DE LA DÉTERMINATION DES MOYENNES

cette moyenne'HÉlis les années d'abondance : ceci revient à dire que la moyenne OG surpasse OG' et OI ; et dès lors on peut regarder le système de la loi de 1818 comme plus favorable aux contribuables, dans l'ensemble des applications, que celui qui consisterait à prendre une moyenne entre toutes les valeurs particulières, sans retranchement des valeurs extrêmes. Mais, indépendamment de cette considération, si l'on fait attention que le prix des denrées dont il s'agit oscille communément entre des limites assez resserrées , qu'il ne franchit que sous l'influence de causes perturbatrices , violentes et passagères, on comprendra que le législateur ait voulu complètement écarter l'influence de ces causes pertur^ batrices par le rejet des valeurs extrêmes, dont il n'est pas tenu compte dans les transactions entre les citoyens, et qui tombent tout à fait en dehors du système économique du pays.

- 123. Lorsqu'on applique la détermination des moyennes aux diverses parties d'un système compliqué, il faut bien prendre garde que ces valeurs moyennes peuvent ne pas se convenir : en sorte que l'état du système, dans lequel tous les éléments prendraient à la fois les valeurs moyennes déterminées séparément pour chacun d'eux, serait un état impossible [74] • Si, par exemple, un triangle est assujetti à rester rectangle pendant que ses cotés varient, il y aura une valeur moyenne pour chacun des trois côtés; mais ces trois moyennes, prises ensemble, ne conviendront pas à un triangle rectangle, ou ne satisferont pas à cette condition si connue , que le carré fait sur l'hypoténuse égale la somme des carrés faits sur les deux côtés de l'angle droit. Si les côtés et les angles d'un triangle quelconque passent par divers

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états de grandeur; les valeurs moyennes de chaque angle se conyiendront, en ce sens que leur somme égalera deux angles droits, et qu'on pourra former un triangle, ou même une infinité de triangles semblables^ dont les angles auront respectivement pour valeurs ces valeurs moyennes. Les moyennes des trois côtés appartiendront pareillement à un triangle possible, chacune de ces moyennes étant plus petite que la somme des deux autres : mais généralement il n'y aura pas de triangle dans lequel ces valeurs moyennes pour les angles et pour les côtés puissent se correspondre. La moyenne des aires de chaque triangle ne coïncidera pas avec l'aire du triangle construit sur les valeurs moyennes des côtés, et ainsi de suite.

De même, si Ton mesurait, sur plusieurs animaux de la même espèce, les dimensions des divers organes , il pourrait arriver, et il arriverait vraisemblablement que les valeurs moyennes seraient incompatibles entre elles et avec les conditions pour la viabilité de l'espèce.

Nous insistons sur cette remarque bien simple, parce qu'elle semble avoir été perdue de vue dans un ouvrage^ fort estimable d'ailleurs, où l'on se propose de définir de déterminer \ homme moyen ^ par un système des moyennes tirées de la mesure de la taille, du poids, de0 forces, etc., sur des individus en grand nombre. L'homme moyen ainsi défini , bien loin d'être en quelque sorte le type de l'espèce, serait tout simplement un homme impossible, ou du moins rien n'autorise jusqu'ici à le con cevoîi comme possible.

124. Soit aib {Jig, 9) la courbe qui représente la \ de probabilité d'une grandeur x : chaque ordonné telle que I;', étant proportionnelle à la probabilité de

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valeur particulière mesurée par l'abscisse correspondante OI [65]. En général , cette loi de probabilité est inconnue à /?r/orz, pour les grandeurs auxquelles s'appliquent les recherches de statistique. Si pourtant le nombre N des valeurs particulières observées était extrêmement grand , le nombre n^ des valeurs comprises entreOA=aet OA, =«,, serait au nombre total N, sensiblement dans le rapport de Taire AA^a^a à l'aire totale ABéa, quoique d'ailleurs l'intervalle AA^ pût être très-petit relativement à l'intervalle AB qui sépare la plus grande de la plus petite des valeurs possibles. En d'autres termes, si l'on prend pour unité l'aire totale ABba^

le rapport ~ sera sensiblement la mesure de l'aire par-

' tielle AA^a^a. Quand l'intervalle AA] ou la différence a^ — a sont des quantités très-petites, l'aire AA^a^a peut être prise pour celle d'un rectangle dont l'aire est égale au produit de la base par la hauteur. En conséquence^

si l'on divise l'aire AA^a^a, ou le nombre r^, par la différence a^ — a, le quotient pourra être pris, sans erreur sensible^ pour la mesure de l'une quelconque des ordonnées A<2, A,<2x? qui diffèrent très-peu. Plus exactement, ce quotient exprimera numériquement la valeur de l'ordonnée correspondant à un point situé sur la ligne AA^, à égales distances de A et de A^.

Par là on conçoit la possibilité de déterminer empiiriquement, au moyen d'un nombre suffisant de valeurs fturnies par la statistique , la loi de probabilité de la grandeur x. Pour cela, on décomposera le nombre total N des valeurs particulières observées, en des nombres partiels /i,, n^y «3, etc. : n^ étant le nombre des va-

leurs particulières qui tombent entre a et a„ n^ celui ^ des valeurs particulières. ,flp^V tombent entre a^ et a,, et ainsi de suite,, L^ sé^: des quotients

Wx n^ n^

mise en regard des valeurs de "x exprimées respectivement par

î -^ -^ -^ ^, etc., (b)

constituera une taille de probabilité^ et déterminera autant de points de la courbe aib qu'il y a de termes dans la série. On pourra joindre ces points par un trait continu y de manière à avoir une représentation graphique de la loi de probabilité. On pourra aussi trouver par le calcul une courbe dont l'ordonnée et l'abscisse aient une liaison algébrique, et qui passe par tous les points déterminés au moyen de la table. L'analyse mathématique donne pour cet objet des formules générales. Soit qu'on ait recours à la construction graphique ou au calcul , il est visible qu'on doit] regarder comme déterminées, à très-peu près, les valeurs de l'ordonnée pour des abscisses dont les valeurs tombent entre deux termes consécutifs de la série (è), si , comme on le suppose, ces termes sont très-rapprochés, et si de plus la différence entre les termes correspondants de la série {a) est suffisamment petite, comparativement à l'un ou à

l'autre de ces termes. En conséquence, chacun des in-

tervalles a, — a, a^ — <2i, etc., doit être une petite fraction , par exemple la centième partie de l'étendue des valeurs possibles, ou, si cette étendue n'est pas donnée à prioriy la centième partie de l'intervalle compris en-