CHAPITRE II

Du mouvement d'un point matériel.

Un point en repos , ne peut ae donner ancon mouvement; puisqu'il ne reoferme pas en sot , de raison pour se mouvoir dans un sens plutôt que dans an autre. Lorsqu'il est ^lli«it^ par une force quelconque et ensuite abandoun^ i lui-même , il se meut constamment d\ine manière uniforme dans la direction de cette force, s'il n'ëpronre aucune résistance; c'est-i-dire, qu'i cbaque instant , sa foi-ce et la direction de son mouTement sont les mêmes. Cette tendance de la matière & persévérer dans son ëtat de mouvement on de repos , est ce que l'on nomme inertie : c'est ta première loi du mouvement des corps.

La direction du mouvement en ligne droite , suit e'videmment de ce qu'il n'y a aucune raison pour que le point s'ëcarte plutêt à droite , qu'à gauche de sa direction primitive ; mais l'aniformité de son mouvement n'est pas de la même évidence. La nature de la force motrice e'tant inconnue, il est impossible de savoir à priori, si cette force doit se conserver sans cesse. A la vérité , un corps étant incapable de se donner aucnn mouvement, il paratt également incapable d'altérer celui qn'il a reçu; en sorte que la loi d'inertie est au mpins , la plus naturelle et la plos simple qne l'on puisse imaginer. Elle est d'ailleurs confirmée par l'expérience : en effet, nous observons sur la terre, que les mouvemens se perpétuent pins long-temps, i mesure que les obstacles qui s'y opposent, viennent à

dimînaer; ce qui nous porte à croire que sans ces obstacles , ils dureiuieat toujours. Mais l'inertie de la matière est principalement remarquable dans les mouvemens célestes qui , depuis un grand nombre de aîicles, n'ont point éprouvé d'altération sensible. Ainsi, nous regarderons l'inertie comme une loi de la nature ; et lorsque nous observerons de Taltération dans le mon-: vement d'un corps, nous supposerons qu'elle est due i l'action d'une cause étrangère.

Dans le mouvement uniforme , les espaces parcourus sont proportionnels aux temps ; mais le temps employé à décrire un espace déterminé , est plus ou moins long , soivant la grandeur-de la force motrice'. Cette diiTérence a fait naître l'idée de vitesse qui , dans le mouvement uniforme , est le rappt^t de l'espace au temps employé k le parcourir. Pour ne pas compare^ ensemble des quantités Hétérogènes, telles que l'espace et le temps, ou prend un intervalle de temps, la seconde, par exemple , ponr unité de temps ; on choisit pareillement une unité d'espace , telle que le mètre ; et alors l'espace et le temps sont des nombres abstraits qui expriment combien ils renferment d'unités de leur espèce ; on peut donc les comparer l'un k l'autre. La vitesse devient ainai le rapport de deux nombres abstraits, et son unité est la vitesse d'un corps qui parcourt un mètre dans une seconde. En réduisant de cette manière , l'espace , le temps et la vitesse, k des nombres abstraits ; on voit que l'espace est égal au produit de la vitesse par le temps qui cOnséquemment , est égal k l'espace divisé par la vitesse.

La force n'étant connue que par l'espace qu'elle fait décrire dans un temps déterminé, il est naturel de prendre cet espace pour sa mesure. Mais cela suppose

(jue plusieurs forces agissant k là fois et dsns le même teos, sur nn corps, lui feront parcourir durant nne unitë dé temps , un espace éga\ i la somme des espaces que chacune d'elles eût &ît parcourir séparément; ou , ce qui revient au même, que la force est proportionnelle i la vitesse. C'est ce que nous ne poarons pas savoir à priori, vu notre ignorance sur la nature de la force motrice; il faut donc encore sor cet objet, recourir i l'exptfrience ; car tout ce qui n'est pas nne suite nécessaire du peu de données que nous àTOna sur la nature des choses, n'est pour noua qu'un rëraltat de l'observation.

La force peut être exprimée par une infinité de fonctions de la vitesse , qui n'impliquent pas contradiction. Il n'y en a point, par exemple , à la snpposer proportionnelle au carré de la vitesse. Dans cette hypothèse, il est facile de déterminer le mouvement d'nn point sollicité par nu nombre quelconque de forces dont les vitesses sont connues ; car si l'on prend sur les directions de ces forces, & partir de leur concours, des droites pour représenter les vitesses qn'elles imprimeraient séparément an point matériel; et .si l'on de'termine sur ces mêmes directions, en partant du même concours , de nouvelles di-oites qui soient entre elles , comme les carrés des premières ; ces droites pourront représenter les forces elles-mêmes. En les composant ensuite par ce qui précède , on aura la direction de la résultante, ainsi que la droite qui l'exprime. On voit par là, comment on peut déterminer le mouvement d'un point, quelle que soit la fonction de la vitesse qui exprime la force. Parmi tontes les fonctions mathématiquement possibles, examinons quelle est celle de la nature.

DU SYSTÈME DU MONDE. i8<f

Od ôbaerve sur la terre, qu'un corps sollicité par une force quelcontjue , se meut de la même manière , quel <pie soit l'angle que la direction de cette force fait avec la direction du mouvement commun au corps et à la partie de la surface terrestre, à laquelle il répond.' Une légère dilFërence i cet égard, ferait Varier très sensiblement la' durée des oscillations du pendule , soÎTant la position du plan vertical dans lequel il oscille; et l'expérience fait voir que dans tous les plans verticaux, cette durée est exactement la même. Dans un vaisseau dont le mouvement est uniforme , un mobile soumis à l'action d'un ressort, de la pesanteur, on dé tonte antre force , se meut relativement aux parties dn vaisseau , de la m£me manière , quelles que soient la vitesse du vaisseau et sa direction. On peut donc établir comme une loi générale des mouvemens terrestres, que si dans un système de corps emportés d'un mouvemeût commun, on imprime à l'un d'eux, une force quelconque; son mouvement relatif on apparent sera le m£me , quel que soit le mouvement général du système, et l'angle que fait sa direction avec celle de la force imprimée,

La proportionnalité de la force à la vitesse , résulte de cette loi supposée rigoureuse; car ai l'on conçoit deux corps mua sur une même droite avec des vitesses égales, et qu'en imprimant à l'un d'eux, une force qui s'ajoute à la première , sa vitesse reUtiveuLeut à l'autre corps, soit la même que si les deux corps étaient primitivement en repos ; il est visible que l'espace décrit par le corps en vertu de sa force primitive et de celle qui lui est ajoutée , est alors égal à la somme des espaces que chacune d'elles eût fait décrire dans le même temps ; ce qui suppose la force proportionnelle à la vitesse.

190 EA-rosiTion

RécîproquemeDt , si la force est proportionnelle à la viteue , le* monvemens relatifs d'nn système de corps animes de forces (jnelconques, sont les mêmes , quel que soit leur mouvement commun; car ce moavement décomposé en trois autres parallèles i. trois axes fixes, ne fait qu'accroître d'une même quantité, les vitesses partielle^ de chaque corps, paraUèlement A ces axes; et comme la vitesse relative ne dépend que de la différence de ces TÎtesses partielles, elle est la même , quel qne soit le mouvement commun à tons les corps. Il est donc impossible alors de juger du monvenient absolu d'nn système dont on &it partie, par les apparences que l'on 7 observe. C'est ce qai caractérise cette loi dont l'ignorance a retardé la connaissance dn vrai système dn monde, par la difficulté de concevoir les mouvemens relatifs des projectiles, au-dessns de la terre emportée par un double mouvement de rotation sur elle-même , et de révolution «ntour du soleil.

Mais vu l'extrême petitesse des mouvemens les plus considérables qne nous puissions imprimer aux corps , en égard an mouvement qui les emporte avec la terre ; il suffit, pour que les apparences d'un système de corps soient indépendantes de la direction de ce monvemmt , quVn petit accroissement dans la force dont la terre est animée , soit A l'accroissemeut correspondant de sa vitesse, dans le rapport de ces quantités elles-mêmes. Ainsi, nos expériences prouvent seulement la realité de cette proportion qui, si elle avait lien, quelle qne fût la vitesse de la terre, donnerait la loi de la vitesse proportionnelle A la force. Elle donnerait encore cette loi , si la fonction de la vitesse , qui exprime la force , n'était composée que d'uu seul terme. Il faudrait donc , si la vitesse n'était pas proportionnelle A la force , sup-

poser que dana la twtare, la foDCtioa de Ja vitesse , qui exprime la force, eat fwnnée de plusieurs termes; ce qiii est peu probable. Il faudrait supposer de plus, que la vitesse de la terre est exactement celle qui convient à la proportion prëcëdeote , ce qui est contre toute Traisetablance. D'ailleurs, la vitesse de la terre, varie dans les diverses saisons de l'année : elle est d'un trentième environ plus grande en hiver, qu'en été. Celte variation est plus considérable encore, si, comme tout l'indique , le système solaire est en mouvement dans l'espace; car selon que ce mouvement progressif est contraire au mouvement terrestre , ou conspire avec lui , de grandes variations annuelles doivent en résulter dans le mouvement absolu de la terre ; ce qnî devrait altérer la proportion dont il s'agit , et le rapport de la force imprimée , à la vitesse relative qu'elle produit ; si cette proportion et ce rapport n'étaient pas indépendans de la vitesse absolue.

Tonj les phénomènes célestes viennent i l'appui de ces preuves. La vitesse de la lumière, déterminée par les éclipses des satellites de Jupiter , se compose avec celle de la terre , exactement comme dans la loi de la propcfftionnalité de la force & la vitesse ; et tous les monvemens du système solaire , calculés d'après cette loi , sont entièrement conformes aux observations.

Voili donc deux lois du mouvement, savoir, la loi dSnertie et celle de la force proportionnelle à la vitesse, qui sont données par l'observation. Elles sont les plus naturelles et les pins simples que l'on puisse imaginer, et sans doute , elles dérivent de la nature même de U matière ; mais cette nature étant inconnue , ces lois ne sont pour nous , que des faits observés , tes seuls , au rester que la Mécanique emprunte de l'expérience.

iga EXPOSITION

La viteue étant proportionnelle & la force , ces deuxcpantitéa peuvent être représentées l'une par l'autre ; OD aura donc par ce qui précède, la vileue d'nn point sollicité par un nombre quelconque de forces dont ou connaît les directions et les vitesses.

Si le point est sollicité par des forces agissant d'une manière continue î il décrira d'un mouvement sans cesse variable , une courbe dont la nature dépend des forces qui la font décrire. Pour la déterminer, il faut consi* de'rer la courbe dans ses élémens , voir comment ils naissent les uns des autres , et cemonter de la loi d'ac; croissement des coordonnées, & leur expression finie. Cest précisément l'objet du calcul infinitésimal dont l'heureuse découverte a procuré tant d'avantage à la Mécanique ; et L'on sent combien il est utile de perfectionner ce puissant instrument de l'esprit bomain.

Nous avons dans la pesanteur , un exemple journalier d'une force qui semble agir sans interruption. A la vérité, nous ignorons si ses actions successives sontse'parées par des intervalles de temps, dont la durée est insensible ; mais les phénomènes étant k très peu près les mêmes, dans cette hypothèse et dans celle d'une action continue, les géomètres ont préféré celle-ci, comme étant plus commode et plus simple. Développons les lois de ces phe'nomènea.

La pesanteur parait agir de la même manière sur les corps, dans l'état du repos et dans celui du mouvement. An premier instant, un corps abandonné ii son action , acquiert an degré de vitesse , infiniment petit : un nouveau degré de vitesse s'ajoute au premier, dans le second instant, et ainsi de suite ; en sorte que la vitesse augmente en raison du temps.

Si l'on imagine un triangle rectangle dont un des

côt^s représente le temps et croisse avec lai , l'autre côt^ pourra représeoter la vitesse. L'élément de la sur> face de ce triangle, ëtaU^gal au produit de l'^WmeDt du temps, par la vitesse, il représentera l'eldraent de l'espace que la pesanteur fait décrire ; cet espace sera ainsi repr^nté par la sur&ice entière du triangle qui croissant comme le carré d'un de ses côtes, fait voir que dans le mouvement accéle'ré par la pesanteur, les vitesses .augmentent comme les temps; et les hauteurs dont le corps tombe en partant du repos, croissent comme les carrés des temps ou des vitesses. £a exprimant donc par l'unité l'espace dont un corps descend dans la première seconde , il descendra de quatre unités , eu deux secondes ; de neuf unités , en trois secondes , et ainsi du reste ; en sorte qu'à chaque seconde , il décrira des espaces croissant comme les nombres impairs 1,3, 5,7, etc.

L'espace qu'un corps en vertu de la vitesse acquise à la fin de sa chute , décrirait pendant un temps égal â sa durée , serait le produit de ce temps par sa vitesse : ce produit est le double de la surface du triangle ; ainsi le corps mù uniformément en verta de sa vitesse acquise, décrirait dans un temps égal è celnî de sa chute , un espace, double de celui qu'il a parconru.

Le rapport de la vitesse acquise , au temps , est constant pour une même force accélératrice : il augmente ou diminue , suivant que ces forces sont plus ou moins grandes ; il peut donc servir à les exprimer. Le double de l'espace parcouru, étant le produit du temps par la vitesse; la force accélératrice est égale à ce double espace divisé par le carré du temps. Elle est encore (igale au carré de la vitesse , divisé par ce double espace. Ces trois manières d'exprimer les forces accélératrices,

sont utiles dans (tÏTerses oirconitances : elles ne donnent pas les valeun absolues de ces forces, maïs seulement leurs rapports entre elles ; et dans la M^anï^e , on n'a besoin que de ces rapports.

Sur un plan incline , l'aotiou de la pesanteur se décompose en deux autres ; l'une perpendicnlaîre au plan, est de'tmite par sa résistance ; l'autre parallèle an pUn , est A^la pesanteur primitive , comme la hauteur du plan est  sa longueur. Le mouvement est donc noiformément accélër^ sur les plans inclinés , mais les vitesses et les espaces parcounis , sont aux viteesos et aux espaces parcourus dans le même temps , suivant la verticale , dans le rapport de la hauteur du plan à ta longueur. Il suit de là que tontes les cordes d'un cercle , qui aboutissent k IVne dea extrémités de son diamètre vertical , sont décrites par l'action de la pesanteur , dans le même temps que son diamètre.

Un projectile lancé suivant une droite quelconque, s'en écarte sans cesse, en décrivant une courbe concave vers l'horisoa , et dont cette droite est la première tan> gente. Son mouvement rapporté à cette droite par des lignes verticales, est uniforme; mais U s'acoélèm suivant ces vertioalefl , conformément aux lois que nons. venons d'exposer ; en élevant donc de chaque point de la contbe , des verticales prolongées juaqu'A la première tangente, dles seront proportionnelles aux cairés des parties correspondantes de cette tangente , propriété qui caractérise la parabt^e. Si la force de pn^ection est dirigée suivant 1^ verticale elle-même , la parabole se confond alors avec «lie ; ainsi les fco-mnles du mouvement parabolique embrassent les mouvemeos accélérés ou retardés dans la verticale.

Telles sont les lois de la chute des graves , découver-

ou SYSTÈME DU MONDE. , 195

tes par Galilée. Il nous semble aajourd'hui , qull était facile d'y parvenir ; mais pnîsfju'elles avalent échappé aux reclierclies des pliilosoplies, malgré les phénomènes (jni les reproduisaient sans cesse ; il fallait an rare génie , pour les démêler dans ces phénomènes.

On a TU dans le premier livre , qu'un point matériel suipendu i l'extrémité d'noe droite sans masse , et 6xe à son antre extrémité, forme le pendule simple. Ce pendule écarté de la verticale , tend à y revenir par sa pesanteur , et cette tendance est à très peu près proportionnelle à cet écart, s'il est peu' considérable. Imaginons deux pendules de même longueur , et partant au même instant avec des vitesses très petites , de la situation verticale. Ils décriront au premier instant, des arcs pToportiomiels i ces vitesses. An commencement d'un second instant égal au premier, les vitesses seront retardas proportionnellement aux arcs décrits, et par - conséquent aux vitesses primitives ; les ftrcs décrits dans cet instant, seront donc encore proportionnels 4 ces vitesses. Il en sera de même des arcs décrits au troisième instant, au quatrième, eft:. Ainsi àchague instant, les vitesses et les arcs ntesurés depuis la verticale , seront proportionnels aux vitesses primitives; les pendules arriveront donc au même moment , i l'état dn repos, lis reviendront ensuite vers la verticale , par un mouvement accéléré suivant les mêmes lois par lesquelles leur vitesse avait été retardée, et ils y parviendront au même instant, et avec leur vitesse primitive. Ils oscilleront de la même manière , de l'autre cAté de la verticale, et ils continueraient d'osciller à l'infini, sans les résistances qu'ils éprouvent. II est visible que l'étendue de leurs oscillations est proportionnelle à leur vitesse primitive ; mais ta durée de ces oscillations est la même ,

et par conséqneat tad^pendante de leur grandeur. La force tjoi accâère ou retarde le pendule, u^taot pas exactement en raison de l'arc mesure depuis la Terticale ; cet isochrouîsme nVst cpi'approclie relativement aux petites oscillations d'un corps pesant , mA dans un cercle. Il est rigoureux dans la courbe sur laquelle la pesanteur décomposée parallèlement k la tangente ^ est proportionnelle à l'arc compta du point le plus bas ; ce qui donne imme'dîateraent son équation différentielle. Hujgbens , à qui l'on doit l'applicatioD du pendule aux horloges, avait intérêt de connaître cette courbe, et la manière de la faire décrire an pendule. H trouva qu'elle est une cycloïde placée verticalement, en sorte que son sommet soit le point le plus bas; et que pour la fiiire décrire à un corps suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible , il suffit de fixer l'autre extrémité , à l'origine commune de deux cjcloïdes égales A celle que l'on veut iaire décrire, et placées verticalement en sens contraire , de manière que le fil , en oscillant , enveloppe aUemativement chacune de ces courbes. Quelque inge'nieuses que soient ces recbercbes, l'expérience afaît préférer le pendule circulaire, comme étant beaucoup plus simple, et d'une précision suffisante m£me à l'Astronomie. Mais la théorie des développées , qu'elles ont fait naître, est devenue très importante par ses applications au système du monde.

La durée des oscillations fort petites d'un pendule circulaire , est au temps qu'un corps pesant emploierait À tomber d'une hauteur égale au double de la longueur du pendule , comme la demi -circonférence est au dîamètre. Ainsi le temps de la chute , le long d'un petit arc terminé par un diamètre vertical , est au temps de la chute , le long de ce diamètre, ou, ce qui revient au

même , par la corde de l'arc , comme le quart de la circonfôrence est an diamètre ; la droite menée entre deaz points donnés , n'est donc pas la ligne de la pins vite descente de l'an & l'autre. La recherche de cette ligne a excité la curiosité des géomètres; et ils ont trouvé qu'elle est nue cycloïde dont l'origine est au point le pins élevé.

La longueur du pendule simple qui bat les secondes , est au double de la hantenr dont la pesanteur fait tomber les corps dans la première seconde de leur chnte, comme le carré du diamètre est au carré de la circonférence. Celte longueur pouvant être mesurée avec une grande précision; on aura , au mo^en de ce théorème, le temps de la chnte des corps, d'nne hauteur déterminée, beaucoup plus exactement que par des expériences directes. On a vu dans le premier livre , que des expériences très exactes ont donné la longueur du pendule i secondes i Paris, de o"-,74i887 ; d'où il résulte que la pesanteur y fait tomber les corps de 3"' ,66107 , dans la première seconde. Ce passage du mouvement d'oscillation, dont on peut observer avec une grande précision la durée , au mouvement rectilîgue des graves, est une remarque ingénieuse dont on est encore redevable k Huyghens.

Les durées des oscillations fort petites des pendules de longueurs différentes, et animés par la même pesanteur, sont comme les racines carrées de ces longueurs. Si tes pendules sont de même longueur, et animés de pesanteurs dilFérentes ; les durées des oscillations sont réciproques aux racines carrées des pesanteurs.

C'est au moyen de ces théorèmes, que l'on a déterminé la variation de la pesanteur , à la sur&ce de la

terrt et ai) sommet des moatagnes. Les observatious do pendule ont pareillemeat fait connaître que ta pesanteur ne dépend ni de la surface , ni de la figure des corps , mais qu'elle pénètre leurs parties les plus intimes, et qu'elle tend à leur imprimer dans le même temps, des vitesses égales. Four s'çn assurer, Newton a fait osciller un grand nombre de corps de même poids , et diiFérens soit par la figure , soit par la matière , en les plaçant dans l'intérieur d'une même surf:>ce, afin que la résistance de l'air fôt la même. Qnelque précision qu'il ait apportée dans set expériences, il n'a point remarqué de différences sensibles entre les longueurs du pendule simple à secondes , conclues des durées des oscillalîons de ces corps; d'od il suit que sans les résistances qu'ils éprouvent, lenr vitesse acquise par l'action de la pesanteur , serait la même en temps égal.

Nous avons encore dans le mouvement circulaire, l'exemple d'une force agissant d'une manière continue. Le mouvement de la matière abandonnée i elle-même , étant uniforme et rectiligœ; il est clair qu'un corps mû sur une circonférence , tend sans cesse i s'éloigner du centre , par la tangente- L'effort qu'il fait pour cela , se nomme ^rce centrijugi ; et l'on nomme ^rce centrale ou centripète , toute force dirigée vers uu centre. Dans le mouvement circulaire , la force centrale est ^ale et directement contraire i la force centrifuge : elle tend sans cesse à rapprocher le corps , du centre de la circonférence; et dans un intervalle de temps, très court, son effet est mesuré par le sinus verse du petit arc décrit.

On peut, an moyen de ce résultat, comparer à la pesanteur , la force centrifuge due au mouvement de

rotsUoD da U terre. A l'équateur, les corps décriTènt ea vertu de cette roIatioB, dau chaqae seconde de tempa, un arc de 4o">>099 de la circoiifôreBce de l'éqnateur terrestre. Le rajoo de cet éqnateor dtant 6376606"' à fort peu près; le «dus verse de cet arc est de o^'iOisSSSg. Pondant une seconde, la pesanteur fait t(«nber les corps A l'e'quateor , de 3'*-,6493o ; ainsi la fwce centrale nrfoeoaaire pour retenir les corps i b suT&ce de la terre , et par conséquent, la force centrifuge due A son mouvement de rotation est A la pesanteur i Téquatenr, dans le rapport de l'unité A aB8,4' Laforoc ccntriiîige diminue la pesanteur, et las corps ne tombent A l'ëqnateur , qu'en vertu de la différence de ces denx forces ; en nommant donc gravité , la pesanteur entière qui aurait lieu sans U diminution qu'elle éprouve I la force centrifuge A l'équateor est A fort peu pris jH de la gravité. Si la rotation de la terre Âait dix-sept fois plus rapide \ l'aro décrit dans une seconde A l'éqnateur, serait dix-sept Ibis plus grand, et son sinus verae serait 289 fois plna considérable; la force oentrifags serait donc alors égale A la gravitd, «t les corps cesseraient de peser sur U terre A l'équatenr.

En général, IWpressioo d'une force accélératrice constante, qui agit toujours dans le même s»s, eHL égale an doiûile de l'espace qu'elle fait décrire, divisé par le carré du temps : toute force acoéMratrîce , dans un intervalle de tempa, très court , peut Atre supposée constante et agir suivant la même direction ; d'ailleurs, l'espace que la fbroe centrale fait décrire dans le mouvement eijrontalre , est le sinus verse dn petit arc décrit, «t ce sinna est i tris peu près égal an oavré de l'arc , divlaé par le diamètre ; l'expreesion de cette force eat donc le carré de l'arc décrit , divisé par W cavré du

lOO KAFU5111Un

temps et par le rayon du cercle. L'arc divise par le temps, est la vitesse même du corps ; la force centrale et la force centrifuge , sont donc égales au carré de la vitesse, divisé par le rayon.

Kapprochons ce résultat', de celui que nous avons trouvé précédemment , et suivant lequel la pesanteur est égale au carré de la vitesse acquise, divisé par le double de l'espace parcouru suivant la verticale ; nous verrons que la force centrifuge est égale k la pesanteur, si la vitesse du corps qui circule , est la mâme que celle acquise par un corps pesant qui tomberait d'une hauteur égale i la moitié do rayon de la circonférence décrite.

Les vitesses de plusieurs corps mus circnlairement , sont égales aux circonférences qu'elles décrivent, di- , visées par les temps de leurs révolations : les circonférences sont comme les rayons ; ainsi , les carrés des vitesses sont comme les carrés des rayons , divisés par les carrés de ces temps. Les forces centrifuges sont donc entre elles comme les rayons des circonférences, divisés par les carrés des temps des révolutions. Il suit de U , que sur divers parallèles terrestres , la fcn-ce centrifuge due au mouvement de rotation de' la terre , est propwtionnelle aux rayons de ces parallèles.

Ces beaux théorèmes, découverts par Hnyghens , ont conduit Newton i la théorie générale du mouvement dans les courbes , et à la loi de la pesanteur universelle.

Un corps qui décrit une courbe ^elconque, tend à s'en écarter par la tangente ; or on pent toujours imaginer un cercle qui passe par deox éléœns'contigus de la courbe, et que l'on nomme cercle osculatew} dans deux instans consécutifs , le corps est mft sur la circon-

DU SYSTÈME Dtl MONDE aoi

ference de ce cercle, a» force centrifuge est dooc e'gslc an curé de sa vitesse , divise par le rayon du cercle osculatenr ; mais la position et la grandeur de ce cercle , varient sans cesse.

Si la courbe est décrite en vertu d'une force dirigée vers un point fixe ; on peut décomposer cette force en deux , l'une suivant le rayon oscnlateur, l'autre suivant lele'ment de la courbe. La première fait équilibre à la force centrifuge : la seconde augmente ou diminue la vitesse du corps ; cette vitesse est donc continuellement variable. Mais elle est toujours telle, que i» aù-cs décrites-par le rayon vecteur, autour de l'origine de tajbrce, sont proportionnelles aux ten^s. Eéciproquement , si les aires tracées par le rayon vecteur autour dun point fixe , croissent comme les temps; Ut farta <fui les fait décrire , est constamment dirigée vers ce point. Ces propositions fondamentales dans la théorie du système du monde , se démontrent aisément de cette manière.

La force accélératrice peut être supposée n'agir qu'au conunencement de chaque instant pendant lequel le mouvement du corps est uniforme ; le rayon vecteur trace alors un petit triangle. Si la force cessait d'agir dans l'instant suivant , le rayon vecteur tracerait dans ce nouvel instant, un nouveau triangle égal au premier ; puisque ces deux triangles ayant leur sommet an point fixe origine de la force, leurs bases situées sur une même droite seraient égales , comme étant décrites avec la même vitesse , pendant des inatans qncr nous supposons égaux. Mais an commencement du nouvel instant , la force accélératrice se combine arec la force tangentîelle du corps , et fait décrire la diagonale du parallélogramme dont les cdtés représentent ces forces. Le triangle que le rayon vecteur décrit en vertu de

ao3 EXPOSITION

cette force combinée, est e'gal à celui qu'il eût cUcrît «an^ l'action de la force accélératrice; car ces deax triangles ont poar base oonunune , le rayon vectanr de la fin du premier instant , et leurs sommets sont sur une droite parallèle k cette base ; l'aire tracée par le rayon vecteur est donc égale , dans deux înstans consécutifs égaux; et par conséquent le secteur décrit par ce rayon, croît ctuume le nombre de ces iT»«f*^f , ou ooume les temps. Il est visible que cela n'a lieu qu'autant qne la force accélératrice est dirigée vers le point fixe ; autrement, les triangles qne nous venons de considérer, n'auraient pas même hauteur. Ainsi , la proportionnalité des aires aux temps , démontre que la farce accélératrice est dirigée constamment vers Vorigioe du rayon vecteur.

Dans ce cas, si l'on imagine un tris petit sectenr décrit pendant un intervalle de temps, fort court; que de la première extrémité de l'ara de ce sMteur , on mène une tangente à ta courbe, et que l'on prolonge josqu'A cette tangente, le ra^n mené de l'origine de la force , à l'autre extrémité de l'arc ; la partie de ce rayon , interceptée entre U courbe et la tangente , sera visiblement l'espace que U force centrale a fait décrire. En divisant le double de cet espace , par le carré du temps, on aura l'expression de la force; or le secteur est proportionnel an temps ; la force centrale est donc com^ la partie du rayon vecteur , interceptée entre la courbe et U tangente, divisée* par le carré du secteur. A la rigueur, la force centrale dans les divers points de la . courbe , n'est pas proportionnelle 1 ces qnotiens ; mais elle approche d'autant plus de l'être , qne les secteurs sont pins petits , en sorte qu'elle est exactement prc^HWtionnielle i la limite de ces quotiens. L'analyse différeo-

DU SYSTÈME DU MONDE. ao3

ttelle donne cette limite, ea fooctioa du rayon vecteur , loreqne la nature de la courbe est conaae; et alors on a la ftHiotion de la distance, A laquelle la force. centrale est proportionnelle.

Si la loi de la force est donorfe , la recherclie de la courbe qu'elle fait tleCTire, plante plus de difficulté. Hais quelles que soient les forces dont le corps toujours supposé libre est animé, on déterminera facilement de la manière suiTante, les équations difiérentielles de son mouvement. Iraa|;inons trois axes fixes perpendiculaires entre eux; la position do corps A un instant quelconque , sera déterminée par trois coordonnées parallèles à ces axet. En décomposant chacune des forces qui agissent sur le point, en trois autres dirigées parallèlement aux mêmes axes; le produit de la résultante de toutes les forces parallèles A l'une des coordonnées , par l'élément du temps pendant lequel elle agit , exprimera l'accroissement de la vitesse du corps , parallèlement A cette coordonnée ; or cette vitesse peut ^tre supposée égale A l'élément de la coordonnée , divisé par {l'élément du temps; la différentielle du quotient de cette division, est donc égale au produit précédent- La considération des deux autres coordonnées fournit deux égalités semblables ; ainsi la détermination du mouvement du corps devient une recbercbe de pure analyse, qui se réduit A l'intégration de ces équations différentielles.

En général , l'élément du temps étant supposé constant , la différence seconde de cbaque coordonnée , divisée par le carré de cet élément, représente une force qui, appliquée en, sens contraire au point, ferait équilibre A la force qui le sollicite suivant cette coordonnée. En multipliant la différeace^de ces forces, par

3o4 EXPOSITION

la variation arbitraire de la coordonnée , et ajoutant les trois produits semblables relatifs aux trob coordonnées; leur somme sera nulle par la condition de l'équilibre. Si le point est libre, les rariatioos des trois coordonnées seront toutes arbitraires, et en égalant à zéro, le coefficient de chacune d'elles, on aura les trois équations différentielles du mouvement du point. Mais si le point n'est pas libre , on aura entre les trois coordonnées , une ou deux relations qui donneront un pareil nombre d'équations entre leurs variations arbitraires. En éliminant donc à leur moyen , autant de ces variations, OR égalera les coefficiens des variations, restantes , à zéro ; et l'on aura les équations différentielles du mouvement , équations qui , combiuées avec les relations des coordonnées détermineront pour un instant quelconque , la position du point.

L'intégration de ces équations est facile, quand la force est dirigée vers un centre fixe , mais souvent , la nature des forces la rend impossible. Cependant, la considération des équations dilTérentîelles , conduit à quelques principes intéressans de mécanique , tels que le suivant. La différentielle du.carré de la vitesse d'un point soumis à l'action de forces accélératrices , est égale au double de la somme des produits de chaque force . par le petit espace dont le point s'avance suivant la direction de cette force. Il est aisé d'en Gonclui;e que la vitesse acquise par un corps pesant, le long d?une ligne ou d'une surface courbe, est la m£me qne s'il tombait verticalement de la même hauteur.

Plusieurs philosophes , frappés de l'ordre qui règne dans la nature , et de la fécondité de ses moyens dans la production des phénomènes , ont pensé qu'elle parvient toujours à son but par tes voies les plus simples. En

DH SYSTÈME DU MONDE. ao5

ëlencbitt cette manière de voir , à la mécfttiique ; "^ ont cherclté l'e'coDomie que la natnre avait eae ponr objet, dans l'emploi des forces et An temps. PtoWme'e avait reconnu que la lumière réâëchie parvient d'un point à un autre , par le chemin le plus court , et par coHséqueot, dans le moins de temps possible, en supposant la vitesse dn rayon lumineux , toujours la m£me. Fermât, l'un des plus beaux génies dont la France sto* nore , généralisa ce principe , en l'étendant i la réfrac- Uon de la lumière. Il supposa donc qu'elle parvient d'un point pris au dehors d'un milieu diaphane , i un point intérieur , dans le temps le plus court, regardant ensuite comme très vraisemblable, que sa vitesse devait £tre plus petite dans ce milieu , que dans le vide; il chercha dans ces hypothèses, la loi de la réfraction de la lumière. En appliquant à ce problème , sa belle méthode de laaximis et de minimis, que l'on doit considérer comme le véritable germe du calcul différentiel ; il trouva conformément à l'expérience , que les sinus d'incidence et de réfraction , devaient £tre dans un rapport constant , plus grand que l'unité. La manière heureuse dont Newton a déduit ce rapport , de l'attraction des milieux , fit voir & Manpertuis , que la vitesse de la lumière augmente dans les milieux diaphanes ^ et qu'ainsi ce n'est point, comme Fermât le prétendait, la somme des quotiens des espaces décrits dans le vide et dans le milieu , et divisés par les vitesses correspondantes , mats la somme des produits de ces quantités, qui doit être un minimum. Euler étendit cette supposition , aux mouvcmens variables à chaque instant ; et il prouva, par divers exemples, que parmi toutes les courbes tfu^un corps peut décrire en altant d'un point à un autre, il choisit toujours celle dans laquelle fintcgraie du

profit de sa motte par sa vitesse et par félément de la eotirhe -, est un tninâman. Ainii la vîtease d'un pcnnt mû dam une surface courbe et g[DÎ n'est sollicité par aucune force , Aact constante ; ilparrîent d'un point à nn antre , par la ligne la plus courte sur cette surface. On a nommé l'intégrale précédente, aetioH dun corps; et la réunion des intégrales semblables , relatives à chaque corps d'un système, a été nommée action du système. Ealer établit donc que cette action est toujours un minimum , en sorte qne l'économie de la uatore consiste à l'épargner : c'est 1& ce qui constitue le pnntipe de la moindre action, dont on doit regarder Enler, comme le véritable inventeur, et qne Lagrange ensuite, a dérivé des tais primordiales du mouvement. Ce principe n'est au fond, qu'un résultat curieux de ces lois qiii, comme on l'a vu, sont les plus naturelles et les pins simples que l'on puisse imaginer, et qui par U, semblent découler de l'essence même de la matière. Il convient & toutes lés relations mathématiquement possibles entre la force et la vitesse , pourvu qne l'on substïtae dans ce principe , an lien de la vitesse , la fonction de U vitesse, par laquelle la force est exprimée. Le principe de la moindre action ne doit donc point £tre érigé en cause finale ; et loin d'avoir donné naissance aux lois du mouvement , il n'a pas même contribué k leur découverte sans laquelle on disputerait encore sur ce qu'il faut entendre par la moindre action de la nature.