IX

89 9 ^9fi 167 3x x6,i

Mars

Vestia

Junon

Cërès

Pallas

Jupiter

Saturne

Uranus

xo 37 a6,2

48 0 3,5 io3 x3 x8,a

98 a6 x8,9 XIX 56 37,4

Ces valeurs, qui changent lentement avec le temps, se rapportent au i®' janvier i8ao, pour les quatre planètes télescopîques , Vesta ,^ Junon , Cërès et Pallas , et au I*' janvier 1801 pour les sept autres planètes.

Toutes les planètes ont un mouvement direct , et , si Ton en excepte Pallas qui semble former, avec les trois autres planètes télescopiques , un groupe bien tranché, les inclinaisons de leurs orbites sur le plan de l'écliptique

APPLICATIONS A l' ASTRONOMIE. 26&

sont très-petites. La théorie démontre que ces inclinaisons ^ en variant avec le temps par suite de l'attraction mutuelle des planètes, resteront constamment très-petites ; mais la théorie ne fait connaître j ni pourquoi les mouvements de toutes les planètes sont directs, ni pourquoi les inclinaisons mutuelles de leurs plans d'orbites ont eu originairement de très-petites valeurs. Ce sont là de» faits très-remarquâbles de la constitution du système solaire, et il est naturel de demander au calcul des chances s'ils peuvent être attribués à des causes fortuites , ou à des causes qui auraient agi avec une parfaite indépendance sur chaque planète isolée.

147. Examinons d'abord cette circonstance que les mouvements de translation de toutes les planètes sont directs. Si Ton appelle p la chance d'un mouvement direct, pour chaque planète, la probabilité à posteriori

que cette chance surpasse -, devient, d'après des calculs fondés sur la règle de Bayes [88 et 92] ,

ou , en d'autres termes , il y a 4^9^ à parier contre i qu'une cause quelconque a rendu les mouvements directs plus aptes à se produire que les mouvements rétrogrades. Si l'on ne veut attribuer à la chance p que deux valeurs possibles, l'unité et- ; c'est-à-dire si l'on n'admet

[]ue deux hypothèses, l'une dans laquelle le mouvement serait nécessairement direct , l'autre dans laquelle il serait indifféremment direct ou rétrograde , la probabilité relative de la première hypothèse deviendra , toujours d'après la règle citée,

266 CHAPITRE xn.

Mais, pour reconnaître la fragilité de la base de ces calculs, il suffit de jeter les yeux sur le tableau qui précède. Nous y verrons que , pour toutes les planètes autres que la Terre , la longitude du nœud ascendant est comprise entre o et 1 80^ ; en sorte que la règle de Bayes donnerait la probabilité

2" -^ I go47

ou 2047 ^ P^i^i^r contre i que des causes non indépendantes, d'une planète à l'autre^ ont favorisé la concentration des nœuds ascendants des planètes dans la moitié de l'écliptique où les longitudes sont moindres de 180^; et cependant cette concentration est bien certai* nemeut un pur effet du hasard. Il suffira de très-petits déplacements des plans d'orbites, de Tordre de ceux qu'amènent les perturbations planétaires, pour faire dis-^ paraître un jour cette accumulation fortuite.

Lors même que le nombre des planètes pour lesquelle cette accumulation s'observe actuellement serait beau coup plus considérable, auquel cas la règle de conduirait à une probabilité énorme, il n'y aurait au cune conséquence valable à en tirer, ainsi que cela sort très-clairement de la construction qui nous sert représenter les données géométriques de la question.

Supposons en effet qu'après avoir projeté onze foi un globe au hasard , et déterminé ainsi onze points d contact du globe avec le sol , ces onze points se trouven accumulés sur une certaine région de la sphère, d manière que leurs distances mutuelles XkQ soient que d'u

APPLICATIOirS ▲ l/A8SmONOMIS. 367

petit nombre de degrés : nous en conclurons avec une très-grande probabilité que cette tccumulation n'est point fortuite, et qu'elle tient au contraire à la structure de la spbère ou au mode de projection. Mais si , par un de ces points , on fait passer au hasard un arc de grand cercle, et que les dix autres points se trou* vent du même coté de l'arc, cette circonstance ne prë« sentera rien de singulier, rien qui ne s'explique très-aî» sèment par le jeu des causes fortuites. Car enfin il suffit pour cela : i^ que le point en question soit un des angles a {Jig. 20) du polygone sphérique convexe abc . • . , tracé de manière à comprendre sur son périmètre on dans son intérieur les onze points donnés par les jets consécutifs ; a^ que l'arc de grand cercle m/i, mené au hasard par le point a, ne tombe pas dans l'intérieur de l'angle du polygone dont le sommet est en a. Dana la question astronomique qui nous occupe, le point a représente le pôle de l'écliptique ou de Torbite de la terre ; les points b^ c,. . . . sont les pôles d'orbites des autres planètes^; l'arc mn est l'arc de grand cercle mené par le pôle a, dans un plan perpendiculaire à l'écliptique et à la ligne des équinoxes. Il n'y a rien d'extraordinaire à ce, que la terre soit une des planètes dont les pôles d'orbites forment les sommets du polygone sphérique convexe qui comprend les autres pôles; et il n'est pas plus singulier que la ligne des équinoxes se trouve actuellement dirigée de manière à faire tomber l'arc mn en dehors de l'angle a. Lors même que le nombre des planètes serait beaucoup plus grand, que les pôles d'orbites et la ligne des équinoxes ne seraient |MkS sujets à se déplacer avec le temps , le £ùt dont il s'agit , ramené à son véritable sens par la discussion

268 CHâPiTHE XII.

qui précède, ne motiverait nullement l'intervention d'une cause spéciale ^ et tous les calculs de probabilités , sur lesquels on fonderait l'existence d'une telle cause, seraient illusoires.

Au contraire, nous ne connaîtrions que cinq ou six planètes , que le fait de l'accumulation de leurs pôles d'orbites dans un polygone sphérique d'une très-petite surface, ne pourrait être raisonnablement imputé au hasard.

Sans doute , si l'on suppose que les chances des mouvements directs et rétrogrades sont égales, que les chances d'une valeur plus grande ou plus petite que 1 80^ pour la longitude du nœud ascendant sont pareillement égales, il y aura à priori la même probabilité de ne pas tomber onze fois de suite sur un mouvement direct, et de ne pas tomber onze fois de suite sur une longitude plus petite que 180^; mais il ne suit pas de là que ces deux événements , étant donnés , conduisent à une même probabilité à posteriori de l'inégalité des chances entre les deux événements simples, opposés Tua à l'autre. Du moins cette probabilité à posteriori n'aurait qu'une valeur subjective , pour celui qui serait forc^ de placer les deux événements sur la même ligne, à cause de l'ignorance complète où il serait des autres caractères qui les distinguent. Une telle probabilité ne peut conduire à aucune conséquence valable objectivement.

148. La somme des inclinaisons des orbites planétaires sur récliptique, ou la somme des distances di pôle de l'écliptique aux pôles des autres orbites , esl égale, d'après le tableau du n"" 146, à 82" i4' 19", i Si toutes les valeurs des distances polaires, comprises^^ entre o et 180'', étaient également probables, la proba —

APPLICATIONS A l'asTRONOATIË. $69

bilité que cette somme resterait au-dessous de 90"* aurait pour valeur [69, note] la fraction excessivement petite

i.a.3. 4*5. 6. 7. 8.9.10.21'° 3 715 891 aoo*M|k Mais, dans l'hypothèse où des causes purement fortuites détermineraient les directions des plans d'orbites, la probabilité de la valeur de chaque distance polaire croîtrait proportionnellement au sinus de cette valeur ; les valeurs voisines de o ou de 180® seraient beaucoup moins probables que les valeurs voisines de 90^ ; de sorte que la probabilité d'une somme moindre que 90*"^ ou d'une moyenne plus petite que 9^, se trouverait considérablement plus petite que la fraction précédente. La détermination exacte de cette probabilité exigerait un calcul laborieux et inutile. Le calcul fait dans l'hypothèse inexacte et bien moins favorable de l'égale probabilité de toutes les valeurs , sufEt pour montrer que l'accumulation des pôles d'orbites autour du pôle de l'écliptique ne saurait être regardée comme fortuite.

Au lieu de rapporter au plan de l'écliptique les plans d'orbites des autres planètes , il est naturel de rapporter le plan de l'écliptique , comme celui des autres orbites planétaires, au plan de l'équateur solaire: et alors ^ si l'on considère que les mouvements de rotation du soleil et des planètes, les mouvements de translation et de rotation des satellites, sont tous directs , et s'accomplissent pour la plupart dans des plans peu inclinés à l'équateur solaire , on ne doutera pas que le système planétaire n'ait subi l'influence d'une cause initiale qui tendait à rapprocher les plans d'orbites du plan de l'équateur solaire, et à imprimer à tous ces corps des mouvements de translation et de rotation , dirigés dans le même sens que

270 cajLPmiB xn.

la rotation de la grande masse dominatrice da système. 149. U est naturel de rechercher si la même cause, ou une cause analogue , a agi .aur les comètes ^ ou si au contraire ces astres qui diffèrent des planètes à tant d'égards, dont les volumes sont énormes et les masses inappréciables, qui se meuvent dans des hyperboles ou dans des ellipses excessivement excentriques, dont les uns sont animés d'un mouvement direct et les autres d'un mouvement rétrograde , ont d'ailleurs leurs plans d'orbites indifféremment dirigés vers toutes les régions de l'espace. Or, si l'on calcule les moyennes des inclinaisons des orbites comëtaires sur l'ëcliptique , on trouve pour cette moyenne une valeur d'environ 5o®, supérieure par conséquent au demi-angle droit; et de là, par une méprise bien singulière, Laplace a conclu que les comètes y loin de participer à la tendance des corps du système planétaire , pour se mouvoir dans des plans peu inclir nés à Pécliptique y paraissent avoir une tendance con* traire ('). Pour se convaincre , par une voie tout empiriqt^e , du vice de cette conclusion , il suffit de calculée

(*) Théorie analytique des probabilités, p. %5g de la troisièn»^ édition. U n'y a que le respect de M. Poisson pour la mémoire <i^ Laplace qui ait pu l'empêcher de reconnaître Terreur palpable dans laquelle ce grand géomètre était tombé. Il ne s'agit pas^ comme M. Poisson paraît le supposer (Recherches sur la probabiliié des Jugements , p. 3o5), de savoir si toutes les inclinaisons à l'écliptique sont également probables, mais bien, comme l'indîqti^ent les paroles mêmes de Laplace , de savoir si les plans d'orbites sont indifféremment dirigés vers toutes les régions de l'espace , ou s'ils sont affectés au contraire d'une tendance à se tapprocber du plan de Péclipdque.

APPLICATIONS ▲ l'àSTROITOMIE. 271

les ûaclîaaisoos des orbites des comètes sur un ou deux plans perpendiculaires ,à l'écliptique : comme on trouve alors que les moyennes surpassent 60% il devient sensible que les plans d'orbites n put pas des relations uniformes avec toutes les régions de l'espace, et qu'ils paraissent au contraire afifectés d'une tendance marquée à se rapprocher du plan de l'écliptique* La chose est d'ailleurs raidue évidente théoriquement par la considération des pôles d'orbitef } si les plans dWbites étaient indiflSremment dirigés vers toutes les régions de l'espace, les pôles seraient uniformément distribués sur toutes les régions de la sphère céleste; et alors la moyenne des distances de ces pôles au pôle de l'écliptique, ou la moyenne des inclinaisons des plans correspondants sur l'écliptique, convergerait [71] vers 37® 17' 45'^ 6, c'està-dire vers une valeur notablement supérieure à 5o^

ISO. Pour faire ressortir les lois auxquelles la distribution des orbites cométaires dans l'espace peut être assujettie, et pour appliquer le calcul des chances aux particularités que cette distribution présente, le système de coordonnées dont les astronomes font usage [i^S] , serait peu convenable* D'une part, nous avons remarqué [71], que la moyenne d'une série de longitudes converge moins rapidement vers un terme fixe, est moins promptement affrandiie des anomalies du hasard, que la moyenne de la série de latitudes ou de distances polaires correspondantes. D'autre part, nous savons que le meilleur moyen de mettre en évidence les lois par lesquelles des combinaisons sont régies , consiste à combiner des éléments symétriques ; et l'emploi d'un système de longitudes et de latitudes, ou de longitudes et de distances polaires , ne satisfait pas à cette condition

572 CHAPITRE Xtl.

de symétrie. En conséquence nous avons employé (') les distances des pôles d'orbites à trois points symétriquement placés sur la sphère céleste héliocentrique, savoir : le pôle boréal de Téclip tique, Téquinoxe du printemps ou le premier point SiArieSy et le solstice d*été ou le premier point du Cancer. Ces distances, que nous désignerons respectivement par les lettres 6, 6', 6" , mesurent les angles qu'une droite perpendiculaire au plan de l'orbite forme avec trois droites rectangulaires ^ menées du centre de la sphère aux trois points fixes indiqués, et elles mesurent en outre les inclinaisons du plan de l'orbite , tant sur l'écliptique que sur deux autres plans perpendiculaires entre eux, et perpendiculaires tous deux à l'écliptique. Tant qu'on n'a pas égard au sens du mouvement de la comète , on peut prendre pour pôle d'orbite l'un quelconque des deux points où la droite perpendiculaire au plan de l'orbite rencontre la sphère, et compter les angles 6 , 6', 6'^ de o à 90^, sans leur attribuer désignes. Dans le cas contraire[i45],le pôle sera censé appartenir à l'hémisphère boréal ou à l'hémisphère austral , selon que la comète aura un mouvement direct ou rétrograde ; nous continuerons de compter les angles 0 , 0' , 6'^ de o à 90^ , mais en les distinguant pas leurs signes : de manière à regarder comme positifs 1 angles que les droites, menées du centre de la sphère a pôles d'orbites, font avec les rayons vecteurs du pôle réal de l'écliptique et des premiers points SAries et Cancer y et comme négatifs les angles que ces droit

(0 y ojezV Addition à notre traduction du Traité d*Astronon^^ de sir JohnHerschel, traduction dont la première édition sl^sc^^^ en 1834.

* APPLICATIONS A l'aST^IONOMIE. 273

(ont avec les prolongements des mêmes rayons vecteurs vers les régions opposées de la sphère céleste.

Enfin, nous appellerons t y t\t'* , les angles qui sont, pour les périhélies, lès analogues des angles 0,6', 6" pour les pôles d'orbites, et nous leur appliquerons le. même système de notation (^).

Nous avons pri|i^|>our base de nos calculs le catalogue de comètes d'Olbei's, publié en 182 3 dans les Astronomische jihhandlungen de M. Schumacher, et suivi d'un supplément qui s'étend jusqu'à 1825 ; nous l'avons complété au moyen du catalogue de M. Santini (*), qui va jusqu'au n" jSy, en y ajoutant deux comètes observées en î83o et i832 , ce qui forait eu tout iSg orbites. Mais, d'autre part, nous avons cru devoir écarter, comme étant par trop incertaines , les observations chinoises, arabes ou européennes, antérieures au xvi® siècle : ce qui réduit à 126 le nombre des orbites dont nous tenons compte. Les seules comètes dont le retour |iériodique est constaté , ont été conservées sur le cata- Ibgue à la date de leur première apparition observée, et avec les éléments que le calcul des observations sous cette date leur attribue, savoir: celle de Halley eu 1607,

(') Appelons X la longitude du nœud ascendant, / la longitude du périhélie, dans le sens indiqué [i45 , nofe], o) la projection sur récîîptique de l'angle / — X; de sorte que X + o) soit l'angle de dieux cercles de longitude , menés , Tua par le périhélie de la co- Ùète, Tautre par Téquinoxe du printemps : on aura

cos ô' = sin ô sin X, cos ô" = — sin ô cos X,

tang (0 = cos Ô tang ( / — X), cos r = sin Ô sin (/ — X), cos r'sr: sin t COS (X + (0 ), cos i' = sin ^ sin (X -f- w),

(') Elementi di Astronomia, t. 1, p. 296. Padoue, i83o.

celle d'Encke en 1786, et celle de Biela en 1772. Cette manière d'employer les éléments des comètes périodiques nous a semblé la plus exempte d'arbitraire.

151. Concevons qu'au moyen du catalogue dont il vient d'être parlé , on ait calculé pour chaque comète les angles que nous avons désignés par 6, 6', fl" ; t^ t'^ f\ qu'on les range en tableau dans l'ordre chronologique des apparitions, et qu'on prenne les moyennes, d'abord pour les 10 premières orbites, puis pour les 20 premières, et ainsi de suite, de dizaine en dizaine, jusqu'à ce qu'on ait complété le nombre de 1^5 auquel nous nous arrêtons, le tout abstraction faite des signes qui affectent en particulier chaque valeur angulaire, on obtiendra le tableau qui suit :