DES MOYENNES ENTRE LES MESURES ET LES ORSERTATIONS

130. La théorie de la convergence des valeurs moyennes s'applique à une question d'un grand intérêt pour toutes les sciences physiques : à la détermination des limites probables de l'erreur d'un résultat numérique, qu'on a obtenu en prenant la moyenne d'un grand nombre de valeurs fournies par autant de mesures particulièreSy et qui toutes doivent être censées affectées d'une certaine erreur.

Désignons par^ la fonction qui exprime la probabilité de l'erreur x dans la mesure de la grandeur a\ par e la moyenne absolue des valeurs de l'erreur ^; par g le nodule de convergence dont la valeur résulte implicitement de la forme de la fonction y*; par m le nombre des mesures particulières dont on prend la moyenne , Nombre que nous supposerons assez grand pour qu'il y ^it lieu de faire usage de nos formules d'approximation [€9, noté\ : la moyenne a des valeurs a,, «,, etc., doni[iées par les mesures particulières, convergera vers la grandeur fixe a-j-e; et l'on aura la probabilité P que l*écart fortuit a-|-e — a tombe entre des limites ±\( données par l'équation

tzizlsyr^', (L)

296 GHiLPlTRB XI.

Par conséquent, lorsque la constante e se trouvera nulle, par la nature de la fonction^' P sera la probabilité que l'erreur dont la moyenne a est encore affectée, tombe entre les limites ± /.

Quand on admet que la constante é est nulle, on suppose en général que la courbe dont fx désigne l'ordonnée est éyrtiétrique par rapport à l'axe OY (Jfg. 8)î deux erreurs numériquement égales et de signes contraires ayant la même probabilité. Car, de cette seconde hypothèse, plus particulière que la première, résulte nécedsait*enietit que l'erreur a zéro pour v&leur moyenne et pour valeur médiane [68]. D'un autre côté^ 6i la symétrie dont il s'agit n'eiistait pas , il faudrait un cou*eûurs si particulier de circonstances pour que la constante 6 s'évanouît, qu'on doit regarder en pareil cas l'évahouissetnent de la constante comme tout à fait intraisemblable.

Lorsque la courbe de probabilité n^est pas symétrique de part et d'autre de l'axe OY, et que la constante e acquiert uile valeur sensible, on dit qu'il y a dans la série des mesures une cause constante d'erreur, qui peut être due à tin défaut dans la construction des instru^ ments employés, dans les sens de l'observateur, ou dans sa manière d'opérer. Une série de mesures, ainsi affectée d'une cause constante d'erreur, doit être rejetée comme impropre à déterminer la vraie valeur de la grandeur a; et la sagacité des expérimentateurs consiste principalement à trouver les moyens de se soustraire à l'influence de semblables causes d'erreur, à les analyser, et à en ëluder ou à en corriger l'effet.

Sans doute il est infiniment peu probable que la ooiistante 6 soit rigoureusement nulle , quelque soin qu'on

DBS ifjp;raiiE«r 327

apporte, dans la confection des instrumeqts ou dans Topération même de la mesure, à éviter toutes les causes qui rendraient lés erreurs en uû sens plus ou moins, probables que des erreurs égales ^n sens contraire. lEt^ général, l'absolu mathématique ne peut pas se trouver dans ce qui dépend des sens et du commerce de Thomm^ avec le monde matériel. S'il n'en était ainsi, il résulterait de la formule (L) qu'on peut, en augmentant suffî^mment le nombre des mesures, obtenir avec une précision, indéfinie l'expression numérique de la grandeur a qu'j| s*agit de mesurer; qu'on peut l'avoir, par exemple, exprimée avec des décimales exactes du vingtième ordre, di^ même qu'on peut calculer, avec des décimales exactes du vingtième ordre ou d'un ordre quelconque, unç racine incommensurable ou le rapport de la circonférence au diamètre. Cette conséquence serait absurde; et nous réviendrons plus loin sur la discussion des causes qui limitent nécessairement la précision de la mesure, pour chaque espèce de grandeur mesurable, quel que soit le nombre des observations ou des mesures particulières que l'on emploie. En premier lieu nous supposerons , comme l'ont fait expressément ou tacitement tous ceux qui ont traité jusqu'ici cette question , que la constante e est nulle, eu du moins négligeable, comparativement à l'erreur qui peut affecter chaque mesure en particulier, ou à là moyenne des erreurs, prises abstraction faite du signe.

On conçoit la possibilité de reconnaître h posteriori^ par l'inspection même des valeurs particulières, si elles sont ou non compatibles avec l'hypothèse de symétrie à Uquelle correspond la condition e = o. Si^ par exempki m ét9At au moinj» de l'ordre des centaines, le rap-

port entre le nombre des valeurs particulières qui surpassent a, et le nombre rrij différait sensiblement de -,

on serait averti que la valeur médiane ne coïncide pas avec la valeur moyenne, ainsi que l'exige l'hypothèse de symétrie. On pourrait proposer d'autres épreuves , et même les varier d'une infinité de manières.

Quand les mesures sont prises avec le soin convenable , la probabilité de Terreur x doit décroître avec une grande rapidité, tandis que x croit en valeur numérique; et la probabilité d'une erreur x qui ne serait pas très-petite par rapport à a, qui serait, par exemple, la vingtième ou la trentième partie de a, doit être regardée comme extrêmement petite, ou comme sensiblement nulle. La courbe de probabilité prend alors une forme telle que celle qui est indiquée sur la^^. i8. On né peut pas assigner une limite où la chance d'erreur devienne brusquement nulle ^^ ; mais les chances de tomber sur des valeurs de x situées au-delà de certaines limites sont si petites, qu'on est pleinement autorisé à les négliger (').

(') On peut représenter l'ordonnée^ d'une courbe de probabilité qui a la forme indiquée sur la^. i8 par une fonction telle que Ktf"^'*' [33, note\ : le coefficient K mesure l'ordonnée maximum 0^;etle coefficient k doit être déterminé de manière que la courbe ayant pour équation

se confonde sensiblement avec la courbe agb^ que l'on suppose tracée.

Lorsque la fonction^ a effectivement cette forme, il n'est plus nécessaire que m désigne un grand nombre, pour qa'on paisse

BKS MESURES. 229

13L En général, la forme de la fonction f est inconnue et ne peut être assignée <i/?nbn; mais, d'après ce qu'on a vu [1^7], il est permis, quand les mesures sont en grand nombre, de prendre pour valeur suffisamment approchée du module gy le nombre

ï/'2[(a.— a)* + (a.— a)» + etc.]

qui est donné par l'observation même.

Après qu'on aura calculé par cette formule le nombre y, le produit yj/^ pourra être inscrit à côté de la moyenne a, comme mesurant le poids de cette valeur [127]. '

132. Quand les diverses mesures sont prises par divers observateurs, avec des instruments différents ou dans des circonstances dissemblables, la probabilité de l'erreur x varie d'une mesure à l'autre. Il faut entendre en pareil cas, par la fonction fx^ une moyenne entre toutes les valeurs données par les diverses lois de probabilité, propres à chaque mesure : ainsi que cela a déjà été expliqué d'une manière générale [81].

Supposons que la série totale des m mesures se décompose en séries partielles (/^^x), (/w,), .... [m}j : soit que Ton groupe dans une même série partielle les me-

calculer, par la formule (L), la probabilité P correspondant à une limite d'écart /. La formule n'est plus seulement approchée; elle devient exacte pour des valeurs quelconques du nombre m. Ce cas se présente nécessairement, quand chacune des valeurs particulières qu'on emploie pour calculer la moyenne définitive 9

est déjà la moyenne d'un grand nombre de mesures prises dans

^es circ<Histaiices semblables.^

222 CHAPITRB X.

reur qui affecte la valeur de /, par suite de la substitution de y à ^, est une quantité très-petite , même par rapport à /, et de l'ordre de celles que Ton néglige dans ces calculs d'approximation. L'emploi des signes à|iathématiques permet de présenter cette démonstration sous une forme plus rigoureuse; mais le fond du raisonnement est le même.

Pour la même valeur de P, l'intervalle il des limites d'erreur est inversement proportionnel à

W^2[($-(*)'-»-(5.-(^y+etc.] ^^

En conséquence, le produit {p) peut être pris pour mesure de la précision avec laquelle l'inconnue M se trouve déterminée , quand on lui assigne pour valeur la moyenne (x, donnée par le système des m valeurs particulières Çi, ^2, etc. En d'autres termes, le produit (/;) est le poids du résultat \l. Il conviendrait donc [107] d'inscrire dans les tableaux statistiques , à côté des moyennes (x, les poids correspondants (^), déterminés par le système même des observations.

128. Une nouvelle série de rd valeurs particulières donnera une moyenne (x', différente de (x, quoique la loi de probabilité soit supposée ne pas changer d'une série à l'autre; et l'on aura, postérieurement à l'expérience (rn) et antérieurement à l'expérience (/w'), la probabilité P que l'écart {z. — (x' tombera entre des limites d: /'y données par l'équation

1<1 //2 -I- ni Si l'on décompose la série totale {ni) en deux séries partielles, formées, l'une de m^^ l'autre de m^ valeur»

PB LA DÉTERMUNTATIOir DES MOYENNES. 223

particulières, pour lesquelles les quantités (x, y deviennent respectivement (pi,, y^), ((jl,, y,), et si l'on admet que la loi de probabilité de la grandeur x est la même dans chacune des séries partielles^ on aura à priori^ avant la détermination par l'expérience des nombres (jLx, (ta, y„ y,, la probabilité P que l'écart jjl, — jjl, tombera entre des limites db tj données par la formule

d'oïl l'on pourra tirer une probabilité à posteriori n, qu'un écart (x^ — (^a = ^? donné par l'expérience , accuse un changement de la loi de probabilité , dans le passage de la série {jn^ à la série {m^.

Au lieu de comparer deux séries partielles entre elles, si Ton compare la série partielle {m^ à la série totale (/?z), l'analogie déjà remarquée [loi] indique suffisamment <2ue les limites d'écart, correspondant à la probabilité P, se tireront de l'équation

\/^jrï~rn\

129. Toutes les discussions dans lesquelles nous sommes entrés, au sujet de l'interprétation des chang'^ments que subit ou que paraît subir la chance d'un ^>rénement, dans le passage d'une série d'observations à. ime autre, sont évidemment applicables aux changeixàcnts subis par les valeurs moyennes. Nous nous dispenserons de les reproduire, en nous bornant à remar- S^Uer que, s'il existe entre les diverses déterminations fortuites d'une même grandeur, des traces de solidarité tenant au voisinage des épreuves dans l'ordre de l'espace

OU du temps , on pourra le reconnaître à ce que la moyenne des carrés des différences qu'on obtient en combinant deux à deux toutes les valeurs particulières, moyenne dont dépend le module g ou le coefficient y [iâ6] 9 surpassera notablement la moyenne des carrés des différences qu'on obtient quand on combine seulement chaque valeur particulière avec celle qui la précède ou qui la suit immédiatement, ou avec celles qui s'en rapprochent assez pour qu'il y ait encore entre elles des traces de solidarité.