DES COMBINAISONS ET DE L'ORDRE

1. Parmi les idées abstraites que l'esprit humain ne crée pas arbitrairement, mais que la nature même des choses lui suggère, l'idée de combinaison est Tune des plus générales et des plus simples. Après avoir considéré isolément des objets individuels, on est amené à concevoir que ces objets , suivant leur nature , se combinent ou se groupent un à un, deux à deux, trois à trois, etc., pour former certains systèmes ou objets complexes , qui peuvent se combiner à leur tour pour former d'autres groupes ou systèmes plus composés, et ainsi de suite.

La théorie des combinaisons, à laquelle les Allemands ont donné le nom de Syntactiquey est une science abs-

2 CHAPITRE r.

traite et purement rationnelle, comme la science des nombres et la géométrie. Elle a des connexions intimes avec toutes les branches des mathématiques, et notamment avec l'algèbre : si bien que la perfection ou, comme on dit, l'élégance des formules algébriques consiste à mettre , par une notation bien choisie, la loi des combinaisons dans la plus grande évidence.

Au fond , toute synthèse scientifique s'opère par une suite de combinaisons de certains principes ou faits primordiaux. Sous ce point de vue, la logique, la grammaire générale , la chimie , relèvent de la syn tactique aussi bien que l'algèbre. La logique notamment nous offre , dans la théorie des syllogismes, un curieux exemple de synthèse combinatoire. Les logiciens ont toujours donné le précepte de former soigneusement toutes les combinaisons possibles : l'oubli d'une seule d'entre elles suffisant pour détruire la légitimité d'un raisonnement. A la vérité, ils se sont peu occupés de tracer des règles pour opérer d'une manière sûre le recensement complet des combinaisons. Ils ont pensé, non sans fondement, que, dans les cas simples, les règles seraient inutiles, et qu'elles deviendraient d'une application impraticable dans les cas compliqués.

A défaut de procédés systématiques et réguliers, inconnus à la plupart des èicnnmes, ou d'une application trop lente pour les besoins de la pratique , l'art de former des combinaisons et d'en embrasser simultanément un plus ou moins grand nombre, est resté dépendant des aptitudes et des éducations individuelles. On désigne communément dans le monde, sous le nom d'esprits calculateurs , ceux qui possèdent plus éminemment cette puissance de combinaison , et qui l'appliquent à

DES COMBIITAISONS. 3

des objets divefô; quoique le plus souvent le calcul proprement dit , la supputation des nombres n'y entre pour rien. Le mécanicien, le géomètre, le tacticien, le joueur d'échecs se distinguent, chacun dans une spécialité différente, par leur aptitude à former et à classer des combinaisons; et le sentiment commun admet une affinité entre ces aptitudes, d'ailleurs si variées quant aux objets auxquels elles s'appliquent.

2. Il est aisé de comprendre que les règles en vertu desquelles on serait sûr de former toutes les combinaisons possibles , doivent renfermer implicitement des règles pour calculer le nombre de ces combinaisons , sans qu'on ait besoin de les former une à une, ou de porter l'attention sur chacune d'elles en particulier. Pour prendre l'exemple le plus simple , supposons qu'un chimiste veuille essayer toutes les combinaisons des acides en nombre m , avec les bases en nombre /^. Il sera assuré de n'en omettre aucune si, après avoir distingué par des signes ou numéros d'ordre ses acides et ses bases , il combine successivement l'acide n** i avec chacune des bases, puis l'acide n® i avec chacune de ces mêmes bases, et ainsi de suite. Mais par là même on voit h priori que le nombre de tous les essais à faire , ou de toutes les combinaisons abstraitement possibles, est égal au produit mn des deux nombres m et n. Pour peu que m et n soient des nombres considérables, comme loo ou aoo, le produit mn sera un si grand nombre que la formation , ou seulement le dénombrement une à une de toutes les combinaisons possibles, seraient choses impraticables ou d'une fatigante prolixité; tandis qu'il n'y a rien de plus simple et de plus court que l'opération arithmétique qui donne le nombre mn.

4 GHàPITRE [.

Nous verrons que, pour la solution de questions trèsimportantes et très-curieuses, dont ce livre est destiné à donner une idée , il importe beaucoup de pouvoir assigner le nombre des combinaisons d'une espèce donnée, ou du moins le rapport entre le nombre des combinaisons rangées dans une certaine espèce ou catégorie , et celui des combinaisons qui appartiennent à une catégorie différente : tandis qu'il importe peu et qu'il serait souvent impossible de considérer ces combinaisons une à une. En conséquence on entend plus spécialement par tbéorie des combinaisons la science qui a pour objet d'assigner le nombre des combinaisons d'une espèce donnée. La syntactique, ainsi réduite à des déterminations dénombres, rentre naturellement dans le cadre des mathématiques, auxquelles nous avons dit qu'elle tient d'ailleurs par d'étroites affinités.

3. Soient des objets quelconques, en nombre m^ à combiner entre eux; et, pour fixer les idées , désignons^ les par les lettres

cl| O, C, • . . tCy #•

Pour épuiser les combinaisons deux à deux, ou les combinaisons binaires dont ces objets sont susceptibles, on pourra combiner l'objet ou l'élément a avec chacun des m — 1 éléments b^Cy , , . . l; puis l'élément b avec chacun des m — i éléments a, c^ ••••/, et ainsi de suite ; ce qui donnera en tout un nombre de combinaisons exprimé par le produit m (m — i). Mais de cette manière il est évident que chaque combinaison (celle de a et de & par exemple) aura été obtenue deux fois, savoir en combinant d'abord b avec «, puis en combinant a avec b : donc le nombre des combinaisons bi-

naires distinctes sera exprimé par

m{Tn — i)

Les combinaisons trois à trois, ou ternaires y seront épuisées , si Ton associe successivement chaque combinaison binaire (ai) avec chacun des /?z— 2 éléments c,, . . .k^L Par là on obtiendra trois fois la même combinaison (abc) y savoir en combinant (ab) avec c, (ac) avec A, et (bc) avec a : donc le nombre des combinaisons ternaires se réduira à

Sans avoir besoin de pousser plus loin ce raisonnement, on en conclut, par une induction évidente, que le nombre des combinaisons distinctes entre m éléments pris /^ à /£, a pour valeur le quotient

Ordinairement on donne à ce quotient, pour plus de symétrie, la forme

m(m — i) (iw — 2')(w — 3). . .(w— -n-l-i). ...

o — . y. ^/Vj

de manière que les facteurs soient en nombre n au dénominateur comme au numérateur : les facteurs du numérateur composant la suite descendante des nombres entiers, de m h m — n+i inclusivement, tandis que la série des facteurs du dénominateur se compose de la suite ascendante des nombres entiers, de i à /i inclusivement.

Si Ton associait à l'idée pure de combinaison celle

de certains rapports d'ordre ou de situation , tellement que la combinaison ba dût êfre réputée différente de ab^ les combinaisons regardées comme identiques dans le précédent raisonnement, cesseraient de l'être; de sorte que ni éléments fourniraient m {m — i) combinaisons binaires, ^m{m — i) (/w — a) combinaisons ternaires , et en général

m{jn — i) (m — a) (/w — 3). . .{m — n-f-i) (O)

combinaisons n à /^. Les auteurs ne se sont point accordés sur la dénomination* à donner à ces combinaisons dans lesquelles on tient compte , non-seulement des éléments associés, mais de l'ordre dans lequel ils sont associés, ou du rôle que joue chaque élément. La dénomination qui nous paraît la plus convenable, en ce qu'elle ne se rattache pas à des considérations trop particulières , est celle de combinaisons ordonnées. Par opposition, nous appellerons combinaisons absolues ^ ou simplement combinaisons , celles dans lesquelles on ne tient point compte de Tordre ou du rôle des élé^ ments.

4. Puisque le nombre des combinaisons ordonnées, entre m éléments pris /i à /z, est exprimé par le produit (O), tandis que le nombre des combinaisons absolues se trouve exprimé par le quotient (A), il faut que le dénominateur du quotient (A) exprime le nombre de tous les changements d'ordre ou de toutes les permutations possibles entre n éléments. C'est ce qu'il e^t facile de prouver par un raisonnement direct, qui nous montrera d'ailleurs que la théorie des permutations et de l'ordre en général , n'est au fond que la théorie des combinaisons, présentée sous un autre point de vue.

Supposons , dans un ordre quelconque relatif à l'espace ou au temps ^ ou même (s'il est permis de le concevoir) indépendant de l'espace et du temps , m places déterminées, désignées, si l'on veut, par les numéros i,2,3,«.../7{:et supposons en outre deux éléments à placer, a et h. On épuisera tous les arrangements (') possibles, en fixant d'abord l'élément a à la place i, et en portant successivement l'élément b à chacune des places 2, 3, .... m; puis en fixant a à la place 2 pour faire ensuite occuper successivement par b chacune des places I, 3, .... w; et ainsi de suite. Par consét]uent le nombre des arrangements dont le système des deux éléments est susceptible, a pour expression m (m — i). Si le système comprend un troisième élément c , on prendra un à un chacun des arrangements précédents, tel que celui qui met a\k la place i et é à la place 2, pour faire ensuite occuper successivement à l'élément c chacune des m — a places 3, 4» • • • • ^« Le nombre des arrangements que comporte le système de 3 choses est donc m (m — 1) ('^ — ^); et en général le produit (0) exprimé le nombre des arrangements ou permutations d'ordre avec n éléments, le nombre des places

(') Dans les traités élémentaires d'algèbre, où la théorie des combinaisons n'est enseignée qu'en vue de ses applications à l'algèbre, on a coutume maintenant d'appeler arrangement ce que nous désignons par combinaison ordonnée. Cette dénomination est impropre, ^arranger, dans la langue commune , signifie mettre des choses dans un certain ordre , et non choisir ou combiner les choses que l'on arrange. La permutation est l'opération par laquelle on substitue un arrangement à un autre , les choses ar-

étant toujours m. Ce produit deviendra

si Ton pose m^=.n^ ou si le nombre des places devient égal -à celui des éléments qu'il s'agit de placer ou d'ordonner.

On peut supposer que les éléments ordonnés sont des lettres écrites à la suite les unes des autres , de manière à former une série de l'espèce de celles que les géomètres nomment linéaires ; mais cette hypothèse n'a pour but que de soulager la pensée par l'emploi d'un signe : car d'ailleurs il n'y a en ceci rien d'essentiel que les notions d'éléments et d'ordre , entendues dans le sens le plus général. On pourrait imaginer n points distribués d'une manière quelconque dans l'espace, et n sphères de rayons divers , dont les centres viendraient successivement coïncider avec chacun de ces points : le produit (N) indiquerait encore le nombre des arrangements ou des configurations diverses que le système de ces sphères est susceptible d'offrir. On pourrait supposer que n personnes remplissent dans une hiérarchie sociale des fonctions différentes, et qu'elles ont la faculté d'échanger leurs emplois : le nombre (N) indiquerait toujours en combien de manières peut se modifier la composition du système hiérarchique.

Cette idée de \ ordre absolu peut se restreindre en se particularisant, et l'on obtient alors un moindre nombre d'arrangements distincts. Par exemple, si n éléments devaient être rangés dans une série circulaire l ou dans une série périodique, indéfiniment progressive et régressive, et qu'on ne dût pas avoir égard aux lieux absolus qu'ils occupent, mais seulement à l'ordre suivant lequel

DÈS COMBllCàlSONS. 9

ils se succèdeat, le nombre des arrangements distincts se réduirait à

Mais, s^il n'y avait ni droite, ni gauche; si rien ne distinguait l'ordre progressif de l'ordre régressif, il faudraUkprendre la moitié du précédent produit.

5k Quand , sur m éléments, on en prend n pour former une combinaison /^ à /ï, on partage le groupe total en deux groupes partiels, l'un qui comprend /z éléments, l'autre qui en comprend /w — w , et le quotient (A) indique de combien de manières distinctes ce partage peut s'opérer. Par conséquent ce quotient doit exprimer aussi le nombre de combinaisons distinctes, m — w à m — n^ et il ne devrait pas changer de valeur, si l'on y remplaçait n par m — /^. Afin de rendre ceci plus sensible, désignons, pour plus de symétrie, par /7^-|-/^ le nombre total des éléments , par met n les nombres respectifs d'éléments dans chaque groupe partiel, il faudra remplacer dans le quotient (A) m par m-|- w, et il deviendra

11 est permis de multiplier les deux termes de cette exfH'ession fractionnaire par le produit i . 2 . 3 . . . . /tz , ce qui n'en changera pas la valeur, et ce qui la mettra sous la forme