DE LA VARIABILITE DES CHAI^GES

Donc, àjhrtiori^

p{i —p) > {K KPx(i— /^,) + K KpZÎ— )Ô +etc.)% ou bien^ en extrayant les racines de part et d'autre,

Si D0U3 désignons par /„ /,, etc, ce que devient /, pour le3 mêmes valeurs de //s et de P, cjuand on rem- .^ place p successivement par p^^ p^j etc., l'inégalité pré- *^ cédente équivaudra à . r-

l> kjlt+ Kh-^ etc. **

'£i) conséquence nous pouvons affirmer que la grandeur de k limite /, qui mesure l'influence des anomalie^ du hasard , surpasse la moyenne des valeurs Aj 4>^tc., qu'on obtiendrait pour cette limite, en faisant un même nombre d'épreuves avec chaque urne employée. Il est même possible que / surpasse la plus grande des quantités /,, /„ etc.

78. Supposons en second lieu que le triage des urnes ne se fasse plus fortuitement; mais que, dans m^ épreuves, des causes non fortuites aient fait prendre une urne parmi celles de la série pour laquelle la probabilité d'ameper une boule blanche est/^^; que, dans m^ épreuves, des causes de même nature aient fait prendre une urne parmi celles pour lesquelles la probabilité du même événement est p^\ et ainsi de suite. Le nombre total des épreuves étant toujours

l?j::^7», + W, + etc. ,

1« ealeul fait voir que le rapport %i du nombre des boules

blanches extraites ^ au nombre m des tirages , converge vers la valeur

P = — ./?x H .Pa + etc., (a)

ou vers la moyenne des probabilités de l'extraction d'une boule blanche , pour chacune des urnes employées. On a la probabilité P que l'écart y? — xJ sera compris entre les limites di / : le nombre / étant lié au nombre t [33], et par suite à la probabilité P^ au moyen de la formule

Ces conséquences subsistent, pourvu que m désigne' un nombre suffisamment grand, et (ce qu'il est trèsimportant de remarquer) quand bien même les nombres m^y /7Z,, etc., dont la son[ime compose le grand nombre m, seraient chacun de petits nombres, ou même se réduiraient à l'unité : la compensation des anomalies du hasard, au lieu de s'opérer dans chaque série partielle , s'opérant alors entre les nombreuses séries partielles dont l'agglomération compose la série totale.

pP Admettons pour un moment que les nombres m, /w„

/w„etc., soient proportionnels aux nombres rij /i„ /^„ etc., dont il était question dans l'hypothèse des n°* 76 et 77 : on aura

— .p,{i — /?,) + - .p,{i — /7,) + etc.

= ^^P^{l —Pz) -h Kpll — /?a) + etC. J

et par conséquent l'inégalité (i) indique que, pour une

]>£ Là VARIABILITJÉ DES GHAI^CES. I4l

même valeur de m^ les anomalies du hasard seront resserrées entre des limites plus étroites , dans Thypothèse actuelle , que dans celle que nous avions faite en premier lieu. Ceci peut se prévoir sans calcul. En effets dans l'hypothèse du triage fortuit^ à mesure qu'on augmente le nombre 7/2 des épreuves, il arrive ^ d'une part, que les nc^bres (jt.., (x», etc., des urnes triées au hasard dans la première série, dans la seconde, etc., tendent à devenir respectivement proportionnels aux nombres /^I, n^ , etc.; et en second lieu, que le rapport tzJ converge vers la valeur/?, définie par l'équation (a). Donc, on He pourra ' qu'atténuer l'influence des anomalies du hasard, si, par une cause quelconque, dirigeant les triages , on rend les nombres (jl., (jl,, etc., égaux aux nombres m^^ //2„ etc., c'est-à-dire, par supposition, rigoureusement proportionnels aux nombres n^^ /^2, etc.

Dans l'hypothèse du triage fortuit, le rapport ri qui converge vers la valeur

w,jp, + n,jp, + etc.

ou vers la moyenne des valeurs de la probabilité d'extraction d'une boule blanche, pour toutes les urnes entre lesquelles a eu lieu le triage fortuit , converge aussi vers la valeur

oa vers la moyenne des valeurs de la probabilité d'extraction d'une boule blanche , pour les m urnes effectivement employées dans l'opération des tirages. Quand ïïi croît de plus en plus , ces deux moyennes tendent à se confondre , mais elles ne coïncident jamais rigoureu-

sèment. Le bon sens indique que l'écart fortuit entre le rapport xj et la «econde moyenne doit osciller (avec la même probabilité) entre des limites plus resserrées que l'écart fortuit entre le même rapport xj et la première moyenne ; ce qui suppose que l'on a

P{^ — P)> £/^x(i —p.) + ^>.(î —p.) + etc. , ou bleii [77]

H- *. *.(/>! — j?0* + ^.^3(/^t — 7^3)' + etc.

et en effet l'on recotidaît ({ue cette inégalité doit gênera^* lement se vérifier (').

(') La quantité

ktpx{i -;;/?,) + k^p^{i -.p,)4. etc. (k)

est une moyenne absolue de la fonction p{i — p), laquelle doit, pour de grandes valeurs de /w, différer très -peu de la moyenne

^K«^/'04-^/'.(i— >.)-Het€., Q(t)

donnée pàf m épreuves fortuites; ettela doit entraîner l'inégàlité (3), à moins que la quantité

**^a(;'x-^/'a)* +M3{/>1— />,)" 4- etc.

ne soit une très-petite quantité. Mais, si cette circonstance se présentait, le module de convergence de la fonction p serait très-grand [69, noie]^ et il en serait évidemment de même du module de la fonction /?(i-—/i), ce qui atténuerait d'autant plus la différence entre les quantités (k) et (fx), de /nanière à maintenir encore Tinégalité (3).