Les profits d'un entrepreneur de jeux publics

i^eposent sur une base bien plus solide, sur l'inégalité des

Conditions du jeu entre les pontes et lui; Nous avons vu

\^S5] que dans un jeu inégal, la perte moyenne dtt joueur

uêsavahiagé croît proportionnellement au nenivè des

ICHk CHAPITRE V.

coups, tandis que l'intervalle des limites entre lesquelles la perte oscille, croit proportionnellement à la racine carrée du même nombre : de sorte qu'il doit arriver une époque où la perte moyenne, imposée par la constitution du jeu au joueur désavantagé, devient hors de proportion avec les variations de cette perte, dues aux anomalies du hasard ; où, par exemple, la perte moyenne se comptant par millions, les variations fortuites se comptent par mille; car mille est la racine carrée d'un million.

Dans les jeux publics où les coups se succèdent rapidement, et où un grand nombre de pontes parient en même temps sur des chances diverses^ en variant capricieusement ou systématiquement leurs mises d'un coup à l'autre , il serait impossible, à moins d'emprunter des données à l'expérience, de calculer le nombre de coups après lequel il y a telle probabilité que les variations fortuites du gain du banquier resteront comprises entre telles limites. Mais cette précision est peu nécessaire : il suffît que la théorie et l'expérience s'accordent pour rendre certains les bénéfices moyens du banquier, résultant de la constitution du jeu.

La même remarque s'applique à plus forte raison aux loteries publiques. Si l'on entendait par coups les tirages de la loterie, comme ces tirages sont peu nombreux dans un an, il semblerait qu'un très-grand nombre d'années devraient s'écouler avant que la loterie pût compter sur des bénéfices certains. D'un autre coté, si toutes ies mises étaient égales , si elles portaient sur la même espèce de chance, et si chaque ponte choisissait Ses numéros au hasard , chaque tirage pourrait être considéré comme donnant lieu à une série formée d'autant

BU MARGHlS A.LEA.TOIRE. 105

de coups qu'il y a de mises, et l'on rentrerait dans le cas très-simple du n^* 55. Mais toutes ces diverses suppositions sont entachées d'inexactitude : il règne , parmi les habitués des loteries, certains préjugés qui, en agissant de la même manière sur un grand nombre d'entre eux, s'opposent à ce que les mises soient réparties dans des proportions sensiblement égales sur chaque numéro ou combinaison de numéros, comme cela arriverait si le choix de la combinaison ne dépendait que de causes irrégulières et fortuites. L'expérience seule peut donner la mesure de l'effet de ces préjugés, et par suite elle seule peut indiquer les nombres de tirages et de mises suffisants pour assurer les bénéfices de la loterie. On voit, par le tableau officiel des produits de la lote-rie de France, depuis l'an vi jusqu'à i835 inclusivement, que ces produits variaient, tant par suite de l'ac-

croissement et du décroisseraent des mises, qu'en raison de leur inégale distribution sur les chances diverses, beaucoup plus qu'ils n'auraient dû le faire en vertu de causes purement fortuites , mais sans que ces fluctuations pussent jamais aller jusqu'à menacer le Trésor d'un déficit. L'expérience avait aussi rassuré l'administration de la loterie sur l'influence que pouvaient exercer, à chaque tirage en particulier, les préjugés dont nous parlons; et elle n'usait plus du droit qu'elle s'était réservé, de fermer les numéros trop chargés.

60. Plus étaient faibles les probabilités de gain correspondant aux diverses chances de l'ancienne loterie V^xtraity \ arabe y etc.), plus l'administration s'était réservé d'avantages en élevant de plus en plus le prix du billet au-dessus de l'espérance mathématique : non-seulement cette combinaison avait pour but d'asseoir un

106 GRAPlTRe V.

impôt plus lourd sur la plus grande cupidité; mats l'administration comprenait qu'elle avait besoin de plus grandes sûretës pour des coups moins fréquemment té* pétés, et tels, qu'un succès, très-peu probable il est vrài^ pouvait entamer notablement sa réserve. Le quine^ quand on le joUait, ne rendait qu'un million de fois la mise, quoi^ que la probabilité de la sortie d'un quine fût exprimée pai^

la fraction -tt — ; — r^rr : et ainsi l'avantage de l'adminis- 43949^*68' "^

tration sur cette chance surpassait les — de la mise. Au

surplus, l'administration avait fini par supprimer cette chance, soit pour s'épargner toute inquiétude, soit parce que le quine se jouait trop rarement pour que le produit ^ de la spéculation sur cette chance valût la peine d'en compliquer la comptabilité ; et l'on conçoit bien qu'il doit y avoir une limite à la petitesse des chances ou des probabilités négocialjes. L'extraction fortuite d'une boule blanche, quand l'urne ne renferme qu'une seule boulé blanche sur cent millions ou sur un milliard de boules, est un événement si peu probable, qu'on ne trouverait pas une personne. disposée à spéculer sur cette chance; et en trouvât-on une accidentellement, ce serait une exception trop rare pour que cette chance acquît une valeur eounmte dans le négoce, ou pour qu'elle figurât sur le tarif d'une compagnie qui aurait le monopole des chances. 61. Ces considérations vont nous donner la solution la plus naturelle d'une question piquante , connue sous le nom de Problème de Pétersbourg, et qui rappelle , par sa forme captieuse , les sophismes célèbres de l'antiquité grecque.

L'én<)iicé de la question peut être celui-ci. Pierre et

DU MAftCHlS AtiATOIRE. !07

Paul jouent à passe-dix [^5] , avec la condition que Pierre payera à Paul un franc s'il passé dix au preniier coup , deut francs s'il ne passe dix qu'au second coup, quatre francs s'il ne passe dix qu'au troisième coup, et ainsi de suite en doublant toujours; de manière que la partie ne se termine que lorsque Pierre a passé dix : on demande l'espérance mathématique de Fàuî , OU oe ^'il doit déposer pour ènjeU.

D'après les notions fondamentales du calcul , Paul a les probabilités