I . a . 3 . . . (tw -h 'i

' 1.2.3. . .m.ié2.3. . ./i

Comme les lettres /n et n entrent symétriquement dans lexpression (B), il est parfaitement évident qu'elle ne

change pas de valeur, quand on y change m en ai, et réciproquement.

OiMturait pu obtenir directement cette expression (B) par des considérations prises dans la théorie de l'ordre. En effet, étant donné un système de m-\-n places, concevons-le décomposé en deux systèmes ou groupes partiels A, B : l'un qui comprend m places, l'autre qui en comprend n. Le nombre des arrangements distincts, que pourront présenter /7z-}-n éléments, sera i . 2 . 3 . . . . (/7z-}-/î); mais^ si l'on n'a en vue que le partage des éléments entre les deux groupes partiels A,B, il ne faudra plus regarder comme distincts les arrangements qui ne diffèrent que par des permutations d'ordre dans le groupe A, ou par des permutations d'ordre dans le groupe B; d'où il suit qu'il faudra diviser le produit précédent, d'abord par le produit i • 2 . 3 . — m, et ensuite par le produit i .2.3. ... /i.

La même question d'ordre peut être présentée d'une autre manière. Si l'on a m lettres A et /i lettres B , le quotient (B) exprimera en combien de manières distinctes on peut les placer les unes à la suite des autres : car, lorsque l'on considère toutes ces lettres comme individuellement distinctes, le nombre des permutations est 1 . 2 • 3 . . . . (/7Z -j- /ij ; et dans le cas contraire il faut regarder comme identiques les arrangements qui ne diffèrent que par des transpositions d'ordre dans le groupe des lettres A ou dans celui des lettres B.

Si les lettres A et B désignent respectivement des événements de même nature, et qui se succèdent, le quotient (B) exprimera le nombre des modes de succession distincts, quand le nombre des événements A doit être égal à /72 , et celui des événements B égal à n.

DES COMBIjyAISOIfS. 11

L'analogie indique sufBsamiïient que , s'il s'agissait de partager un groupe total de /w-j-/2-j-/? éléments en trois groupes partiels , comprenant respectivement m y n et p éléments , le quotient

exprimerait en combien de manières distinctes ce pai^ tage peut s'opérer; qu'il exprimerait pareillement combien de séries distinctes on peut former avec m lettres Â, ri lettres B, p lettres C; et ainsi de suite. Il est inutile d'insister sur des généralisations qui se présentent d'elles-mêmes.

Les produits de la forme i . 2 . 3 . . • . /i revenant sans cesse dans la théorie de Tordre et des combinaisons j et par suite dans les applications de cette théorie à d'autres branches des mathématiques , les analystes leur ont donné le nom de factorielles , et se sont attachés à en étudier les propriétés. Les nombres (B), donnés par une certaine combinaison arithmétique de trois factorielles, jouissent aussi de propriétés qui ont été étudiées soigneusement. On a vu que les propriétés de ces nombres se rattachent à celles de certsiines Jonctions qui se présentent dans la haute analyse, et que l'on connaît maintenant sous la dénomination de Jonctions eulé- Hennés j du nom d'Euler qui en a fort avancé la théorie. Mais la nature de notre ouvrage ne nous permet que d'indiquer à certains lecteurs ces liaisons du sujet qui nous eccupe avec d'autres spéculations abstraites , d'une application moins immédiate.

6. Si les mêmes éléments pouvaient être répétés dans les combinaisons (comme les lettres dans les combinai-

^..- - .■'ff'. !. . ■ .

sons alphabétiques, les chiffres dans les combinaisons numérales) 9 les factorielles se trouveraient remplacées par les puissances des nombres. Ainsi , avec m lettres

on formera de la sorte m* combinaisons deux à deux

aa, aby (zc^ . • »aky al^ ba^ bb^ bc^. . ,bk^ bl; etc. ,

qui diffèrent toutes les unes des autres, ou par les lettres employées , ou par l'ordre dans lequel elles sont écrites. On formerait avec les mêmes lettres m^ combinaisons trois à trois, et plus généralement m** combinaisons n k n.Ce nombre devra être remplacé par

si Ton n'a égard qu'aux combinaisons absolues , ou si l'on cesse de considérer comme distinctes les combinaisons formées des mêmes éléments, mais différemment ordonnés. Au lieu de l'expression (C) on peut écrire, conformément à la remarque du n^" précédent,