Il suit de là que le jugement probable que nous

portons , en prononçant qu'un écart observé n'est pas

imputable aux anomalies du hasard, résulte de deux

éléments : l'un , susceptible d'une définition précise et

mathématique ,.est le rapport désigné jusqu'ici par P ,

f&tre le nombre des combinaisons fortuites qui donne^

raient un écart moindre , pour une coupe prise au hasard j et le nombre total des combinaisons possibles ; l'autre élément consiste dans un jugement préalable, en vertu duquel nous regardons la coupe qui a donné lieu à l'écart observé , comme une de celles qu'il est tiaturel d'essayer, dans la multitude infinie des divisions possibles, et non pas comme une de celles qui ne fixent l'attetitiôti qu'en raison même de l'écart observé. Or, ce jugement préalable , par lequel l'expérience statistique nous semble devoir être dirigée sur telle coupe plutôt que suif telle autre , tient à des motifs dont la valeur ne peut être appréciée rigoureusement , et peut être diversement appréciée par des esprits divers. C'est un jugement conjectural , fondé lui-même sur des probabilités , mais sur des probabilités qui ne se résolvent pas dans une énumération de chances , et dont la discussion n'appartient pas proprement à la doctrine des probabilités mathéma* tiques : nous y reviendrons dans le dernier chapitre dé cet ouvrage.

Toutefois, de ce qu'il entre dans les jugements que nous portons à l'inspection des tableaux statistiques , Uii élément variable, et qui échappe à une mesure précisé, nous nous garderons bien d'en conclure que la théorie mathématique des chances est indifférente au statisticien. Il est évident que l'importance de l'écart î , comme fait d'observation , dépend à la fois de la grandeur de cet , écart et de la grandeur des nombres employés ; mais suivant quelles lois en dépend-elle ? C'est ce que la théorie des chances peut seule nous apprendre, en nous enseignant à calculer le rapport P correspondant à l'écart i. Quant à la probabilité désignée plus haut pat FI , élIé manque réellement^ dans les applications à la statistique^

DE Jj^ STATISTIQUE, 187

4^ poQsi^taiiice objective; elle ne inestire point la chance 4e vérité pu 4'eri'^ur affére]:^te à un jugement déterpiiné.

1}4« Nous ne nous dissimulons pas ce qu'il y a de df^lîcat; daqs toute cette discussion , et nous voudrions jQultiplier Ijes exemples propres à y jeter du jour. Supposons doQC qu'on nous donne le dépouillement des naissances par sexes , pour la France entière et pour un département en particulier. Il y aura un certain écart ^; une probabilité à priori P (^) que l'écart n'atteindrait pas cette valeur, si la chance d'une naissance masculine était la même pour toute la France et pour ce département en particulier; enfin, une probabilité à posteriori H qu'en effet la chance d'une naissance masculine a des valeurs différentes pour ce département et pour la France entière. Mais , pour que cette dernière probabilité ait une Valeur objective, il faut que nous sachions que le département dont il s'agit a été pris au hasard; qu'on a, par exemple , extrait le nom de ce département d'une urne pii se trouvaient des billets portant chacun le nopi de l'un des quatre-vingt-six départements. Si, au contraiire, la personne de qui nous tenons le résultat avait f$it )e dépouillement pour tous les départements, et qu'elle eût choisi, d'après le résultat du dépouillement, lô département pour lequel l'écart a atteint sa plus grande

('} Lorsque l'écart est donné par la comparaison d'une série partielle avec la série totale , l'expression de P ne peut plus être celle que nous avons donnée plus haut [io8], pour le cas où l'on compare deux séries partielles; elle doit alors se tirer de la formule du n^ loi; mais cette particularité ne change rien aux raisoniiemeiits généraux.

raient un écart moindre , pour une coupe prise au hasard j et le nombre total des combinaisons possibles ; l'autre élément consiste dans un jugement préalable, en vertu duquel nous regardons la coupe qui a donné lieu à l'écart observé , comme une de celles qu'il est tiaturel d'essayer, dans la multitude infinie des divisions possibles, et non pas comme une de celles qui ne fixent l'attetitiôti qu'en raison même de l'écart observé. Or, ce jugement préalable , par lequel l'expérience statistique nouA semble devoir être dirigée sur telle coupe plutôt que suif telle autre , tient à des motifs dont la valeur ne peut être appréciée rigoureusement , et peut être diversement appréciée par des esprits divers. C'est un jugement con<* jectural, fondé lui-même sur des probabilités^ mais sur des probabilités qui ne se résolvent pas dans une énumération de chances , et dont la discussion n'appartient pas proprement à la doctrine des probabilités mathématiques : nous y reviendrons dans le dernier chapitre de cet ouvrage.

Toutefois, de ce qu'il entre dans les jugements que nous portons à l'inspection des tableaux statistiques , Uii élément variable, et qui échappe à une mesure précisé, nous nous garderons bien d'en conclure que la théorie mathématique des chances est indifférente au statisticien. Il est évident que l'importance de l'écart î , comme fait d'observation , dépend à la fois de la grandeur de cet , écart et de la grandeur des nombres employés ; mais sui — vant quelles lois en dépend-elle ? C'est ce que la théories des chances peut seule nous apprendre, en nous ensei*-^ gnant à calculer le rapport P correspondant à l'écart J-^ Quant à la probabilité désignée plus haut pat ïl , élll^ manque réellement^ dans les applications à la statistîqai»^

DE f.^ 8J!^TlSTlQXm. 187

4^ poasista|[ice objective; elle ne inestire point la chance 0e vérité pu 4'erreur afférex^ie à un jugement déterpiiné.

1}4. Nous ne nous dissimulons pas ce qu'il y a de jdf^lîcat; daq^ toute cette discussion , et nous voudrions jQultiplier les exemples propres à y jeter du jour. Supposons dpQC qu'on nous donne le dépouillement des naissances par sexes , pour la France entière et pour un département en particulier. Il y aura un certain écart ^; une probabilité à priori P (^) que l'écart n'atteindrait pas cette valeur, si la chance d'une naissance masculine était la même pour toute la France et pour ce département en particulier; enfin, une probabilité à posteriori H qu'en effet la chance d'une naissance masculine a des valeurs différentes pour ce département et pour la France entière. Mais , pour que cette dernière probabilité ait une Valeur objective, il faut que nous sachions que le département dont il s'agit a été pris au hasard; qu^'on a, par exemple , extrait le nom de ce département d'une urne pii se trouvaient des billets portant chacun le nom de l'un des quatre-vingt-six départements. Si, au contraîire, la personne dé qui nous tenons le résultat avait f$it )e dépouillement pour tous les départements,, et qu'elle eût choisi, d'après le résultat du dépouillement, le département pour lequel l'écart a atteint sa plus grande

(') Lorsque l'écart est donné par la comparaison d'une série partielle avec la série totale , l'expression de P ne peut plus être cefle que nous avons donnée plus haut [io8], pour le cas où l'on compare deux séries partielles; elle doit alors se tirer de la formule du n^ loi; mais cette particularité ne change rien aux raisoDuements généraux.

valeur, la probabilité II ne pourrait plus être prise dans le même sens; puisque autre chose est la probabilité à priori que l'écart ne franchira pas une certaine limite pour un département pris au hasard , ou d'après des vues indépendantes du résultat de l'expérience, et autre chose la probabilité que l'écart ne franchira cette limite pour aucun des quatre-vingt-six départements : toujours dans rhypothèse où les écarts seraient purement fortuits^ la chance moyenne d'une naissance masculine ne variant pas réellement d'un département à l'autre.

Si cependant le département que l'on considère en particulier était le département de la Seine, que tant de circonstances désignent naturellement au statisticien comme placé dans des conditions exceptionnelles , qui peuvent avoir une influence très-sensible sur la chance des naissances masculines , le rapport n reprendrait sa signification primitive. En effet , lors même qu'il serait probable que le seul jeu du hasard produira , pour l'un des quatre-vingt-six départements , un écart aussi grand . que celui qui est donné par l'observation pour le département de la Seine , il serait très-extraordinaire que le hasard fît tomber cet écart sur le département de la Seine, signalé entre tous les autres, avant tout dépouillement statistique, comme celui pour lequel on a le plus de raisons de s'attendre à un écart très-sensible , dû à une variation effective de la chance moyenne.

Mais, ce qui frappe tous les esprits quand il s'agit du département de la Seine , les frappera-t-il tous , ou les frappera-t-il au même degré , s'il s'agit du département de la Corse , ou du département du Nord , ou de plusieurs autres qui peuvent aussi sembler à priori placés dans des conditions exceptionnelles ? Comment estime-

ra-t-on la valeur de l'expérience statistique et de la probabilité à posteriori qui en dérive , pour chacun de c^s départements considérés à part? Évidemment il entre dans cette estime un élément variable et rebelle à la détermination mathématique.

Pareille remarque est applicable au dépouillement des naissances par années. Si j'ai choisi une année au hasard, et trouvé un écart notable pour cette année comparée à la moyenne de plusieurs années consécutives, il y aura une certaine probabilité que la chance moyenne^ pour l'année considérée eu particulier, n'était pas la même que la chance moyenne pour toute la série embrassée dans les observations. Mais^ si l'attention n'est fixée sur cette année qu'après le résultat des dépouillements pour chaque année en particulier, parce qu'elle se trouve être celle pour laquelle l'écart atteint la plus grande valeur, la probabilité d'une variation de chance deviendra trèsdifférente. Elle pourra reprendre sa valeur primitive, si l'année avait été signalée par quelque grande perturbation climatérique , par une disette, une influence morbide, qui auraient d'avance signalé cette année comme une de celles sur lesquelles doit se porter de préférence l'expérimentation statistique.

115. Lorsqu'il s'agit, comme dans ce dernier exemple, de classification suivant Tordre du temps, le prolongement de la même expérience statistique est impossible, et il faut en accepter les résultats avec toute l'indétermination qui les affecte^Miîymand on a lieu de croire, et lorsque l'expérienctffow:^ n que , dans un autre

système de classificatiA, jAJ^^pnVes ne varient pas avec le temps, on est dispenleae tolites les distinctions subtiles qui viennent de nous occuper. En poursuivant

200 P0APITRE IX.

indéâniment l'expénence , oq détermine ayep \ixkp préfàr sion indéfinie , pour chaque système de division c^tégpi rique , les chances qui lui sont propres. 4 inesurp qif^ les observations s'accumi)lent , on peut ni|i)tiplier le nombre des catégories ^ toujours e^ ^e gui^^i^t pf|r Ipi^ notions ac(|uises sur l^s condition^ du phéi^qipèfip ét^diéj dans l'ordre naturel oU social ; e( )e fait co|np}^^ç qi|) avait été l'objet des premières détenuin^tipus f^utpér^quei^ [io6]^ se trouve ainsi graduellement dpcompo^ dgp^ les éléments qui le constituent. Le principal de Befr nouUi, auquel il faut toujours revenir en défipitiye, pomme à la seule base solide de toutes }p$ applicfitipi^s du la théorie des probabilités/ suffit alors au statisticien; et des formules mathématiques lui donnent cpntinueUjd* meiit la mesure du degré de précision qu'il ^ atteint

116. Ces formules, telles que nous les avons écrites dans tout lé cours du présent ouvrage, n'ont qu'unp exactitude approchée ; mais l'approximation suf]^t çQlIit munément dès que les observations se comptent par cen** taines, et des auteurs les plus considérables, Lapl^ofi |iQr tamment, n'ont pas hésité à s'en servir ep pareil Ca| [i3, 33 et 69, Notes], D'ailleurs, quand même les Uoj^r bres employés seraient trop petits pour se prêter à l'emploi des formules d'approximation , ils pourraient être bien suffisants pour mettre en évidence la variatiou de^ chances , d'une catégorie à une autre : seulement il faudrait recourir dans ce cas, pour calculer numériquement les probabilités, à des forniiUes dont la complication rendrait souvent l'usage ^t^s-pénlble.

Les nombres employés^)OwraMQt aussi être trop petits pour donner des prohanmies très-grandes que les chances varient d'une catégorie à une autre , lorsqu'oli

DE ljl statistique. . 2p]l

ne tiip ces probabilités que des résultats fournis par la ^rie totale des observations; tandis que, par la manière dont cette série totale se décompose , l'existence des variations serait rendue très-vaisemblable. Ainsi, par exemple, on aura, à posteriorî une certaine probabilité II d'une inégalité dans les chances, si l'on considère Pécart i fourni par la comparaison de deux séries de 5o observa* tions pour chaque catégorie, et yne autrp prob^l^ili^é n', si l'on considère l'écart 8' fourni par la comparaison de deux séries de i5o observations chacune; ^ pourra être indifféremment plus petit ou plus grand que 8; mais en général 0 surpassera H, quoique d'ailleurs les probabilités n et n' puissent être toutes deux de l'ordre de celles qui ne rendent pas invraisemblable l'explication de Técart par une anomalie fortuite. Au contraire, si l'on décompose chaque série de ï5o observations en trois séries copsécutives, de 5o observations chacune, I4 pei> sistanCfS A^un écart de même ordre , fpif rpi par les troi§ groupes de séries partielles, pourra donper à l'hypothèse d'une succession d'anotnalies fortuites une telle invraisemblance qu'on ne mettra plus raisonnablement en doute le fait d^uile inégalité dans les chances du même événb- Uieot» pour les deux catégories (').