III I

degâgaer

I, a^ 4) 8, etc., francs,

selon que Pierre passera dix au premier, au second, au troisième coup, etc. La valeur de son espérance est la somme décès gains aléatoires, multipliés respectivement par les probabilités correspondantes. Mais chacun dé ces produite domine un demi-franc : ainsi Paul devrait donner ënquante francs, si l'on mettait pour condition que le jeu cessera nécessairement au centième coup; il devrait donner 5oo francs, si l'on convenait que lé jeu cessera Bécéssairement au millième coup ; enfin il doit donner nue somme plus grande que toute quantité assignable , Où une somme infinie , quand on convient que le jeu se prolongera jusqu'à ce que Pierre ait passé dix , si loin ^u'il faille aller pour cela. Et cependant, ajoute-t-on , quel est l'homme sensé qui voudrait risquer à ce jeu, non pas une somme infinie, dont personne ne dispose , niais une sdmme tant soit peu forte relativement à sa

fortune?

Pottr lever oe paradoxe^ la plupart des g^ttiètfes ont

fait intervenir leurs hypothèses sur Vespérance rnorale\Bi\j d'après lesquelles la valeur utile d'une somme d'argent croit moins rapidement que sa valeur nominale, ou même cesse de croître, suivant quelques-uns, au delà d'uçe certaine limite. Mais ces explications nous paraissent trop arbitraires, pour que nous nous y arrêtions.

M. Poisson a fait la remarque bien simple que Pierre ne peut pas payer plus qu'il n'a, et que s'il possédait cinquante millions , somme exorbitante pour un particulier, il ne pourrait loyalement s'engager à prolonger le jeu au delà du a6® coup, puisqu'au 27® coup sa dette envers Paul, en cas de perte, serait le nombre de francs exprimé par a*®z=67 io8864i somme supérieure à sa fortune. Réciproquement , Paul , connaissant la fortune de Pierre, ne s'engagera pas à jouer plus de a6 coups, et ne risquera que i3 francs. En supposant qu'il ne limite pas le nombre de coups , comme il ne peut pas recevoir de Pierre, quoi qu'il arrive, plus de cinquante millions, on trouve que la valeur mathématique de son espérance ne surpasse pas I3^5o^

Mais cette remarque n'atteint pas encore le fond de la difficulté; car la valeur d'une chose, en soi, ne doit pas être confondue avec la valeur relative qui naît du degré de solvabilité du débiteur de la chose. Supposons qu'une loterie publique s'organise avec les conditions physiques de jeu', dont il vient d'être question ; que Pierre soit un instrument aveugle qui jette les dés; et que l'administration de la loterie émette des billets , les uns sous le n^ i qui rapporteront un franc au porteur si l'on passe dix au premier coup, les autres sous le n^ 2, qui rapporteront deux francs si l'on ne passe dix

BU MARGHlé ALEATOIRE. 109

qu'au second coup, et ainsi de suite. A cause du monopole dont jouit la loterie , elle pourra porter le prix de ses billets n"' i à plus d'un demi-franc , et les placera aisément. Il y aura un tarif pour les billets n°' 2, n*** 3, qui se placeront encore, et ainsi des autres. Mais elle arrivera enfin à un numéro qui ne trouvera plus d'acheteurs, ou ^ui en trouvera si rarement que l'administration supprimera la chance; et cela quand même l'administiration ne ferait pas aux pontes un jeu inégal; quand même sa solvabilité, garantie par l'État, ne pourrait pas être mise en doute. Le sort du joueur Paul , dans le premier énoncé du problème, équivaut au sort du ponte qui achèterait un billet dans chacune des séries de numéros, que la loterie a pu faire entrer en circulation.

62. On rencontre souvent, dans les jeux de société comme dans les jeux publics , des joueurs systématiques, à savoir des personnes qui se sont fait un système de jeu, d'après lequel elles se croient sûres d'un bénéfice, ou tout au moins sûres de ne pas perdre. Pour cela elles suivent certaines progressions dans leurs mises, ou se prescrivent des règles pour entrer au jeu et pour en sortir. Notre cadre ne comporte pas une discussion détaillée de ces systèmes qui peuvent varier à l'infini : il suffit d'énoncer comme une vérité mathématique, qui ressort immédiatement des définitions, et qu'il serait facile de constater pour un système quelconque, que dans tout jeu égal, le joueur, quelque système qu'il suive, lie peut acquérir une probabilité de cent contre un de gagner un franc, sans courir un risque mesuré par la pfobabilité de un contre cent de perdre cent francs ; les d^ux produits qu'on obtient en multipliant le gain pos-

iiO CHAPITRE V.

sible par la probabilité du gain , et la perte possible par la probabilité de la perte, devant toujours rester rigoureusement égaux. Si le jeu est inégal, aucune méthode de jeu n'a le pouvoir de détruire l'inégalité des conditions entre les parties adverses. Dans tous les cas , il y a un produit de deux facteurs dont la valeur résulte invariablement des conditions du jeu , et quo le jpueup ne saurait changer par la méthode qu'il se trace. Mais il est bien le maître d'accroître par sa méthode l'un des facteurs aux dépens de l'autre. Il peut à son choix diminuer ou augmenter le gain ou la perte éventuelle, en augmentant ou diminuant proportionnellement la probabilité, soit du gain, soit de la perte. C'est ainsi que la même quantité de force vive, consommée par l'intermédiaire de machines différentes^ peut servir à faire décrire un espace double à une masse moindre de moitié , ou un espace moindre de moitié à une masse double : le pro^ duit de la masse par l'espace décrit restant toujours constant et proportionnel à la force vive dépensée, sauf les pertes qui résulteraient des imperfections du jeu de la machine. Chercher un mécanisme qui crée de la force vive au lieu d'en absorber, c'est tomber dans la chimère des chercheurs de mouvement perpétuel : l'utiUté de la machine consiste à faire varier, selon les cas, l'espace décrit aux dépens de la masse, la masse aux dépens da l'espace décrit. Les frais de jeu représentent l'absorp^ tion improductive de force vive par la machine; et un système quelconque de jeu peut être considéré comme une machine à l'aide de laquelle le joueur fait varier deux éléments selon ses vues et ses convenances , mais toujours de manière que leur produit ne varie pas. * 63. 1} faut bien signaler ici une illusion dans laquelle

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BIT MABGH3é ALB4T0IKE. Ht

des e^its, sensés d'ailleurs , semblent enclins à tomber. Chacun a le sentiment confus de cette vérité, que les anoiqalies du hasard doivent très-probablement se compenser à très^peu près, qqand on embrasse une longue succession d'éyénements. De là on s'imagine que lorsqu'un événer ment qui n'a pas plus de chances pour lui s'est reproduit plus souvent pendant une période , c'est une raison pour qu'il se reproduise moins souvent dans la période suiyaiite; comme si l'indépendance des événements succes^i^, condition sans laquelle il serait contre la définir tîoa de dire qu'ils se succèdent fortuitement, n'excluait pas toute influence des hasard^ passés sur les hasards ^turs. Mais l'imagination a quelque peine à ne voir dans les lois du hasard que l'effet des lois mathématiques qui régissent les combinaisons ; elle est toujours tentée de donner au hasard une vertu substantielle et productrice, ayant son énergie et en quelque sorte sa fii^^ité propre. Il suffit d'indiquer de telles illusions pour en garantir les hommes réfléchis.

Si^ dans une longue série d'épreuves aléatoires, le

rapport du nombre des événements A, à celui des ëvé-^

Bements contraires B, s'écarte sensiblement du rapport

eatre les probabilités de A et de B , cet écart accusera

uu dé&ut dans la construction des instruments aléar

UÂres, ou plus généralement l'existence d'une cause par

l'influence de laquelle des combinaisons réputées égale-

Qtent possibles, dans le calcul des probabilités de A et

B, ne le sont pas en réalité. Si , par exemple, le sonnez

avait été amené mille fois en dix mille coups de dés [6],

on serait certain d'une irrégularité de structure dans

1^ dés ; ou bien il faudrait admettre que celui qui les

Diet dans le cornet et qui les projette, s'y prend, par

112 CÀAPIT'llE V.

routine ou par adresse , de manière à augmenter la probabilité de l'apparition d'un sonnez. La valeur de cette probabilité, au lieu de pouvoir se conclure à priori de la théorie des combinaisons, devrait alors être déterminée par l'expérience, ainsi que nous l'expliquerons plus tard.

Si, à un jeu mi-parti d'adresse et de hasard, où les chances du hasard sont égales de part et d'autre, et dans une longue série de parties entre les mêmes joueurs, l'un des joueurs a gagné beaucoup plus que la moitié du nombre des parties , c'est l'indice certain d'une supériorité d'adresse qui lui donne l'avantage sur son adversaire. Réciproquement, la supériorité d'adresse du joueur le plus habile devra prévaloir à la longue sur les irrégularités du hasard.

Ce que nous attribuons à la supériorité de l'adresse et du sang-froid, d'autres l'imputeront, s'ils le veulent, à une fatalité mystérieuse qui poursuit certaines personnes et semble se plaire à en favoriser d'autres. Cette croyance est une de celles qui ont leurs racines dans le cœur humain ; qui tiennent au sentiment confus d'un ordre surnaturel que la raison n'atteint pas ; et qui par conséquent ne comportent pas de discussion rationnelle. £lle contribue pour le moins autant que la cupidité et l'ambition à entretenir le goût des entreprises aventureuses et des spéculations aléatoires. L'histoire de cette croyance, de son origine et de ses effets , est du ressort du moraliste et du psychologue : on la trouverait déplacée dans l'exposition d'un sujet mathématique.