VALEURS

VAI.F.URS DE (p)

de n.

exactes.

approchées.

exactes.

approciiées.

0,406 oo5

o»on 727

o,oo3 283

0;Oo3 437

o»ooo8oo

0,000 oo5

Les différences sont de l'ordre de celles qu'il est très-permis de négliger ; et l'on sera, à plus forte raison , autorisé à se servir de la formule {p) pour de plus grandes valeurs de m , ou pour de plus petites valeurs de p^ comme celles qui se présentent ordinairement. Afin d'éviter une trop grande complication , nous continuerons de supposer dans le texte qu'on peut faire usage i^ la formule (P) du n^ 33^ réduite à son premier terme.

et l'on est autorisé à regarder le cas d'un déficit presque comme physiquement impossible. . En admettant que l'assureur, pour obtenir cet accroissement d'affaires, ou pour tenir tête à la concurrence, eût abaissé le taux de la prime à un et quart par mille, non-seulement ses bénéfices moyens seraient quintuplés, mais en outre il devrait se regarder comme suffisamment garanti contre la survenante d'un déficit.

183. Il semble au premier coup d'œil que, si le particulier, ou la compagnie qui assure, continue ses opérations pendant une longue suite d'années, avec des capitaux suffisants , la perte d'une année peut se compenser avec les bénéfices des années antérieures ou postérieures : de sorte quen embrassant, par exemple, une série de dix années, l'assureur aurait la même sécurité, et pourrait autant abaisser. le taux de la prime que s'il n'opérait qu'en une seule année, sur un nombre décuple d'assurances. Mais on tomberait ainsi dans une erreur grave, que M. Bienaymé a justement relevée ('). Ceci tient aux effets de l'intérêt composé. Supposons que la compagnie liquide ses affaires au bout de dix ans : si les pertes extraordinaires ont porté sur la première année, l'intérêt composé des capitaux dont elle a dû faire l'avance grève considérablement sa caisse ; et si au contraire cette première année a été extraordinairemeot &vorable, l'intérêt composé des bénéfices réalisés dès la première année, accroît considérablement le bénéfice définitif des actionnaires. En conséquence, plusieurs compagnies faisant le même nombre d'affaires , dans le même laps de temps, et courant les mêmes chances,

(') Extrait du journal l'Institut ^ numéro du 20 juin 18.39.

334 cfiAPiTBE xiy.

pourront, Ids unes, réaliser de grands bénéfice^, letàU" très supporter de grandes pertes, ou même abscnfber leurs capitaux de réserve, et se trouver contraintes de liquider avant le temps fixé , si le nombre annuel ded affaires n'est pas suffisant pour resserrer couTenablement les oscillations du hasard. Leur entreprise sera au fond une spéculation aléatoire. Les compagnies pUneées dam de telles circonstances ne peuvent se prémunir contre les châtiées de ruine que par l'exagération de la prime. Ijors même qu'elles disposeraient de capitaux Suffisants pour les garantir d'une liquidation forcée , le prolonge* ment indéfini de la durée de leurs opérations ne resserrerait pas indéÔniment pour elles les limites de la perte et du gain fortuits moyens : l'action de l'Intérêt composé tendant à amplifier les écarts à peu près en raison inverse de l'atténuation produite për raceumulatiôii des affaire^ aveti le laps du temps.

184. On à voulu expliquer par la di^inction de Vespérance mathématique et de V espérance rnotatelB^] l'avantage que le cotitrat d'assurance procure à l'assuré, tout en devenant pour l'assureur une source debéiîéfices('). MaiSj à tiotrê avis, ces explications, malgré If nom des àuteuts qui les ont proposées , sont vagues et arbitraires , et i\ li*y a nul motif réel d'y récourir. La •M^curité que lé contt'at d'assurance donne h l'assuré, est un bien feans doute , mais un bien moral , inappréciable, qui ne peut figurer sur le bilan du particulier assuré, qui n'accroît directement ni sa richesse propre,

C) Voyez notamment un mémoire de Fourier, inséré par extrait dans les Annales de chimie et de physique pour 1B19, t. X, p. IW. K

Des kSUVKATfCÈS. ââS

ni la richesse sociale, considérée comme la somme des richesses que possèdent séparément tous les membres de k société. L'effet de l'institution des assurances n'en est pas moins , en général , de procurer par voie indirecte un accroissement appréciable dans les fortunes particulières et dans la richesse sociale. Ainsi , un immeuble susceptible de périr par cas fortuit, aura dans le commerce une valeur moindre que l'immeuble productif du même revenu, et dont l'exploitation est d'ailleurs soumise aux mêmes conditions, mais qui ne court pas la niême chance de perte. Si p désigne la chance de perte dans Tannée, a la valeur du second imîneuble, r he i*apport du revenu au capital, pour cet immeuble, la dépréciation du premier immeuble sera en général beaucoup plus grande que — . Tel ou tel acheteur serait

sans doute disposé, selon son humeur et ses convenances, à feire peser sur l'immeuble une dépréciation plus ou moins forte : mais il en sera de ces estimations individuelles comme de toutes celles qui ont lieu dans les marchés isolés, et que le cours du conlmerce ramène ou tend à ramener à un taux normal et mojen. L'expérience, c'est-à-dire ici la cote des cours, peut seulis fiiîre connaître l'étendue de la dépréciation de l'immeuble due à la chance de perte. C'est une fonction des éléments p et a, du genre de celles que nous avons nommées vWeiïrs Jonctions empiriques , dont la détermination^ impossible pratiquement dans l'état actuel des choses , à cause des variations rapides et progressives du système des valeurs, exigerait des observations nombreuses et un système économique sensiblement stationnaire. Seulement, comme nous venons de le dire, il est permis d'af-

fîrmer que cette dépréciation surpasse notablement — .

En effet , l'on a vu que j plus le nombre des assurés

augmente 9 plus l'assureur peut abaisser le taux de la

prime et est amené à l'abaisser par la concurrence, de

manière que la somme annuelle demandée à l'assuré

surpasse de moins en moins pa , ou corresponde à une

dépréciation en capital de moins en moins supérieure à

— . Inversement, plus le nombre des assurés décroit,

plus l'assureur doit élever le taux de. la prime , afin d'obtenir une garantie, suffisante contre les chances de perte, et plus l'incertitude de la spéculation réduit la concurrence qui l'obligeait à se contenter d'une prime moins forte. Plus, par conséquent, la dépréciation de l'im-

meuble surpasse^—. Dans le cas fictif d'un seul assuré,

le taux de la prime et la dépréciation correspondante atteindraient leur maximum , sans quoi il faudrait admettre ( ce qui répugne ) que le taux de la prime , après avoir été en croissant par suite du décroissement du nombre des assurés, redevient, décroissant pour un nombre d'assurés plus petit encore. Mais , quand l'acheteur, d'un immeuble grevé de chances de sinistre, se trouve dans l'impossibilité de s'assurer, il y a forcément en lui confusion des qualités d'assureur et d'assuré : il est dans la position d'un assureur qui n'aurait qu'un assuré, et pour qui le taux de la prime atteindrait son maximum. La dépréciation qu'il fait subir à l'immeuble, et dont l'intérêt représente cette prime fictive , doit donc surpasser celle qui se calculerait en raison de la prime L

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de rimmeuble grevé , et par suite la richesse sociale , considérée comme la somme des richesses particulières, se trouve accrue en capital de toute la différence entre

— et la dépréciation que subissait l'immeuble lorsque

le propriétaire n'avait aucfin moyen de s'affranchir di^ risque. Cet accroissement de richesse sociale ^ que des perfectionnemepts ultérieurs rendront sans* doute plus sensible à tous les yeux , est le résultat , non du contrat d'ft^surance, mais de l'institution de l'assurance : car il importe peu , pour fixer la valeur de l'immeuble dans 1^ commerce 9 que l'immeuble soit actuellement assuré; il suffit qu'il puisse l'être au gré du propriét:aire; et c'esf un des points par où notre théorie se distingue essentiellement de cpUes qui reposent sur une prétendu^ mesure de l'espérapce morale*

Outre cet effet, dû à l'institution de l'assurance , il y en a un autre résultant du fait même du contrat, et tendant à prévenir le déchet du capital social. Lors^ qu'une maison assurée vient à périr par l'incendie, le capital du propriétaire se trouve détruit, et s'il rel^itit la maison incendiée, ce n'est point sur ses économies qu'il prend les fonds nécessaires ; il y consacre des capitaux distraits d'un autre emploi productif. Au contraire, si la maison est assurée, le capital est rendu au propriétaire; et ce capital, fourni par les primes des ooassurés, est un prélèvement fait sur les revenus de h nasse, une épargne qui, à la rigueur, aurait pu se faire» inais qui, dans le cours ordinaire des choses, ne se serait pas faite sans le contrat d'assurance.

185. Nous avons expliqué comment l'institution ^ Tassurance tend à accroître la valeur vénale 4^ £>d^

gfeyés de risques, et par suite la richesse sociale. Du reste, Tassurance, par elle-même, ne crée pas matériellement des valeurs et ne s'oppose pas à la destruction malérielle des valeurs produites. On pourrait même craindre qu'en amenant un relâchement de surveillance, elle n'occasionnât des destructions plus fréquentes. Mais il ne faut pas confondre l'accroissement de richesse dû à une hausse des valeurs , avec l'accroissement résultant d'un surcroît de production matérielle. La somme des richesses ou des valeurs susceptibles d*entrer dans le commerce peut changer considérablement d'une époque à l'autre et d'un pays à l'autre , sans qu'il y ait des variati<]lW 4u même ordre, oi| lors même qu'il y fiurait de$ varîfitioM en sens contraire dans la^ prpduction mater rieU^. Il uppartient ^ la çcienc^ cpqnue sous le noq| d'économie politique, de développer lesf conséquences de cette distinction fondamentale (').

Quand le contrat d'assurance porte sq^* les risquas de la fabrication et du commerce, il devient ou peut devenir U cause d'un accroissement de production et de consommation matérielle, en même temps que d'un accroissement de richesse ou de valeur, par l'encouragement qu'il donne à l'activité industrielle et commerciale [54]* U est clair que le spéculateur prudent renoncera, à tau^e de la gravité des risques , à telle entreprise $u^* eptible de Ini procurer de grands bénéfices , d'alimenter autres industries , d'augmenter le bien-être des conmmateurS) et de tourner au profit du corps social toi^t lier; tandis ^u'il n'hésitera pas à la former s'il peutji

') Voyez notamment nos Recherches sur les principes mathé- (ques de la Théorie des Richesses, chap. I et XII.

pa

moyennant une prime, acheter la garantie du risque. 186. A côté de l'institution des assurances à primes vient se placer, en pratique comme en théorie, l'institution des assurances mutuelles. Si les m individus qui possèdent chacun la chose A [182] s'associent pour supporter en commun les pertes que quelques-uns d'entre eux éprouveront fortuitement, dans le cours de l'année, il y aura {m désignant toujours un grand nombre) la probabilité P que la part contributive de chacun d'eux tombera entre les limites

±ta\/MEÉ:

en outre de quoi chaque associé devra supporter sa part dans les frais de l'association. A mesure que le nombre des associés augmente, les variations fortuites de la part contributive tombent entre des limites plus rapprochées, et elle tend à se convertir en prime fixe.

D'un autre côté , à mesure que le nombre des associés augmente, il devient plus difficile à chaque intéressé d'exercer sur les agents de l'association une surveillance efficace. En général on peut dire que, pour de trèsgrandes valeurs de w , et lorsque la concurrence resserre dans de justes limites les bénéfices de l'assiireur^ le grand principe économique de la division de la responsabilité et du travail tend à faire préférer le système des assurances à primes fixes au système des assurances mutuelles.

Au contraire, lorsque le nombre des assurés est trop petit pour que la concurrence limite convenablement les bénéfices de l'assureur, ou lorsque, en présence même de la concurrence, des opérations trop restreintes l'obligent d'exagérer ses bénéfices moyens s'il veut se prémunir suffisamment contre les chances de ruine [i83])

le système de l'assurance mutuelle mérité la préférence.

187. Dans les cas ordinaires d'assurance, il s'en faut bien que le problème soit aussi simple que nous l'avons supposé d'abord pour la commodité de l'exposition des principes généraux. Communément l'assurance porte sur des propriétés de valeurs inégales et qui ne courent pas les mêmes chances de perte. Il arrive fréquemment aussi que la propriété assurée peut, selon la gravité du sinistre, périr en totalité ou seulement en partie. Enfin il n'y a pas toujours, à beaucoup près, indépendance complète entre les causes de sinistre^ pour chaque propriété assurée. Par exemple, le même incendie peut détruire à la fois un grand nombre de maisons assurées contre ce sinistre par la même compagnie.

Pour tenir compte de l'inégalité des risques, d'une propriété à l'autre, les compagnies sont dans l'usage de ranger les propriétés assurées en différentes classes, le taux de la prime changeant brusquement d'une classe à l'autre. On sent bien qu'il est impossible d'observer la loi de continuité dans l'évaluation des risques , et les erreurs inhérentes à l'hypothèse d'une discontinuité fictive se confondent avec beaucoup d'autres dont on ne saurait débarrasser le calcul.

Soit donc m< le nombre des propriétés assurées dont la valeur est a„ et pour lesquelles le risque annuel est pi : on aura la probabilité P que la somme totale des indemnités payées annuellement par la caisse d'assurance tombera entre les limites

L'amplitude des oscillations fortuites est plus grande que si toutes les valeurs assurées étaient égales , leur

342 CHAPITRE xiy.

somme restant la même , et que si toutes bouraient vai même risque égal à la moyenne des risques de chaque valeur assurée. £n d'autres termes, l'amplitude des oscillations fortuites est accrue par suite dé l'inégale distribution , tant de la valeur totale assurée, que de ce qu'on pourrait appeler le fonds commun des risques [Sa].

1 88. Si l'assurance est mutuelle, et que la patrt contributive de chaque associé dans la perte totale soit pro* portionnelle aux nombres a et/?, c'est-à-dire à la valeur ^ii'il assure et à l'étendue du risqUe, l'associé de la classe (t) a la probabilité P que sa contribution afanuelle tombera eiitre les limites

a ^^^Pi^i l^a[/yi,/?,(i —pr)a\ + m^pli — jo,)aî + etc.]

Sa côiitribution moyenne restera toujours égal6 à PiCtij quelà que soient le nombre des autres associés, Ifis risques qu'ils courent et les valeurs qu'ils assui'ènt ; mais les variations fortuites de sa part contributive poiirrodt aller en augmentant, quoique le nombre des associes augmente, si les nouveaux associés engagent le foilds commun pour des valeurs ou pour des risqués trop corisidérables par rapport aux valeurs déjà protégées et aux risques déjà garantis par l'assurance; et, soùs ce poiiit de vue, quand on suit la règle commune qui vietit d'êtt« indiquée, l'accession des nouveaux associés pourrait étfe plus nuisible qu'avantageuse aux anciens.

Supposons, afin de fixer les idées , qu'il y ait déjà 2 ooo associés, engagés chacun pour une valeur a^, et que I ooo personnes demandent à se joindre à eux en s'engageant chacune pour une valeur a, ; et admettons d'ailleurs, pour plus de simplicité, que les risques soient les

BSS ASSURANCES. 343

mêmes : il y aura avantsige pour les premiers associés à accepter id proposition des seconds , si à^ est moindre que 4^17 mais^ dans le cas contraire, l'accession des nouveaux associes irait, pour les premiers, contre le but de Tassurahce, en ce qu'elle tendrait à accroître lès irrégularités annuelles et fortuites de leur part contributive.

3e dois aux communications amicales de M* Bienaymé une solution mgénieuse de cette difEculté. La perte annuelle ^L supposée par l'association se compose d'une perte moyenne

et d'un écart fortuit (x — M, compris (avec la {)roi)àbilité P) entre les limites

dz t\/"2[m,p,{i ~jo^)aj4-m,/?,(i —p^)al +etc.].

Si maintenant on cbercbe la pt*obabilité que , la perte totale étant (jl, la part , dans cette perte, provenant aes associés de la classé (e), aura pour valeur |j^^; et, si l'on multiplie chaque valeur de pi, par la probabilité correspondante pour en prendre ensuite la moyenne ^ cette moyenne sera

, {^ — (^i/^i^f -H m,p^a^ + etc.) ^ ^^

^ in,pli—p,)a\+mj)li—p;)a\+etc. ^^ ^^

A. — 3e± +(,Mv »./.-(.-/'.>.;

ntjPra^+m^p^a^+ etc. ^ ^ ^rPx{^-p^a\+mj)J^i^^à:^+elc.*

Donc , l'équité exige que la part contributive de la classe

{{) dans la perte moyenne M soit propbirtionnelle àii fac^

teur

mipia,

m.p^a^ + m^p^a^ +etc.

344 CHAPITRE XÏV.

et se réduise en conséquence à m, pi ai ; tandis que sa part contributive dans l'écart fortuit \l — M sera calculée proportionnellement à un autre facteur

mipi{i — p^)a] ^

j»,/?,(i— /?,)aî H-iw,/?,(i— />,)aî H-etc/

En observant cette règle ^ deux ou plusieurs classes d'assurés auront toujours avantage à se réunir , en ce sens que la réunion ou l'accession des nouveaux assurés tendront toujours à restreindre, pour chaque associé, l'amplitude des variations fortuites de la part contributive. Supposons, pour simplifier , qu'il n'y ait que deux classes d'assurés, désignées par les indices (i) et (a): l'amplitude des variations fortuites , pour la classe (i), était , avant la réunion , proportionnelle à

après la réunion , l'amplitude des variations de l'écart total {t et P restant les mêmes) est proportionnelle à

et la part afférente à la classe (i), dans l'écart total, est , d'après la règle de M. Bienaymé , proportionnelle ï

^ nl.p.{^—p^)a^

m,p,{i —pr)al + m^p.{i—p^)al

Or, on a nécessairement

2mjp

puisque cette inégalité se réduit, après la suppression des facteurs communs, à

y m,p,{i--'p,)a\+m^pli'^p^)a\

La règle de M. Bienaymé , quoique fort simple , est du genre de celles que la pratique seule n'aurait point suggérées , et rien n'indique qu'elle ait été connue de ceux qui ont traité jusqu'ici de la matière des assurances. Elle devrait faire la base du contrat d'assurance mutuelle , et figurer comme condition fondamentale de la réunion de plusieurs compagnies d'assurances, de plusieurs caisses de retraites ou de secours. On ne voit pas qu'elle puisse être précisément applicable au contrat d'assurance à prime fixe. Seulement l'assureur à prime fixe , pour se prémunir mieux contre les chances de perte , pourrait composer le taux de la prime , d'une part proportionnelle ^ pa^ et d'une part proportionnelle au

facteur/7 {i-^p) (^ : de sorte que ip étant toujours beaucoup plus petit que - j la somme payée par l'assuré

croîtrait plus que proportionnellement au risque et à la valeur assurée ; mais l'exagération habituelle de la prime exigée par les compagnies fait qu'elles trouvent plutôt avantage à accorder une remise sur les valeurs élevées, afin d'accroître le chiffre de leurs affaires.

189. Pour montrer sur l'exemple le plus simple de quelle manière on pourrait tenir' compte par le calcul de l'inégale gravité des sinistres , supposons que toutes les propriétés assurées soient d'égale valeur , et courent les mêmes risques. Soient/? la probabilité de la destruction totale de la chose, ou la probabilité, pour l'assureur, d'une perte égale à la valeur a de la chose assurée, j^* la probabilité d'une perte a', moindre que a, et ainsi de suite ; enfin, désignons toujours par m le nombre des propriétés assurées. On aura la probabilité P que

aie tâAPitiLB XIV.

là sohiiifië des indèinnités paj^ëes par la caisse d'absu- Hiiceé tombera ëhtre les limités

m{pa 4- p'cL 4'p"ci' + etc.)

En réalité y Téchelle dbs risques varie d'uhe propriété à l'autre; Toutes circonstances égales d'ailleurs, uhe grande propriété doit avoir pliis de chances qu'une petite d'échapper à une destruction totale; Si l'àssuraiice est mutuelle, la part contributive de chaque àkéocié dails la ^erte moyenne doit être proportionnelle à là Vàletir qiië j)rend, pour la propriété aàsUrée, la fonctiôti pd 4- p'à + etc. On calculerait sa part cotttHbutive dans l'écart par une règle analogue à celle qui a été donnée plus haut.

190. En matière d'assurance^ , toutes les probabilités de risques , qui entrent comme éléments dans les formulés précédentes , ne sont nullement assignables à prioH ; mais on conçoit la possibilité de les déterihiner par l'expérience , avec d'autant plus d'exactitude qii'oh aura recueilli un plus grand nombre de faits , et qu'on les aura mieux classés. Les registres des compagnies â'aààuraricés fourniraient à cet égard des documents précieux. Mai* il y a une circonstance qui affecte les formules d'errèiit', et dont on ne voit pas qu'il soit possible de tenil; compte thédriquement : c'est le défaut d'une îhdëpendatifce absolue entre les chances de sinistres |)OUr lès divei'ses propriétés assurées. Un incendie qui détruira titae ville tôUt entière dérangera toute l'économie dés calculs basés sur la loi mathématique des compensations, daiis une série d'événements fortuits et indépendants; et tant que la chance de pareils accidents ne pourra pas

éti*e iraiisontiabiement négligée , le sort d'utiè edin|)èîgttie fl'ââéui*à]lces à primes fixes ressemblera p\\ii bit inbifls AÛ sort d'ub joueur. Ce que nous disotls àu sujet d^ ftitiisfteà i:;ausés par l'incendie , s'&ppliqtlë à pliis fdi*te t^hôïï Aux sinistres qui frappent les récoltes, et qui pëiitènt atteindre à la fois toute l'étendue d'uti valte tèfr- Htoit*é. Â moins que la compagnie qui gai*atitit de telles cbftnceâ ne multiplie considérablement ses affaire^ ^ sur tiiie étendue territoriale beaucoup plus grande ïjuë èèlle où peut régher la solidarité des sinistres, et àtëc des capitàdt suffisants pour subvenir aux chargés des ftilhées désastreuses , elle ne peut offrir aux àssitrés line garantie eoniplète, ni se pt'éttiunir elle-tnéme isuffi&ktk* iheilt contré les chances de ruine. En tout câd elle doit être }:iortéë à exagérer bëàueoiip ses primes ( et c'éi^t Û&ûs dé |iareilles circonstances ^ue le Système des àssuraricës tnutuelleâ |iaraît àVeb tbus ses avantages. Clar les avantages du bdiltràt de société , dont l'assurance mutuelle n'ëèt <jti'une espèce , tiennent à l'essence même de la Mtui*e humaine , et subsistent quel que soit le nomhnb , grand ou petit , des individus associés ^ quelle qUë sdit là ^àirité des chàhces eil vue desquelles ils s'associent, isoit qu'il y ait solidarité ou indépendance entre les eàtlsels malfkiisantes contre lesquelles ils réunissent leurs efibrts et leurs ressources.

191 • Le contrat d'assurance est Susceptible de prendre des forines très-variées. La maison de banque qui eifdosse des effets de commerce pour leur donner crédit J)ar sa signature , assure le payement des effets à l'échéance. Une fraction de l'intérêt ordinaire des capitaux peut être considérée comme une prime d'assurance contre les chances d'insolvabilité du débiteur; et c'est

348 CHAPITRE XIY.

sur ce principe que se sont fondés les économistes qui ont désapprouvé les lois limitatives du taux de l'intérêt. Dans Iç prêt à la grosse aventure , le bénéfice probable du préteur doit équivaloir au moins à la prime d'assurance de la somme aventurée , plus à l'intérêt que rapporterait le même capital s'il n'était pas aventuré , ou s'il ne courait que les risques ordinaires du commerce.

Au moyen d'une retenue annuelle sur les appointements d'un employé y une caisse de retraites lui assure une pension viagère , s'il atteint un âge déterminé j ou un nombre déterminé d'années de service. Moyennant une cotisation annuelle, ou mensuelle, ou hebdomadaire , une caisse de secours assure une subvention à un ouvrier en cas de maladie , un soulagement à sa veuve ou à ses enfants en cas de mort , et ainsi de suite. Un grand nombre d'établissements créés dans un intérêt public ou privé , reposent sur une application aux probabilités de la vie humaine des principes généraux de la matière des assurances; nous nous bornerons à indiquer les opérations principales des établissements de cette nature.

i^ Constitution de rente viagère , sur une ou plusieurs têtes, réversible en totalité ou en partie, moyennant un capital payé au moment de la constitution de rente;

2^ Assurance de pension viagère ou de retraite, après un âge ou un temps déterminé , moyennant une retenue annuelle, ou une annuité payée jusqu'à l'époque où la pension doit commencer ;

3^ Assurance de pension viagère à la veuve en cas de prédécès du mai;!, après un temps déterminé ou indéterminé, moyennant le versement d'un capital, ou le payement d'une annuité pendant la vie du mari;

DES ASSURilirGES. 349

4^ Assurance d'un capital à la veuve ou aux enfants, au moment du décès du mari ou du père, moyennant une annuité payée par celui-ci pendant sa vie, ou moyennant un capital une fois payé ;

5® Les tontines où plusieurs individus mettent en commun des fonds dont les intérêts sont partagés entre lés survivants: le capital même devant appartenir au dernier survivant, ou être partagé, d'après des règles diverses , entre un certain nombre de survivants [53].

Pour la solution de tous les problèmes qui se rattachent aux opérations que l'on vient d'énumérer , ou à des opérations analogues, il faut tenir compte, non-seulement des chances de mortalité , mais encore des diverses valeurs que prend la même somme , payable à des époques différentes, en vertu de l'intérêt composé. Si donc Ton désigne par A la somme actuellement payée pour prix de la constitution d'une rente viagère a , par r le taux de l'intérêt de l'argent , par Px-tP^-^pi-i etc. , les probabilités que le rentier vivra dans un an , dans deux ans , dans trois ans , etc. , on aura la relation

A=a J^ + ;-£^; + £! + etc. . (a)

Dans cette formule, nous négligeons, pour plus de simplicité , de tenir compte du prorata d'arrérages qui pourra être dû par le constituant, au moment du décès du rentier. Il est bien entendu que la compagnie qui spécule sur les constitutions de rente , doit exiger le versement d'un capital plus fort que le capital A déterminé par la formule précédente. Il est entendu aussi que les probabilités z?, , p^ , etc. , doivent être calculées, non d'après les tables de mortalité moyenne , mais d'à-

35Q CHAPITRE XIT.

près celles qui représentent la loi de mortalité pour la catégorie des rentiers. Afin d'être mieux prémunies contre les chances de perte, les compagnies feront usage, pour calculer A, d'une de ces tî^bles à mortalité lente [ 1 79], que l'on doit consi4érer comme fournissant des limites 4es noipbres véritables.

3uppq^oas au contraire qu'il s'agisse de détermine^ r^umuité viagère b qu'une compagnie doit exiger , pouf payçr, à la n^qr^ du débiteur de l'annuité, le capital A à ses héritiers. On résoudra ce problème très-simplement, si }'oii imagine, comme le fait Laplace , que le débiteur de l'annuité prête à la compagnie le capital A9 remboursable ^ spn décès, et au lieu d'en verser stctuellçment la vftleur en espèces , constitue à la compagnie , sur sa propre tête, une rente viagère a qui surpasse l'annuité 6 des intérêts du capital A^ puisque ces intérêts doivent yenii: en compensation d'une partie de la rente viagère dont la valeur équivaut au capital A. On aura donc

b:=za — rA;

et la quantité a sera toujours déterminée en fonction de A par 1^ formule (a); mais, pour le calcul numérique de cette formule , la compagnie déterminera les valeurs de Pt9 Pu etc. , d'après des tables à mortalité rapide. On trouvera dans les ouvrages spéciaux plus de détails sur un sujet qu'il suffît d'indiquer ici très-sommai* rement«

raiOBIE BE LA PROBABILITÉ DES JUAÉMBBTTS. — APPLICA- VIOHS A LA STATISTIQUE JUDICIAIRE 1RS MATIÈRE CmLE«

192. Il est manifeste que les conditions de majorité, de pluralité 9 imposées aux décisions d'un corps judi« ciaire ou d'une asseipblée délibérante, doivent avoir des relations avec la théorie mathématique des chances. Un accusé qui ne connaît pas ses juges , qui ignore leur^ dispositions favorables ou défavorables, qui n'est instruit, ni du système de procédure suivi dans l'instruction et dans les débats , ni de la manière dont les juges communiquent entre eux et recueillent leurs votes , ne regardera pas comme indifférent d'être jugé par un tribupal de trois juges qui condamne à la pluralité de deux voix, ou par un tribunal de six juges qui ne peut con-. damner qu'à la pluralité de quatre voix. 11 y a donc , dans le seul énoncé du nombre des votants et du cl^iffre de pluralité , des conditions arithmétiques, indépendantes des qualités et des dispositions personnelles des juges : conditions qui , par l'influence constante qu'elles exercent sur une série nombreuse de décisions , floivent pré- 'valoir à la longue sur les circonstances variables de la composition du tribunal dans chaque affaire particuf

lière. Il y a par conséquent une question purement arithmétique au fond de toute loi régulatrice des votes d'un tribunal : cette question est essentiellement du ressort de la théorie des chances; mais aussi le calcul doit nécessairement emprunter certaines données à l'observation ^ c'est-à-dire, à la statistique judiciaire qui résume et coordonne des faits assez nombreux pour que les anomalies du hasard soient sans influence sensible sur les résultats moyens.

Un grand pays tel que la France , régi par une législation rigoureusement uniforme, et par une administration centralisée, se trouve placé dans les circonstances les plus favorables pour la formation de la statistique judiciaire. C'est aussi en France que l'administration de la justice a pris , à partir de iSi^S , l'initiative de la publication des Comptes généraux^ ou l'on puisera un jour une foule de documents précieux pour le perfectionnement de la législation et l'étude de la société , sous les rapports moraux et civils.

193. Quoiqu'on ait toujours eu en vue, en traitant de la probabilité deâ jugements , d'appliquer cette théorie aux jugements des tribunaux civils et criminels, il n'est pas hors de propos de prendre d'abord le mot déjuge' mentRyec toute la latitude d'acception qu'il conserve, tant dans la langue commune que dans la langue philosophique , et d'étudier d'une manière tout à fait générale les conséquences qui résultent de l'association de l'idée de chance à l'idée de jugement. Cette étude intéressante en soi nous préparera à mieux comprendre la théorie spéciale des jugements des tribunaux.

Pour fixer les idées par un exemple , supposons qu'un observateur qui habite la campagne , un homme dont

Tattention s'est toujours portée sur l'état du ciel, soit dans l'habitude de pronostiquer, à chaque coucher du soleil, le temps qu'il fera le joar suivant. Si Ton tenait registre de ses pronostics ou de ses jugements, et que, sur un grand nombre m de ces jugements , il y en eût n

que l'événement a vérifiés, la fraction — = (^ expri-

nierait la probabilité que l'événement vérifiera un autre jugement ou pronostic du même observateur. En d'autres termes, s'il n'a ni gagné ni perdu en perspicacité , on trouverait, en continuant à tenir registre de ses pronostics, que le nombre n^^ des pronostics vérifiés par l'événement est au nombre total m^ des pronostics, sensiblement dans le rapport de /i à /72, pourvu que les nombres m^^ n^ fussent suffisamment grands.

Concevons maintenant que deux observateurs A et B fassent chacun de leur côté la même observation, et que / soit pour l'observateur B l'analogue du nombre V pour l'observateur â. Si les causes qui influent sur la vérité ou l'erreur du jugement de A étaient complètement indépendantes de celles qui influent sur la vérité ou l'erreur du jugement de B; si, par exemple, ces causes résidaient dans les dispositions pliysiques et morales des deux observateurs, dans l'état de santé dont ils jouissent, dans le degré d'attention qu'ils apportent, etc. , on aurait évidemment :

I® Pour la probabilité que les deux observateurs seront d'accord dans le jugement qu'ils émettront, soit qu'ils' devinent juste, soit qu'ils se trompent tous deux,

2^ Pour la probabilité de deux jugements contradic-

toires ,

ç = (;(i — i/) + if'{i'^ç):=p+p' — 2w' = i— />5

3^ Pour la probabilité que le pronostic au sujet duquel les deux observateurs sont d'accord , se vérifiera ,

4^ Pour la probabilité que le pronostic de  se vérifiera, quand le jugement de B est contraire ,

Ces (Stressions doivent être entendues dans un sens objectif ei absolu : elles signifient que , si Ton tenait effectivement registre des pronostics des deux observateurs, poup les comparer avec l'événement, sur uû grand nombre N d'observations simultanées, on en trouverait sensiblement

pour lesquelles les deux observateurs sont tombés d'accord ; dans ce nombre ,

qui ont été confirmées par l'événement, et ainsi de suite ; les (^, / ayant été déterminés par une série d'observations précédentes , ainsi qu'on l'a expliqué ci-dessus.

194. Dans l'exemple que nous imaginons, la vérité ou l'erreur du jugement de chaque observateur peuvent être soumises à un critérium infaillible; et ce critérium , c'est l'observation même de l'événement. Mais, dans une foule d'autres cas, un semblable critérium n'existe pas, et même il répugne à la nature des choses qu'il en existe un. Par

DE LA PROBâBIUTlî DES JUGEMENTS. 355

exemple ^ quand un médecin prescrit un traitement à son malade , on ne saurait tirer de l'événement un critérium infaillible de la vérité ou de l'erreur du jugement du médecin ; car il peut se faire que le malade succombe , quoique le traitement prescrit soit réellement le meilleur, jet au contraire qu'il guérisse malgré les vices du traite* ment. A supposer donc que deux médecins soient appelés en consultation ensemble ou séparément, pour une nombreuse série de cas pathologiques , il n'y aura aucun moyen de déterminer directement les nombres v^ sf ^ exprimant , pour chacun des deux médecins , la probabilité d'un pronostic ou jugement vrai; mais le registre des consultations fera connaître combien de fois les deux médecins ont été d'accord , et combien de fois ils ont émis des opinions contraires. On aura donc, si la série des cas est suffisamment grande ^ une valeur sensiblement exacte du nombre p qui entre dans l'équation (i), et par suite on aura une équation de condition entre les valeurs numériques de ^ et de p^, valeurs numériques qu'il est impossible d'assigner par des observationjs directes.

On ne doit pas perdre de vue que l'existence de cette équation de condition repose sur l'hypothèse que les causes anomales qui prédisposent à la vérité ou à l'erreur le jugement de A, sont indépendantes de celles qui prédisposent à la vérité ou à l'erreur le jugement de B. Nous nous bornons d'abord à étudier les conséquences dé cette hypothèse, tacitement admise par tous ceux qui ont traité avant nous dé la probabilité des jugements.

195. Revenons à notre premier exemple, pris dans les pronostics météorologiques , et supposons qu'on tieDûe registre d'une série de pronostics faits par trois observateurs A, B, C. Conservons aux lettres m , ^' leur

signification , et appelons v^ l'analogue de \f^ pour l'observateur C. Il pourra arriver que les trois observateurs soient d'accord , que A soit d'un avis contraire à B et à C , que B soit d'uu avis contraire à A et à C^ ou bien enfin que C soit opposé à A et à B. En appelant p , a^ 6 9 c , les probabilités de ces quatre combinaisons , on aura

/>= I — ((^ + p' + p") + sf\f + v{f' + <^V', a=p(i~(;' — </') + pV', .

Si donc l'on déterminait par l'observation directe ^ au moyen d'une nombreuse série d'épreuves, les nombres (^, v\ \f\ fy a^by c^ les valeurs de ces nombres devraient vérifier sensiblement les équations (2) ; et si l'écart était trop grand pour pouvoir être imputé aux anomalies du hasard, ce serait une preuve que l'hypothèse admise, sur l'indépendance des causes d'erreur pour chaque observateur A , B , C , n'est pas conforme à la réalité.

Au contraire, dans le cas où il n'y a pas de ente- Hum propre à déterminer directement les nombres v^ v\ v'\ on peut déterminer ces nombres indirectement au moyen des valeurs de /?, a, by c données par l'observation, et de trois quelconques des équations (a), la quatrième rentrant nécessairement dans les trois autres, en vertu de l'équation de condition

A cause de la symétrie, il convient de choisir les trois dernières; et si nous posons

DE LA PROBABIUri DES JUGEMENTS. 357

^ w4 wa

' fin I

ces équations deviendront

(vv Ê+Y

p=zz"~.z/--zV',| d'où L^' = ^ît±I, y (3)

y=za' — «;^'^aV',) \zz' — — 1±1;

et par suite

Pour que les valeurs de i/, i/, ç*' soit réelles, il faut que les trois quantités

soient toutes trois négatives, ou que deux soient positives et la troisième négative. En outre^ pour que les valeurs de i^, i^\ v" restent renfermées entre zéro et l'unité^ il faut y comme on le démontre aisément , que les trois quantités {m) soient chacune numériquement inférieure à-. Or, pour que cette dernière condition se

358 GHAPITRX XV.

trouve satisfaite^ il faut et il suffit que Ton ait

Si ces diverses conditions ne sont pas satisfaites par les valeurs de a, b^ c^ telles que l'observation les donne^ ce sera une preuve que l'hypothèse admise sur Tindépendance des causes d'erreur doit être rejetée.

Les valeurs de p», p»', (^"sont doubles, en raison de l'ambiguïté du signe radical ; mais, à cause des équations (3), il n'est pas permis de combiner indifféremment ces valeurs. En effet, par suite de la remarque faite précédemment sur les signes des quantités (//i), il &ut que les trois produits

zs!y zd\ jsV, (n)

soient positifs, ou que deux soient négatifs et le troisième positif. Supposons-les tous trois positifs : il en résultera que les quantités z^ z', 2" doivent être prises à la fois toutes trois positives, ou toutes trois négatives; et si l'on faisait une autre hypothèse sur les signes des quantités [m) ou (/i), on trouverait qu'à chacune d'elles ne correspondent que deux hypothèses sur les signes des quantités ^, ^', 2", ou deux systèmes de valeurs pQUf les inconnues (^, sl^ v".

196. Cette analyse s'applique naturellement aux jugements des tribunaux composés de trois juges, comme le sont en France la plupart des tribunaux de première instance. Si le greffier était autorisé à tenir note des votes de chaque juge, le relevé de ces notes donnerait, après l'expédition d'un très-grand nombre d'affaires, les valeurs des nombres a, è, c. On pourrait donc en déduire , par les formules précédentes, les valeurs de v^ v\ i^'y qu'il serait impossible de déterminer directement , at-

DE LA. PROBABILITE BBS JUGEMENTS. 359

tetidu tjue la vérité ou la bonté du jugement d'un tribunal ne peuvent être contrôlées que par un autre tribunal, sujet lui-même à Terreur, de quelques lumières que Ton suppose ses membres pourvus.

Le calcul donnerait^ il est vrai, deux systèmes de Valeurs pour les nombres i^^ {/ ^ v^^ : mais, dans la plupart des cas , l'un des deux systèmes serait , à priori^ inadmissible^ ce qui lèverait toute ambiguïté. Par exetiiple^ il arriverait que les valeurs de {f^ (/, {f^ seraient dans le premier système toutes plus grandes , et dans le second

système toutes plus petites que -. Or, il répugne d*ad*-

mettre que, dans un tribunal de trois juges, chaque juge rencontre l'erreur plus souvent que la vérité. Ce serait prendre au sérieux la plaisanterie de ce juge de Rabelais qui remettait aux dés la décision des procès. Le premier système serait donc seul admissible; et le calcul donnerait ainsi , par voie indirecte, les valeurs de v^v\ {f\ d'une manière aussi sûre que pourrait les donner l'observation directe, si l'on était en possession d'un orite^ rium infaillible pour les jugements de cette nature.

Il faut bien remarquer que toutes ces conséquences reposent sur une hypothèse dont nous aurons à discuter plus loin la légitimité : sur celle de l'indépendance des causes qui prédisposent à l'erreur chaque juge individuellement ; de sorte que les cas oîi l'un des juges se trompe se combinent indifféremment avec ceux où l'autre juge rencontre la vérité ou l'erreur. Mais d'abord le calcul des valeurs de a, A, c donnerait souvent la preuve directe que cette^ hypothèse est inadmissible, en assignant à (^, if ^ if" des valeurs imaginaires, ou négatives , ou plus grandes que l'unité; et, dans le cas

contraire, les valeurs assignées à (^, (/, \^" seraient au moins (comme on l'expliquera plus loin) des limites audessous desquelles devraient tomber les véritables valeurs des fractions que ces lettres représentent.

Si l'on pouvait considérer à priori les trois fractions if y \f\ \f^ comme égales entre elles, ou la chance d'erreur comme la même pour chaque juge, on ferait , dans la première équation (a), (^ = ^' = (^", et l'on en tirerait

en rejetant la valeur de \f qui tombe au-dessous de-.

Dans cette hypothèse, il suffirait donc, comme Ta remarqué Laplace^ de connaître le rapport p^ du nombre des jugements rendus à l'unanimité au nombre total des jugements. Ce rapport, dont la détermination n'offrirait ni difficulté, ni inconvénient dans la pratique, devrait

surpasser-; sans quoi, la valeur de if devenant imagi-

naire, on serait averti de la fausseté de l'une au moins des hypothèses adoptées, savoir celle de l'indépendance des causes d'erreur pour chaque juge, et celle de l'égalité des chances d'erreur, aussi pour chaque juge.

Au reste, bien que cette dernière hypothèse soit sans doute arbitraire et inadmissible en général , il est aisé de voir que l'on peut considérer la racine de l'équation (4) comme exprimant sensiblement la moyenne des vraies valeurs des trois quantités ^, ^, v*\ du moins lorsque les différences entre ces valeurs ne sont pas fort grandes relativement. Pour prendre un exemple, supposons que les valeurs de ^, v\ p»" soient 0,6; 0,7; 0,8 : auquel cas la moyenne sera 0,7 et la valeur correspondante de p

devra être o,36. En substituant cette valeur de p dans l'équation (4), on en tirera ^ = 0,69!!, valeur qui n'est

inférieure que de — - à la inoyenne véritable.

II serait sans doute intéressant de connaître pour chaque tribunal composé de juges permanents une valeur aussi approchée de la moyenne des probabilités de vérité et d'erreur pour chaque juge; et dès lors on doit désirer que l'administration prenne des mesures à l'effet de faire constater, pour chaque tribunal de cette nature, le rapport du. nombre des jugements rendus à l'unanimité, pendant une période décennale, au nombre total des jugements; bien entendu que l'oii ferait une catégorie à part des jugements de pure forme, de ceux que l'on appelle convenus^ des jugements par défaut, et ainsi de suite.

197. Il faut d'ailleurs remarquer que la formule (4), et toutes celles oîi l'on suppose les chances d'erreur des votants égales entre elles, deviendraient susceptibles d'application , si le conseil ou le tribunal n'étaient plus composés déjuges permanents, mais déjuges pris au hasard sur une liste nombreuse. Le lettre (^ désignerait dans ces formules la moyenne entre les vraies valeurs de (^ pour chacune des personnes comprises sur la liste. C'est-à-dire que si la liste comprenait n^ personnes pour lesquelles i^ a la valeur (^„ n^ pour lesquelles ^ a la valeur i^a, etc., la lettre v désignerait la moyenne

».^x +'«»♦'> H-etc. . .

w, +Wa+etc. ^ '

En effet, Ton peut concevoir que le premier juge désigné par le sort dépose son suffrage dans une urne A,

369 CHAPITRS XV.

la second dans une urne B^ le troisième dans une urne G. Les urnes A^ B, G sont substituées ainsi aux juges A, fi^ G du tribunal permanent. Mltis alors la fraction (p) exprime évidemment la probabilité de la bonté du suffrage déposé dans l'urne A, et elle exprime encore la probabilité de la bonté des suffrages déposés dans les urnes B, G, si le nombre des personnes comprises sur la liste de tirage est assez considérable pour que le retranchement des personnes déjà désignées par le sort n'altère pas sensiblement la valeur de la moyenne (^.

198. La probabilité que le tribunal de trois juges prononcera son jugement à l'unanimité, et qu'il jugera bien, a pour valeur wV'; la probabilité que le tribunal jugera encore bien , mais à la simple majorité^ est exprimée par

En conséquence, si l'on désigne par V la probabilité que le tribunal jugera bien, soit à l'unanimité, soit à la simple majorité, on aura

V =: (^^' + ^P" + p' i^" -^ af^f/V". (5)

En d'autres termes , le tribunal constitue une personne morale, pour laquelle V représente ce que désignent respectivement les lettres t', /, ^" pour chacun des juges A, B, G.

Il devrait toujours y avoir entre les nombres i^, (/, <^' de tels rapports que la valeur de V, donnée par l'équation (5), fût supérieure à chacun de ces nombres; car si V, par exemple, était plus petit que p», il serait déraisonnable d'adjoindre les juges B et C au juge A, cette adjonction n'ayant pour effet que de diminuer la chance d'un bien jugé. Or, l'équation (5), mise sous la

DE UL PROBABILITE DES IVarSt^èuTTS. ^68

forme

nous montre qu'on aura nécessairement V<<^^ si Ton suppose à la fois

mais, dans le cas plus probable où les trois nombres i^^ \f\ v"

seraient chacun plus grand que -, V surpasserait nécesi^

sairement le plus grand de ces nombres.

199. Afin d'indiquer au moins la marche générale du calcul, considérons encore le cas où le tribunal serait formé de quatre juges A, B, C, D. Appelons <^, if, (^', i^-'* leurs chances de bien juger; admettons qu-on ait constaté leurs votes dans une longue série de jugements; que a désigne le rapport du nombre des cas où le juge A s'est trouvé seul de son avis, au nombre total des jugements compris dans la série; que 3, e, d désignent les rapports analogues pour les juges B, C, D. Oa aura, pour déterminer les quatre inconnues if^ v\ v*\ v'^\ les quatre équations

l^{^ — ç')^> (;"/' + (;' (i — p ) (i — ^") (i — ii"\

et si l'on pose

aa — T=a> î^*— ^=P, ^c — -=y> a^f — - = *,

on en tirera :

a + P= ^{tI'z^'—z z' )— 8^32' .r/V% .

d'où