DES MOYENNES ENTEE LES MESURES ET LES ORSERTATIONS

130. La théorie de la convergence des valeurs moyennes s'applique à une question d'un grand intérêt pour toutes les sciences physiques : à la détermination des limites probables de l'erreur d'un résultat numérique, qu'on a obtenu en prenant la moyenne d'un grand nombre de valeurs fournies par autant de mesures particulières, et qui toutes doivent être censées affectées d'une eertàine erreur.

Désignons fSLvfa: la fonction qui exprime la probabilité de l'erreur x dans la mesure de la grandeur a; par e la moyenne absolue des valeurs de l'erreur x; par g le module de convergence dont la valeur résulte implioitement de la forme de la fonction y*; par m le nombre des mesures particulières dont on prend la moyenne , nombre que nous supposerons assez grand pour qu'il y 2iit lieu de faire usage de nos formules d'approximation £69, note\ : la moyenne a des valeurs a,, «,, etc., don- :Eiees par les mesures particulières, convergera vers la grandeur fixe a-j-e; et l'on aura la probabilité P que l'écart fortuit «-|-e — a tombe entre des limites dz\l données par l'équation

tz=:lgi/^; (L)

296 GHiLPlTRB XI.

Par conséquent, lorsque la constante e se trouvera nulle, par la nature de la fonction^* P sera la probabilité que l'erreur dont la moyenne a est encore affectée, tombe entre les limites ± /.

Quand on admet que la constante ê est nulle, on suppose en général que la courbe dont fx désigne Tordonriéé est éyttiétrique par rapport à l'aie OY {Jfg. 8)î deux erreurs numériquement égales et de signes contraires ayant la même probabilité. Car, de cette seconde hypothèse, plus particulière que la première, résulte nécedsait*énietit que l'erreuf a zéro pour v&leur moyenne et pour valeur médiane [68]. D'un autre côté> 6i la sy>^ métrie dont il s'agit n'eiistait pas , il faudrait un coti*eûurs ai particulier de circonstances pour que la constante 6 s'évanouît, qu'on doit regarder en pareil cas i'évahouissetnent de la constante comme tout à fait intraisemblable.

Lorsque la courbe de probabilité n'est pas symétrique de part et d'autre de l'axe OY, et que la constante e acquiert une valeur sensible, on dit qu'il y a dans la âérie des faiesureà une cause constante d'erreur, qui peut être due à tin défaut dans la construction des instru^ ments employés, dans les sens de l'observateur, ou dans sa manière d'opérer. Une série de mesures, ainsi affectée d'une cause constante d'erreur, doit être rejetée comme impropre à déterminer la vraie valeur de la grandeur a; et la sagacité des expérimentateurs consiste principalement à trouver les moyens de se soustraire à l'influence de semblables causes d'erreur, à les analyser, et à en ëluder ou à en corriger l'effet.

Sans doute il est infiniment peu probable que la constante 6 soit rigoureusement nulle , quelque soin qu'on

apporte, dans la confection des instrumeqts ou dans Topération même de la mçsure, à éviter toutes les causes qui rendraient lés erreurs en uû sens plus ou moikis. probables que des erreurs égales ^n sens contraire, ij^n général, l'absolu mathématique ne peut pas se trouver, dans ee qui dépend des sens et du commerce de Thomm^ avec le monde matériel. S'il n'en était ainsi , il résulterait;, de la formule (L) qu'on peut, en augmentant suffî^mraent le nombre des mesures, obtenir avec une précisioiii. indéfinie l'expression numérique de la grandeur a qu'il s*agit de mesurer; qu'on peut l'avoir, par exemple, exprimée avec des décimales exactes du vingtième ordre, di^ même cpi'on peut calculer, avec des décimales exactes du vingtième ordre ou d'un ordre quelconque, unç racine incommensurable ou le rapport de la circonférence au diamètre. Cette conséquence serait absurde; et nous reviendrons plus loin sur la discussion des causes qui limitent nécessairement la précision de la mesure, pour chaque espèce de grandeur mesurable, quel que soit le nombre des observations ou des mesures particulière9 que l'on emploie. £n premier lieu nous supposerons , comme l'ont fait expressément ou tacitement tous ceux qui ont traité jusqu'ici cette question , que la constante 6 est nulle, eu du moins négligeable, comparativement à Terreur qui peut affecter chaque mesure en particulier, ou à là moyenne des erreurs, prises abstraction faite du signe.

On conçoit la possibilité de reconnaître à posteriori^

par l'inspection même des valeurs particulières, si elles

sont ou non compatibles avec l'hypothèse de symétrie

à laquelle correspond la condition 8 = 0. Si ^ par exem-

pl€| m étant au moinjs de l'ordre des centaines, le rap-

228 GHAPITRB XI*

port entre le nombre des valeurs particulières qui surpassent 0^ et le nombre m^ différait sensiblement de -,

on serait averti que la valeur médiane ne coïncide pas avec la valeur moyenne, ainsi que l'exige l'hypothèse de symétrie. On pourrait proposer d'autres épreuves , et même les varier d'une infinité de manières.

Quand les mesures sont prises avec le soin convenable , la probabilité de Terreur x doit décroître avec une grande rapidité, tandis que x croit en valeur numérique; et la probabilité d'une erreur x qui ne serait pas très*petite par rapport à a, qui serait, par exemple, la vingtième ou la trentième partie de a^ doit être regardée comme extrêmement petite, ou comme sensiblement nulle. La courbe de probabilité prend alors une forme telle que celle qui est indiquée sur \^fig. i8. On né peut pas assigner une limite où la chance d'erreur devienne brusquement nulle [66] ; mais les chances de tomber sur des valeurs de x situées au-delà de certaines limites sont si petites, qu'on est pleinement autorisé à les négliger (').

(*) On peut représenter rordonnée^ d'une courbe de probabilité qui a la forme indiquée sur la^. i8 par une fonction telle que Ktf-^'*' [33, note^ : le coefficient K mesure l'ordonnée maximum 0^;etle coefficient k doit être déterminé de manière que la courbe ayant pour équation

se confonde sensiblement avec la courbe agb^ que l'on suppose tracée.

Lorsque la fonction^ a effectivement cette forme, il n'est plus nécessaire que m désigne un grand nombre, pour qu'on puisse

131. En général, la forme de la fonction f est inconnue et ne peut être assignée <i/?nbn; mais, d'après ce qu'on a vu [I127]? il est permis, quand les mesures sont en grand nombre, de prendre pour valeur suffisamment approchée du module gy le nombre

~l/2[(a,— a)* + (a,a)» + etc.]

qui est donné par l'observation même.

Après qu'on aura calculé par cette formule le nombre y, le produit yj/^ pourra être inscrit à côté de la moyenne a, comme mesurant le poids de cette valeur [127]. ^

132. Quand les diverses mesures sont prises par divers observateurs, avec des instruments différents ou dans des circonstances dissemblables , la probabilité de l'erreur x varie d'une mesure à l'autre. Il faut entendre en pareil cas, par la fonction fx^ une moyenne entre toutes les valeurs données par les diverses lois de prol)abilité, propres à chaque mesure : ainsi que cela a déjà ^té expliqué d'une manière générale [81].

Supposons que la série totale des m mesures se dé-

<X)mpose en séries partielles (m,), (/w,), .... {rrii) ' soit

<{ue Ton groupe dans une même série partielle les me-

calculer, par la formule (L), la probabilité P correspondant à une limite d'écart /. La formule n'est plus seulement approchée; elle devient exacte pour des valeurs quelconques du nombre m. Ce cas se présente nécessairement, quand chacune des valeurs particulières qu'on emploie pour calculer la moyenne définitive , est déjà la moyenne d'un grand nombre de mesures prises dans des circcHastances semblables.*)

sures prises par le même observateur^ ou bien celles qui résultent d'observations faites avec les mêmes instru*inents, ou dans des circonstances analogues; et siFeotons des indices (i), (2),. . (i) les quantités a, y» suivant qu'elles se rapportent auit mesures de la série (m,), à celles de la série (/n^), et ainsi de suite. Le poids yVXm variera aussi d'une série à l'autre, et deviendra successivement

Cela posé^ à l'on prenait, pour la valeur de la quantité a^ U moyenne

ou (ce qui serait moins défectueux) la moyenne

on ne tiendrait pas un juste compte, dans la formation du résultat final , du poids de chaque résultat partiel. Si, par exemple, les valeurs particulières de la série (m,) diffèrent très-peu de leur moyenne ai, beaucoup moins que les valeurs de la série (m^) ne différent de leur moyenne a,, y, sera un nombre beaucoup plus grand que y^, et le produit y^l/îw^ pourra être fort supérieur au produit y^l/w^, même lorsque m^ sera notablement plus petit que m^. Le bon sens dit aussi qu'une série ttioins nombreuse, mais composée d'observations mieux concordantes, doit inspirer plus de confiance qu'une série plus nombreuse où se manifestent de plus grands écarts. 11 appartient à la théorie de préciser ces incKcations du bon sens^ en donnant une règle formelle pour combiner les résultats partiels , de maaièro à x^es-

serrer (avec la même probabilité) dans leû limites les plus étroites l'erreur dont doit être réputé affecté le rér sultat final. Cette règle consiste à prendre pour la valeur de la quantité a la moyenne

c'fsst-à-dire à faire entrer chaque moyenne partielle, proportionnellement au carré de son poids, dans la composition de la moyenne générale; et l'on a alors la probabilité P que Terreur tombe entre des limites zt / doanées par l'équation

133. Souvent la quantité qu'il s'agit de déterminer dépend de plusieurs grandeurs dont chacune doit être l'objet d'une mesure directe. Pour en donner un exemple des plus simples, s'il s'agit de calculer la hauteur d'une tour par la résolution d'un triangle rectiligne do^t PO mesure la base à partir du pied de la tpur^ et r^gleaigu adjacent, la hauteur cherchée est fonctioa de pet ,anglè et de cette hase, de manière que l'err/çi^ sur ja hauteur dépend à la fois de l'erreur commise fkw la mesure de la base et de l'erreur commise sur la Viesure de l'angle. Quand on calcule l'aire d'un trianglç en fonction des trois côtés, d'après une formule bien cai^nue 4b géométrie, l'erreur sur l'aire calculée se compjî<pie des erreurs commises dans la mesure de cfaacua des trois catés. Enfin, si Ton imagine un réseau de triaagles, comme ceux que l^on construit dans les grandes opcratîeas i^déslques, l'erreur commise sur 1^ valeur ealculée de l'une des lignes du réseau, est une résultante 4c tmoÈÊS les «nreurs qui |>e«ivent affecter, t«iU; la B»e-

sure de la base primitive d'opérations, que celle des angles qui ont servi à calculer de proche en proche les lignes du réseau, jusqu'à celle que Ton considère.

Désignons par a, b^ c, etc., les grandeurs qui sont l'objet d'une mesure directe, et par h la grandeur qui en dépend. Appelons a, ^, y, etc., les moyennes données par les mesures directes pour chacune des grandeurs «, 3, c, etc. Soit Y) la valeur correspondante de A, ou celle qu'on obtiendrait pour hj en mettant à la place de a, bj c, etc., les valeurs numériques a, % y, etc., dans l'équation qui lie entre elles les grandeurs a^ b^ c^. . .h^ et que nous représenterons, suivant une notation familière aux géomètres, par

k=F{a^ b^c^ etc.). (F)

Si h était une fonction linéaire [74] des quantités «, by Cy etc. , la valeur y\ serait la moyenne des valeurs

Aj==:F(aj, 6, , c?j, etc.), A,=F(a,, b^yC^^ etc.), etc. :

«I? ^i? ^D- • • • ^a? ^a> ^av • • • ) ^^^* > désiguaut les systèmes de valeurs particulières qui ont servi à former les moyennes a, ê, y, etc. ; mais il n'en est plus de même en général , et lorsque F désigne une fonction quelconque. Posons

A— Yl=J, a— a=:Jj, A — p=^„ c — y = S3,etc.;

c'est-à-dire désignons par ^„ ^„ ^3, etc. , les erreurs qui affectent les moyennes des mesures des grandeurs «, è, c, etc. , et par ^ l'erreur qui en résulte sur la détermination de la grandeur h. En général , suivant le degré de complication de la fonction F, l'erreur résultante serait liée aussi d'une manière plus ou moins compliquée aux erreurs qui affectent chacune des mesures directes ;

mais le problème de la recherche de la probabilité de l'erreur résultante se simplifie beaucoup^ et comporte une solution générale , si l'on suppose que chacune des erreurs composantes ^x ? ^a ? ^3 1 etc. , est très-petite : supposition bien permise , quand il s'agit d'opérations dignes par leur précision d'une discussion rigoureuse , et lorsque les moyennes a, ê, y, etc., résultent chacune d'un grand nombre de mesures particulières.

Imaginons que l'on substitue dans l'équation (F), au lieu de ^., a, 6, c, etc., leurs valeurs exactes

n4-*, a+Jx, P4-*a, Y+*3, etc. :

on pourra, à cause de la petitesse des erreurs 8^, 8^, ^3, etc., négliger, dans le développement du calcul, les produits de ces quantités, et leurs puissances supérieures à la première ; et la théorie des fonctions nous apprend qu'on aura, entre les quantités très-petites ^, ^,, ^,, ^3, etc., une équation linéaire, de la forme

J=:C,Î, + C,*, + C3Î3 + etc., (FO

dans laquelle Ci, G,, C3, etc., désignent des nombres constants, positifs ou négatifs. Plus la valeur numérique du coefficient Cx est petite, moins l'erreur ^,, commise dans la mesure de la grandeur a , a d'influence sur Terreur qui affecte l'évaluation de la grandeur A; et ainsi des autres (').

(') Par les principes du calcul différentiel, les coefficients

^i) Cav Csy etc., sont les valeurs numériques que les coefficients

différentiels

</.F(fl, *,c, etc.) </.F(a,^c,etcO </. F(g, », c,etc.) Tli ' dà ' di '^^'''

acquièrent quand on y fait ii=:a, ô=p, ^ = Y> ®*^* On peut aussi déterminer ces coefficients approximativement.

B84 châpitke XI.

Cela pose , soit P la probabilité que les erreurs com-< posantes 8^j ^,, ^39 etc., tombent respectivement entre des limites ±1, , ±4 » ^4 > etc. : on aura la même probabilité P que Terreur résultante ^ tombe entre les limites

ifc/=:±:i/^Gî/î + C;/î + Cîi;+etc.

Pour P = -, les limites /, , 4> 4> etc., sont les yj^-

leurs médianes des erreurs composantes, et / est la valeur médiane de l'erreur résultante.

Parmi les différents systèmes d'éléments a^ b^ Cj etc. , qui peuvent servir à calculer la grandeur A , il y ^o a qui donneront à la précédente expression de / 1;^ plus petite valeur ppssible : ce seront les systèmes les plus a{>aMage{jLx pour la détermination de la gnuuleur K Ainsi y lorsqu'il s'agit de mesurer la hauteur d'ui^ tour, on trouve aisément que le triangle le plus avantageux est celui dans lequel l'angle aigu, adjacent à la base, approche le plus d'être égal à un demi-droit : car alor;^

et en quelque sorte empiriquement, sans connaître les règles du calcul différentiel. Pour cela on donnera d'abord ka^b^Cy etc., âans l'équation (F), les valeurs a, p, y, etc. , ce qui fera connaître le Sombre f^ p«is sans dianger les vMeHrs de b, c, etc., on donnera à« la valeur a+Si, §i désignant une très-petite fraction de », arbitrairement choisie , par exemple un centième ou un millième de a. On obtiendra ainsi pour h une autre valeur 7)1, très-peu différente de t). La différence 7]i — 7) sera une valeur très-approchée du terme €,5i dans l'équation (F'). En conséquence , le quotient

sera unevâ^eur^trés-approdiéedu oœfficient d. iPar<)e néme ^fcmm élÊiatmmf^Awwoemwtfa^^ G,, <by «te.

DES BiTOiniEft. S35

fetrenr sur la mesure de cet angle influe le moins po^ sible sur la valeur que le calcul assigne à la hauteur de la tour. Dans les opérations beaucoup plus compliquées , et notamment dans les grandes opérations géodésiques, la recherche du système le plus avantageux devient une question à la fois très-délicate et très^mportante.

iâ4. Il arrive fréquemment que la quantité qui &it Tobjet d'une mesure directe n'est point la même k chaque observation. Par exemple, pour déterminer avec décision la hauteur d'une tour, au lieu de mesurer plu- «teon fois la même base et le même angle adjacent, oa peut mesurer diverses bases , pour chacune desquelles lUttgie adjacent prendra aussi des valeurs différentes. C^qut n'est que facultatif, quand il s'agit d'opérations trigoaométriques , ou d'expériences {^ysiques dont on dispose à peu près à son gré les circonstances , devient nécessaire dans les sciences telles que l'astronomie , où r^Epérience est remplacée par l'observation proprement dite, c'est-à-dire, par un autre genre d'expérience dont 1(8 conditions ne sont pas à la disposition de l'observateur. Ainsi, pour déterminer les éléments d'une comète, il faudra déterminer les lieux astronomiques de la comète k. des ^x>qiies différentes, détermination qui résultera de hauteurs m^diennes et d'angles horaires observés dans des ^constances très-diverses , qui peuvent être fort iné- ^aistnent favorables à l'exactitude du résultat. Lorsque l'on veut combiner un ^rand nombre d'oba»:* vatioas, dans l'itetcRDition d'arriver àdes résultats très^pracis, il faut, pour ipeidre les calcitls praticables, que les iaconobues eherefaées sioient des fonctions linéaires des grandeurs mesurées dîpectememt; et cette condition essentielle sera i«ini)iiie^ ei l'on iOMMut «léjà , 4'u«e »a«îÀpe tnèar^ap-

prochée, les valeurs de certains éléments qu'il s'agit seulement de corriger^ et les valeurs que l'observation doit assigner aux grandeurs mesurées directement. Supposons, par exemple, qu'on veuille déterminer avec une grande certitude , non plus les éléments du mouvement parabolique d'une comète, mais ceux du mouvement elliptique d'une planète, éléments déjà connus avec une grande approximation: les grandeurs angulaires (l'ascension droite et la déclinaison) qui fixent les lieux astronomiques de la planète à des époques données seront aussi connues à très-peu près , et pourront être assignées approximativement , avant toute observation , en conséquence des valeurs admises pour les éléments de la planète. L'observation donnera une correction pour chacune de ces grandeurs angulaires , ou une différence entre la grandeur calculée et la grandeur observée; et de ces corrections fournies par un grand nombre d'observations (afin que les petites erreurs dont chaque observation est encore affectée se compensent sensiblement), il faudra tirer par le calcul les corrections que les éléments de la planète doivent subir. Toutes ces corrections , tant celles que l'observation donne , que celles que le calcul doit en déduire , sont de fort petites fractions dont on peut négliger les produits et les puissances supérieures à la première; et par suite, il est permis de considérer les corrections calculées comme des fonctions linéaires des coiTections observées.

135. Traitons d'abord le cas où il n'y a qu'un élément à corriger, et où la mesure ne porte, à chaque observation , que sur une seule grandeur. Soient «, la petite correction que l'observation n® i , supposée rigoureusement exacte y aurait dû apporter au résultat du

calcul ; a, la valeur que la mesure effective , entachée de Terreur ^, , donne pour cette correction ; de sorte qu'on ait

Appelons^ la correction que Mément doit recevoir, et qu'on se propose de calculer d'après l'ensemble des observations : on a entre x et a, une équation linéaire

dans laquelle C,, c, sont des coefficients numériques connus ; ^ qui , lorsqu'on pose , pour abréger ,

donne

Si l'on négligeait l'erreur ^j, on tirerait de cette

équation

et, en opérant de même sur les résultats d'un grand nombre d'observations , on aurait autant de valeurs différentes de X , dont on pourrait prendre la moyenne arithmétique , comme si les valeurs particulières de x avaient été données par une mesure directe dans chaque observation. Mais cette manière d'opérer ne serait pas conforme à ce que la raison indique : en effet il est clair que la grandeur de Terreur ^, influe d'autant moins sur la valeur de j; tirée de l'équation (i), que la valeur du coefficient Ci est plus considérable; tandis qu'en prenant simplement la moyenne des valeurs de ^ , on ferait concourir de la même manière toutes les observations \mrticulières à la détermination de x , sans distinguer ^tre les observations plus ou moins avantageuses.

2d8 esAPrrRE xu

Pour paref à cet îneonvéïiieiit ^ le géomètre Cotos avait proposé une règle dont les astronomes ont &U longtemps et font encore usage , à cause de sa aimplb cité. Elle consiste à prendre

A, + A>+A3 + etc. ; >

^'^G.-i-O. + Cs+etc.' ^^^

Aa , C, ; A3, C3 ; etc. , étant les analogues de A. , C, pôtt^ les observations n® 2 , n^ 3 > etc. Cette règle revient à supposer nulle la somme des erreurs

*.+*. + ^3+ etc.

Elle revient encore à prendre une moyenne entre les valeurs

mais en supposant que la première valeur est donnée par un nombre d'observations proportionnel à C, , la seconde par un nombre d'observations proportionnel à C», et ainsi de suite. De cette manière, l'influence de chaque observation, dans la fixation de la valeur définitive de l'inconnue x, se trouve d'autant plus grande que cette observation est en soi plus avantageuse pour^ la détermination de l'inconnue.

Ce n'est là cependant qu'un aperçu, subordonné ^ l'hypothèse gratuite que les erreurs oscillent entre les mêmes limites, suivant la même loi de probabilité, dans les différentes observations; et qui, même dans cette liypotbèse , serait encore inexact. En effet , Laplace a montré qu'il £aiut prendre alors

C,A,+C>A, + C3A^ + etc, yji

"^^ C;-^Gî + Cî^.«tc ' ^^

DES mBSURSBi $A9

ou faire entrer la mesure de rang i^ proportionnelletiient au carré du coefficient C<, dans la composition de la moyenne définitive, si l'oil veut resserrer autant que possible les limites dtl entre lesquelles doit tomber (aveif une probabilité P) Terreur que comporte la valeur de œ. Dans ce cas, les limites / sont données par l'équation

t=zlgyGl + Cl + Gl + etc., (4)

g étant le module de convergence relatif à la loi de probabilité commune aux erreurs ^i , ^, , ^3 , etc.

Quand on détermine la correction a: par la formule (2) , ou par la règle de Cotes , les limites ±1 sont liées à la probabilité P par l'équation

^ , C,+C,4-C3 + etc.

t=lg. -7= ,

Km

m désignant le nombre des obset*vations. Or, en vertu du principe qiie nous avotis plusieurs fois dté [^3, 77], le coefiScient de /, dans cette dernière équation, est toujours moindre que le coefficient de / dans l'équation (4). On peut prendre pour valeur approchée du module indonnu g qui entre dans la formule (4)^ le nombre

^ V/^c; + c; + etc.|/^

i/2[(Gî+C;+etc.)(A;+Aî-f.etc.)-(CxA,+CAH-elc.)*]' donné par l'observation même ; et le produit

yKCî+C;4-etc.

exprimera dans ce système le poids de la correction x.

Si la loi de probabilité de l'erreur et par sUitie le mo-

dblë de convergence variaient d'une observâtiqb à l'aU-

tré , ta courbé de probabilité restant néanmoins toujours

symétricpie , les formules (3) Qt (4) seraient remplacées par

gîC A, +gîC,A, +glC^A^ +etc.

La valeur de x donnée par l'équation (3) est œlle qui résulte de la condition que la somme des carrés des erreurs ^i , ^^ , ^3 , etc. , ou que la somme des quantités

(C^o: — AJ% (C^— A.)% (Ca^— A3)% etc.

soit un minimum. En conséquence la formule (3) se nomme la règle des moindres carrés des erreurs (').

136. La même série d'observations doit souvent servir à déterminer simultanément les corrections de plu-

(<) La règle des moindres carrés a d'abord été proposée par Legendre , seulement comme un procédé empirique propre à introduire plus de symétrie dans les calculs. Gauss a prouvé ensuite que cette règle doit être réputée la plus açantageuse, en vertu des principes de la théorie des chances , lorsque la loi de probabilité des erreurs est de la forme Ke-**** [^^o, noté\. Enfin Laplace a démontré la même chose pour une loi quelconque de probabilité , sous les conditions : 1° que la loi de probabilité soit la même dans toutes les observations, et la même pour les erreurs positives que pour les erreurs négatives ; 2° que le nombre des observations atteigne Tordre de grandeur qui permet d'appliquer les formules d'approximation. Or, il faut avouer que , pour un nombre fort grand d'observations , la règle devient presque impraticable par la longueur des calculs, ce qui restreint singulièrement la valeur pratique du théorème de Laplace. La bonté de la règle tient surtout alors à ce que la forme de la fonction qui exprime la loi de probabilité , quand il s'agit d'observations aussi précises que celles des astronomes , doit peu s'écarter de celle que Gauss lui avait primitivement assignée.

sieurs éléments. Par exemple , les observations des lieux d'une planète devront servir à corriger simultanément les six éléments de son mouvement elliptique, ou les masses des planètes perturbatrices, lorsqu'on a égard aux perturbations de ce mouvement (*). L'équation (i) se trouve alors remplacée par une équation de la forme

^,=:C,a;+C>' + C>" + etc. — A, :

X ^ ai f .r'% etc., désignant les corrections cherchées; C, , C, , G\ , etc., des nombres donnés par la théorie; et Ax un nombre déduit de l'observation même. La règle de Cotes n'est pas susceptible de s'étendre à ce cas; et la manière de combiner les équations de cette forme, pour en tirer autant d'équations résultantes qu'il y a d'inconnues a:*, ^, ai\ etc. , restait, d'après cette règle, tout à fait indéterminée , lorsque Legendre a proposé la règle des moindres carrés, précisément pour faire cesser cette indétermination. En effet, \e minimum d'une

fonction

*î+*: + îî-f-etc.

(») Jusqu'ici on n'a guère appliqué qu'aux observations astronomiques la théorie qui fait l'objet de ce chapitre. Si l'on n'admet pas d'une manière absolue la loi de Prout dont il sera question plus loin, ne conviendrait-il pas d'appliquer cette théorie à la détermination des poids atomiques ou des équivalents chimiques, en faisant concourir au calcul simultané des corrections que ces poids comportent, un grand nombre d'analyses de composés divers? U s'opérerait probablement une compensation entre les effets des différentes causes d'erreur, lorsque le poids d'un même radical chimique serait déterminé par les analyses de plusieurs corps où ce radical se trouve engagé dans des combinaisons différentes; tandis que certaines causes d'erreurs peuvent agir constamment dans le même sens, tant qu'on ne fait que répéter l'analyse d'un même composé.

se détermine toujours , quel que soit le nombre des inconnues Xj x\ x" y etc, qui entrent dans la composition de chacune des fonctions ^^ , ^„ ^3^ etc.

137. On ne doit pas perdre de vue que toutes ces règles reposent sur Thypothèse qu'on a déjà des valeurs très-approchées des éléments qu'il s'agit de corriger. A la faveur de cette hypothèse on pourrait obtenir une très-grande probabilité P que Terreur sur la Valeur corrigée est resserrée entre des limites très-étroites; ce qui n'empêcherait pas de trouver y par des observations postérieures, que la valeur corrigée est encore trèsinexacte ^ si la valeur (réputée très-approchée) qui a servi à calculer la correction x et la probabilité P ^ était au contraire entachée d'une erreur considérable. Cette circonstance s'est présentée , il n'y a pas beaucoup d'années, à propos de la détermination d'un élément important du système solaire.

D'après les mesures des élongations des satellites de Jupiter, dues à l'astronome Pound, contemporain de Newton, ce grand géomètre avait trouvé la masse de Jupiter égale à la 1067^ partie de celle du soleil , ou à 0,000 937 2 1 , la masse du soleil étant prise pour unité. Laplace, en appliquant la méthode dont on vient de rendre un compte sommaire , à un système de 1 26 équations de condition, calculées par M. Bouvard , pour le mouvement de Jupiter en longitude, et de 129 équations pour le mouvement de Saturne, a diminué tle 0,000 002 94 la valeur précédente de la masse de Jupiter, en la fixant ainsi à 0,000 984 ^7. H a trouvé eMuIte la probabilité P d'un million contre un que cette valeur corrigée n'était pas en erreur d'un centième de sa valeur^ en plus ou en moins ^ ou que la masse de

Jupiter restait comprise entre

o^ooo 924 93, et 0,000 942 61.

Mais, plus tard, on reconnut que les perturbations occasionnées par l'action de Jupiter dans les mouvements des planètes télescopiques, et dans ceux de la comète d'Ëncke , exigeaient qu'on attribuât à Jupiter une masse plus considérable; et enfin M. Airy, soumettant à une nouvelle discussion les observations de Pound , y constata une erreur par suite de laquelle la masse de Jupiter devait être portée à 0,000 gSS 5j, Cette valeur, qui s'accorde avec le. résultat que donne le calcul des perturbations des planètes télescopiques, est admise maintenant par les astronomes^ et elle sort très-sensiblement des limites que Laplace avait assignées. Le déiiut de la conclusion de J^aplace peut tenir à des termes kutifs ou incomplets dans le développement des formules l'approximation qui donnent les perturbations planétai- *es, ou à des fautes dans le calcul des équations de conlition , ou bien encore à l'erreur de l'hypothèse" d'après aquelle la loi de probabilité des erreurs des observa- LÎons employées serait la même pour toutes les obser-*' nations , et la même pour les erreurs positives que pour les erreurs négatives. Mais ce défaut peut tenir aussi à ce^ qu'on a mal à propos admis à priori que les mesures de Pound ne comportaient que des corrections très-petites.

138. C'est ici le lieu de revenir sur la remarque déjà feite [i3o], qu'il serait absurde de prétendre déterminer une grandeur continue avec une précision indéfinie , ^ multipliant indéfiniment les observations ou les mesures. Si y par exemple y un observateur s'avisait de don-

244 CHAPITRC XI.

ner la mesure d*une longueur avec vingt décimales , il saute aux yeux que les dix dernières au moins seraient données d'une manière tout à fait arbitraire, sans relation aucune arec la véritable expression numérique de cette longueur ; de telle sorte que , si Ton accumulait un grand nombre d'expressions semblables , il arriverait de deux choses l'une: ou les chiffres décimaux, du lo^au 20® ordre, auraient été choisis irrégulièrement et fortuitement par chaque observateur, et alors la moyenne des valeurs numériques des chiffres décimaux d'un même ordre serait la moyenne des nombres

o, I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, c'est-à-dire -; ou bien, les mêmes causes agissant sur

tous les observateurs auraient fait choisir certains chiffres de préférence à d'autres, et alors la moyenne des valeurs numériques des chiffres décimaux d'un même ordre pourrait différer notablement de - , mais elle

n'en serait pas moins fortuite, en ce sens qu'elle sérail complètement indépendante de la valeur du chiffre d< même ordre, dans la véritable expression numérique de la grandeur mesurée.

On aurait grand tort d'induire des termes de notr^^» *c exemple, que nous admettons la possibilité pratique^ 9 avec les procédés actuels d'expérimentation , d'obtenii exactement, jusqu'aux chiffres décimaux du 10® ordre-l'expression numérique d'une grandeur donnée par de! mesures : nous avons entendu aii contraire faire une hypothèse exagérée, pour rendre tout d'abord d'autan' plus sensible la. nécessité d'admettre une limite à la précision possible, quel que soi V, le nombre des mesurer

OU des observations particulières que l'on combine. Chose singulière ! il n'y a de grandeurs continues susceptibles d'être déterminées empiriquemei^; avec une approximation indéfinie, que les chance^d'apparition des phénomènes résultant du concours de causes constantes et de causes fortuites, quand ces chances ne sont pas de nature à varier avec le temps. Si, par exemple, dans un climat donné, la chance moyenne d'une naissance masculine ne devait pas varier avec, le temps , et avec les changements survenus dans les habitudes sociales , on concevrait que cette chance pût être déterminée avec une précision indéfinie par l'accumulation indéfinie des épreuves: car, à la rigueur, on conçoit la possibilité d'un dénombrement parfaitement exact ; tandis qu'il répugne qu'une grandeur continue puisse être déterminée avec une précision indéfinie, par l'application d'une mesure , et par le secours de nos sens 3t de nos instruments.

139. Il faut bien distinguer entre les erreurs de mesure, proprement dites , et l'indétermination qui affecte nécessairement la lecture de la mesure. Ainsi , quand 3n observe im angle , indépendamment des erreurs de pointé^ de centrage , etc. , qui peuvent faire varier la mesure d'une quantité beaucoup plus grande que celle qui correspond à la plus petite division du limbe , il y a une indétermination qui s'attache à la lecture de chaque mesure , et qui provient de ce que l'observateur liéglige , ou estime arbitrairement les fractions plus petites que la plus petite division perceptible. Comme il s'agit ici d'un point important pour la saine interprétation de tous les résultats des sciences expérimentales, £t que ce point n'a pas obtenu l'attention qu'il mérite.

on nous pardonnera d'entrer à cet égard dans quelques détails minutieux.

Pour chaoue nature de grandeur il y a, d'après le mode \

de mesure et d'observation, adopté , une limite au-des- 1

sous de laquelle les fractions de l'unité deviennent indiscernables. Si nous prenons pour image de la grandeur dont il s'agit une ligne droite, dont une extrémité est fixe et l'autre mobile , on peut toujours concevoir cette droite divisée, à compter de l'origine fixe, en parties égales 6) , assez petites pour que l'observateur n'y puisse discerner de subdivisions. Lors donc que le point qui limite la droite à son extrémité variable tombera plus -— près de la n^ division que de toute autre , il arrivera de ^s deux choses l'une : ou l'observateur prendra pour la va- — ^' leur de la grandeur mesurée la quantité /zw, et il négligera la différence , en plus ou en moins, plus petite que

- ct), ou bien il voudra estimer cette différence, mais-^ss-ii

seÉ sens lui feront défaut, et V estime restera pure- — ^ ment arbitraire et fortuite , sans qu'il y ait de raisou-^^^ ' intrinsèque pour qu'une valeur soit assignée par lui à-^^ ' cette différence plutôt qu'une autre ; de aorte ^ue la-^^ -■ moyenne des différences ainsi estimées, dans un grand-K^-*'

nombre d'essais, sera - co pour les différences positives,^ ^^

et — - wi pour les différences négatives.

Cela posé, soit OX {Jig. tq) la droite partagée S ^ compter du point O en divisions égales à (a : division -^rz75 que nous agrandissons beaucoup pour la netteté de figure. OA représente la vraie valeur de la grandeur les erreurs de mesure , proprement dîtes , peuvent s'^W^ i

tendre de part et d'autre du point A jusqu^en m et /t. S'il n'y avait point d'indétermination dans la lecture, la moyenne d'un grand nombre de mesures serait là dis*^ tance du point O au centre de gravité de la barre mn [67], en supposant que^, ou la probabilité de l'erreur de mesure désignée par^, exprime la densité de la tranche dont la distance à la tranche A est égale à x. Cette moyenne se confondrait avec la grandeur OA , dans l'hypothèse où la densité varierait symétriquement de part et d'autre du point A. Voici maintenant ce que la moyenne deviendra en raison de l'indétermination de la lecture. . .

Admettons que les traits i , 2 , 3, etc., partagent en deux également les divisions consécutives de la barre dans l'étendue mn : il faudra concevoir la masse de la tranche comprise entre les traits i et 2 , concentrée , non en sotf%entre de gravité , mais au point qui partage en deux égalemçnt l'intervalle des deux traits , et qui rëpDtid'%la division a; il faudra de même concevoir la ""inasée de la tranche comprise entre les traits 2 et 3 , coBidentrée au point milieu qui répond à la division b, ^t ainsi de suite. La distance de l'origine O au centre de gravité de ce système de points matériels représentera la moyenne d'un nombre infini d'observations , et différera en géûéral de la distance OA, ou de la grandeur a qu'il s'agit de mesurer.

Ce que nous appelons la lecture peut être remplacé par un Autre mode d'appréciation faite au moyen des sens de l'homme, et affectée d'une indétermination analogue. Ainsi , la finesse du sens de l'ouïe donne aux personnes qui ont l'oi^lle musicale le moyen d'apprécier avec une grande approximation des rapports toniques ,

et par suite de mesurer la durée des mouvements vibratoires qui produisent le son ; mais pourtant cette faculté a ses limites j et Ton arrivera à des fractions de ton si petites, que Toreille la mieux exercée ne pourra plus les estimer, ou ne les estimera que d'une manière tout à feit arbitraire.

Nous avons supposé plus haut que l'évaluation arbitraire des différences moindres que - w , répétée un grand nombre de fois par le même observateur , devait donner =t ": w pour moyenne des différences posi-

tivés ou négatives. S'il en était autrement , et qu'il y eût pour le même observateur une tendance constante à faire des estimes trop fortes ou trop faibles, dans un sens ou dans l'autre, les moyennes seraient différentes, et changeraient irrégulièrement d'un observateur à l'autre. Il faudrait alors accumuler de nombreuses séries de mesures faites par divers observateurs, ou dans des systèmes d'expérimentation différents , pour arriver à une moyenne fixe, qui n'en serait pas moins sujette à différer de la vraie valeur par des quantités de l'ordre de celles sur lesquelles porte l'indétermination de la lecture.

En général, quelle que soit l'opération, délicate ou grossière, compliquée ou simple, qui conduit à la mesure d'une grandeur continue , il faut concevoir qu'indépendamment des causes d'erreur, fortuites ou constantes, qui tiennent aux vices de la méthode, aux défauts de construction des instruments, à l'influence perturbatrice des milieux ambiants, aux distractions de l'observateur, et à un trouble momentané ou perma-r

nent de ses organes ^ il y a une indiitermination inhérente à Facte de la lecture, ou à ce qui en tient lieu; et que, par suite de cette indétermination , on ne peut pas dépasser un certain degré de précision , quel que soit le nombre des mesures particulières que l'on fait concourir à la détermination de la moyenne.

140. On peut, si l'on veut, confondre avec les erreurs provenant de l'indétermination de la lecture, les erreurs provenant des défauts de construction des instruments, dans les limites où la main de l'artiste constructeur cesse absolument d'être guidée par ses sens [43], et n'obéit plus qu'à l'action de causes aveugles et fortuites.

Tant qu'il ne s'agit que d'observer des différences entre des grandeurs , les instruments peuvent venir au secours des sens de l'homme, de manière à leur donner une perfection dont nous ne saurions assigner la limite. Ainsi, des instruments d'optique, doués d'un pouvoir grossissant de plus en plus fort , permettront de classer par ordre de grandeur des distances ou des volumes qui se confondaient à l'œil nu , ou à l'œil armé d'instruments d'un pouvoir moindre. Des balances , des thermomètres d'une sensibilité de plus en plus exquise constateront des inégalités de poids ou de température^ insaisissables avec des appareils moins délicats. «Mais s'il s'agit de mesurer ces différences , d'assigner leurs rapports avec l'une ou l'autre des grandeurs que l'on compare , ou avec l'unité de grandeur, les instruments très-sensibles, excellents oomme instruments indicateurs , ne seront plus d'aucun secours , à cause des erreurs d'étalonnage et de division qu'ils comportent. Concevons en effet que nous ayons vin thermomètre propre à indiquer des variations d'un centième de degré dans la température , mais dont les

2SQ GHAFmE XL

«Kcursioiis ne peaToit s'étendre , en raison de sa sensibilité même, que dans une portion très-limitée dé réchelle thennométrique , par exemple de 4o à 4 5° enyiron. Outre oue les divisions de ce thermomètre comporteront des irrégularités y on ne pourra y^même en les supposant parfaitement régulières , s'en prévaloir pour la mesure d'une température absolue, qu'autant qu'on aura comparé l'échelle de ce thermomètre à celle d'un thermomètre ordinaire , fixé le point de la seconde auquel correspond le zéro de la première , et le rapport des divisions de la première aox divisions de la seconde. Or^ la précision de toutes ces opérations^ que nous comprenons sous la dénominaticm d'étalonnage, est subordonnée à la précision que comportent les mesures prises avec le thermomètre ordinaire , et non au degré de sensibilité qu'on est parvenu à donner au thermomètre auxiliaire.

S'il s'agit de mesurer une grande longueur en appliquant successivement Tunité de longueur à ses diverses parties , de jauger un grand volume par une succession de jaugeages partiels, et ainsi de suite, l'erreur qui affectera inévitablement l'étalonnage de l'instrument employé comme unité de mefttre , affectera de la 'même manière toutes les mesures nartielles. La compensation ne détruira point , dans le résultat final , l'effet de ces erreurs partielles: tellement que, si l'on a à mesurer de la sorte une longueur d'un kilomètre environ , et que l'erreur du mètre employé soit d'un dixième de millimètre , il y aura , de ce chef, une erreur d'un décimètre sur la mesure de la longueur totale.

Généralement la mesure des grandeurs dont l'unité est arbitraire , ou de celles dont le zéro doit être fixé

par une expérience préalable, comporte une précision moindre que la mesure des autres grandeurs , à cause que les erreurs dans la mesure proprement dite se compliquent avec les erreurs dans l'étalonnage de l'instrument qui sert de mesure. Par cette raison, toutes circonstances égales d'ailleurs, la mesure d'une longueur comportera moins de précision que celle d'un angle; la mesure d'une densité comportera plus de précision que celle d'une température.

141. Dans l'état actuel des sciences physiques, il n'y a presque pas de mesure dont l'erreur ne se complique des erreurs qui affectent une foule d'autres éléments : soit que l'observateur accepte les expressions numériques de ces éléments, telles que d'autres les ont doiinées avant lui , soit qu'il les détermine lui-même pour le besoin de son expérience. On conçoit que le degré de précision du résultat final dépend en général du degré de précision de l'élément le moins précis, et que le calcul proprement dit , à quelque degré de précision qu'on le pousse , ne peut donner à l'expression numérique finale plus de précision que n'en comportent les données numériques du calcul : de sorte qu'il serait illusoire de pousser, par exemple, jusqu'à la septième décimale une division ou une extraction de racine, quand les données ne comportent d'exactitude que jusqu'à la quatrième décimale.

On reconnaîtra que le degré de précision possible est atteint, lorsque de nouvelles séries de mesures de la grandeur «, en maintenant intacts dans l'expression numérique de «, les chiffres décimaux jusqu'à celui de l'ordre n inclusivement, imprimeront aux chiffres décimaux des ordres supérieurs des variations tout à fait

irrégulières : le chiffre de l'ordre n+ 1 étant, par exemple j un 6 dans la première série d'épreuves , un 2 dans la seconde, un 9 dans la troisième, et ainsi de suite; de manière que la moyenne des valeurs numériques des

chifFres de cet ordre devînt sensiblement égale à - par

l'accumulation d'un grand nombre de séries. Alors il sera illusoire de conserver dans l'expression de a les chiflEres décimaux de l'ordre /^^-I et des ordres supérieurs. Au contraire, les chifïres de l'ordre n et des ordres inférieurs devront êtrp réputés affranchis de toute erreur provenant de l'indétermination de la lecture ou de causes analogues : ils seront certains , s'il n'y a pas, dans toutes les observations, une cause constante d'erreur de la nature de celles qu'une théorie exacte rendrait impossibles, et affectant par sa grandeur les chiffres décimaux des ordres dont il s'agit.

Si le chiffre de l'ordre /^+ 1 variait par de nouvelles observations, mais de manière que quelques-unes des valeurs o, i, 2, 9 se reproduisissent plus fréquemment que d'autres, ou que leur moyenne parût

différer sensiblement de -, le chiffre de l'ordre n+i

serait encore incertain, mais il faudrait le conserver; et l'on garderait l'espoir d'arriver à le déterminer exactement , en multipliant suffisamment les mesures.

Des progrès survenus dans les procédés de mesure et d'expérimentation reculeront les limites de la précision possible. Le chiffre de l'ordre w+ 1 , qui ne pouvait pas être déterminé parles anciens procédés, pourra l'être par les procédés nouveaux; mais les valeurs assignées à ce chiffre d'une manière purement fortuite, par

DBS MESURES. 253

les anciens procédés, ne pourront utilement concourir avec celles qui auront été trouvées par les procédés nouveaux , pour en déterminer la valeur exacte.

142. Lorsque la grandeur a sa compose de deux parties, HiV^ ?^^ ^^ compte, l'autre qui se mesure, la rechercBr du degré de précision ne peut porter que sur la partie jqui se mesure. Ainsi, Tannée tropique moyenne se compose de 365 jours solaires moyens, «et d'une fraction de jour moyen : il ne peut évidemment y avoir d'incertitude sur le nombre de jours solaires qui se comptent ; et l'opération, qui consiste à évaluer une grandeur continue, celle qui ne comporte essentiellement qu'une précision limitée, est la mesure delà fraction de jour jointe au nombre entier 365.

Il est bien entendu que, si les parties qui se comptent n'étaient pas rigoureusement égales entre elles, ou réputées telles, la recherche du degré de précision porterait, comme à l'ordinaire, sur la totalité de la grandeur a.

143. Les chiffres que nous appelons décimaux pourraient désigner des unités entières, ou des multiples décimaux de l'unité :' il suffirait pour cela d'un déplacement de la virgule, ou d'un changement dans l'unité à laquelle on compare la grandeur a. Si a est une Ion- ^eur , l'unité pourra être le millimètre , ou le mètre , ou le kilomètre. Le choix ne restera pourtant pas absolument arbitraire, précisément parce qu'il serait absurde ci'évaluer en millimètres une distance géodésique, qui xie peut être déterminée qu'à quelques mètres près , ou en mètres une distance astronomique sur la détermination de laquelle restera toujours une incertitude de plusieurs kilomètres. Le rayon même de l'orbe terrestre

deviendrait une unité trop petite, s'il était question d'exprimer en nombres les distances du soleil aux étoiles les plus proches. Dans tous les cas , la limite imposée au degré de précision resserre entre des limites correspondantes le choix de l'unité à laquelle on doit comparer la grandeur a ; et le nombre des chiffres susciptibles d'une détermination exacte dans l'expression de a ^ à partir du proipier chiffre significatif sur la gauche , indique (ou, si l'on veut, mesure) le degré de précision dont est susceptible la mesure de la grandeur a. Cet indice de précision varie d'une époque à l'autre, et, à la même époque, il varie d'une branche à l'autre de la philosophie naturelle (^). Il n'est évidemment pas le même en astro«* nomie et en chimie, dans les recherches d'optique et dans celles qui ont pour objet l'acoustique ou l'électricité. Nous n'entendons pas pousser plus loin cette discussion délicate, et nous n'ajouterons plus que quelques exemples propres à mieux fixer l'esprit du lecteur. 144. Premier exemple. Si l'on ramène à la station de Paris, d'après les règles que donne une théorie exacte, un grand nombre d'observations du pendule faites dans des lieux différents , et si l'on tient compte de toutes les corrections que les observations doivent subir, afin d'être exactement comparables, on obtient, pour la longueur du pendule simple , battant leç secondes à Paris , les résultats que voici :

(') La recherche de l'indice de précision dans les mesures est un sujet qui a particulièrement occupé mon ami et ancien camarade à l'École normale, M. Saigey, de qui je tiens ce qu'il y a de plus essentiel dans les remarque3 qui précèdent, et les deux premiers exemples rapportés dans le numéro suivant.

DES MBSUHES.