jn — i

Ainsi, quand on projette deux dés à jouer, chacune des six faces du premier dé peut se combiner avec chacune des six faces de l'autre dé, aussi bien avec la face similaire qu'avec les autres, ce qui donne un nombre de combinaisons exprimé par le carré de 6 ou par 36 ; mais si l'on n'a égard qu'aux points amenés , par exemple deux et trois , sans examiner si le point deux se trouve sur le premier dé et le point trois sur le second , ou inversement, le nombre des coups distincts se ré-

DES GOMBIITAISOICS. t3

duira à

Avec trois dés, le nombre des combinaisons ordonnées s'élèverait à 6^ = 216, et celui des combinaisons abso* lues ou des coups distincts serait seulement

7. Ce qui précède indique suffisamment le lien qui rattache la théorie des combinaisons à Tune des quatre opérations fondamentales du calcul, à celle qui prend le nom Ae multiplication.

Cette opération en effet a cela de caractéristique , que, si Ton considère chaque facteur comme complexe, ou comme formé par l'addition de parties ou de termes ^ le produit total est la somme des produits partiels qu'on obtient en multipliant chaque terme de l'un des facteurs par chaque terme de l'autre. Donc, si l'on a deux nombres entiers metn que l'on peut considérer, le premier comme l'agrégat de m unités, le second comme lagrégat de n unités, le produit mn contiendra autant de produits partiels i x I9 c'est-à-dire autant d'unités que l'on peut former de combinaisons binaires en prenant un élément dans une série qui en contient m, pour l'associer à un autre élément pris dans une seconde série qui en contient n.

De là résulte immédiatement la preuve de ce théorème, le premier qu'on rencontre dans la théorie des nombres : Le produit de deux nombres ne change pas , quel que soit celui que l'on considère comme multiplicande ou comme multiplicateur. On en conclut aisé-

ment que le produit d'un nombre quelconque de facteurs ne change pas , quelque permutation qu'on opère dans l'ordre des facteurs.

Il suit encore de là que la multiplication algébrique du polynôme

a + b -i- c + etc.

par le polynôme

a' + i' + c -l-etc.

amènera toutes les combinaisons binaires que Ton peut former, en prenant une lettre dans la série a, b, c, etc., pour l'associer à une autre lettre prise dans la série a! y b\ c'y etc. De là le nom de produits différents , donné par les algébristes aux combinaisons absolues , pour les distinguer des combinaisons ordonnées.

Lorsqu'on ordonne par rapport aux puissances de Xy en commençant par la plus haute, le développement du produit

(jr + a) {s-^-b) {x + c)..,.{x + k) (ar + Z),

dont les facteurs binômes sont en nombre m, le coefficient de af^^ est la somme des m quantités

le coefficient de x*""* est la somme des produits différents qu'on peut former avec ces m quantités, en les combinant deux à deux; le coefficient de ^r^"^ est la somme des produits différents qu'on peut former avec ces m quantités , combinées trois à trois , et ainsi de suite, jusqu'au terme indépendant de ^, qui est le produit de ces m quantités.

Quand on suppose toutes les quantités a, by Cy etc., égales entre elles , leur somme est remplacée par ma; la somme de leurs produits deux à deux est remplacée

DES GOMBINAISOirS. 15

par

la somme de leurs j)roduits trois à trois est remplacée par

et ainsi de suite; de manière que le quotient (A) exprime le coefficient numérique du terme a"^""" dans le développement de (x -f- a)*.

La formule de ce développement, qui est fondamentale en algèbre , est appelée la formule du Binôme de Newton^ du nom du grand géomètre qui Ta découverte. Un peu avant Newton, Pascal avait donné, dans la construction de son triangle arithmétique y l'équivalent de cette formule, mais sans Técrire en algèbre, et en se privant ainsi des avantages immenses attachés à Tem* ploi de l'écriture algébrique (*).

Les coefficients de la formule du binôme reparaissant ns une foule d'autres formules qui jouent un rôle

(*) Les premières traces de la théorie des combinaisons se trouvent dans la correspondance de Pascal et de Fermât [Œuvres de Pascal, t. IV de l'édition de 1819, p. 36o et suiv.), et dans l'opuscule de Pascal intitulé : Usage du triangle arithmétique pour les partis de jeu (ibid. t. V, p. 3i). On ne peut pas oublier que la glorieuse carrière de Leibnitz s'est ouverte par sa thèse sur les combinaisons (Disputàtio arithmetica de €omplexionihus\ soutenue dans rUnivérsilé de Leipzig, le 7 mars 1666. Ob retrouve dans toutes les parties du système philosophique de ce grand homme, «tnotammentdanssesvuessurune Caractéristique universelle, des traces de ces premières spéculations de sa jeunesse.

16 ' CHAÏ>ITRE I.

considérable dans les parties supérieures de l'analyse. La raison de ces analogies est facile à saisir : elle tient évidemment à ce que la loi des coefficients est donnée par une règle de synthèse QDmbinatoire , tout à fait indépendante de la nature des opérations de calcul que chaque combinaison représente, ou de l'idée accessoire de multiplication qui vient s'associer , dans les éléments d'algèbre, à l'idée abstraite de combinaison. 8. La formule du binôme

(j:+a)'"=af«H — aa;~-"-4- — ^ ^a'ar'"-»+etc. . .+a", (i)

donne, quand on pose ^==T,e{=i^et qu'on fai( passer le premier terme du second membre dans le premier,

a-'-izs— -^ -^ <"\- -^ ^-^5 i + ...4-i. fa)

Donc, le nombre de, toutes les combinaisons possibles entre m éléments, quand on les prend un à un, deux à deux, trois à trois, etc., et enfin tous ensemble, est égal à a*"— I. Posons, dans la formule (i),j:= i,«zz= — i, faisons passer le premier terme du second membre dans le premier, et changeons tous les signes : il viendra

m m[m-i) m(m—i)(mr-2) m(i»-i) (iw— a) (iw— 3)

+ etc. (3)

La partie positive du second membre de cette dernière équation est la somme des nombres de combinaisons d^ordre impair, ou des combinaisons un à un, trois à trois, cinq à cinq, etc. La partie négative est la somme des nombres de combinaisons d^ordre pair^ ou des combinaisons deux à deux, quatre à quatre, etc. Si l'on

ajoute membre à membre les équations (a) et (3), la somme des combinaisons d'ordre pair disparaîtra, et l'on trouvera la somme des combinaisons d'ordre impair égale à la moitié de 2'", ou à a'"'". En conséquence, le nombre des combinaisons d'ordre pair est égal à a* — 1 — a*"* = 2*"""* — I . Le nombre des combinaisons d'ordre impair surpasse donc toujours d'une unité celui des combinaisons d'ordre pair, quel quëf soit le nombre m, pair ou impair. On a trouvé singulier ce fait de calcul, et l'on en a voulu donner des raisons h priori^ qui sont sans fondement , comme nous l'avons fait voir ailleurs en traitant une question plus générale (').

9. Nous terminerons par quelques exemples numériques cette exposition bien succincte des principes les plus généraux de la théorie des combinaisons. Tout le monde sait que l'ancienne Loterie de France comprenait 90 numéros, dont 5 sortaient à chaque tirage. Ces 90

numéros donnaient :

90 extraits^ ou combinaisons

un à un,

* == 4oo5 01716^,9, ou combinaisons 1.2 '

deux à deux, ' o — = »^^ 17 480 ternes, ou combinaisons

trois à trois ,