DES IMS DE PROBABILITÉ. — DES VALEURS MOYENNES

ET HnÉDIANES.

64. Nous savons que le nombre des combinaisons ou des chances auxquelles peut donner lieu le concours fortuit de causes indépendantes , est communément infini , dans l'ordre des phénomènes naturels [i5] : en conséquence il arrive, pour l'ordinaire, qu'une grandeur dont la détermination dépend de combinaisons fortuites peut prendre sans discontinuité toutes les valeurs comprises entre certaines limites , ou même des valeurs dont rien ne limite absolument la grandeur ni la petitesse. Ces valeurs étant en nombre infini , la probabilité de chaque valeur en particulier est infiniment petite : il y aurait impossibilité physique à ce que celui qui parierait pour telle valeur précise , n'importe laquelle , ne perdît pas son pari ; mais pourtant ces probabilités infiniment petites ne sont point égales en général ; elles conservent entre elles de certains rapports, finis et assignables, et qui ne se réduisent à l'unité que dans des cas particuliers. C'est ce qu'on a vu à propos de la question traitée dans le n^ i6, et dont il est facile de modifier renoncé^ de manière à lui donner toute la généralité désirable.

Supposons donc que l'on ait une aire plane ABèîa

[Jig. 6), limitée par la droite AB, par les deux perpendiculaires Aâr, Bè, et par la courbe aib^ tracée d'une manière quelconque : on projette au hasard une sphère sur le plan, dans riptérieur de Taire ainsi déterminée; de sorte que la distance du point de contact de la sphère et du plan à une ligne droite OY, menée paral|èlçmpijt aux droites Aa, Bé, peut prendre toutes les valeurs comprises entre OA:=:a, OB = b; et l'on demande la probabilité que cette distance prendra une valeur intermédiaire quelconque 01 = x. En d'autres termes, on demande la probabilité que le point de contact tombera sur la droite \iy menée par le point I perpendiculaire* ment à AB. Cette probabilité est infiniment petite, puis^ que le point peut aussi bien tomber sur une infinité 4'autres perpendiculaires à AB, comprises entre Aa et Bé; cependant, si Ton compare la probabilité de chuto sur la perpendiculaire 1/ à la probabilité de chute sur une autre perpendiculaire HA, il ressort de l'énoncé même de la question , que le rapport entre ces deux probabilités est celui de la longueur 1/ à la longueur HA, et qu'ainsi ces deux probabilités infiniment petites ne sont point égales. Admettons en effet que \i représente yne longueur de 5 décimètres et HA une longueur de 7 décimètres : on partagera la droite 1/ en 5 parties et \^ droite HA en 7 parties, d'un décimètre chacune, et il n'y aura pas de raison pour que le point de contact de la sphère et du plan tombe sur l'une de ces i'x ligues, d'un décimètre de longueur, plutôt que sur l'autre; dailleurs il est évident que la probabilité de chute, SUT U longueur totale, est la somme des probabilités de chute sur chacune des longueurs partielles.

Le même fait peut être présenté sous un autre as-*

pect. Supposons qu'on prenne sur la droite AB, de

part et d'autre du point I, deux points voisins I\ I , çt

qu'on mène par ces points les perpendiculaires IV, I / :

la probabilité que le point de contact de la sphère et

du plan tombera dans l'intérieur du trapèze curviligne

Ï^Viî^f ou la probabilité que la distance du point de

contact à la ligne OY tombera entre les valeurs 01 ,

or, l'une un peu plus petite que 01, l'autre un peu

plus grande, est évidemment exprimée par le rapport

de Taire de ce trapèze à l'aire totale ABbhia. De même,

la probabilité que la distance tombera entre les valeurs

OH^, OH', l'une un peu plus petite que OH, l'autre ua

peu plus grande, est exprimée par le rapport de l'aire

du trapèze HlV/ik^ à l'aire totale. Ces deux fractions

décroîtront toutes deux au-dessous de toute limite, si

les longueurs 11^, H' décroissent indéfiniment, et qu'en

même temps les longueurs HH^, HH', supposées égales

aux précédentes, décroissent aussi indéfiniment. Mais,

tandis que les deux fractions décroissent au-dessous de

toute limite, leur rapport tend manifestement vers une

limite fixe qui est le rapport de la perpendiculaire 1/ à

la perpendiculaire Kh.

65. En général, quelles que soient les conditions du hasard qui assigne à une certaine grandeur .r l'une des valeurs, en nombre infini, comprises entre deux limites û, è, on peut assimiler ce hasard à celui dont il vient d'être question, en tirant deux lignes droites perpendiculaires OX, OY; en prenant sur la preiriière droite deux longueurs Ok=zaj OB = é, et en traçant convenablement la courbe aikb. Celte courbe se trouve ^ors représenter la loi de probabilité des diverses valeurs de la viiMble Xj comprises entre a et b. Le rap-

port de la longueur d'une perpendiculaire 1/ à une autre perpendiculaire quelconque HA, est le rapport de la probabilité infiniment petite que x prendra précisément la valeur 01 , à la probabilité infiniment petite que X prendra précisément la valeur OH. Dans le langage mathématique , les droites 01, OH se nomment les abscisses et les droites K, HA se nomment les ordori' nées des points /, h; les droites OX, OY s'appellent les axes des coordonnées. Tandis que l'abscisse, dans ce système de construction imaginé par Descartes, représente une quantité variable à ses divers états de grandeur, l'ordonnée représente la valeur correspondante d'une autre quantité qui dépend de la première , ou qui est, comme disent les ^éomhives j fonction de la première. Pour abréger^ nous appellerons courbe de proba^ bilité la courbe qui est propre à représenter la loi de probabilité des diverses valeurs d'une grandeur variable, à l'aide des conventions que l'on vient d'expliquer, et qui rentrent d'ailleurs dans celles dont nous avons déjà fait usage [3i].

66. La courbe de probabilité s'étendrait à l'infini, dans le sens OX (j^. 7), si, par exemple, toutes les valeurs de la grandeur Xj depuis zéro jusqu'à l'infini, étaient rigoureusement possibles. Mais alors , pour que la question de probabilité eût un sens, il faudrait que l'aire totale comprise entre la droite Oo, l'axe OX et la. courbe ob^ prolongée jusqu'à l'infini , conservât une va^ leur finie , afin que le rapport d'une portion finie d^ cette aire à l'aire totale conservât de même une valeur* finie. En d'autres termes, il faudrait que la valeur d^ Taire OBéo, au lieu de croître au delà de toute limita quand l'ordonnée Bé avance de plus en plus dans 1^

fi

DES LOIS DE PROBÂ.BILITE. 117

sens 0X9 tendît vers une limite finie et assignable. Ceci suppose que l'ordonnée Bé décroît au-dessous de toute limite; mais cette dernière condition ne suffirait pas pour assurer l'existence de la première, au moins dans l'ordre des conceptions abstraites et purement mathématiques. Dans la réalité physique, il arrive toujours que , pour de certaines valeurs de OB, l'ordonnée Bé devient si petite qu'on peut négliger sans erreur appréciable la portion de l'aire totale située au delà de l'ordonnée B^. Les valeurs plus grandes que OB, quoique rigoureusement possibles, deviennent si rares qu'on peut se dispenser d'en tenir compte; et quoiqu'on ne puisse assigner de limites précises aux valeurs de OB, il- y a des valeurs si grandes qu'elles ne se sont jamais présentées, et qu'on doit regarder comme physiquement impossible qu'elles se présentent jamais. Ainsi, la probabilité de vivre un âge donné, fût-ce 1 10, 1 20, i3o ans, n'est pas rigoureusement nulle, car il y a des exemples d'hommes qui ont dépassé cet âge. Probablement même il n'existe pas de conditions mathématiques, ou d'une rigueur équipollente à la rigueur mathématique, qui déterminent une limite d'âge absolument infranchissable. Mais néanmoins, dans toutes les questions qui sont du ressort du calcul des probabilités, ^jl est très-permis de traiter coînme nulle la probabilité de vivre i lo ans ou plus ; et l'on peut bien'regarder comme certain qu'on n'aura jamais d'exemple d'une longévité de deux siècles.

La courbe de probabilité peut s'étendre à l'infini dans les deux sens , comme l'indique la Jig. 8, lorsque b grandeur est susceptible de prendre fortuitement des valeurs négatives OA, aussi bien que des valeurs positives OB. Nous supposons que le lecteur sait ce qu'on

entend en mathématiques par valeurs positives et négatives; et dans le cas contraire il suffira dé lui indiquer la comparaison vulgaire des bénéfices et des pertes. SI OB représente la valeur fortuite du bénéfice d'un joueur, OA représentera la valeur fortuite d'une perte; et l'on sent bien que l'on peut passer sans discontinuité, des chances qui donnent au joueur un très-petit bénéfice, à celles qui lui occasionnent une très-petite perte. Cette continuité est représentée par la continuité du tracé de la courbe, de part et d'autre de l'axe OY. Dans le cas qui nous occupe, il faut que l'aire comprise entre la courbe et l'axe X'X, prolongé à l'infini dans les deux sens , demeure une quantité finie.

67. Imaginons qu'après avoir tracé la courbe de probabilité ab (Jig. 9), on partage l'intervalle AB des valeurs extrêmes en i parties égales AA,, A^Aa, etc., et qu'on mène les ordonnées équidistantes A,^^, k^a^^ etc. Appelons il l'aire totale ABèa, et w,, w^, etc., lés aires partielles Kk^a^a^ k^k^a^a^^ etc. : le quotient

û), X O A, + (t>, X OA, + etc.

se rapproche déplus en plus, quand on prend le nombre / de plus en plus grand, d'une certaine valeur fixe M, représentée par une ligne OG, comprise entre OA et OB. La valeur M, définie de la sorte, est la moyenne de toutes les valeurs que peut prendre fortuitement la grandeur Xy entre les limites OA, OB: chaque valeur particulière étant censée contribuer, en raison de sa probabilité propre, à la formation de la moyenne M. Cette moyenne M doit coïncider sensiblement avec la moyenne arithmétique des valeurs particulières fournies par un très-

grand nombre d'épreuves fortuites. Partageons en effet la gërie totale des valeurs particulières, au nombre de Î7, en i séries partielles : la première formée des valeurs , en nombre n^^ qui tombent entre OA et OA, ; la seconde formée des valeurs, en nombre /i,, qui tombent entre OA, et OA, ; et ainsi de suite. A cause de la petitesse des différences AA,, AjA,, etc., la moyenne {& de la série totale sera sensiblement égale à

j^.OA,+j|.OA, + etc.

D'un autre côté, à cause que chaque série partielle est censée contenir un très-grand nombre de valeurs particulières y on a sensiblement

Donc, la valeur fixe dont se rapproche de plus en plus la moyenne (jl , quand les nombres /, aï,, «„ etc., et à plus forte raison le nombre N, croissent de plus en pluà, n'est autre que la grandeur M définie ci-dessus, et représentée par la ligne OG.

D'après les notions élémentaires de la statique, si Taire k&ba était l'une des faces d'une plaque pesante , d'épaisseur et de densité uniformes, le centré de gravité de la plaque se trouverait sur l'ordonnée Gl^* %\ la ligne AB représentait une barre pesante, d'épaisseur uniforme, mais dotit la densité, pour chaque tranche^ varierait comme l'ordonnée de la courbe ah y le pômi (î serait le centre de gravité de la barre.

68. Soit OI Une abscisse tellement choisie que l'ordonnée correspondante 1/ partage l'aire iôtale H en deux parties égales : la valeur 01 est ce qUe iiôtifs appellerons

la valeur médiane de la grandeur x. Deux joueurà dont l'un parierait que x sera inférieure à OI, l'autre qu'elle surpassera OI, parieraient à chances égales. Sur un très-grand nombre de valeurs de x^ déterminées fortuitement, le quotient du nombre des valeurs plus grandes (ou plus petites) que OI, par le nombre total des

épreuves, ne différerait que très-peu de la fraction -.

Les auteurs ont été jusqu'ici dans l'usage de donner à cette valeur médiane le nom de valeur probable , mais fort improprement, ainsi qu'on l'a déjà remarqué [34]. En général, cette valeur n'est pas celle à laquelle correspond l'ordonnée maximum de la courbe ab^ et ainsi elle ne peut pas être considérée comme plus probable que les autres. Rien n'empêche qu'elle corresponde à l'ordonnée minimum de la courbe, ou même à une ordonnée nulle,. auquel cas la valeur médiane cesserait d'être l'une des valeurs , en nombre infini , que peut amener la détermination fortuite de la grandeur x.

Quand l'ordonnée de la courbe va constamment eu croissant de A en B, la valeur médiane surpasse la valeur moyenne; le contraire a lieu quand l'ordonnée va constamment en décroissant de A en B.

Si la courbe est symétrique par rapport à une certaine ordonnée 6^ (^^. 10), les valeurs moyenne et médiane se confondent avec l'abscisse OG, qui est la demi-somme des abscisses extrêmes , et à laquelle correspond aussi , communément, la plus grande ou la plus petite valeur de l'ordoniiée.

69. On n'a pas de peine à comprendre que, selon la distance des limites entre lesquelles oscille la grandeur fortuite , et selon la forme de la courbe qui représente

la loi de probabilité des diverses valeurs, la valeur moyenne (jl, déterminée par un grand nombre d'épreuves, doit tendre avec plus ou moins de rapidité vers la moyenne absolue M, définie au n** 67 ; de manière qu'il faudra, selon les cas, un nombre d'épreuves plus ou moins grand, pour obtenir une probabilité donnée que les anomalies du hasard ne produiront qu'un écart compris entre des limites assignées. Nous appellerons module de coriifergence , ou simplement module y le nombre qui mesure, dans chaque cas particulier, la rapidité avec laquelle les moyennes données par les épreuves convergent vers la moyenne absolue. La valeur de ce module s'obtient à priori y par les règles du calcul intégral, quand on a assigné la forme de la fonction ou de la courbe qui représente la loi de probabilité.

Désignons par g le module, par m le nombre des épreuves, par P la probabilité que la moyenne \l tirée de ces w épreuves ne s'écartera pas de la moj^nne absolue M, en plus ou en moins, d'une quantité plus grande que /: pour de grandes valeurs du nombre /w, la valeur de P dépendra uniquement de celle du nombre

t=,lg\/ms (L)

cle sorte que, si ce nombre t reste le même (les nomires /, m et g dont il dépend venant à varier), la pro- I)abilité P ne variera pas non plus. P est d'ailleurs la ïxiême fonction de i dont il a été question au n^ 33, et dont nous donnons une table. Pour des valeurs déterïninées de g et de /w, la valeur de / qui correspond à

<f=o,476937, et à P = -, sera ce que nous nommons

Ravaleur médiane de l'écart; une valeur sensiblement

122 OBtAPlTAÉ VI. .

20 ooô'

sextuple, correspondant à ^ = 2,87, et à P =

pourra être considérée comme une limite extrême de l'écart.

Le module de convergence restant le même, la litnite d'écart , pour les mêmes valeurs de P, variera en raison inverse de la racine carrée du nombre des épreuves. Ce dernier nombre restant le même, la limite d'écart variera en raison inverse du module (').

(') Soient a, b les limites inférieure et supérieure des valeurs possibles de x^fx la fonction qui exprime la loi de possibilité des diverses valeurs possibles : on a, en désignant par g le module de convergence.

La fonction^ est nécessairement assujettie à la condition

pjxdx^x.

Les trois intégrales

1 fxdx, J xfxdxy j x'^fxdx (i)

expriment respectivement : i® Taire de la courbe dont Tordonnéc représente la loi de probabilité, 1^ la valeur moyenne M de la variable j?, 3* la valeur moyenne du carré de cette variable;

de sorte que le carré de - est égal au double de l'excès de la

S valeur moyenne du carré sur le carré de la valeur moyenne. * On a encore

^ = A /*(« — x'Yfxfx'dxdaf ;

ce qui signifie que le carré -^ est égal à la moyenne de toutes les yalëttrs, en nombre infini, que peut prendre le carré de ladif"-

DES LOIS DE PROBABTLmâ. 128

70. I*' exemple. Des points sont répartis au hasard sur une ligne droite d'un mètre de longueur, comme

férence entre deux valeurs assignées fortuitement à la variable if, selon la loi de probabilité de cette variable.

Si la grandeur .r, au lieu de pouvoir prendre toutes les valeurs, en nombre infini, comprises entre a et b^ ne comportait qu'un nombre fini de valeurs distinctes

ayant respectivement pour probabilités

Pi9 P^i P39" -Pnf

les intégrales qui entrent dans l'expression de g $é trouveraient remplacées par des sommes , et il viendrait

OU bien, en posant pxX^ 4-/?a^a+- • .+/?ji^n=M,

^~PSÏ/.,(*,— M)»+/>,(*.-M)'+..-+M*»-M)^]' ou bien enfin

V^^lp.p^^x.—x^y-^p.p^ix^—x^y-i h/'a/'îC^a— J?3)*4-elc.]

Il est facile de voir que cette valeur de g atteindra son minimum^ tiTon pose

Xizzi a y Xn zz: b ,

/7iZ=-, p^=zo, />5 =:o,.../>»x=r6, />„=-,

auquel cas on a

^w plus simplement g' = v/2, en prenant pour unité l'intervalle ^cs limites entre lesquelles la grandeur x est susceptible d'osciller Muitement. Le coefficient de li/m, dans l'équation (/) du n**33,

dans l'hypothèse du n° i4, où Ton suppose que ce sont les points de contact d'une bande de billard et d'une

a aussi pour valeur minimum v'â, correspondant à* /? = --. En

conséquence , si Ton détermine fortuitement un grand nombre m de valeurs particulières; qu'on en prenne la moyenne (jl; qu'on décompose cette série en deux séries partielles, l'une formée des n valeurs inférieures à la valeur médiane, l'autre formée des m — n valeurs qui surpassent la valeur médiane, les deux écarts

oscilleront fortuitement , avec la même probabilité P, entre des limites inégalement resserrées. L'intervalle des limites du premier écart surpassera toujours l'intervalle des limites du second.

Il est d'ailleurs évident que la valeur de g ne comporte pas de maximum.

Quand l'une des limites a, b^ ou toutes deux deviennent infinies, la seconde intégrale (/) peut devenir infinie, quoique la première continue de se réduire à l'unité; et alors il n'y a plus, à proprement parler, de moyenne absolue M, vers laquelle puisse converger la moyenne [x , pour des valeurs de w , de plus en plus grandes. Si les deux premières intégrales (i) conservaient une valeur finie, la troisième pourrait encore prendre une valeur infinie; et alors il n'y aurait plus , à proprement parler, de module de convergence. Nous n'insisterons pas davantage ici sur les divers cas singuliers qui peuvent se présenter dans l'application des formules.

On a généralement

pour la probabilité que l'écart M — (jl tombera entre les limites ±: /, déterminées par l'équation (L). Cette formule est démontrée dans les traités mathématiques , et réputée exacte aux quantités

près de l'ordre — ; mais en réalité elle donne une approximation

DES LOIS DE PRO^iLBILITE. 125

bille lancée au hasard , sans qu'il y ait de raison pour que la bille vienne frapper la bande plutôt en un point qu'en un autre, La distance du point de contact à l'une des extrémités de la droite est une grandeur qui peut prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre o et I*; la probabilité reste constante d'une valeur à l'autre 9 et la courbe de probabilité devient une ligne droite pa];!$llèle à l'axe des abscisses. La valeur moyenne,

bien plus grande. Pour le faire voir sur un exemple numérique, supposons toutes les valeurs de x également probables : la valeur de P aura pour expression exacte

(ma)"» {ma. — i)"» -| ^ (ma. — a/» — etc.

■ — (iwP)"» + - (mP — i)"* ^^ («P — a)'«-i- etc.

en posant , pour simplifier l'écriture,

et en ayant soin d'arrêter chaque série, lorsque les nombres entre parenthèses cessent d'être positifs. Faisons b — « = i, M =o,5, i=:o,i, et prenons seulement /w = io : cette expression deviendra

~\/l = Oy

Pour les mêmes valeurs numériques on a t=. y/ - = 0,7746,

etnotre table donne pour la valeur correspondante de P:o,7266... ï-a différence tombe au-dessous de i5 millièmes; tandis qu'on aurait lieu de craindre, en se tenant dans les termes rigoureux ^ela démonstration usitée, qu'elle ne s'élevât à un ou à plusieurs dixièmes, ce qui rendrait la formule d'approximation illusoire. ^^ peut tenir pour certain que l'erreur serait tout à fait négligeable si l'on prenait 171 := xoo.

qui se confond dans ce cas avec la valeur médiane , est

- mètre; on trouve pour le module de convergence

1/6 = 2,4495. En conséquence, pour une série de 1000 épreuves, la valeur médiane de Técart devient o"*, 006 169, ou un peu plus de 6 millimètres. Il y a ao 000 à parier contre un, que l'écart ne s'élèvera pas à 36 millimètres. On réduirait ces limites d'écart à nioitië en embrassant une série de 4 000 épreuves.

a' exemple. Des points sont disséminés au hasard sur la surface d'un cercle d'un mètre de rayon, comme dans l'hypothèse indiquée au n® 16. La distance d'un point au centre du cercle est une grandeur qui peut encore prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre o et 1"*; mais ces valeurs sont inégalement probables. La probabilité croît, d'une valeur à l'autre, proportionnellement à la distance du point au centre du cercle. La courbe de probabilité se change en une ligne droite, non plus parallèle à Taxe des abscisses, mais passant par l'origine O, et faisant avec cet axe un angle qui a le nombre 2 pour tangente trigonométrique.

La valeur moyenne est - de mètre ou o'",6666. . . .,

et la valeur médiane qui doit la surpasser [68] est

— ::: zzz: o'",707 1 . . . . On trouvc pour la valeur du mo-

dule le nombre entier 3 : en conséquence les limites d'écart qui se rapportaient au précédent exemple, seront réduites, à peu près dans le rapport de 3oo à ^45. y 3* exemple. Des points sont disséminés au hasard

dans l'espace enfermé par une surface sphérique d'un mètre de rayon. La distance d'un point au centre de

DES LO|$ DE PEQBAI^ILITIÉ. 127

ia surfaee d'enceinte est toujours une grandeur qi4 peut prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre zéro et i*. La probabilité de la valeur x est proportionnelle à l'aire d'une surface sphérique, concen-* trique à la surface d'enceinte, et dont le rayon est x; elle est donc proportionnelle au carré de x. La courbe de probabilité devient une parabole, qui a le point O

pour sommet, l'axe OY pour grand axe, et dont le foyer

est ^ -7 de mètre du sommet. On a pour valeur moyenne

- de mètre ou o",75, et pour valeur médiane ^7=^

=o'",7937. La valeur du module est -1/30 = 3,5683 :

conséquemment les limites d'écart , relatives au premier exemple , se trouvent réduites, environ dans le rapport de 35^ à a45, un peu moins que dans le rapport de 3 à 2.

71.4* exemple. Concevons qu'on ait un globe sur lequel, comme sur un globe terrestre ou céleste, on ait tracé des pôles, un équateur, des cercles de longitude et de latitude; qu'on lance ce globe au hasard, et qu'après chaque jet on marque soigneusement son point de con-? tact avec le sol, lorsqu'il est parvenu au repos. Chacun cle ces points aura une longitude et une latitude : la première pourra varier de o à 36o°; et si la nature de la question conduit à faire abstraction du signe de la latitude, comme nous le supposerons ici, la latitude sera une grandeur susceptible de varier fortuitement entre o et 90°. Si Ton admet que le globe soit bien sphérique et homogène , de sorte qu'il n'y ftit aucune raison f PUT qu'il se fi&e sur certaines régiaps de la surface de

préférence à d'autres, chaque valeur de la longitude sera également probable, et l'on aura pour la moyenne i8o®. La valeur du module sera la même que dans le premier exemple, pourvu qu'on prenne la circonférence pour unité. Conséquemment , si l'on embrasse une série de looo épreuves, la valeur médiane de l'écart deviendra

Seo"". 0,006 i59 = a°i3'2",o64.

Il faudrait embrasser plus de 4 000 épreuves pour la réduire à 1°.

Les choses se passent autrement en ce qui concerne les latitudes. Chaque valeur de la latitude, de o à 90°, est d'autant moins probable qu'elle approche davantage de 90°, ou que le point se rapproche davantage de l'un des pôles; car deux cercles de latitude très- voisins, correspondant par exemple à une différence de latitude d'une minute, circonscrivent à la surface de la sphère une zone dont l'aire est proportionn^elle au cosinus de la latitude. La valeur moyenne de la latitude est le complément de l'arc qui a même longueur que le rayon, ou 82° 4^' i4">4« La valeur médiane, plus petite dans ce cas que la valeur moyenne [68], est 3o^, ou l'arc dont le sinus a pour longueur la moitié du rayon. La valeur du module est 2,9518, pourvu qu'on prenne pour unité le quart de la circonférence, ou la distance des limites entre lesquelles la latitude peut osciller. D'après cela, si l'on embrasse une série de looo épreuves, il viendra, pour valeur médiane de l'écart,

90*^.0,006 iii = o°27'35",964.

Les limites d'écart, comparées à celles que l'on trouvait pour les moyennes des longitudes , se trouvent réduites,

non-seulement à cause que chaque valeur particulière ne varie que dans un intervalle quatre fois moindre, mais encore par suite de raccroissement du madule de convergence.

72. Il est bien facile d'assigner à ces résultats du calcul une raison géométrique très-simple. Eu effet , lorsqu'un point éprouve sur un plan ou dans l'espace un déplacement mesuré par une certaine ligne droite z, sa distance à un point fixe varie d'une quantité moindre que Zf excepté quand il se déplace précisément dans le sens d'un rayon du cercle ou de la sphère qui a pour centre ce point fixe. D'où il suit qu'en général l'influence des inégalités fortuites dans la distribution des points , sur la moyenne des distances au point fixe, doit être atténuée lorsque l'on passe de la dissémination en ligne droite à la dissémination sur un plan , et de celle-ci à la dissémination dans l'espace. De même , dans l'exemple du numéro précédent , plus on se rapproche des pôles de la sphère, plus il peut arriver facilement que de légers déplacements des points altèrent beaucoup les longitudes, sans influer sur les latitudes d'une manière notable. Mais le calcul est indispensable pour mesurer avec précision les effets dont on a ainsi entrevu la raison géométrique.

73. Il se peut qu'une certaine grandeur u ait une liaison connue avec la grandeur x^ à laquelle une suite d'épreuves assigne fortuitement une série de valeurs distinctes. Alors la grandeur u pourra aussi être considérée comme recevant indirectement autant de déterminations fortuites. Eu vertu de la liaison connue entre a et ^ , on conclura la loi de probabilité

de a, de la loi de probabilité de jc; on connaîtra les li-

130 CHAPITRE YI.

mités entre lesquelles oscille la grandeur u , ses valeurs moyenne et médiane, lé modulé de convergence qui lui est propre. Selon que ce module aura une valeur supé-> rieure ou inférieure à celle du module trouvé pour la grandeur Xy l'influence des anomalies du hasard sur l'écart entre la moyenne absolue , et la moyenne don-* née par une série d'épreuves fortuites, aura été atténuée ou amplifiée , dans le passage de la grandeur x à la fonction u qui en dépend.

Si les variations de u sont proportionnelles à celles de a:, ou si 2^ est de la fonpe b + cx^ la valeur ^ moyenne de u correspond à la valeur moyenne de x; mais il n'eb est plus ainsi en général. Posons , par exemple , u-=:x^ : la valeur moyenne de u ou de x^ surpassera toujours le carré de la valeur moyenne de x; et c'est précisément de la différence entre ces deux gradideurs que dépend la grandeur du module de convergence pour la variable x [69, ru)té\. Au contraire , pourvu que la fonction u aille toujours en croissant avec x^ la valeur médiane de la fonction u correspond nécessairement à la valeur médiane de x.

74. S'il arrivait que la fonction u dépendît , suivant une loi connue, de plusieurs grandeurs x^j, z, etc., dont chacune reçoit, dans la même épreuve et indépendamment des autres, une détermination fortuite, on conclurait encore la loi de probabilité de la graudeur a, des lois de probabilité propres à chacune des grandeurs indépendantes x^jr, 2, etc. On déterminerait aussi, quoique moins simplement que tout à l'heure, les limites entre lesquelles elle oscille, et l'on assignerait le module dé êoiivergencé qui lui est propre.

Dftiiii te (MToblème du n^ i4» la fonction u serait la

différence (prise abstraction faite du signe) entre deux grandeurs x eX, j qui reçoivent chacune , pour chaque épreuve , ou pour chaque couple d'épreuves que l'on associe, une détermination fortuite. Chacune des grandeurs X et Y pouvant recevoir indifTéreinment toutes les valeurs comprises entre zéro et l'unité, la fonction u est pareillement susceptible d'atijuérir toutes les valeurs comprises entre o et i ; mais ces valeurs ne sont pas toutes également probables. Si l'on trace le carré OACB ( fig. Il) dont les côtés sont égaux à l'unité , chaque point, tel qUe /w, compris dans l'intérieur du carré ou sur Son périmètre, aura des coordonnées mp=.x^ mq '==-y^ respectivement comprises entre o et i ; et à chacun de ces points, en nombre infini, correspondra Tune des hypothèses, également probables, que l'on peut faire sur le système des valeurs fortuites de x et de^. Prenons

ÔP=:OQ=a, AQ'=AP, BF=BQ!

tous les points du carré pour lesquels la fonction u acquiert la valeur particulière «, seront situés sur l'une des cleux droites égales et parallèles PQ', QP'; d'où il suit c[ue la probabilité, pour la fonction Uy d'acquérir une valeur particulière a^ comprise entre zéro et 1 unité, ^st proportionnelle aux longueurs des droites PQ', QP', ou proportionnelle à i — «.En conséquence u a pour

valeur médiane 0,29018 , pour valeur moyenne ^,

€t pour module le nombre entier 3 [70].

La probabilité que la valeur fortuite de u ne tombera pas au-dessous de a, est égale au r'apport de la somme ies aires des triangles rectangles APQ','BQP'> à l'aire

Iâ2 CHAPITRK VI.

du carré, ou égale à (i — a)*. Si Ton fait « = o,3> cette probabilité devient o,49? comme on l'a annoncé au

Supposons maintenant que les grandeurs x etjy puissent toujours recevoir toutes les valeurs comprises entre zéro et l'unité , mais quj^es valeurs ne soient plus également probables ; que leurs probabilités soient , par exemple, comme dans la question géométrique du n^ 16, respectivement proportionnelles à i — a:, i — jy : on imaginera que le carré OACB est une plaque pesante dont la densité, en chaque point tel que w, est proportionnelle au produit de la probabilité de la valeur x de l'abscisse par la probabilité de la valeur jr de l'ordonnée, c'est-à-dire au produit (1 — x) (i — j-). Le rapport de la somme des poids des triangles APQ', BQP' au poids du carré est la probabilité que la valeur fortuite de u ne tombera pas au-dessous de a. On trouve pour ce rapport, par les règles du calcul intégral,

ce qui donne 0,8773 pour a = o,3.

Considérons encore le cas où la fonction u serait la somme des deux grandeurs x et jy, susceptibles de prendre indifféremment toutes les valeurs comprises entre zéro et l'unité ; u pourra prendre toutes les valeurs comprises entre zéro et deux, mais ces valeurs seront inégalement probables. Après qu'on aura tracé, comme dans le cas précédent , le carré OACB {jfig. 1 2), et pris OP = OQ = a, tous les points du carré pour lesquels la fonction u acquiert la valeur particulière a, seront situés sur la ligne PQ, dont la longueur se trouvera proportion-

nclle à. la probabilité, pour la fonction e^., d'acquérir cette valeur particulière; du moins, tant que a restera plus petit que l'unité , ou plus petit que le côté OÂGB. .Quand a surpasse l'unité, ou quand les points P, Q sont situés respectivement au delà des points A, B , la probabilité de la valeur a devient proportionnelle, non plus à la longueur PQ , mais à la longueur P'Q' de la portion de la droite PQ interceptée par les deux autres côtés du carré. En conséquence , la fonction qui mesure la probabilité de chaque valeur de u^ sera égale à u^ pour les valeurs de u comprises entre o et i, et à 2 — u pour les valeurs de u comprises entre i et 2. Cette fonction éprouvera, pour la valeur m=i, ce que nous avons appelé ailleurs une solution de continuité du second ordre; et elle sera représentée {fig. i3) par l'ordonnée d'une ligne brisée G^B , formée des deux côtés égaux d'un triangle isoscèle rectangle en g-, dont la hauteur G^ est égale à l'unité, et la base double de la hauteur.

On trouve d'après cela, pour la valeur du module de convergence propre à la fonction w=zX'\-y^ le nombre J/s. Le module, pour chacune des grandeurs .r et ^ a été trouvé [70] égal à J/6 : conséquemment il fau^ dra accroître, dans le rapport de {/"% à i, les limites d'écart propres aux grandeurs x et^, pour avoirles limites d'écart qui se rapportent à la fonction u. U s'en faut de beaucoup que les limites d'écart soient doublées dans le passage des grandeurs dc^y à la fonction u^ quoique les valeurs de u oscillent dans un intervalle double de celui qui sépare les valeurs extrêmes de x et celles dejr.

Des constructions dans l'espace, analogues à celles que nous venons de faire sur un plan , serviraient à re-

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soudre les questions que l'on peut se proposer sur la loi de probabilité des valeurs d'une fonction u de trois variables :r,jr, z, susceptibles d'acquérir fortuitement et indépendaniment les unes des autres ^ des valeurs dont les lois de probabilités sont données.

En général , si u est . une fonction linéaire d'un nombre quelconque de variables, ûc^j-, z^etc.^ c'est-à-dire tme fonction de la forme

u=zb+c,x+cj'+c^z + etc.,

A,Cx,Ca, etc., désignant des nombres constants, positift ou négatifs, la valeur moyenne de la fonction coïncide avec celle qu'on obtiendrait en substituant pour o:,^, «, etc., leurs valeurs moyennes; de sorte que, si l'on désigne par M, Mx, M,, M3, etc., les valeurs moyennes des quantités i/, ^, ^, J3, etc., ces valeurs moyennes se trouveront liées par l'équation

]\I=A + c,M, +c,M, +C3M3 +etc.

Quand la fonction u cesse d'être linéaire, sa valeur moyenne cesse en général de coïncider avec la valeur qu'on obtiendrait en substituant pour ^,^, 2, etc., leura valeurs moyennes, dans l'expression de u en o", jr, 2, ete. C'est ce qqe nous avons remarqué dans le numéro pré*' cèdent , à propos des fonctions d'une seule variable. Lie cas des fonctions linéaires méritait toutefois une attention spéciale , parce qu'on peut ramener artificiellement des fonctions quelconques à être linéaires, toutes Jàv fois que les quantités dont elles dépendent ne compoiv tent que des variations très-petites , ainsi que cela se démontre en mathématiques pures.

DE LA VARUBIUrii «if CHAITCES. 18$