque joueur. Il est juste cependant de faire observer, qu'à moins de supposer ce rapport beaucoup plus grand qu'il ne l'est communément, le nombre de coups qu'il faudrait jouer pour avoir une probabilité considérable que l'un des joueurs se ruinera, est plus grand que ne le comporte la pratique du jeu.

57. Toutefois ces calculs se réfèrent à l'hypothèse où le capital de chaque joueur lui a permis de pousser jusqu'au bout la série des coups dont nous désignons le nombre par m : c'est ce qu'on peut toujours supposer à l'égard des personnes qui ne font du jeu qu'un amusement, mais le contraire peut malheureusement avoir lieu dans les jeux passionnés; et il s'agit de savoir si les chances de perte finale ne disparaissent pas alors en quelque sorte devant celles d'une ruine anticipée. Le calcul devient d'autant plus nécessaire pour évaluer les chances de cette dernière espèce, qu'on se fait généralement une idée peu précise de l'influence qu'elles exer-

DU MARCHE ALJÉATOIRE. 101

cent sur le sort des joueurs; et si, dans des intentions d'ailleurs très-louables, on a cru devoir exagérer cette influence, nous pensons qu'il vaut encore mieux s'en tenir à la rigueur arithmétique.

Supposons, pour prendre un exemple simple, deux joueurs A et B jouant à mises égales et à chances égales : la mise de A étant la 5o' partie de son capital. Admettons aussi, en premier lieu, que les joueurs A etB sont également riches ci^.disposent précisément du même capital. On a la probabilité 0,8869, ou près de 9 à parier contre un, que le joueur A ne sera pas ruiné au 1000* coup, et la 'probabilité 0,4954? ou presque un à parier contre un , qu'il sera ruiné au plus tard aa 10 000® coup.

Si l'on suppose le capital de B double de celui de A, la première probabilité n'est pas sensiblement altérée dans sa valeur; la seconde devient o,6o4; en sorte qu'il y a environ 3 à parier contre 2 que le joueur A sera ruiné par le joueur B, au plus tard au 10 000* coup. L'influence de la supériorité de la fortune du joueur B devient sensible, mais beaucoup moins qu'on ne le croit communément.

Enfin , si l'on suppose le capital de B infini ou inépuisable, la probabilité de ruine, au plus tard au 1000'' coup , reste encore sensiblement la même pour le joueur A; tandis que la probabilité de sa ruine, au plus tard au 10000* coup, devient 0,617, valeur un peu plus forte que celle qu'on a trouvée tout à l'heure, inais qui pourtant ne la surpasse pas notablement.

Si le capital de A devenait double, triple^ quadruple, il. faudrait embrasser un nombre de coups quatre fois, neuf fois, seize fois plus grand , pour tom-

}02 GHAPITRE y.

ber sur les mêmes probabilités de tuine anticipée ('). 58. En résumé, le calcul confirme èettè indication du bon senS) que, quand deux joueurs inégalement riches entreprennent de jouer gros jeu , toutes choses égales d'ailleurs , le plus riche a un avantage sur l'autre , parce qu'il peut soutenir plus longtemps la fortune adverse ; mais le calcul fait voir en même temps que cet avantage est beaucoup plus faible qu'on ne serait d'à-

bord porté à le croire, et comme insensible, tant que làl mise du joueur à chaque coup n'est pas une fractidti considérable de son capital^ ou tant qu'on n'embraSsé pas une série formée d'un très»grand nombre d'épretiVèi aléatoires.

La supériorité habituelle du joueur le plu^ riche , si elle résultait d'observations bien constatées^ pourrait s'expliquer d'une autre manière. Le joueur plus riche ^ moins sensible à la perte, conserve un plus libre exe^- — - - -i ' I

(') Supposons que le joueur A, jouant à jeu égal contre tin adversaire B dont la fortune est réputée infinie, expose chaque fois

la fraction — de son capital. Désignons par II la probabilité que

le joueur A seca ruiné au plus tard au n^ coup , et posons

Vin' OU aUrà à très-peu près

et dans la plupart des cas le second terme de la valeur de i .^11 pourra être négligé vis-à-vis du premier [33, noté], La valeur du premier terme est donnée par la table placée à la fin du présent outrai^.

BU MARGHIÊ ALÉATOIRE. |03

eice de sa raison : tandis qu'un autre, désespéré par les revers, fait ordinairement suivre à ses mises une pro« gression croissante, suffisante pour entraîner sa ruiné dans tlti nombre de coups beaucoup moindre. Il faut bien i'emar(}uer en efiRet qtié les calculs précédents ëont Subordonnés à l'hypothèse d'une mise égale à chaque coup.

Le désavantage qu'on se donne en liant une suite nombreuse de parties avec un adversaire plus riche que soi , on se le donne à plus forte raison en s'engageant à tenir tête au premier venu pendant le même nombre de parties : car cela revient à se donner un adversaire dont la fortune est infinie, et par qui l'on peut être ruiné sans qûMl coure la chance de l'être.

Le fermier d'un jeu public dispose de capitaux énormes eh comparaison de ceux que les pontes possèdent. 11 en résulte que chaque ponte isolément a du désavantage ; mais il ne suit pas de là que cette inégalité de position suffise pour assurer les bénéfices du banquier. Si toutes les autres conditions du jeu étaient égales , le banquier pourrait également perdre ou gagner. On aurait tort de voir en cela une contradiction avec ce qui a ^é dit du désavantage des pontes : car, de te qu'il est fhts probable que chaque ponte , pris isolément, se i*ui- Het*a, il ne s'ensuit pas qu'il soit plus probable que la xnasse des pontes se ruinera , ou qu'elle ne fera pas de bénéfices.