DE LA VARIABILITÉ DES CHANGES

Il peut même arriver que la valeur du module de convergence, pour la fonction moyenne, tombe au-dessous

yrespecrivement^î,^a, etc., par

^i (i — ^a — ^"3 — etc.), k^{i — ^i — ^3 — etc.), etc. :

on trouvera 9 en désignant par g^i , Mj , g", , M, , etc., les analogues des quantités ^, M, pour chacune des fonctions ^,^, etc.,

-T=--7H — T + etc-

+ ^,^,(M, — M,)* + k, ^3 ÇMx — Ma)* + etc. Donc

Mais, parle principe que la moyenne des carrés surpasse toujours le carré de la valeur moyenne [78], on a

-r+-T+ etc. > ( -+-+ etc. ) :

donc f à /ortioiiy ^

->- + -+ etc.,

g gx g^

et par suite

/>^i/x+Wa + etc.

De ravant-dernière inégalité on déduit

-iJ — 1-1- etc.

gt é'a

et Von a d'un autre côté

— I hetc:

gi g^

-<Ar^i+*a^a4-etC.;

puisque cette dernière inégalité peut être ramenée à

^^^^^^-S^y+^^^^(^^-^^y + etc. > o; gig^ gtgs ■-

donc , à fortiori,

g < ktgt 4- k^^ + etc.

)50 GHAPITRB VU.

4u plus pe|:it des modules qui se rapportent aux diverses formes particulières de |a fonction.

En conséquence, si Ton désigne par / la limite d'écart entre la moyenne véritable et la moyenne conclue de m épreuves, faites avec les globes triés fortuitement, et par /j, 4, etc. , les limites d'écart également probables , quand les m épreuves Ont lieu successivement, d^abor^ avec un globe de la première série, puis avec un globe de la seconde, et ainsi de suite ; on aura l'inégalité

» /ix/.^ + Wa^a + etc.

'^x +^^0 + etc.

83. Une seconde hypothèse, correspondant à celle du n"" 78, consiste à supposer que le triage des globes ne se fait plus au hasard, mais que, par des causes non fortuites^ ou par une combinaison de causes non fortuites et de causes fortuites, la série de m épreuves se compose de m^ épreuves faites avec les globes pour lesquels la loi de probabilité esty.j:, de m^ épreuves faites avec les globes dont la loi de probabilité estf^Xj et ainsi de suite. En ce cas, la moyenne conclue des m épreuves converge vers la valeur

TW.M, +maM, + etc..

et en diffère très-peu, pourvu que m soit un grand nombre, même quand les nombres m,, m,, etc., décroîtraient, jusqu'à devenir égaux à l'unité. Le module de convergence devient

V — ^— + — ^—7 + etc.

rn g\ m g\

et il surpasse celui qu'on obtiendrait, dans l'hypothèse

DE LA VAIt]^I¥JT]É DBS CHANGES. |51

précédente ^ en prenapf les nombres n^^ l^^, etc* , respectivemenj: proportionnels à m^y m,, etc, Néanmoina on a toujours

, mjt+mj^ +etc.

m,+m, + etc,

la signification des lettres l^ Ijj /,, etc., et le sens de cette inégalité étant suffisamment indiqués par ce qui précède,

84, On comprend, d'après ce qui a été dit au n** 79, que, si les nombres m^jm^, etc., s'étaient trouvés fixés à l'avance, par une cause quelconque, et qu'on eût trié au hasard le globe destiné à servir dans la série (^1), puis le globe destiné à servir dans la série (/Wa), et ainsi de suite, la moyenne donnée par les épreuves convergerait vers la valeur M, comme dans l'hypothèse d'un triage fortuit pour chaque jet isolé, mais avec une rapidité notablement moindre, niême lorsque m^y /72„ etc., seraient de forts petits nombres. Quand m^^m^^ etc., cessent d'être de petits nombres, il ne suffit plus que 772 soit un grand nombre pour que les anomalies du hasard se trouven^; resserrées entre d'étroites limites; il faut qu'il entre dans la série totale {m) un grand nombre de séries partielles {m^^ C'^»)? ^^c. : chacune de ces séries partielles se composant elle-même, par hypothèse, d'un grand nombre de jets.

85. Pour faire tout de suite l'hypothèse la plus générale, concevons qu'on embrasse plusieurs séries d épreuves, et que les nombres m^'^, w^*^, etc., des épreuves dont se composent les diverses séries, soient tous très-grands. Lets causes fortuites ou non fortuites qui déterminent le triage des globes, varient d'une série d'épreuves à l'autre; de manière que les nombres /wi'^ w^,'\ etc., ex-

152 GHàPITRE m.

priment combien on a employé, dans la première série d'épreuves, de globes de la première espèce, de la seconde, etc.; tandis que d'autres nombres m^^\ m^*\ etc., expriment combien on a employé de globes de première, de seconde espèces , dans la seconde série d'épreuves; et ainsi de suite. Tous ces nombres, affectés d'un double indice, ne sont point assujettis à rester dans un certain ordre de grandeur : quelques-uns peuvent se réduire à l'unité, ou même à zéro. Les moyennes données parla première série d'épreuves, par la seconde, etc., diffèrent respectivement très-peu de

m{'M, + m['M^ -4- etc. m(»>M, + wWM, +etc. ^) ' ^) ' ^*^-

et elles peuvent différer sensiblement les unes des autres, comme aussi différer toutes sensiblement de la moyenne M. Toutefois, dès qu'on embrasse un grand nombre de séries semblables, il s'opère une compensation qui fait disparaître tout ce qu'il y a d'accidentel et d'irrégulier dans l'opération du triage; de manière que, si l'on désigne par (/-^'\ (Jt.^*^, etc., les moyennes données par la première série d'épreuves, par la seconde, etc., la moyenne générale

;n(0|x(0+ 77^(a)fJ^.(») 4- etc.

m(')+ w(')+etc.

convergera vers une limite fixe, qui se confondrait avec M, s'il n'entrait rien que de fortuit dans les conditions du triage. Bien entendu que, dans le cas où les conditions du triage ou du tirage subiraient, par le laps du temps, des variations progressives, on pourrait n'arriver jamais à une moyenne sensiblement fixe , quel que fût le nombre des séries partielles m^^\ né^\ etc., dont on composerait chaque série totale.

DES Pl^OBkBlLlTÉS A POSTERIORI, 153

86. Pour les événements fortuits dont l'homme n'a pas déterminé les conditions, les causes qui donnent telles chances à tel événement, ou qui déterminent la loi de probabilité des diverses valeurs d'une grandeur variable, sont presque toujours inconnues dans leur nature et dans leur mode d'action, ou tellement compliquées, que nous ne pouvons en faire rigoureusement l'analyse, ni en soumettre les efiTets au calcul. Dans les jeux mêmes oîi tout est de convention et d'invention humaine, la construction des instruments aléatoires est sujette à des irrégularités qui impriment aux chances des modifications dont on ne saurait à priori évaluer l'influence. Si l'on joue avec un dé homogène, mais dont les arêtes rectangulaires ne soient pas rigoureusement égales, et qu'on demande les chances d'apparition de chaque face, le problème, quoique dépendant d'une question de mécanique, très-simple en apparence, et dont toutes les données sont rigoureusement définies , ne pourra être résolu dans l'état actuel de l'analyse mathématique. Enfin, dans les jeux où les probabilités ne dépendent que d une énumération purement arithmétique des combinaisons, sans mélange de conditions tirées de la mécanique

154 GBUJPITAE VIII.

OU de la physique , la solution du problème arithmétique peut encore surpasser les forces de l'analyse. Si l'on demandait, par exemple, quel est l'avantage de la main au jeu de piquet, du dé an trictrac, ou quelle est la probabilité, pour le joueur qui a la main ou le dé, de gagner la partie, les deux joueurs étant supposés assez habiles pour jouer chaque coup d'après toutes les règles, on serait entraîné dans une énumération de chances tout à fait inextricable, et à laquelle aucun procédé connu de calcul ne peut suppléer.

Il est donc bien nécessaire, pour les applications de la théorie des chances , que l'on puisse déterminer par l'expérience, ou à posteriori^ ces chances dont la mesure directe, d'après les données de la question ^ surpasse actuellement et vraisemblablement surpassera toujours les forces du calcul. Il ressort de ce que nous avons dit jusqu'ici ^ que le principe de Jacques Bernoulli conduit à cette détermination expérimentale : car si, en désignant par x la chance inconnue de la pro^ duction d'un événement^ par n le nombre de fois que cet événement est arrivé en m épreuves, on peut toujours

[33] obtenir une probabilité P que l'écart fortuit a:

in

tombe entre les limites ±/(le nombre / et la différence I — P tombant au-dessous de toute grandeur assignable, pourvu que les nombres m, /^ soient suffisamment grands), il est clair que, si rien ne limite le nombre des épreuves, la probabilité x peut être déterminée avec une précision indéfinie; qu'on peut arriver, par exemple, à être sûr qu'il n'y a pas, entre le rapport — donné par l'expérience et le nombre inconnu j:,

DES PROBiJBILITis J POSTERIORI. |55

une différence d'un ceDt-milIième. Du moins l'existence d'une différence plus grande, quoique rigoureusement possible, serait un événement du genre de ceiix que l'on réputé avec raison physiquement impossibles; de sorte que nous sommes autorisés à les laisser à l'écart dans l'explication des phénomènes [43]. '

Nous pourrions, dès lors, en nou3 appuyant sur les théorèmes de Jacques Bernoulli , dont l'inventeur avait déjà parfaitement saisi le sens et la portée, passer immédiatement aux applications que ces théorèmes reçoivent dans les sciences de faits et d'observations; mais une règle dont le premier énoncé appartient à l'Anglais Bayes, et sur laquelle Condorcet, Laplace et leurs successeurs ont voulu édifier la doctrine des probabilités à posteriori, est devenue la source de nombreuses équivoques qu'il faut d'abord éclaircir, d'erreurs graves qu'il faut rectifier, et qui se rectifient dès qu'on a présente à l'esprit la distinction fondamentale entre les probabilités qui ont une existence objective, qui donnent la mesure de la possibilité des choses, et les probabilités subjectives, relatives en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance, variables d'une intelligence à une autre, selon leurs capacités et les données qui leur sont fournies [46].

87. Imaginons qu'on ait des urnes renfermant toutes trois boules, mais les unes renfermant trois boules blanches , les autres deux boules blanches et une boule noire, et enfin , les unes d'une troisième catégorie renfermant une boule blanche et deux boules noires. Les urnes des trois catégories sont en même nombre. On a trié une urne au hasard, et ensuite extrait au hasard une boule de 1 urne. Cette boule s'est trouvée blanche : quelles sont les probabilités que l'extraction s^est Êiite dans une urne

de la première catégorie? de la seconde? de la troisième ?

La probabilité de tomber sur une urne de la première

catégorie est ^ ; et si cet événement a eu lieu, on est

certain d'amener une boule blanche. La probabilité de tomber sur une urne de la seconde catégorie est pareillement x^; et quand le triage a amené Kîet événement, la probabilité d'extraire une boule blanche est -. Enfin, la probabilité de tomber sur une urne de la

troisième catégorie est - , après quoi la probabilité d'ex-

traire une boule blanche est - . Donc, à priori [ao-aS],

la probabilité d'amener une boule blanche est

* Si l'on désigne par Â. l'événement consistant dans l'extraction d'une boule blanche d'une urne de la première catégorie, par A^ l'événement qui consiste dans l'extraction d'une boule blanche d'une urne de la seconde catégorie, enfin par A3 l'événement qui consiste dans l'extraction d'une boule blanche d'une urne de la troisième catégorie, et si l'on répète un grand nombre m de fois l'épreuve qui consiste dans le triage fortuit, suivi d'un tirage pareillement fortuit, le nombre des événements A, sera sensiblement ^m, celui des événements

A, sera à très-peu près égal à - /w , et enfin le nombre

DES PROBABILITES A POSTERIORI. 157

des événements A3 ne différera pas sensiblement de

Trois joueurs pourraient parier, le premier qu'on extraira une boule blanche d'une urne de la première catégorie, le second que la boule blanche sera extraite d'une urne de la seconde catégorie , le troisième enfin que la boule blanche sortira d'une urne de la troisième catégorie, en convenant de regarder comme nuis les coups qui amèneraient l'extraction d'une boule noire. Leurs enjeux devraient être fixés dans les rapports des nombres 3, 2 et i, non poii^t parce qu'il n'y a aucune raison de les fixer autrement, dans l'ignorance où nous sommes des causes particulières qui déterminent l'événement aléatoire, mais parce qu'en effet les chances de gain des joueurs sont dans les rapports des nombres 3, 2 et I, ainsi que cela serait manifesté par une longue série d'épreuves, comme on vient de l'expliquer.

88. Réciproquement, si une boule blanche a été extraite , sans qu'on sache de quelle urne , mais dans les conditions de triage et de tirage définies plus haut, trois joueurs qui parieraient respectivement que l'urne d'où la boule blanche a été extraite appartient à la première^ à la seconde, à la troisième catégorie , devraient régler leurs enjeux dans les rapports des nombres 3, a et I. Leurs probabilités de gain seraient respectivement proportionnelles à ces nombres; et le mot de probabilité est pris ici dans le sens objectif^ comme équivalent de possibilité : en sorte que , si les mêmes paris étaient répétés un grand nombre de fois, dans les pêmes circonstances, les nombres de parties gagnées respectivement par chacun des trois joueurs seraient

158 CHAPITRE Vin.

sensiblement dans les rapports des nombres 3^ a et i .

C'est en ce sens qu'il faut entendre la règle attribuée à Bayes ('), et que Ton peut énoncer en ces termes : «Les probabilités des causes ou des hypothèses sont proportionnelles aux probabilités que ces causes donnent pour les événements observés. La probabilité de l'une de ces causes ou hypothèses est une fraction qui a pour numérateur la probabilité de l'événement par suite de cette cause, et pour dénominateur la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes ou hypothèses.»

Dans notre exemple, la cause ou l'événement antécédent est le triage de l'urne dans l'une des trois catégories: l'événement suibséquent et observé, c'est-à-dire l'extraction d'une boule blanche^ devant avoir à priori une probabilité différente , selon que l'urne de tirage appartient à l'une ou à l'autre des catégories.

Ainsi entendue, la règle de Bayes est un théorème qui ne donne lieu à aucune équivoque, et dont on ne peut contester la justesse.

89. Supposons maintenant qu'une urne ait été prise parmi beaucoup d'autres, et que l'on sache que ces urnes contiennent toutes trois boules , blanches ou noires ; mais qu'on ignore les rapports des boules blanches et noires dans chacune; qu'on ignore également le rap» port du nombre des urnes qui ne contiennent que des boules blanches au nombre total des urnes, et ainsi de suite; qu'on ignore enfin si le triage de l'urne a été lait au hasard, ou influencé par des causes non for-

(*) Transactions philosophiques de 1763, pag. 870.

0£S PROBABILITES À POSTERIORI. 159

tuités. Supposons en outre qu'on ait extrait au hasard une boule blanche de l'urne , et que le joueur A, parie que i'ilrne renferme seulement des boules blanches; le joueur Aj qu'elle renferme deux boules blanches et une noire; le joueur A3 qu'elle renfenne une boule blanche et deux noires : on demande comment doivent être réglés leurs enjeux ou leurs paris ?

Avant le triage, on pouvait faire quatre hypothèses sur la constitution de l'urne, savoir :

i»« hyp. 2* hyp. 3» hyp. 4» hyp.

3 blanches y a bl. et i noire, i bl. et 2 noires, ^ 3 noires,

sans qu'il y eût aucun motif, d'après les données de la question , de préférer une hypothèse à l'autre. A chacune de ces hypothèses correspondaient trois cas ou trois sous-hypbthèses sur la boule destinée à sortir, sans qu'il y eût non plus aucune raison de préférer une de ces sous-hypothèses à l'autre. L'événement observé , savoir le tirage d'une boule blanche, exclut la 4* hypothèse et les trois cas qui s'y rapportent; elle exclut pareillement deux des trois cas relatifs à la 3^ hypothèse, et l'un des trois cas relatifs à la 2®. H ne reste plus que 6 cas entre lesquels on n'a aucune raison de préférence, et dont 3 (relatifs à la i" hypothèse) favorisent le joueur A„ a ( relatifs à la a* hypothèse ) favorisent le joueur A„ i (relatif à la 3* hypothèse) favorise le joueur A3. Donc les enjeux des trois parieurs doivent être réglés dans les rapports des nombres 3, a, i.

Mais si Ton dit que les probabilités de gain des trois joueurs sont aussi dans les rapports de» nombres 3, 2, i, et si l'on entend en ce sens la règle de Bayes, le terme de probabilité sera pris dans son acception purement

subjective, variable d'un individu à un autre, relative en partie à ses connaissances, en partie à son ignorance. Cela ne signifiera point que, dans un grand nombre de paris semblables, les nombres de paris gagnés respectivement par les joueurs A„ A„ A3 seront, à trèspeu près, dans les rapports des nombres 3, 2, i. Il se pourrait que le joueur A„ par exemple, perdît constamment ; ce qui arriverait nécessairement si l'urne, à chaque épreuve, était prise dans un groupe où il n'y a pas une seule urne qui renferme uniquement des boules blanches ; ou bien encore si un signe connu de l'agent du triage lui indiquait les urnes de cette catégorie, qu'il doit s'abstenir de prendre. La règle de Bayes, ainsi appliquée à la détermination de probabilités subjectives, n'a donc d'autre utilité que celle de conduire à une fixation de paris, dans une certaine hypothèse sur les choses que connaît et sur celles qu'ignore l'arbitre. Elle conduirait à une fixation inique si l'arbitre en savait plus qu'on ne le suppose, sur les conditions réelles de l'épreuve aléatoire.

90. Revenons à l'hypothèse du n° 87, et supposons qu'après le triage de l'urne et l'extraction d'une boule blanche, on demande la probabilité d'extraire de nouveau une boule blanche : il est entendu que la boule extraite en premier lieu est remise dans l'urne, pour que les conditions du tirage soient les mêmes dans les deux épreuves. Nous avons vu qu'après le premier tirage les probabilités des trois hypothèses possibles sur la constitution de l'urne ont respectivement pour va-

3 a I leurs ^> ^> ;;; ks probabiUtés respectives du tirage

ultérieur d'une boule blanche, dans ces trois hypothèses,

sont 1,^, -; donc

est la probabilité de l'extraction ultérieure d'une boule blanche, et le terme de probabilité est pris ici dans le sens objectif. Si l'on triait un fort grand nombre de fois l'urne au hasard, et qu'on fît chaque fois deux tirages consécutifs avec l'urne choisie fortuitement; si l'on comptait le nombre m des épreuves où le premier tirage a donné une boule blanche, et parmi celles-ci le nombre n des épreuves pour lesquelles le second tirage a encore amené une boule blanche^ le rapport — différerait

peu de -.

Mais, si l'on se place dans l'hypothèse du n^ 8g, et

qu'après l'extraction d'une boule blanche deux joueurs parient, l'un qu'un second tirage dans la même urne amènera une boule blanche, l'autre qu'il amènera une boule noire, à la vérité leurs enjeux devront encore être réglés dans le rapport de 7 à a , mais en raison seulement de l'hypothèse qu'on a faite sur les choses connues et inconnues dans les conditions de l'épreuve aléatoire. Car d'ailleurs ces conditions peuvent être telles que le joueur qui parie pour noire perde constamment son pari, ou que, dans une nombreuse série de paris sem« Mables, le rapport du nombre de paris qu'il gagne, au nombre de paris que gagne l'adversaire^ s'écarte tout à fait du rapport de a à 7.

91. Dans les applications qu'on entend faire ordinai- ^ment de la règle de Bayes, on ne sait absolument rien

sur la constitution de l'urne. On admet que les chances sont susceptibles de varier d'une manière continue, ou , en d'autres termes, que l'urne renferme une infinité de boules, et que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules peut prendre toutes les valeurs, en nombre infini, comprises entre zéro et l'unité. A priori y toutes ces valeurs ont des probabilités égales et infiniment petites : le fait de l'extraction d'une boule blanche assigne à ces valeurs une autre loi de probabilité [65], quoique la probabilité de chaque valeur en particulier continue d'être infiniment petite. La courbe de probabilité devient alors , comme dans le second exemple du n° 70, une ligne droite passant par l'origine d|3s coordonnées, et faisant avec Taxe des a]:)scisses l'ai^gl^ dont le nombre 2 est la tangente trigonométrique. La valeur moyenne, conclue de cette loi de probabilité, es|

^ ; pt cette valeur moyenne exprime précisément la probabilité de l'apparition d'une boule blanche à un tirage subséquent, fait dans la même urne. La valeur médiane

est — ==0,7071. Il y aurait un faible désav^ntagA \

parier que la chance de l'extraction d'une boule blanche, daqs l'urne en question, surpasse 0,7. Il y a 3 à parier

contre i que cette ch^^npe surpasse - , ou qi^'il y ^ à^ji%

l'urne plus de boules blanches que de noires.

92. Plus généralement, si, après le triage de Furne, on a fait m tirages qui ont donné n boules blanches et Yfi — n boules noires (la boule extraite étant toujours remise dans l'urne après chaque tirage ) , l'ordonnée de la courbe de probabilité, pour 1^ valeur x de la chance

DES PROBABILITIÉS A POSTERIORI. 163

d'extraction d'une boule blanche^ ^st exprimée par la fraction

\^ QPirbe de probabilité (^fig. \l\) passe par J'orig)D« Q ^1 touche encore l'axe des abscisses au point B dpot l'fi^b^pj^sfB OB = I . L'ordonnée maximum de la cpurbç, rep):ésentée par )Lt, a poqr abscisse

La valeur moyenne, qui exprime aussi la probabilité de l'extraction d'une boule blanche dans un tirage subséquent, a pour valeur

et cette valeur est moindre que OK, tant qu'on suppose n> m — n. La valeur médiane OI tombe entre OG et OK.

93. Tous ces résultats doivent être interprétés daq$ un sens objectif, et comme s'appliquant à la ii^esure de la possibilité des événements, si effectivement ji'ur^e est triée au hasard parmi une inanité d'autres, de manière que la probabilité de tomber sur une urne pour laquelle la chance d'extraction d'une boule blanche aif la valeur x , reste la même , quel que soit x. Mais autrement, et dans les applications qu'on en fait d'ordinaire, ces résultats ne peuvent conduire à rien, ou n'auraient que le frivole usage de régler les conditions d'un pari, dans l'ignorance où nous sommes deç vraies conditions d'une épreuve aléatoire. Et même dans la plupart de$ cas, quoique nous ignorions les vrai.es copdi-

lions de l'épreuve aléatoire y nous en savons assez sur leur nature pour n'être point tentés de régler les conditions d'un pari d'après les règles ci-dessus, déduites du principe de Bayes.

Supposons que nous ayons un tas de pièces' de monnaie nouvellement fabriquées, et qu'après en avoir pris et projeté une au hasard , nous amenions croix : nous ne parierons pas deux contre un qu'en projetant une seconde fois la pièce au hasard , nous amènerions encore c^o^.r. Si quelqu'un faisait ce pari, et le répétait un grand nombre de fois dans les mêmes circonstances, il s'en faudrait certainement de beaucoup qu'il gagnât les deux tiers de ses paris. La raison en est que la pro« habilité d'amener croix y pour chacune des pièces du tas, quoique variant certainement un peu d'une pièce à l'autre, à cause des irrégularités de structure physique^ ne peut pas différer beaucoup pour chacune d'elles de la fraction -, en plus ou en moins. Il serait donc contraire aux

notions que nous avons dans ce cas, sur les conditions du hasard, de regarder toutes les valeurs comprises entre zéro et l'unité comme pouvant être attribuées indifféremment, à priori j à la chance d'amener croix.

Nous ignorons absolument quelles sont, pour chaque femme, les chances de concevoir un enfant de l'un ou de l'autre sexe; car ces chances varient certainement d'une femme à une autre ; et nous ne connaissons , par les données de da statistique, que les valeurs moyennes de ces chances, conclues d'un très-grand nombre de naissances. Dans cette ignorance où nous sommes , si une femme était accouchée d'un garçon , il faudrait peut- Atre régler dans le rapport de 2 à i les enjeux de deux

DES PROBABILITIÉS A POSTERIORI. 165

joueurs qui parieraient à une seconde grossesse, l'un qu'elle accouchera d'un garçon, l'autre qu'elle accouchera d'une fille. Mais ce règlement des paris, motivé sur notre ignorance actuelle, n'aurait aucun rapport avec les chances réelles des deux événements. Si le même pari était répété un grand nombre de fois, dans des circonstances semblables, le rapport du nombre des paris gagnés par le premier joueur, au nombre des paris gagnés par lé second joueur, s'écarterait beaucoup, selon toute apparence, du rapport de a à i . Pour connaître la valeur dont le premier rapport s'éloignerait peu , il faudrait xrompulser les registres de l'état civil, à l'effet d'établir combien de fois la naissance d'un premier-né, du sexe masculin, a été suivie de la naissance d'un second garçon , et combien de fois elle a été suivie de la naissance d'une fille. Or, cette recherche intéressante n'a pas encore été faite que nous sachions; et en attendant qu'elle le soit, l'application de la règle de Bayes ne conduirait, comme on le voit, qu'à une conséquence futile ou illusoire.

Cependant on n'a pas craint de faire des applications aussi peu fondées, dans des questions d'un grave intérêt pour la société et pour la morale, telles que celles qui se rapportent aux décisions judiciaires et aux témoignages; et l'on est tombé ainsi dans des aberrations peu dignes de géomètres éminents.

94. Lorsqu'on suppose que les tirages successifs, au lieu de se faire, tous dans la même urne, se font dans des urnes triées chaque fois au hasard dans la même série, le problème n'est pas changé : seulement la lettre x désigne [76] la moyenne entre les chances d'extraction d une boule blanche , pour chaque urne de la série. Si

186 (CHAPITRE Vlil.

lès conditions du triage changent d'une épteuve à Tauïte siiivant Une loi inconnue, il n'y a rien à conclure des événements observés aux événements futurs. Condorcet a donné, pour ce cas , et discuté longuement des formules tout à fait illusoires.

95. Quand les nombres m et n du n° 92 sont tresgràhds, les points R, G (7?^. i4) se confondent sensiblement, et le résultat trouvé par la réglé de Bayes né diffère plus sensiblement de celui que donnerait le théorème de Bernoulli. Il faut bien qu'il en soit ainsi, puis- 3ué la vérité du théorème de Bernoulli est indépendante e toute hypothèse sur le triage préalable de l'ûrne. Ce n'est point dans ce cas (comme beaucoup d'auteurs ont paru se le figurer) la règle de Bernoulli qui devient exacte en se rapprochant de la règle de Bayes; c'est la règle de Bayes qui devient exacte, ou qui acquiert une valeur objective qu'elle n'avait pas, en se confondant avec la règle de Bernoulli.

Entrons à cet égard dans des détails qui paraîtront peut-être délicats, ou même minutieux, mais^ qu'exige l'importance du sujet. Après qu'on a extrait de l'urne n boules blanches en m tirages, la règle de Bayes donne une certaine probabilité P que la chance a: de l'apparition d'une Doule blanche est comprise pour cette urne entre les deux valeurs

mm ^ '

/ aésignant une quantité qui devient de plus en plus petite, pour la même valeur de P, quand les nombres m, •i vont en croissant , et qui finalement peut tomber audessous de toute grandeur donnée. Sur la Jîg. ï 5, lUc

DES PROBjflnLITÉS À POSTERTORT. 1(5/

aesignant ^ordonnée maximum de la cdurbe DA'B, et RI, KL deux longueurs égales à l, la proi)abilité t^ se^ rait représentée par le rapport de l'aire ïUki à Paire totale OBl/cî.

Quand la cnance de mettre la mam sur une «.urne pour laquelle la chance d'extraction d'une boule blanche est Xj reste la même quel que soit x, la probabilité P a une valeur objective. En d'autres termes, si après avoir trié une urne au hasard, et ensuite en avoir extrait n boules blanches en m tirages, ]e jugeais que la chance X de iapparition d'une blanche est comprise pour cette urne entre les deux valeurs (/), et si je répétais le même jugement à la suite de N résultats semblables , donnés par autant d'urnes différentes (N étant d'ailleurs un grand nombre), le nombre des jugements vrais que j émettrais serait au nomtre des jugements erronés, sensiblement dans le rapport de P à î — P. En d'autres termes encore, i — P mesure précisément la chance ou la possibilité d'erreur qui affecte le jugement porté en premier lieu.

Mais il n'en serait plus de même, en général, si la chance de mettre la main sur une urne variait avec la valeur de x pour cette urne. Ainsi , représentons pjfr la courbe d h' b' (^fig. i6) la loi de probabilité de la variable Xj dans l'opération du triage, ou la loi suivant laquelle varie effectivement la chance de tomber sur une urne pour laquelle x désigne le rapport du nom- Ire des boules blanches au nombre total des boules. Soient OI', OR', OL', des longueurs respectivement égales à

m mm

et supposons, pour fixer les idëèi^ q^e Tordonnée de la courbe passe eu K!i' par une valeur minimum. La chance d'amener précisément n boules blanches en m tirages, est d'autant pltis faible que la valeur de .r, pour l'urne de tirage, s'écarte davantage de OK'; mais, d'autre part, la chance de mettre la main sur une urne pour laquelle la chance d'extraction d'une boule blanche ait la valeur x, devient d'autant plus grande que x diffère davantage de OK'. En conséquence, et à cause que l'aire l'LYV n'est qu'une petite fraction de l'aire totale OB'é'A-V, il peiit arriver que, sur un grand nombre N d'événements, qui ont consisté chacun à tirer une urne au hasard et à en extraire ensuite n boules blanches en m tirages, le nombre des cas où x sortait des limites (/) surpasse certainement, en vertu du principe de Bernoulli, le nombre des cas où x était contenu entre ces limites; quoique la probabilité P, définie plus haut,

continue de surpasser-, ou même soit très-voisine de

l'unité.

Lors donc .qu'à la suite de l'extraction de n boules blanches en m tirages, on prononce que la valeur de .r, pour l'urne qui a fortuitement servi au tirage, est comprise entre les limites (/), la chance d'erreur qui affecte ce jugement n'est plus en général la fraction i — P, mais une autre fraction i — P' qui peut différer très-sensiblement de I — . P, et qui reste inconnue tant qu'on ne connaît pas la loi de probabilité représentée par la courbe o'k'b' . Sur un grand nombre N de jugements identiques, portés dans les mêmes circonstances, le rapport du nombre des jugements vrais au nombre des jugements erronés n'est plus sensiblement le rapport de

DES PROBABILITES A POSTERIORI. 169

P à I — P. La probabilité P, conclue de la règle de Bayes, ne peut plus être prise que dans un* sens subjectif, comme servant à régler les conditions .d'un pari, tant que nous ne possédons aucune donnée sur la forme de la courbe o^k'b'.

Mais supposons maintenant que m et n désignent de grands nombres : il arrivera, à la faveur de cette hypo* tbèse et du principe de Bernoulli , que, pour des valeurs de X telles que 0£^, qui tombent beaucoup au-dessous de 01% l'événement consistant dans l'extraction de n boules blanches en m tirages sera un événement trèsrare et comme impossible. En conséquence , bien que l'ordonnée EV soit beaucoup plus grande que K'^', on pourra , dans un calcul d'approximation , se dispenser de tenir compte des cas où le système des nombres net m — n serait donné par le tirage dans une urne pour laquelle ^ a la valeur OE' ou une valeur plus petite : ces cas devenant extrêmement rares , même lorsque le nombre N devient très-grand. Pareille remarque est applicable aux valeurs de x beaucoup plus grandes que OL'. On n'aurait donc plus à considérer, dans le calcul du nombre P' désigné plus haut, si la courbe o'k^b' était donnée, que la portion de cette courbe voisine de A^, pour laquelle l'ordonnée a une valeur peu différente de K'A"' ou de — ; car, en deçà et au delà, les autres portions de la courbe, quelque forme qu'elles affectent, n'influent plus sensiblement sur la valeiir de P'. Puisque l'ordonnée varie peu , dans la portion de la courbe voisine de k'j qui seule a une influence appréciable sur la valeur de F, l'erreur que l'on commet en supposant implicitement cette ordonnée constante, sui-

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vant là règle de Bayes, est une erreur tres-petite ; et par conséquent la valeur de P peut être prise, avec une approximation suffisante, pour la valeur dé P . C'est ainsi que la probabilité P acquiert, quand les nombres metn deviennent suffisamment grands, une valeur objective, indépendante de la fortne de la fonction inconnue; et c'est ainsi, en d*autres termes, que la probabilité contraire I — P donne une mesure approchée, mais suffisante, de la chance d'erreur qui affecte réellement le jugement que nous portons, en prononçant à posteriori que la chance a: tombe entre les limites (/), après l'extraction de n boules blanches en m tirages, dans l'urne que des causes fortuites, ou indépendantes de celles qui ont dirigé l'opération même des tirages, ont soumise, entre une multitude d'autres, à notre expérimentation.

96. Quand m et n sont de grands nombres, le calculy fondé sur les remarques qui précèdent, montre qu'il y a entre la probabilité P et la limite / une liaison exprimée au moyen de la variable auxiliaire t [33], par l'équation

t = lm\/

!in(m — n)

On peut se rendre compte de ce résultat par un raisonnement bien simple. En effet , x désignant toujours la chance inconnue, on a vu [33] qu'il y a entre t et /, pour des valeurs suffisantes de m et de /2, l'équation

!ix[l x)

Mais on n'altérera pas sensiblement cette dernière formulé si l'on y substitue, à la place du nombre inconnbx,

DES PROBABILlT]£s A POSTERIORI. l/i

le rapport — qui en diffère très-|)eii^ 6t ^ui en dif^

fère d'autant moins que m et n sont plus grands. Le

résultat de cette substitution est précisément la tor-

mule (m).