On peut demander la probal)ilitë que, dans une

autre série de m' tirages, effectues dans la même urne

(/n' étant pai'eillemënt lin grand nombre) , le rapport

—, du nombre des boules blanches extraites au nombre

des tirages, tombera entre les limites — rt/'. Or, si Té^

cart / était rigoureusement nul, oh aurait encore la

probabilité P que l'écart -r- j tomberait entre des li-

itiites =b /, données par la formule

mais on conçoit' que la grandeur de la limite d'écart f^ correspondant à cette même probabilité P, doit nécessairement augmenter, à cause des valeurs fortuites et très-petites, mais différentes de zéro^ que comporte Té-

câtt X * Lé calcul ^k*oUve que la formule précédente

doit être remplacée en conséquence par

- . / mm

t=:Fmy '

nnÇm — n) (m + m'Y ^ '^

Lorsque le nombre m\ quoique toujours considéra-

l>le, est très-petit par rapport à m (comme si m' était

de Tordre des mille et m de l'ordt'e des millions), les

foHûûleé ('m'), {m\) coïùcidettt seûfeîblèniënt. Si Voû

172 CHAPITRE VIIÏ.

prend ni'=im^ la valeur de (^ tirée de (m',), est à la valeur de /, tirée de (m'), dans le rapport de J/a à i. Le rapport croît de plus en plus quand w! augmente , m restant 'constant, quoique la valeur absolue de /', tirée de (/w',), aille toujours en diminuant. Enfin, quand m! devient très-grand par rapport à /w, cette valeur t se confond sensiblement avec la valeur de /, tirée de la formule {m) : résultat aisé à prévoir , puisqu'alors le

rapport -7 ne peut plus différer sensiblement de x.

On arrivera, si Ton veut, à la formule [m ,), en déterminant par la règle de Bayes la probabilité qu'après le tirage de n bodies blanches en m tirages, w! tirages subséquents donneront /^' boules blanches ; puis en passant, par les formules ordinaires d'approximation, au cas où /w, /^, m\ n' désignent de grands nombres. Mais au fond les résultats qu'on vient d'énoncer sont indépendants des conditions de triage de l'urne, et par conséquent de la règle de Bayes : ils sont de pures conséquences du principe de Bernoulli , et de l'hypothèse qui assigne de grandes valeurs aux nombres m^ n^ /??/, ri.

98. La limite /', correspondante à la probabilité P, est donnée par la formule {rn!^ en fonction des nombres fUy riy m! ; elle le serait en fonction des quatre nombres /w, w, m\ n! par cette autre formule dans laquelle les quatre nombres entrent symétriquement :

lmrn\/^mrn! , , .

On conçoit que les deux valeurs de tj tirées de (/w',), (/to\), ne peuvent pas en général être identiques, à cause des écarts fortuits que comporte encore le nom-

DES PROBABILITIÉS A POSTERIORI. 1 73

bre n% après qu'on a assigné au nombre mf une valeur déterminée; mais ces deux valeurs de t deviendraient égales^ et auraient pour commune expression

si les deux rapports — » -7, étaient rigoureusement égaux,

de manière qu'on pût posera la fois mf=oLmj n' = 0Ln. Par conséquent les deux valeurs de t , tirées de {m\), (m\) différeront très-peu, tant que la différence des

deua; rapports — , — 7 , restera tres-petitè : ce qu on doit admettre, si m, n, m\ n! désignent de grands nombres, et si les deux séries de tirages ont lieu dans la même urne, comme on le suppose.

Pour l'application des formules (m',), {m ^ il n'est évidemment pas nécessaire d'admettre que la première série des tirages a déjà eu lieu ; conséquemment on a , * avant toute épreuve, la probabilité P que l'écart des

rapports — ,—7 9 donnés par deux séries de tirages futurs,

dans la même urne, ou dans deux urnes pour lesquelles la chance x d'extraction d'une boule blanche conserve la même valeur, restera compris entre les deux limites ± /^ : la valeur de la limite t étant liée à celles de t et de P au moyen de la formule (/w',), que nous considérerons de préférence à cause de sa composition symétrique.

99. Supposons que les deux séries de tirages aient eu lieu dans deux urnes différentes, ou , si elles ont eu lieu clans la même urne , admettons que la constitution de

Purne a pu changer dans le passage d'uqe série à l'autre. Désignons par x^ cà les chances inconnues de l'extraction d'une boule blanche, pour la première série de tirage^ et pour la seconde. L'expérience a donné

ri

tr. = *,

^ désignant, pour fixer les idées ^ uije fraction positive; $t, d'après la valeur de l'écart pbsprvé J, on demande la probabilité ^11 que x surpasse x\ au moin^ 4'jfQ^ Quantité a, qui peut être choisie plus petite o^ p|fi9 grande que ^.

Appelons toujours P la probabilité qu'on aurait eue avant toute expérience, et en admet(ai:ft l'égalité des

chances x. x\ que l'écart -, serait compris entre

m mi *

les limites ± (^ — a) : la valeiir de P i^era donpéÇ| p^f

l'intermédiaire de l'auxiliaire ^, au moyen de la fpr|i}u|e

± ( J — = (!C\mm'\/^ mm i/^2[m^n'{m' — n') + m'^n{m ^ n)\

Le signe ± indique que la différence ^ — a doit toujours être prise positivement , afin de conserva à t une valeur pppif iv^,

Cel^ po§p, )9 valeur de H sera

et l'on devra choisir le signe -}- ou le signe — , selon qu'on aura pris a plus petit ou plus grand que ^.

Si l'on a pris a 1=0, EL sera la probabilité que x surpasse x\ quelque faible qu'on veuille d'ailleurs supposer la différence x — x. En d'autres termes, ce sera la pro-

DES PROBABILITES A POSTERIORI. 175

habilité que l'écart ^ ne doit pas être imputé upiqueipent aux anomalies du hasard, et qu'il accuse une variation de chances , d'une série d'épreuves à l'autre.

Posons —, = ^J, et faisoqs cfpîtr^ (^nsu^tie Jp aombl^ m

m! jusqu'à l'infini : H désignera la probabilité que la

chance .r, dans la première série d'épreuves, surpasse

la fr^ctiou ri y a|i ^lQi^s 4'mie qqantité a. Qans ce oa^,

h^ yaleur de ty qui détermine celle de P, et par suite

celle d6 Hi deyient

zt ( — ' — xJ — a \rr\/^ \m J

Par exemple, si le nombre n surpasse -m, la probabilité

que X surpasse - , 014 qu'il y a dans l'ui^e plus de boules

blanche^ que de poires , sera la valeur de n correspondant à

(2/1 — • m)\ym

100. Imaginons que chacune des boules, blanches ou noires, qui se trouvent dans l'urne d'où l'on a extrait n boqles blanches en m tirages, soit marquée à l'encre rouge de l'une des lettres a, b; mais qu'on ignore si ces marques ont été appliquées par un agent aveugle, sans distinction de couleurs, ou si au contraire, par une cause quelconque, l'une des marques est tombée de préférence sur les boules d'une certaine couleur. A chaque tirage on reconnaît la marque qui affecte la boule extraite; et le résultat du dépouillement des tirages est la décomposition de la série totale des m boules extraites

176 CHi^PITRE VIII.

en deux séries partielles : l'une de /tz. boules marquées a, sur lesquelles il y en a n^ blanches, Fautre de m^ boules marquées b^ parmi lesquelles on en compte n^ blanches. Il s'agit de savoir si l'écart

doit être imputé aux anomalies du hasard, ou s'il indique au contraire, avec une probabilité suffisante , que les chances d'extraction d'une boule blanche ne sont pas les mêmes dans la série {a) et dans la série {b) : la distribution des caractères a, b n'ayant pas été complètement indépendante de la couleur des boules.

Avant le dépouillement des tirages , il y avait une probabilité P correspondant à

que l'écart -^ — . -! serait renfermé entre les limites

"àz^j si la chance x restait la même pour les deux séries («), {b) ; et après le dépouillement , il y a une probabilité

que l'existence de l'écart & accuse la supériorité de la chance x^ sur la chance ^, : ^,, x^ désignant respectivement les valeurs de la chance a:, pour chacune des séries (a), {b). En conséquence, si la valeur de n ne diffère de l'unité que d'une très-petite fraction, on regardera comme presque certain que la chance d'extraction d'une boule blanche varie d'une série à l'autre. 101 . Quand on compare, non plus une série partielle

à l'autre série partielle , mais une série partielle à la série totale, la probabilité P que l'écart '- sera con-

tenu entre les limites dtz 8^ est donnée en fonction^de t par réquation

8m{/^mm ,

t ' ^ I I II ■ •

V^an^m — n) {m — m,)

Cette dernière formule est due à M. Bienaymé ('). Elle offre une analogie remarquable avec celle du n° 97.

1Ô2. Maintenant rien n'empêche que les boules soient encore distinguées par une autre marque, consistant dans l'inscription de l'un des caractères a\ U . Nous admettrons que la distribution de ces nouveaux caractères est indépendante de la distribution des caractères a^ h; mais on sera censé ignorer à priori si elle est ou non indépendante de la distribution des couleurs. Le dépouillement des m tirages décomposera la série totale en deux nouvelles séries partielles : l'une, composée des boules marquées a! ^ dans laquelle entrent r^ ^ boules blahches et/Ti^ — ^/l'x boules noires; l'autre^, composée des boules marquées h' y dans laquelle on compte n! ^ boules blanches pour ni^ — n!^ boules noires. A l'écart observé

w'i ni ^

correspondront des probabilités P', II', suffisamment délaies par ce qui précède.

Rien ne limite le nombre des systèmes binaires de c^aractères opposés, d'après lesquels on peut faire autant

"^ (') Journal l'Institut, n* du 14 mai 1840*

xa

en deux séries partielles : l'une de m^ boules marquées a, sur lesquelles il y en a n^ blanches, Fautre de m^ boules marquées b^ parmi lesquelles on en compte n^ blanches. Il s'agit de savoir si l'écart

doit être imputé aux anomalies du hasard, ou s'il indique au contraire, avec une probabilité suffisante y que les chances d'extraction d'une boule blanche ne sont pas les mêmes dans la série (ci) et dans la série [b) : la distribution des caractères a, b n'ayant pa&été complètement indépendante de la couleur des boules.

Avant le dépouillement des tirages , il y avait une probabilité P correspondant à

\/^\m\nJ^^ — n^) + m\nSrn^ — /i,)]

que l'écart -^ -^ -! serait renfermé entre les limites

±^9 si la chance x restait la même pour les deux séries («), {b)\ et après le dépouillement , il y a une probabilité

que l'existence de l'écart ^ accuse la supériorité de lachance x^ sur la chance x^ : ^„ x^ désignant respecti-^ vement les valeurs de la chances:, pour chacune séries (a), {b). En conséquence, si la valeur de II diffère de l'unité que d'une très-petite fraction, on gardera comme presque certain que la chance d'extrac-^ tion d'une boule blanche varie d'une série à l'autre. 101 . Quand on compare, non plus une série partielle

à l'autre série partielle, mais une série partielle à la série totale, la probabilité P que l'écart '- sera con-

* * mm,

tenu entre les limites db 8, est donnée en fonction^de t par l'équation

8m{/^mm , \/^2n(m — n) {ni — m,)

Cette dernière formule est due à M. Bienaymé ('). Elle offre une analogie remarquable avec celle du n° 97.

102. Maintenant rien n'empêche que les boules soient encore distinguées par une autre marque, consistant dans l'inscription de l'un des caractères a\ U . Nous admettrons que la distribution de ces nouveaux caractères est indépendante de la distribution des caractères a, b; mais on sera censé ignorer à priori si elle est ou non indépendante de la distribution des couleurs. Le dépouillement des m tirages décomposera la série totale en deux nouvelles séries partielles : l'une, composée des boules marquées a\ dans laquelle entrent n\ boules blahches tlTn\ — n\ boules noires; l'autre^, composée des boules marquées h\ dans laquelle on compte n\ boules blanches pour ml^ — n\ boules noires. A l'écart observé

correspondront des probabilités P', II', suffisamment dé- :£Qies par ce qui précède.

Rien ne limite le nombre des systèmes binaires de c^aractères opposés, d'après lesquels on peut faire autant

'"- (') Jomtial l'Institut, n* du 14 mai 1840.

xa

178 CHAPITRE TIII.

de côUpes dans la série totale. Désignons ce nombre par j, et par

les analogues, pour le système (a^'\ b^^), des nombres m, y n,, m,, »,, ^, ^,, ^,, P, H,

relatifs aux systèmes {a, b)» Supposons , en outre , que tous les termes de la série II, II',... II^'-'^ à l'exception de n^*^, soient assez petits pour donner lieu de croire, de prime abord, que tous les écarts 5, ^',...5^'""'^, à l'exception de 8^'\ sont imputables aux anomalies du hasard : il s'agit de savoir quelle conséquence on doit tirer des valeurs trouvées pour 8^'\ 11^*) ; et il y a à cet égard une distinction importante à faire.

Si l'expérimentateur s'était proposé directement, avant tout dépouillement du tirage, de décomposer la série totale d'après les caractères a^'\ b^'\ soit que le hasard lui eût suggéré l'idée d'éprouver ce système de caractères de préférence à tous les autres, soit qu'il eut à priori quelque motif de conjecturer que les chances x['\ a^J^ sont inégales, le nombre 11^'^ mesurerait sans contredit, d'après ce qui a été expliqué plus haut, la probabilité qu'il a, après l'expérience, qu'en effet x^/^ surpasse x^'>; et, dans le cas oïl n^') différerait très-peu de l'unité, le fait de cette supériorité devrait être regarde par lui comme presque certain.

Mais si l'expérimentateur n'a été induit que par le résultat même du dépouillement à considérer le système (a^\ b^^) de préférence aux autres, les conclusions ne peuvent plus être les mêmes. En effet, quoiqu'il y ait une grande probabilité P que, pour chacun des systèmes (a, b\ l'écart J ne franchira pas une certaine limite /, si

BEà PROBABILITÉS A POSTERIORI. 182

les chances x^^ x^ sont égales, il peut y avoir une grande probabilité (si le nombre s est très-grand) que, pour l'un des systèmes au moins, l'écart ^ franchira cette limite% Dès lors l'anomalie observée, pour ce qui concerne le système id^^ b^^) pris entre une foule d'autres , peut très^-bien être fortuite ; il est même très-probable qu'on finira par tomber fortuitement sur une telle anomalie, à force de multiplier les coupes et les essais.

U n'y a d'ailleurs rien d'étonnant à ce que des chances d'erreur très-inégales affectent le même jugement, porté sur le même fait, selon les circonstances dans lesquelles le jugement est porté. Ainsi, l'on conçoit trèsbien que l'expérimentateur ne se tromperait qu'une fois sur mille, lorsque, décomposant directement, d'après une idée préconçue , la série totale par rapport aux caractères a^'\ ^^'\ et trouvant pour n^*Ua valeur 0,999, il prononcerait que x^p surpasse x^^^ ; tandis qu'il pourrait au contraire se tromper 999 fois sur 1 000 en portant le même jugement, s'il n'était tombé que par tâtonnements, après un grand nombre d'essais, sur l'écart ^^\ et si le résultat même des tâtonnements était le seul motif qui fixât son attention sur le système (d^y b^^\ de préférence à une foule d'autres.

De là résulte pourtant cette conséquence singulière, qu'une personne étrangère à l'opération du dépouillement, à qui l'expérimentateur communiquera le résultat du dépouillement en ce qui concerne le système (a^'^, é^')), sans lui faire connaître par combien de tâtonnements et d'essais l'on a passé pour obtenir ce résultat, ne pourra porter un jugement, affecté d'une chance d erreur déterminée ^ en ce qui concerne l'égalité ou l'inégalité des chances câ^^^ x^^. A la vérité cette personne

pourra avoir des motifs de conjecturer à priori qu'une certaine inégalité existe, et que, pour des motifs du même genre, la coupe {ci^\ U^^ s'est offerte naturellement à l'expérimentateur, indépendamment du résultat même du dépouillement, et -entre une foule d'aHIres coupes également possibles. Mais l'appréciation de ces motifs n'équivaudra pas à une probabilité mesurable, ayant une valeur objective, et représentant la chance de véracité ou d'erreur qui affecte réellement un jugement porté dans des circonstances où les conditions du hasard sont rigoureusement définies. Nous reviendrons sur cette conséquence singulière^ et nous la rendrons plus sensible, en recourant à des exemples moins abstraits, dans le chapitre suivant , oii nous traiterons des applications à la staûstique.

D£ tA STATISTIQUE. 181