DE LA VARIABILITE DÈS CHANGES

habilité de trier l'urne dans la première série est égale

à — ; celle d'extraire ensuite une boule blanche de Fume n

prise dans cette série, est égale à /^^ j donc -^'fx est la

prohabilité de révénement composé j consistant dans la désignation par le sort d'une urne de la première série, et dans l'extraction d'une boule blanche de l'urne désignée. Donc la probabilité d'extraire une boule blanche de l'une quelconque des urnes a pour valeur

'ïîPx + '*»/>> + etc. /i,Pt +'ï«Pa + etc. .

'^ n n,+n, + etc.

ou, en d'autres termes, elle est la moyenne arithmétique [67] des probabilités du même événement, pour chaque urne en particulier. Cette probabilité ne changera pas d'une épreuve à l'autre si, après cha-* que épreuve, la boule extraite est remise dans Turne de tirage, et celle-ci replacée au hasard parmi les autres urnes, de manière que le tirage subséquent ait lieu dans les mêmes conditions. Donc il n'y a rien de changé dans ce cas aux lois de la probabilité, telles que nous les avons exposées jusqu'ici : il sufHt de concevoir que la fraction /?, au lieu de désigner une quantité constante pour la même urne , désigne une moyenne entre des probabilités qui varient d'une urne à une autre.

77. Ceci nous donnera pourtant lieu de faire une remarque utile. On a vu au n° 33 que , pour le même nombre d'épreuves , et pour la même probabilité P que l'écart fortuit^? — tJsera compris entre les limites zt /, la valeur de /varie en raison directe de la racine carrée du produit /> ( i — /?), du moins quand le nombre m

138 OHàPitPRB VII.

des épreuves est au moins de l'ordre des centaines, hy« pothèse à laquelle nous nous sommes attachés jqsqu'ioi. à cause de la simplification qu'elle apporte dans les oalculs et dans l'exposé de la théorie. Faisop$, povMT p]H§ de commodité,

nous aurops

p{i—p)={k,p, +*,/>,-!- etc.) (i— *,px~*a/>a— «te).

Si l'on développe le second membre ^e cette éqiiation, ■ et qu'on y reirtplace k\ par

*i(i— ^a — *s — etc);

si Ton fait de plus une substitution analogue pour chacun des carrés A-^ , kl, etc. , l'équation deviendra

P{^ — jP)^ *x/^i(ï-^/'x) + ^^P^i^—P^) + etc. . -H *A(/?i— J»a)*+*A(/?i— /?3)'+etc.

^ * Ceci uous montre qu'on a toujours

p{i -^p) > Kpli —pr) + KpJ^i — p,) + etc. , (i)

ou que la valeur du produit ^ (i — /?), pour la valeur moyenne p, surpasse toujours la moyenne des valeurs du même produit, pour chaque urne en particulier. De plus, en vertu du principe que la moyenne des carrés surpasse toujours le carré de la valeur moyenne [78], on a cette autre inégalité, facile d'ailleurs à vérifier,

k.pli —p,) + A-,/?.(i •—/?,) + etc.