EXPÉRIHENTALIÇ DES €HAN€ES

10^. La statistique est une science toute maderne : le génie des anciens ne se portait pas volontiers vers les travaux de précision; les moyens de recherche et de communication leur manquaient; enfin (ce qui surprend davantage), malgré la variété de leurs spéculations philosophiquesy ils ne paraissent pas avoir soupçonné l'existence d'un principe de compensation qui finit toujours par manifester l'influence des causes régulières et permanentes, en atténuant de plus en plus celle des causes irrégulières et fortuites.

De nos jours, au contraire, la statistique a pris un développement en quelque sorte exubérant; et Ton n'a plus qu'à se mettre en garde contre les applications prématurées et abusives qui pourraient la décréditer pour un temps, et retarder l'époque si désirable où les données de l'expérience serviront de bases certaines à toutes les théorifss qui ont pour objet les diverses parties de l'organisation sociale.

En effet, l'on entend principalement par statistique (^comme l'indique l'étymologie) le recueil des faits auxquels donne lieu l'agglomération des hommes en sociétés

182 CHAPITEE IX.

politiques : mais pour nous le mot prendra une acception plus étendue. Nous entendrons par statistique « la science qui a pour objet de recueillir et de coordonner des faits nombreux dans chaque espèce , de manière à obtenir des rapports numériques sensiblement indépendants des anomalies du hasard , et qui dénotent l'existence des causes régulières dont l'action s'est combinée avec celle des causes fortuites. »

104. Comme cette distinction des causes régulières ou permanentes, et des causes accidentelles ou fortuites, revient fréquemment dans le discours, il convient d'y attacher un sens bien précis, et de voir comment elle se rattache à la notion que nous nous sommes faite du hasard et de la possibilité physique des événements.

Quand un dé qui offre des irrégularités de structure est projeté plusieurs fois de suite , l'apparition de telle face du dé à chaque jet est un effet dépendant de la direction et de l'intensité de la force impulsive, aussi bien que de la forme du dé et du mode de distribution de la masse; mais on peut admettre communément qu'il y a une parfaite indépendance entre les causes qui déterminent, pour un jet, l'intensité et la direction de la force impulsive, ainsi que son point d'application, et celles qui les déterminent aux jets suivants; tandis que les irrégularités de structure, par exemple la distance du centre de gravité du dé à son centre de figure, agissent (') à chaque jet, et toujours dans le même sens,

(') Il est bien entendu que les mots causcy action^ etc., sont pris ici par nous avec toute la latitude d'acception qu'ils comportent dans la langue commune, et non avec cette rigueur qu^exige quelquefois l'analyse métaphysique. Quand on dit, par exemple,

DE I4A «TAVII^IQUE. 199

peur fiivoruer l'apparition de telle (àce plutôt que de telle autre. Ces eauses toujours présentes, dont Tin-p fluence s'étend sur toute une série d'épreuyes, sont cei que nous entendons par causes régulières ou permaf nentes^ tandis que les causes qui régissent chaque épreuve individuellement, sans qu'il y ait aucune trace de solidarité entre l'acti'on qu'elles exercent dans un cas individuel , et l'action qu'elles exercent dans un autre cas , sont ce que nous entendons par causes accidentelles bu fortuites. Les effets dus à leurs variations irrégulières se compensent et disparaissent ^dans le résultat moyen d'un grand nombre d'épreuves; de sorte qu'elles n'influent pas sur la mesure de la possibilité de l'événement A ou de l'événement B, bien qu'elles concourent efïïcacement^ dans chaque cas particulier, à déterminer la pro-

qu'un volant agit pour régulariser les mouvements d'une machine, ou qu'il est cause de la rëgularité des mouvements, on n'entend pas prêter à la masse inerte du volant une énergie qu'elle n'a point; on comprend bien que le volant joue, dans le mouvement de la macjiine, un rôle véritablement passif: absorbant de la force vive et en restituant aux autres pièces de l'appareil, toujours par suite de Tinertie de sa masse , et non en vertu d'une force propre qui résiderait en lui. De même une petite masse additionnelle, fixée en un* point d'un dé homogène, et qui trouble la symétrie de la distribution de la masse totale autour du centre de figure ne joue qu'un rôle passif dans les mouvements du dé, bien qu'on ait coutume de dire qu'elle est cause de la plus fréquente apparition d'une des faces, ou qu'elle agit pour favoriser l'apparition de cette face. On s'exprimerait plus philosophiquement en disant que la présence du volant est la raison de la régularité du mouvement de la machine, et que le défaut de symétrie dans la distribution de la masse du dé est la raison de la plus fréquente apparition d'une des faces.

duction de l'ëvénement A ou de l'évëâfeient B. Les causes permanentes sont celles qui déterminent^ par leur influence , lat possibilité de chaque événement, susceptible de se produire ou de ne se pas produire, selon la combinaison qui a lieu entre les causes permanentes et les causes fortuites ; et l'élimination des causes accidentelles, Tinvestigation des causes permanentes constituent l'objet essentiel des recherches de statistique.

105. Pour que la statistique mérite le nom de science, elle ne. doit pas consister simplement dans une compilation de faits et de chiffres : elle doit avoir sa théorie, ses règles , ses principes. Or cette théorie s'applique aux faits de l'ordre physique et naturel, comme à ceux de l'ordre social et politique. En ce sens , des phénomènes qui s'accomplissent dans les espaces célestes peuvent être soumis aux règles et aux investigations de la statistique, comme les agitations de l'atmosphère, les perturbations de l'économie animale , et comme les faits plus complexes encore qui naissent, dans l'état de société , du frottement des individus et des peuples.

106. La recherche et la critique des documents doivent donner lieu, dans chaque branche de la statistique, à des difficultés et à des règles spéciales, dont nous n'avons pas à nous occuper ici.

En admettant qu'on ait réuni les matériaux ou les documents nécessaires, qu'ils aient l'exactitude et l'authenticité requises, il s'agit de les mettre en œuvre, d'y démêler un ordre, d'opérer la réduction des éléments, de remonter aux données primitives, dont les valeurs déterminent implicitement toutes les autres, et qui peuvent quelquefois être inaccessibles à l'observation directe. Par exemple, lorsque nous traiterons de la sta-

tistique judiciaire, on verra que la chance d!erreur qui affecte la sentence d'un juge ou d'un tribunal est un nombre que la statistique ne saurait donner directement, mais qui pourtant peut se conclure indirectement des valeurs que la statistique assigne à d'autres nombres, dérivant du premier comme l'effet dérive de sa cause.

La statistique est une science d'observation. Les chiffres sont les instruments à l'usage des statisticiens, et la précision de ces instruments est rendue comparable au moyen des formules tirées de la théorie des chances. Mais le but essentiel du statisticien, comme de tout autre observateur, est de pénétrer autant que possible dans la connaissance de la chose en soi, et pour cela de dégager autant que cela se peut faire, par une discussion rationnelle, les données immédiates de l'observation, des modifications qui les affectent, en raison seulement du point de vue oii se trouve placé l'observateur, et des moyens d'observation mis à sa disposition.

107. L'objet immédiat des ^relevés et des tableaux statistiques est ordinairement, soit de faire connaître la chance de l'arrivée d'un événement qui peut se produire ou ne pas se produire, dans des circonstances données, selon des combinaisons fortuites ; soit de déterminer la valeur moyenne d'une quantité variable, susceptible d'osciller fortuitement entre certaines limites; soit enfin d'assigner la loi de probabilité des valeurs, en nombre infini, qu'une quantité variable est susceptible de prendre, sous l'influence de causes fortuites. Il est naturel de traiter d'abord du problème qui consiste à déterminer parla statistique la chance d'un événement, ou à donner la mesure de sa possibilité.

Déjà l'on a vu dans le chapitre précédent [96] que si

révéï^emeut A, dont nous désignerons p^r p la prql^abiilité inçonQue, s'est produit n fois dans un nombre m d'observations ou d'épreuves recueillies par la statisti* que, il y a une probabilité P que l'erreur que l'on com^-

met en prenant pour p le rapport —, tombe entre les

limites rb/, le nombre / étant lié à l'auxiliaire t^ et par suite.à la probabilité P, au moyen de la formule

tzzzlmy •

La probabilité P a, comme nous l'avons expliqué, une valeur objective; elle piesure effectivement la possibilité de l'erreur du jugement que nous portons, en prononçant que la différence/? — ~ tombe entre les limites "àzl.

Lors même que, dans la multitude indéfinie de faits auxquels peuvent s'appliquer les observations statistiques, des raisons inconnues rendraient ^certaines valeurs Aep habiles à se produire plus fréquemment que d'autres, le nombre des jugements vrais que nous émettrions, en prononçant, d'après la probabilité P, que la différence

p tombe entre les limites ±/, serait au nombre

des jugements erronés, sensiblement dans le rapport de P à I — P, si d'ailleurs on embrassait une série de jugements assez nombreux pour que les anomalies fortuites aient dû se compenser sensiblement.

Pour la même valeur de P, l'intervalle 2/ des limites d'erreur est inversement proportionnel à

eo conséquence, ce deruier nombre peut être pria pour mesure de la précision avec laquelle l'inconnue p se trouve déterminée, quand on lui assigne pour valeur la

fraction — • En d'autres termes, et pour employer le

langage de quelques auteurs, le nombre Qe?) mesure le poids du résultat obtenu par l'observation statistique. Afin de rendre les résultats de statistique aisément comparal^les, quant au degré de précision qu'ils corapor* tent, il conviendrait d'inscrire dans les tableaux, à coté

des rapports — , les poids correspondants (/?).

108. Dans une nouvelle série de w! observations, l'événement A se produira r^ fois, et l'on doit regarder

comme impossible que le rapport —, coïncide rigoureu-

sement avec le rapport précédemment trouvé —. Si la

chance p est restée la même dans les deux séries d'é-

preuves, on a [98] la probabilité P que l'écart ^

doit tomber entre les limites ± /', déterminées au moyen de l'équation

t zm *,■,'. , ss»

Admettons «que l'expérience ait donné

ort fera, dans l'équation précédente, tz=z^^ et après qu'on aora calculé les valeurs correspondantes de t et de P, la fraction

sera la probabilité que la chance p de révénement A, dans la première série d'épreuves, surpasse la chance p du même événement, dans la seconde série, ou bien encore la probabilité que l'écart £ n'est pas imputable aux anomalies du hasard.

109. En général, il faut entendre par /?, p' des moyennes entre une multitude de valeurs distinctes que la chance de l'événement A est susceptible de prendre , quand on passe d'une catégorie à une autre , ou même d'un cas individuel à un autre [76]. Les moyennes /?,^' peuvent différer, soit parce que les chances de l'événement, pour les diverses catégories , ont varié dans le passage de la première série d'observations à la seconde ; soit parce que les mêmes catégories sont entrées en proportions différentes <làns la composition des deux séries ; soit parce que des catégories qui figuraient dans la première série ne figurent pas dans la seconde , ou réciproquement; soit enfin en raison du concours de de toutes ces diverses circonstances.

Toutes ces. causes de la variation de la moyenne/?, dans le pa'ssage de la première série à la seconde, peuvent être fortuites et irrégulières. Ainsi, un événement comparable à un coup de dés peut avoir déterminé les proportions dans lesquelles les catégories (^),(^),(c), etc., concourent à former la série (/w), et les proportions dans lesquelles ces mêmes catégories contribuent à former la série (w'). Un autre événement, comparable aussi à un coup de dés, peut avoir déterminé, d'abord pour la série (w), puis pour la série {rn\ les valeurs de la chance de l'événement A, relatives à chacune des catégories (a), (^), (c), etc. En ce sens , il ne serait plus exact de dire que l'écart ^, dès qu'il accuse avec une grande

probabilité une variation dans la moyenne /?, d'une série à l'autre , cesse d'être imputable aux irrégularités du hasard. Néanmoins nous continuerons d'employer cette locution, et voici dans quel sens.

Il est clair que l'événement qui déterminerait, pour la série (/tz), les valeurs de la chance/? relatives à chacune des catégories (a), (A), (c) , etc. , quoique jouant le -rôle de cause fortuite et irrégulière par rapport à un système formé d'un grand nombre de séries (m), (m'), [rn!'\ etc. , jouerait le rôle de cause constante [lo4] par rapport aux observations individuelles dont la série {ni) se compose ; puisqu'il affecterait à la fois , et de la même manière, toutes les observations de la série (m) et de la catégorie {a) , toutes les observations de la série (/tz) et de la catégorie (è), et ainsi de suite. De même, l'événement qui déterminerait dans quelles proportions les catégories (a), {b\ (c), etc., concourront à former la série (/w), quoique jouant toujours le rôle de cause fortuite par rapport au système des séries (m), (m'), etc., affecterait solidairement les cas individuels dont chaque série se compose.

Groupons par la pensée toutes les influences qui affectent solidairement la totalité des observations d'une série , ou partie d'entre elles ; groupons de même toutes les influences qui affectent chaque observation indépendamment de toutes les autres : le premier groupe d'influences ou de causes sera ce qui détermine pour chaque série les moyennes /?, /?' , etc. ; qu'elles changent ou non d'une manière fortuite et irrégulière d'une série à l'autre. Ce qui subsiste de l'action du second groupe, dans les résultats observés , et ce que la compensation n'y a pas effacé , est ce que nous regardons ici comme la

part du hasard , comme l'anomalie fortuite , pour chacune des séries (m\ {m!) , etc. Lors donc que nous disons que l'écart ^ accuse une variation dans la moyenne p^ et par là même n'est pas imputable aux anomalies du hasard y nous entendons dire que l'écart S ne provient pas, ou du moins ne^provient pas en totalité, des influences du second groupe ; qu il provient , au moins en partie^, de modifications apportées dans les influences du premier groupe, quoique d'ailleurs ce& modifications puissent elles-mêmes résulter de causes fortuites et irrégulières, dont les effets se compenseront, si l'on embrasse un nombre suffisant d'observations.

110. Admettons qu'on ait distribué en deux catégories {a)^ (é), chacune très**nombreuse , les m observations de la première série ; que m^^ soit le nombre des observations et n^ celui des événements A pour la catégorie (a); que m^^ n^ désignent les nombres analogues pour la catégorie {b) ; posons en outre

on aura la probabilité

que la chance moyenne de l'événement A, pour la catégorie {a\ surpasse celle du même événement pour la catégorie {b) ; la valeur de P étant celle qui correspond à la valeur de t donnée par l'équation

. J/W,/W,I//72,Wj

1 1 K C'est ici que nous devons revenir sur la remarque

DE LA STATISTIOUE. 191

jà lilite au n® lOa. Il est clair que rien ne limite le nombre des faces sous lesquelles on peut considérer less événements naturels ou les faits sociaux auicic{uels s'àp» pliqUent les recherches de statistique, ni-, par suite, le nombre den caractères d'après lesquels on peut les distribiteir en plusieurs groupes ou catégories distinctes. Silpposbns j pour prendre Un exemple ^ qu'il s'agisse de déterminer, d'après un grand nombre d'observations recueillies dans un pays tel que la ^ France , la chance d'une naissance masculine qui, en général , comme on .

le sait , surpasse - : on pourra distinguer d'abord les

naissances légitimes des naissances hors mariage; et comme on trouvera , en opérant sur de grands nombres, une différence très-sensible entre les valeurs du rapport du nombre des naissances mascuUkes au nombre total des naissances , selon qu'il s'agit aenfants légitimes ou naturels, on en conclura avec une probabilité trèsgrande que la chance d'une naissance masculine , dans la catégorie des naissances légitimes , surpasse sensiblement la chance du même événement , dans la catégorie des naissances hors mariage. On pourra distinguer eneore les naissances dans les campagnes des naissances dans les villes , et l'on arrivera à une conclusion analogue. Ces deux classifications s'offrent si naturellement à l'esprit , qu'elles ont été un objet d'épreuve pour tous les statisticiens.

Maintenant il est clair qu'on pourrait aussi classer les naissances d'après l'ordre de primogéniture , d'après l'âge , la profession , la fortune , la religion des parents ; qu'on pourrait distinguer les premières noces des seoondes, les naissances survenues dans telle aaifon de

192 CUàPITRE IX.

l'année^ des naissances suiiyenues dans une autre saison; en un mot , qu'on pourrait tirer d'une foule de circonstances accessoires au fait même de la naissance^ des caractères , en nombre indéfini , qui serviraient de base à autant de systèmes de distribution catégorique. Il est pareillement évident que, tandis que le nombre des coupes augmente ainsi sans limite, il est à priori Ae plus en plus probable que, par le seul effet du hasard, l'une des coupes au moins offrira, pour le rapport du nombre des naissances masculines au nombre total des naissances, dans les deux catégories opposées, des valeurs sensiblement différentes. En conséquence, ainsi que nous l'avons déjà expliqué , pour le statisticien qui se livre à un travail de dépouillement et de comparaison , la probabilité qu'un écart de grandeur donnée n'est pas imputable aux anonriÉies du hasard, prendra dés valeurs très-différentes, selon qu'il aura essayé un plus ou moins grand nombre de coupes avant de tomber sUr l'écart observé. Comme on suppose toujours qu'il a opéré sur^ de grands nombres, cette probabilité, en vertu des principes posés [95], n'en aura pas moins, dans chaque système d'essais, une valeur objective, en ce sens qu'elle sera proportionnelle au nombre de paris que l'expérimentateur gagnerait effectivement, s'il répétait un grand nombre de fois le même pari, toujours à la suite d'autant d'essais parfaitement semblables, et si l'on possédait d'ailleurs un critérium certain pour distinguer les cas où il se trompe des cas où il rencontre juste.

Mais ordinairement ces essais par lesquels l'expérimentateur a passé ne laissent pas de traces ; le public n(S connaît que le résultat qui a paru mériter de lui être signalé; et en conséquence, une personne étran-

DE LA BtATtSTtQUE. 193

^q; t gère au travail d'essais qui a mis ce résultat en évidence,

,n^ I manquera absolument de règle fixe pour parier que le

^ 1 résultat est ou non imputable aux anomalies du hasard.

1;^^ 1' On ne saurait assigner approxitnativement la valeur de

I ^ rapport du nombre des jugements erronés qu'elle por-

^ ^ç^ • iera j ttu nombre des jugements portés , même en sup-

^ p\^; |x»ant très-grand le nombre des jugements semblables

YuxÉ. toortéft dans des circonstances identiques. En un mot

xioin. là probabilité que nous avons appelée n , et qui corres

» nair ■ ))ond à l'écart ^, perdra, pour la personne étrangère

aleius I âut essais qui ont manifesté cet écart , toute consis

»î qoe \ tflnc<$ objectivé; et^ selon l'idée que cette personne S(

qui Se I f^ de la valeur intrinsèque du caractère qui a sérv

a^îson, î de base à la divisioh catégorique correspondante, ell<

*^^P*>' j dévrA porter des jugements différents, la grandeur d(

rieurs I l'écart signalé restant la même.

^^"^ î 112. Pour éclaircir cette dernière remarque, san

f*^'^ sortir de tiotre exemple , supposons qu'on ait distribu

f^ / les naissances en deux catégories , suivant qu'elles son

^ arrivées du solstice d'été au solstice d'hiver, ou , ai

contraire, du solstice d'hiver à celui d'été. Il est <

priori fort plausible que la chance d'une naissanc

tbaactiliùe né reste pas rigoureusement la même dan

les deux semestres, ou même qu'elle éprouve , d'un s(

teestre à l'autre , une variation appréciable. En effet

l'éjMKjùé de la daissance se lie à l'époque de la conception

éè Manière que les naissances de la première catégori

èo^rèSJpoùdent , pour l^)lupart, à des conceptions sui

vteues dans la saison cmiver, de l'équinoxe d'automne

celui du printemps , tandis que les naissances de la si

èondé catégorie correspondent, aussi pour la plupart

à défT cotice()tions survenues dans la saison d'été, c

l'ëquinoxe du printemps à Téquinoxe d'automne. Or, il est bien naturel de présumer que des différences dans la température, dans le régime alimentaire, dans les travaux et les habitudes, aussi sensibles que celles qui résultent , pour nos climats , du passage de la saison d'été à la saison d'hiver, peuvent exercer une influence appréciable sur la chance de conception d'un enfant du sexe masculin : de sorte que, si la grandeur de l'écart observé cadre avec cette conjecture, on sera extrêmement fondé à croire qu'un tel écart n'est pas imputable aux anomalies du hasard. En effet , il faudrait opérer fortuitement un très-grand nombre de coupes ou de divisions catégoriques , pour que le hasard seul fit correspondre à quelques-unes seulement de ces coupes des écarts trèssensibles; et il serait bien peu probable ^/ /7/*;b/*/ que ces coupes, sur lesquelles le hasard tomberait^ fussent* précisément du nombre de celles pour lesquelles il nous paraît vraisemblable , d'après l'idée que nous nous faisons des conditions du phénomène, que l'on rencontrera un écart non fortuit, et dû à une variation réelle des chances.

' Supposons maintenant qu'on ait distribué les naissances en deux catégories , suivant qu'elles sont arrivées les jours pairs ou les jours impairs du mois, et qu'il résulte de cette coupe un écart très-sensible : nous soutenons que, malgré la grandeur de l'écart observé , il restera très-peu probable que l'écart n'est pas imputable aux anomalies du hasard. C^ à priori y le caractère qui a servi de base à cette diMibution catégorique doit paraître tout à fait arbitraire et artificiel. La distinction des jours du mois en pairs et en impairs , selon leurs puméros d'ordre ; n'a de rapport avec aucun des pbé«

DE hJL STATISTIQUE. 195

nomènes naturels , avec aucune des habitudes de la vie sociale. La période des saisons, la période de la semaine, la période même des lunaisons, circulent de manière que les jours pairs et impairs du mqis correspondent indifféremment à chaque jour de ces périodes. "Dès lors il y a tout lieu de croire que , si un écart notable correspond à la distribution catégorique dont il s'agit , c'est qu'il faut bien qu'on finisse par tomber fortuitement sur des écarts notables , à force de multiplier les coupes; et que vraisemblablement le calculateur, à la patience duquel on doit la manifestation de ce résultat fortuit, n'y est arrivé qu'à force de tâtonnements et d'essais.

Sans doute , si l'écart se soutenait dans de nouvelles séries d'observations , on serait bien obligé d'admettre, quelque bizarre que la chose paraisse à priori y qu'en effet la chance d'une naissance masculine n'est pas la même pour les jours pairs et pour les jours impairs du mois. C'est que le résultat même de la première expé* rience aurait déjà signalé la coupe dont il s'agit , comme une de -celles qu'il y a lieu d'essayer dans une nouvelle série d'^épreuves; et il serait fort extraordinaire, vu la multitude infinie des coupes que l'on peut faire d'après des caractères choisis arbitrairement , que le hasard seul fît tomber deux ou plusieurs fois de suite sur un écart notable , pour la même coupe.