MM

(') Soient m le nombre des observations et n ce)ui des événe^ ments A dans la série totale : si Ton trie au hasard, pour en Former une série partielle , m^ observations, la probabilité que cette série jiartielle contiendra n^ événements Â, est évidemment la même que celle d'extraire n^ boules blanches en m^ tirages , d'une urne qui renferme-WnSbules , dont n blanches , quand

d'ailleurs on ne rejette pa^vi|[iC[l($q'urne les boules extraites. Cette

probabilité a donc pour valeur [36]

Wt(m, — i)...(n; + i).n(n— y)...(ii — n^-}- i).(m - n) (m — n — i)...[m — n — (^i-: "i)+ ^]

117. Si Ton a insisté souvent sur la nécessite de réunir de très-grands nombres d'observations , pour arriver

et, d'après ce qui a été dit dans le numéro cité, si les nombres i7f, 12, /7t, , /?2 sont très-grands, il devient très-probable que le

rapport—' différera très-peu du rapport — . * * /Wjj * m

Si la chance /? de l'événement A n'a pas varié dans le cours des observations de la série [m) , l'opération qui consisterait à classer les observations selon l'ordre des temps , à former, par exemple, la série (/n,) des /ti, observations premières en dates, équivaudra manifestement à uu tirage fortuit; et dans ce cas encore, pourvu que les nombres /7t, /z , m, , /Zx soient suffisamment grands, le rapport — différera très-peu du rapport — , quand bien même ce * wii . * m

dernier rapport, par une anomalie extrêmement peu probable à priori, s'écarterait notablement de la chance/?. M. Bienaymé a signalé ce résultat (Journal l'Institut, n» du i4 mai 1840), et il l'a tiré d'un calcul élégant, mais qui ne nous paraît pas nécessaire, la chose étant évidente diaprés le raisonnement qui précède.

Il n'est même pas nécessaire d'assigner pour condition que la chance p reste constante : il suffit que ses variations, si elle varie , aient lieu dans un autre ordre que celui du temps. Pour le montrer, supposons que la série totale (m) se compose de deux séries d'observations (m') 9 ('"'0' ^^ît^s, par exemple, dans des lieux différents , et qui ont été régies , l'une par la chance p\ l'autre par la chance p", Nous concevons toujours la série totale (/7t) disposée par ordre chronologique , de manière qu'on forme une catégorie à part des m^ observations premières en dates, celle-ci comprenant m/ observations régies par la chance //, et m," observations régies par la chance/?". Dans l'hypothèse où nous nous plaçons (les nombres iw', m", /w,', m^" étant d'ailleurs

d'un ordre de grandeur convenà))|iE^Ie rapport — ~„ se trouve

.assujetti, par une raison quelconque, à différer fort peu du

m' rapport -77. C'est ainsi, par exemple , que si l'on range par ordre

à des résultats sensiblement fixes et affranchis de toutes les irrégularités du hasard, c'est qu'on a eu en vue les cas effectivement très- fréquents, où il faut distinguer, outre les influences fortuites qui affectent chaque observation indépendamment de toutes celles qui composent avec elle la même série, d'autres influences par lesquelles

de dates les naissances annuelles de deux départements, le rapport entre les nombres de naissances fournies par les deux départements pourra être assujetti à rester sensiblement le même pour les six premiers mois que pour Tannée entière. Cela posé , Topération qui consiste à extraire de la série totale (m) les m^ observations premières en dates , équivaudra à extraire au hasard 771,' boules d'une urne qui en renferme m', dont w' blanches, et iWx" boules d'une seconde urne qui en renferme /w", dont //' blanches; sous la double condition que les nombres m/ y m" aient pour somme /Wj, et que leur rapport diffère très-peu de celui des nombres m\ /ti". D'après toutes ces conditions, et en admettant toujours qu'on opère sur des nombres suf&samment

grands , le rapport—^ devra , avec une grande probabilité, diffé-

rer tres-pe» du rapport — , même quand les rapports —7, — jj

par une anomalie très-invraisemblable a priori ^ s écarteraient respectivement beaucoup des chances //, p".

La remarque qui fait l'objet de cette note n'infirme aucunement ce qui a été dit dans le texte, et même en est, suivant nous, complètement indépendante. Il n'en sera pas moins permis de substituer à la probabilité à posteriori tirée de la série totale, le produit des probabilités à posteriori qu'on obtient en considérant séparément les séries partielles. Seulement il pourra et même il devra arriver, pour de très-grands nombres, que les probabilités à posteriori, ainsi calculées dans deux systèmes différents , se rapprochent beaucoup ; puisque le résultat offert par la série totale entraîne alors avec une grande probabilité des résultats sensiblement les mêmes dans chacune des séries partielles.

les 9bservat:|ons d'une même série sont régies goUddirAineQt, en totalité ou en partie ^ et qui néanmoins sont encore fortuites ^ en ce sens qu'elles varient irrégulièreiqent d'iipe série à l'autre [104]^ et que les effets de leur^ yari^tiops se compensent, pourvu qu'on embrasse un grand nombre de séries , et par conséquent Un trè»grand nombre de cas individuels.

Parmi les causes de solidarité entre les causes ou influences qui régissent les diverses épreuves du même basard, et qui rendent nécessaire l'accumulation d'un bien plus grand' nombre d'épreuves pour la fixité des résultats moyens, il faut mettre en première ligne le voisinage des épreuves dans l'ordre de l'espace ou du temps. Déjà l'on a vu, à propos de l'exemple du n** 79» emprunté à M. Bienaymé, que, si la valeur de la chance, au lieu de varier fortuitement d'une épreuve à l'autre dans une série totale de m épreuves, est déterminée fortuitement, d'abord pour une série partielle de m, épreuves, puis pour une autre série partielle de m^ épreuves, et ainsi de suite, il ne suffit plus en général que m soit un grand nopibre , pour que les anomalies fortuites se trouvent sensiblement compensées. La compensation ne s'opère, dès que les nombres m,, m,, etc. , sont un peu grands, qu'autant que la série totale [m) se compose d^un grand nombre de séries partielles (m,), (/7^,), etc. A la vérité, dans les faits du ressort de la statistique, l'exemple du n° 79 n'est pas directement applicable : on ne peut pas supposer, en général , que les chances restent rigoureusement constantes pour toute une série d'épreuves voisines, en changeant brusquement et fortuitement daiis le passage d'une série à l'autre. Elles doivent subir au contraire djes modifications progressives, et, comme

DE Li. STATISTIQUE. 205

toutes l^s grandeurs de la nature, obéir communément à la loi de continuité y même dans leurs variations irrëgulièrés. Mais toujours est-il que des chances peu différentes régissent en général un grand nombre d-épreuvefl voisines; de sorte qu'on ne peut nuUemetit ji*egarder comme indépendantes deux épreuves qui se suivent immédiatement, ni même comme absolument indépendantes deux épreuves qui ne sont pas séparées par un asdet grand nombre d'intermédiaires , pour que la trace de l'état initial de la chance se soit effacée dans le passage d'une épreuve à l'autre. C'est ainsi que les itiégalités dd la surface terrestre, ou celles de la surface d'une mer agitée , deviennent à de grandes distances sensiblement indépendantes les unes des autres ; tandis que , malgré leur allure irrégulière, des points très-rapprochés sont nécessairement à des niveaux très-peu différents. Nous ne pouvons à priori réduire en formules l'influence de cette liaison entre les chances des épreuves voisines; mais des exemples fictifs, comme celui du n^ 79 ^ iufiSsent pour montrer que cette influence peut être très-grande, et l'expérience vient à l'appui de cette présomption. Dans une multitude d'applications à l'économie sociale^ et à certaines branches des science^ naturelles, telles que la météorologie, il faut, pour arriver à des moyennes sensiblement fixes , accumuler des observations en nombre bien supérieur à celui qu'assigneraient les formules assises sur l'hypothèse de ria*> dépendance des chances d'une épreuve à l'autre.

118. Un fait singulier au premier abord, et qu'on n'a pas omis de remarquer , c'est que, pour des choses qui proviennent du développement de l'activité de l'homme y et qui paraissent tenir à une multitude de

206 GHAPmtB IX.

^ causes très-complexes , telles que le rapport entre le nombre des accusés pour crimes et celui des habitants d'un pays, le rapport entre le nombre des condamnés et celui des accusés', on trouve, d'une année à l'autre, des variations bien moindres que pour des choses qui dépendent du concours des forces aveugles de la nature. Mais, quand on y réfléchit, ce résultat cesse de surprendre; on conçoit aisément qu'il n'existe que peu ou point de solidarité entre les causes dont le concours détermine la perpétration d'un crime , et celles qui déterminent la perpétration d'un autre crime; entre les causes qui déterminent la condamnation d'un accVisé, et celles qui déterminent la condamnation d'un autre accusé : tandis iqiie, bien évidemment, il y a une solidarité très-grande entre les causes dont le concours fortuit amène aujourd'hui la pluie, et celles dont le concours amènera demain la pluie dans le même lieu. Il est donc tout simple que, dans les choses qui tiennent à l'activité individuelle de l'homme, les valeurs des chances moyennes paraissent plus fixes, et éprouvent en effet moins de perturbations irrégulières. Au contraire, il y a tout lieu de penser qu'elles sont sujettes, par suite des transformations lentes de l'état social , à des variations séculaires qu'on n'observe pas, en général, pour les phénomènes de l'ordre physique : soit parce qu'elles n'existent pas, soit parce qu'elles ne procèdent qu'avec une excessive lenteur.

119. Lors même qu'il n'y aurait entre les chances qui régissent chaque épreuve aucune solidarité résultant du voisinage de ces épreuves , dans l'ordre de l'espace ou du temps , les écarts qui accuseraient , d'une série d'é-

preuvesà une autre, une variation dans la valeur moyenne des chances qui ont effectivement régi cbaque épreuve , n'accuseraient pas nécessairement une variation dans le système général des causes fortuites dont dépend le phénomène que Ton veut étudier par la statistique. Nous avons déjà fait remarquer [109] que les proportions dans lesquelles des catégories (a), (è), (c), etc., concourent à former les séries {rn) , {nî) , etc. , peuvent varier d'une série à l'autre par des causes qui agissent irrégulièrement et fortuitement d'une série à l'autre , bien qu'elles affectent solidairement, en tout ou en partie, les oh* servation^ d'une même série , et par là même affectent la valeur de la chance moyenne. Ainsi, la catégorie des prévenus pour délits forestiers pourra s'accroître dans une année où l'hiver a été rigoureux et le combustible cher; celle des prévenus pour rixes, dans une année où le bas prix des boissons aura poussé à la fréquentation des cabarets^ et ainsi de suite. Comme le rapport du nombre des condamnés au nombre des préveùfis varie pour chaque catégorie de délits, la valeur moyenne de ce rapport, pour la totalité des prévenus traduits devant les tribunaux dans le cours d'une même année , variera certainement par suite de l'altération des rapports suivant lesquels les diverses catégories concourent à la composition de la série annuelle ; mais les causes de cette Variation seront avec raison réputées accidentelles et, fortuites; leurs effets se compenseront si l'on embrasse Un nombre d'années tant soit peu considérable.

Au contraire, personne ne rangerait parmi les causes fortuites un changement dans la législation criminelle, qui supprimerait une classe de délits, ou en enlèverait la Connaissance aux tribunaux ordinaires, et par suite

206 6Ail>ITRB IX.

changerait le rapport du nombre des prévetiùs que ces tribunaux condamnent, au nombre total des prévenus traduits devant eux.

iâO. Le but éminent de la statistique est l'investigation dès causes qui régissent les phénomèliéd de l'or* df^e physique ou de l'ordre social , et il faudra dorénavant s*octùper, pour y atteindre , bien Inoins d'act^U'* muler des nombres qui satisfassent par leur étiofmité à la condition de fixité des moyennes, que de décomposer Ces hasards entés les uns sur les autres [79, 106 et log], d'épurer en quelque sorte les conditions dû sort; def sorte que Tagglomération des cas individuels èfn sériel n'ait pour but que la compensation des effets produits par des causes qui agissent avec une parfaite indépendailcd sur chaque cas isolé; et alors il n'est plus indispèùàâblë d'opérer sut* des séries très-nombreuses. £ti tout cas, êï rexpériuientation ainsi faite pouvait induire quelquefois en erreur, à cause des caprices du hasard, elle conduirait comUiUnément à des conséquences vraies ; et l'on né doit pas se priver du moyen d'investigation le plus fécOUd ; parce qu'il ne comporte pas cette certitude absolue ^Ud d'ailleurs l'homme atteint si rarement. On multipIiefA donc le nombre des catégories, et l'on choisira des oïh servations assez rapprochées dans les lieux ou dans Icfâ temps, pour que les variations des chances moyennes , d'un lieu à l'autre et d'une époque à l'autre , soient pett sensibles pour chaque série que l'on considère.

DE LA DéTERMINATIOir DES MOTEJVKES. 209

DE LA DÉTERMINATION EXPERIMENTALE DES VALEURS MOYENNES, ET DE LA FORMATION DES TABLES DE PROBABILITÉ.

121. La détermination des valeurs moyennes en statistique peut avoir lieu dans deux buts différents qu'il convient de distinguer. Souvent les moyennes sont des quantités qu'on a un intérêt direct à connaître , parce que leur valeur influe directement sur des phénomènes de Tordre physique ou sur des faits de l'ordre social. Par exemple, la quantité moyenne de blé qu'un pays produit est un élément qui influe directement sur la po-> pulation et sur tout le système économique du pays. On en peut dire autant au sujet des valeurs moyennes du produit d'un impôt, des importations ou exportations d'une denrée. Mais, plus souvent encore, on ne considère les moyennes que comme des résultats sensiblement indépendants des oscillations du hasard, et dont les variations peuvent accuser, d'une manière plus ou moins sûre et rapide , l'existence de changements survenus dans l'intensité ou dans le mode d'action des causes régulières. Supposons, par exemple, qu'on fasse le recensement de la population d'un pays , et qu'on prenne la îûoyenne des âges de tous m habitants : cette moyenne

ne sera pas quelque chose de significatif en soi , car on n'aperçoit aucun fait de l'ordre social qui dépende directement de la valeur de cette moyenne ; mais la valeur trouvée dépendra de la loi suivant laquelle la population est répartie entre les différents âges, et des chances de longévité qu'offrent le climat et les mœurs des habitants: de sorte que , si toutes ces choses ou l'une d'elles venaient à changer, on le reconnaîtrait au changement de la moyenne. Supposons de même que l'on tire d'un tableau de recensement la valeur moyenne de la taille des jeunes gens appelés au service militaire : si de nouvelles circonstances tendaient à améliorer ou à empirer l'état physique de l'espèce humaine, dans le pays ou l'on observe, on le reconnaîtrait au changement de la moyenne observée. L'esprit se sent soulage dans ses recherches, quand il n'a plus à considérer, au lieu d'un ensemble de faits compliqués, qu'un résultat d'une expression simple, bien qu'on n'en puisse tirer que des renseignements incomplets et indirects.

122. On est fondé à se demander si d'autres valeurs que les moyennes ordinaires ne rempliraient pas mieux, dans certains cas, le but que l'on se propose, en statia* tique; si elles ne seraient pas plus promptement affrazs^' chies des oscillations du hasard, plus propres à manifest:^^ rinfluence des causes constantes et celle des forces p^^^ turbatrices , ou même plus propros à servir de terme ^^ comparaison dans certaines questions de droit et d'éc^^' Hiomie publique, abstraction faite de toute investigati. ^^ ^ftalistique. Ainsi, en France, la loi du i5 mai i^ ^^ Attue que, pour la perception du droit de mutation, ^^ «iMtdrt les prix moyens des mercuriales dans les qd^' IQIM mto précédentes, qu'on exclura les deux valeui^

DE LA DETERMIITATION DES MOTENIOSS. 211

les plus fortes et les deux plus faibles, pour prendre la moyenne des dix valeurs restantes, qui sera considérée comme le prix moyen de l'année commune. On peut supposer au législateur l'intention de soustraire autant que possible la perception du droit à l'influence du hasard, tant dans l'intérêt de l'État que dans celui des contribuables; et il s'agirait de savoir s'il a mieux atteint le but par cette combinaison, qu'il ne l'aurait fait en prescrivant de prendre simplement, à la manière ordinaire, la moyenne des dix ou des quatorze années précédentes. L'expérience seule peut donner la solution de cette question, et pour l'avoir il faudrait comparer une longue série de mercuriales , prises suivant la méthode ordinaire, à une série correspondante de moyennes ou de valeurs com^ munes^ formées d'après le système de la loi de 1818.

Supposons qu'au lieu de dix ou de quatorze valeurs particulières , on pût en employer 1 000 ou 1 4oo. Soit aih (^Jig' 17) la courbe dont l'ordonnée I^' mesure la probabilité d'une valeur OI, OA désignant la plus petite valeur possible, et OB la plus grande : la moyenne fournie par la méthode ordinaire serait sensiblement la valeur OG correspondant à une ordoni^ée G^ menée par le centre de gravité de l'aire ABbga [67]. Si l'on retranche de cette aire deux portions ACca , ISDdb , qui soient chacune le septième de l'aire totale, la moyenne, prise dans le système de la loi de 18 18, sera sensiblement la valeur OG' correspondant à une ordonnée G'^, mesée par le centre de gravité de la portion d'aire non retranchée CD^c. Or, il pourra se i^ire, d'après la forme de la courbe, que le module de convergence [69]^ pour la portion d'aire conservée , surpassant notable* ment le module de convergence pour l'aire totale , les

ne sera pas quelque chose de significatif en soi , car on n'aperçoit aucun fait de l'ordre social qui dépende directement de la valeur de cette moyenne ; mais la valeur trouvée dépendra de la loi suivant laquelle la population est répartie entre les différents âges, et des chances de longévité qu'offrent le climat et les mœurs des habitants : de sorte que , si toutes ces choses ou l'une d'elles venaient à changer, on le reconnaîtrait au changement de la moyenne. Supposons de même que l'on tire d'un tableau de recensement la valeur moyenne de la taille des jeunes gens appelés au service militaire : si de nouvelles circonstances tendaient à améliorer ou à empirer l'état physique de l'espèce humaine, dans le pays où l'on observe, on le reconnaîtrait au changement de la moyenne observée. L'esprit se sent soulagé dans ses recherches , quand il n'a plus à considérer, au lieu d'un ensemble de faits compliqués, qu'un résultat d'une expression simple, bien qu'on n'en puisse tirer que des renseignements incomplets et indirects.

122. On est fondé à se demander si d'autres valeurs que les moyennes ordinaires ne rempliraient pas mieux, dans certains cas, le but que l'on se propose, en statistique; si elles ne seraient pas plus promptement affranchies des oscillations du hasard, plus propres à manifester l'influence des causes constantes et celle des forces perturbatrices , ou même plus propros à servir de terme de comparaison dans certaines questions de droit et d'économie publique, abstraction faite de toute investigation statistique. Ainsi, en France, la loi du i5 mai 1818 statue que, pour la perception du droit de mutation, on prendra les prix moyens des mercuriales dans les qua— torzjs années précédentes, qu'on exclura les deux valeurs