DE LA STATISTIQUE EN GÉNÉRAL, ET DE LA DETERMINATION

EXPÉRIMENTALIÇ DES CHANCES.

103. La statistique est une science toute moderne : le génie des anciens ne se portait pas volontiers vers les travaux de précision; les moyens de recherche et de communication leur manquaient; enfin (ce qui surprend davantage), malgré la variété de leurs spéculations philosophiques, ils ne paraissent pas avoir soupçonné l'existence d'un principe de compensation qui finit toujours par manifester Tinfluence des causes régulières et permanentes, en atténuant de plus en plus celle des causes irrégulières et fortuites.

De nos jours, au contraire, la statistique a pris un développement en quelque sorte exubérant; et l'on n'a plus qu'à se mettre en garde contre les applications prématurées et abusives qui pourraient la décréditer pour un temps, et retarder l'époque si désirable où les données de l'expérience serviront de bases certaines à toutes les théories qui ont pour objet les diverses parties de l'organisation sociale.

En effet, l'on entend principalement par statistique (comme l'indique l'étymologie) le recueil des faits auxc|uel8 donne lieu l'agglomération des hommes en sociétés

Purne a pu changer dans le passage d'uoe série à l'autre. Désignons par Xj x* les chances inconnues de l'extraction d'une boule blanche, pour la première série de tirages et pour la seconde. L'expérience a donné

^ désignant, pour fixer les idées ^ uije fraction positive; çt, diaprés la valeur de l'écart pbservé ^, on demande la probabilité ^n que x surpasse x\ au moia3 4'ifn^ quantité a, qui peut être cjioisie plus petite o^ p}^9 grande que ^.

Appelons toujours P la probabilité qu'on aurait eue avant toute expérience, et en admetfa^t l'égalité des

chances x. x\ que l'écart —, serait compris entre

m mi ^

les limites ±(8 — a) : la valç^r de P ^era donpée, p^f

l'intermédiaire de l'auxiliaire t^ au mojm de la fprfi^ule

dt ( J — s cc)mm'\/^mm'

[/^2[m^n'{m' — n!) -f- rn!^n{m — n)]

Le signe ± indique que la différence 5 — a doit toujours être prise positivement , afin de conserva à t une

valeur pP3if iv^f

Cel^ po§p, )^ valeur de H sera

et l'on devra choisir le signe -[- ou le signe — , selon qu'on aura pris a plus petit ou plus grand que ^.

Si l'on a pris az=zo, Il sera la probabilité que x surpasse x\ quelque faible qu'on veuille d'ailleurs supposer^ la différence x — x . En d'autres termes, ce sera la pro-

DES PROBABILITES A POSTERIORI. 175

habilite que l'écart ^ ne doit pas être imputé upiqueipent aux anomalies du hasard, et qu'il accuse une variation

de chances , d'une série d'épreuves à l'autre.

ri Posons —,=^J, et faispqs cfpître (ensuite Jp aombl^

m! jusqu'à l'infini : H désignera la probabilité que la chance .r, dans la première série d'épreuves, surpasse I9 frfictiou xij^ a^ ^lQ}^s d'mie qqantité a. Dans ce ca^, h^ yaleur 4^ ty qui détermine celle de P , et par suite celte d« IJi deyient

zfc ( — ' — xJ — a \rr\/^m \m J

Par exemple, si le nombre n surpasse -m, la probabilité

que X surpasse - , ov^ qu'il y a dans l'urne plus de boules

blanche^ que de poires , sera la valeur de n correspondant à

(271 — • rn^/m

100. Imaginons que chacune des boules, blanches ou noires, qui se trouvent dans l'urne d'où l'on a extrait n boqles blanches en m tirages, soit marquée à l'encre rouge de l'une des lettres a, b; mais qu'on ignore si ces marques ont été appliquées par un agent aveugle, sans distinction de couleurs, ou si au contraire, par une cause cjuelconque, l'une des marques est tombée de préfér'ence sur les boules d'une certaine couleur. A chaque tirage on reconnaît la marque qui affecte la boule extraite; et le résultat du dépouillement des tirages est la décomposition de la série totale des m boules extraites

en deux séries partielles : l'une de m^ boules marquées a, sur lesquelles il y en a n^ blanches, l'autre de m^ boules marquées b^ parmi lesquelles on en compte n^ blanches. Il s'agit de savoir si l'écart

doit être imputé aux anomalies du hasard, ou s'il indique au contraire, avec une probabilité suffisante , que les chances d'extraction d'une boule blanche ne sont pas les mêmes dans la série [a] et dans la série [h) : la distribution des caractères a, b n'ayant pas été complètement indépendante de la couleur des boules.

Avant le dépouillement des tirages , il y avait une probabilité P correspondant à

V^2[mln^(m^ — /i,) + mln^{m^—n,)]

que l'écart -^ -^ -! serait renfermé entre les limites

±^9 si la chance x restait la même pour les deux séries («), {b)\ et après le dépouillement , il y a une probabilité

que l'existence de l'écart ^ accuse la supériorité de la chance .r, sur la chance x^ : ^„ x^ désignant respectivement les valeurs de la chance x, pour chacune des séries (a), (è). En conséquence, si la valeur de H ne diffère de l'unité que d'une très-petite fraction, on regardera comme presque certain que la chance d'extraction d'une boule blanche varie d'une série à l'autre. 101 . Quand on compare, non plus une série partielle

à l'autre série partielle, mais une série partielle à la série totale, la probabilité P que l'écart ~ sera con-

tenu entre les limites d= ^, est donnée en fonction^de t par réquation

V^!infjn — n) {m — m,)

Cette dernière formule est due à M. Bienaymé ('). Elle offre une analogie remarquable avec celle du n° 97.

1Ô2. Maintenant rien n'empêche que les boules soient encore distinguées par une autre marque, consistant dans l'inscription de l'un des caractères a\ b\ Nous admettrons que la distribution de ces nouveaux caractères est indépendante de la distribution des caractères a, b; mais on sera censé ignorer à priori si elle est ou non indépendante de la distribution des couleurs. Le dépouillement des m tirages décomposera la série totale en deux nouvelles séries partielles : l'une, composée des boules marquées a\ dans laquelle entrent n\ boules blahches et m\ — n\ boules noires ; l'autre , composée des boules marquées h\ dans laquelle on compte n\ boules blanches pour m\ — n\ boules noires. A l'écart observé

correspondront des probabilités P', II', suffisamment dé- Ames par ce qui précède.

Rien ne limite le nombre des systèmes binaires de caractères opposés, d'après lesquels on peut faire autant

(') Journal l- Institut, n* du 14 mai 1840*

178 CHAPITRE TIII.

èe côUpes dans la série totale. Désignons ce nombre par Sy et par

7w(o, /i(o, mipj n(o^ J(o, ^(0, oKO, p(0, n(o,

les analogues, pour le systènie (a^'\ b^^), des nombres 7w,, /i,, m,, »,, ^, x,y x^y P, n,

relatifs aux systèmes (â, b). Supposons, en outre ^ que tous les termes de la série H, II',... n^*"'^ à l'exception de n^*^, soient assez petits pour donner lieu de croire, de prime abord, que tous les écarts 5, 5',...5^'""), à l'exception de 8^'\ sont imputables aux anomalies du hasard : il s'agit de savoir quelle conséquence on doit tirer des valeurs trouvées pour S^'\ 11^*) ; et il y a à cet égard une distinction importante à faire.

Si l'expérimentateur s'était proposé directement, avant tout dépouillement du tirage, de décomposer la série totale d'après les caractères a^'\ b^'\ soit que le hasard lui eût suggéré l'idée d'éprouver ce système de caractères de préférence à tous les autres, soit qu'il eut à priori quelque motif de conjecturer que les chances .x^J\ .r^*) sont inégales, le nombre 11^'^ mesurerait sans contredit, d'après ce qui a été expliqué plus haut, la probabilité qu'il a, après l'expérience, qu'en effet x^/^ surpasse jr^'>; et, dans le cas oii 11^'^ différerait très-peu de l'unité, le fait de cette supériorité devrait être regarde par lui comme presque certain.

Mais si l'expérimentateur n'a été induit que par le résultat même du dépouillement à considérer le système (a^\ b^^) de préférence aux autres, les conclusions ne peuvent plus être les mêmes. En effet, quoiqu'il y ait une grande probabilité P que, pour chacun des systèmes (a, b)f l'écart 8 ne franchira pas une certaine limite /, si

BEà PROBABILITÉS A POSTERIORI. 182

les chances x^^ x^ sont égales, il peut y avoir une grande probabilité (si le nombre s est très-grand) que, pour l'un des systèmes au moins , l'écart ^ franchira cette limite% Dès lors l'anomalie observée, pour ce qui concerne le système id^^ b^^) pris entre une foule d'autres , peut très^-bîen être fortuite ; il est même très-probable qu'on finira par tomber fortuitement sur une telle anomalie, à force de multiplier les coupes et les essais.

U n'y a d'ailleurs rien d'étonnant à ce que des chances d'erreur très-inégales affectent le même jugement, porté sur le même fait, selon les circonstances dans lesquelles le jugement est porté. Ainsi, l'on conçoit trèsbien que l'expérimentateur ne se tromperait qu'une fois sur mille, lorsque, décomposant directement, d'après une idée préconçue, la série totale par rapport aux caractères a^% ^^'^, et trouvant pour n^'Ua valeur 0,999, il prononcerait que x^l^ surpasse x^^^ ; tandis qu'il pourrait au contraire se tromper 999 fois sur 1 000 en portant le même jugement, s'il n'était tombé que par tâtonnements, après un grand nombre d'essais, sur l'écart ^^\ et si le résultat même des tâtonnements était le seul motif qui fixât son attention sur le système {a^\ b^^\ de préférence à une foule d'autres.

De là résulte pourtant cette conséquence singulière, qu'une personne étrangère à l'opération du dépouillement, à qui l'expérimentateur communiquera le résultat du dépouillement en ce qui concerne le système (a('\ é^')), sans lui faire connaître par combien de tâtonnements et d'essais l'on a passé pour obtenir ce résultat, ne pourra porter un jugement, affecté d'une chance d erreur déterminée ^ en ce qui concerne l'égalité ou l'inégalité des chances x^^^ x^^. A la vérité cette personne

pourra avoir des motifs de conjecturer à prion qu'une certaine inégalité existe, et que, pour des motifs du même genre , la coupe {p^\ U^^ s'est offerte naturellement à l'expérimentateur, indépendamment du résultat même du dépouillement, et ^entre une foule d'aiftres coupes également possibles. Mais l'appréciation de ces motifs n'équivaudra pas à une probabilité mesurable, ayant une valeur objective, et représentant la chance de véracité ou d'erreur qui affecte réellement un jugement porté dans des circonstances où les conditions du hasard sont rigoureusement définies. Nous reviendrons sur cette conséquence singulière^ et nous la rendrons plus sensible, en recourant à des exemples moins abstraits, dans le chapitre suivant , où nous traiterons des applications à la statistique.