DE LA VARIABILITÉ DES GHAKGES

79. Une troisième hypothèse , qu'il importe de considërer, consiste à supposer que les nombres /w„ m^^ etc., sont fixés à l'avance^ mais qu'un triage fortuit et préa*lable a déterminé l'urne qui doit Servir au tirage dans la première série partielle de m^ épreuves^ puis celle qui d^t être employée dans la seconde série partielle de m^ épreuves ^ et ainsi de suite. Admettons même , pour éviter une trop grande complication dans les for* mules, que tous les nombres m., m,, etc., soient égaux, et qu'on ait m=iim^^ i désignant alors le nombre des séries partielles : le rapport trf convergera vers la limite

comme dans la première hypothèse > mais avec une moindre rapidité. La limite d'écart et la probabilité P se trouveront liées alors, au moyen de Tauxiliatlte t, pat* une équation remarquable qu'a donnée M» Bienaymé ('), et que nous mettroiis sous la forme

Quand on fait m, = i, le facteur >n, — i s'évanouit, et l'on retombe, comme cela doit être , isur la formule relative à la première hypothèse. L'autre facteur

est essentiellement positif; il exprime la moyenne des carrés des différences entre chacune des probabilités/?,, /^Metc, et leur moyenne/7. Si cette moyeniie(/w) était une

C) lonrnal VlntittiA^ n^ da « juin 1839.

sèment. Le bon sens indique que l'écart fortuit entre le rapport xj et la «econde moyenne doit osciller (avec la même probabilité) entre des limites plus resserrées que l'écart fortuit entre le même rapport tzJ et la première moyenne ; ce qui suppose que l'on a

P{^—P)> ^P^{^ — PO + ^>a(î —p.) + etc. ,

ou bien [77]

k,p^{i---p,) + k,p,{i—p^) + etc.

H- *.*.(/>. — j?a)* + J^.K{pt—PiY + etc.

^ S^'(^-/^')+S^>Ci~/'a)+etc.; (3)

et 611 effet l'on recotidaît ({ue cette inégalité doit généralement se vérifier (').

(') La quantité

k^p^{l -;/?,) + k^p^{i — /?,) 4. etc. {k)

est une moyenne absolue de la fonction p[i — /?), laquelle doit, pour de grandes valeurs de tw, différer très -peu de la moyenne

^M«-/'04-^/'.(i->.)-Hetc., M

donnée pàf m épreuves fortuites; ettela doit entraîner riûégâlité (3)y à moins que la quantité

***a(;'x— />,)» +M3{/>i— />,)" 4- etc.

ne soit une très-petite quantité. Mais , si cette circonstance se présentait, le module de convergence de la fonction /> serait très-grand [69, noté]^ et il en serait évidemment de même du module de la fonction /?(i — p\ ce qui atténuerait d'autant plus la différence entre les quantités {k) et (fx), de /naniére à maintenir encore l'inégalité (3).

DE LA YARIA.BILITS DES GHAKCES. 143

79. Une troisième hypothèse, qu'il importe de consîdërer, consiste à supposer que les nombres /w„ w,, etc., sont fixés à l'avance, mais qu'un triage fortuit et préa*lable a déterminé l'urne qui doit Servir au tirage dans la première série partielle de m^ épreuves^ puis celle qui doit être employée dans la seconde série partielle de m^ épreuves , et ainsi de suite. Admettons même , pour éviter une trop grande complication dans les for* \ mules, que tous les nombres m^, m^, etc., soient égaux, et qu'on ait m=imt, i désignant alors le nombre des séries partielles : le rapport vi convergera vers la limite

comme dans la première hypothèse^ mais avec une moindre rapidité. La limite d'écart et la probabilité P se trouveront liées alors, au moyen de l'auxiliaiite t, pat* une équation remarquable qu'a donnée M» Bienaymé ('), et que nous mettroiis sous la forme

2 \p[i^p)+{m,^i) [klp^p;f+kj,p-'p:f +etc.] \

Quand on fait m, = i, le facteur >n, — î s'évanouit, et l'on retombe, comme cela doit être, sur la f(H*mule relative à la première hypothèse^ L'autre facteur

*.(?— /^i)" + *2(/>— /?a)'+et(C. (m)

est essentiellement positif; il exprime la moyenne des carrés des différences entre chacune des probabilités z?., fx'i etc., et leur moyenne/?. Si cette moyenne (/w) était une

C) J^Kimal riMsatiO, n*" da « juin 1839.

très-petite fraction, par exemple , /w, pourrait être

un nombre de l'ordre des dizaines ou des centaines, sans que la valeur de / (pour une même valeur de P) fût sensiblement altérée dans le passage de la première hypothèse à Thypothèse actuelle. Mais, en général, la moyenne {ni) sera une fraction comparable à /? (i — p)^ et alors la valeur de / se trouvera sensiblement accrue dans le passage d'une hypothèse à l'autre ; elle pourra aisément varier du simple au triple, même pour de petites valeurs de /7z„ telles que loou 12, /w restant d'ailleurs un très-grand nombre.

A plus forte raison, si m^ est un grand nombre, la fraction/? (1 — /?) deviendra, en général, négligeable vis-à-vis du produit de la moyenne {pi) par m^ — i. Le radical qui multiplie /, dans l'équation ci-dessus, au lieu d!être de l'ordre de grandeur de |/^, sera en général de l'ordre de grandeur de ^ — ®^ ^® 1^* D

faudra, pour resserrer entre d'étroites limites les anomalies du hasard , non pas seulement que m, ou le nombre des épreuves dans la série totale , soit un grand nombre, mais encore que le quotient /, ou le nombre des séries partielles , soit lui-même un grand nombre.

Au lieu de supposer les nombres m„ m,, etc., égaux entre eux, ou même inégaux , mais assignés à l'avance par des causes dans lesquelles il n'entre rien de fortuit, on pourrait supposer qu'un tirage préliminaire a déterminé fortuitement le nombre d'épreuves dont la première série partielle doit se composer, le nombre des épreuves qui doivent constituer la seconde série partielle, et ainsi de suite : le nombre m des épreuves dans