IX EXPOSITION
<:or{)s, on fait abstraction du nombre et de la fignre des pores dont ils sont parsemas. On pent avoir ^gard à la différence de lenrs densités respectives , en les snpposant formés de points matériels pins ou moins denses , parfaitement libres dans les fluides, unis entre eoxpar des droites sans masse , inflexibles dans les corps durs , flexibles et extensibles dans les corps élastitpies et mous. Il est clair que dans ces suppositions , les corps offriraient les apparences qu'ils nous présentent.
Les conditions de l'e'qnilibre d'un système de corps, peuvent toujours Mre déterminées par la loi de la composition des forces , exposée dans le premier chapitre de ce livre. Car on peut concevoir la^Jbrce dont chaque point matériel est animé , appliquée an point de sa direction, oà v<Hit concourir les forces qui la détroîsent, ou qui, en se composant avec elle, forment use résultante qni, dans le cas de l'équilible, est anéantie par les points fixes du système. Considérons , par exempie , deux points matériels attachés aux extrémités d'an levier inflexible; et supposons ces points scdlicités par des forces dont les directions soient dbns un plan pas* sant par le levier. En concevant ces forces réunies an point de concours de lenrs directions, leur résultante doit, pour l'équilibre, pa«ier par le point d'appui qni peut seul la détruire ; et suivant la loi de la composition des forces, les deux composantes doivent être alors ré> ciproques aux perpendiculaires menées du point d'appui , sm' leurs directions.
Si l'on imagine deux corps pesana attachés aux extrémités d'un levier inflexible , dont la masse soit supposée infiniment petite par rapport à celle des corps , on pourra concevoir les directions parallèles de la pesanteur, i-énnies a une distance infinie: dans ce cas,
les forces dont chaqae corpa pesant est anime , ou , ce qoi revient aa mâme , leurs poids doivent poar l'ëquilibre, être réciproques aux perpendiculaires ntenëes du point d'appui , sur les directions de ces forces : ces perpendiculaires sOQt proportionnelles aux bras du le ■ vier; ainsi les poids de deox corps en équililwv sont réciproques aux bras do levier auquel ils sont attaches.
Un très petit poids peut donc, au moyen du levier et des macbines. qoi s'y rapportent, faire ëquiUbre i un poids très considérable , et l'on peut de cette manière, soulever un énorme fardeau, avec un léger effort; mais îl faut pour cela , que le bras du levier auquel la puissance est attachée , soit fort long par rapport k celui qui soulève le fardeau , et que la puissance parcoure nn grand espace , pour élever le fardeau à une petite haateor. Alors on perd en temps , ce que l'on gagne en force, et c'est ce qui a lieu généralement daos les machines. Mais souvent on peut disposer du temps i volonté , tandis quel'on ne peut employer qu'une force limitée. Dans d'autres circonstances où il fautse procurer une grande vitesse, on peut y parvenir an moyen du levier , en appliquant la puissance au bras le plus court. Cestdans la possibilité d'augmenter suivant les besoins, la masse ou ta vitesse des corps à mouvoir , que-consiste le principal avantage des machines.
La considération du levier a fait naître l'idée des momens. On nomnw moment d'une force, pour faire tourner le système autour d'un point , le produit de cette force par la distance du point à sa direction. Ainsi , dans le cas de l'équilibre d'un levier aux extrémités duquel deux forces sont appliquées , les momens de ces forces , par rapport au point d'appui, doivent itrc
ai4 EXPOSITION
égaui et contraires , ou , ce qui rerient au. même, k
tomme des momeos doit être nulle relativemeat à ce
point.
La projection d'une force sur un pUa mené par un point fixe, multipliée par la diatance du point i cette projection , est ce que l'on nomme moment de la force pour faire tourner le système autour de l'axe qui, passant par le point fixe , est perpendiculaire an plan.
Le moment delà résultante d'un nombre quelconque de forces , par rapport à un point ou k un axe quelconque , est égal k la somme des momena semlilaltles des forces composantes.
Les forces parallèles pouvant être supposées se réunir k une distance infinie , elles sont réductibles à. une résultante égale i. leur somme et qui leur est parallèle ; en décomposant donc chaque force d*na système de corps , en deux , l'une située dans un plan , l'autre perpendiculaire  ce plan ; toutes les forces situées dans le plan , seront réductibles à une seule, ainsi que tontes les forces perpendiculaires au plan. Il existe toujours un plan passant par le point fixe, et tel que la résultante des forces qui liii sont perpendiculaires , est nulle ou passe par ce point : dans ces deux cas , le moment de cette résultante est uni relatirement aux axes qui ont ce point pour origine , et le moment des forces du sys- , tème par rapport & ces axes , se réduit au moment de la résultante située dans le plan dont il s'agit. L'axe antour duquel ce moment est un maximum , est celui qui est perpendiculaire i ce plan , et le moment des forces du système , relatif & un axe qui, passant par le point fixe , forme un angle quelconque avec l'axe du pins grand moment , est égal au plus grand moment du système , multiplié par le cosinus de cet angle ; eu sorte
DU SYSTÈME OU MONDE. ^i5
que ce moment ert duI pour totu les axes situés dans le pUn auquel I'bxq du plus grand moment est perpendiculaire.
La lotnme des carres des cosiaus des angles formes par l'axe du plus grand moment, et par trois axes quelconques perpendiculaires entre eux et passant par le point fixe , étant ^ale & l'unité ; les carrés des trois sommes de nwmens des forces, relativement à ces axes , sont égaux au carré du plus grand nioment.
Four l'équilibre d'uu système de corps liés înTariablement eutre eux et pouvant se mouvoir autour d'uu point fixe, la somme des momens des forces doit être nulle par rapport à no axe quelconque passant par ce point, n suit de ce qui précède, que cela. aura lieu généralement, si cette somme est nulle relativement à trois axes fixes perpendiculaires entre eux. S'il n'y a pas de point fixe dans le systèmie ; il faut de pliu pour l'équilibre , que les trois sommes des forces décomposées parallèlement à ces axes, soient nulles séparément.
Ginsidér'ons un système de points pesans attachés fixement ensemble , et rapportés à trois plans perpendiculaires entre eux et liés au système. En décomposant l'action de la penuteur, parallèlement aux intersections de <;ea plans ; toutes les forces parallèles au même plan, peuvent se réduire à une seule résultante parallèle à ce plan , et égale à leur somme. Les trois résultantes relatives aux trois plans doivent concourir au même point; puisque les actions de la pesanteur sur les divers ptunts du système , étant parallèles , elles ont une résultante unique que l'on obtient en composant d'abord deux de ces forces; ensuite leur résultante, avec une troisième; la résultante des trois forces avec une quatrième , et ainsi du reste. La situation de ce point de concours , par
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rapport an système, est iadépeadante de l'iaclinaison des plans sur la dïrectioa de la pesanteur; car une indînaïsoa plus ou moins grande ne fait que changer les valeors des trois résultantes partielles, sans altérer leur position relatÎTe aux plans ; en supposant donc ce point fixe; tous les efforts des poids du système seront anéantis, dans toutes les'positions qu'il pCat prendre en tournant autour de ce point que l'on a nommé par cette raison , centre dt granté du système.
Concevons la position de ce centrfe , et celle des divers points du système , déterminées par des coordonnëes parallèles k trois axes perpendiculaires entre eux. Les actions de la pesanteur étant égales et parallèles, et la résultante de ces actions sur le système, passant dans toutes ses positions, par son centré de gravité; si l'on suppose cette résultante successivement parallèle & chacun des trois axes, l'égalité du moment de la résultante, jk la somme desmbmens des composantes, donne l'une quelconque des coordonnées de ce centre , mnltipltée par la masse entière du système , égale à la somme des produits de la masse de chaque point, par sa coordonnée correspondante. Ainsi la détermination du centre de gravité, dont la pesanteur a fait nattre l'idée , en est indépendante. La considération de ce centre, étendue à un système de corps pesans et nonpesans , libres ou liés entre eux d'une manière quelconque , est très utile dans la mécanique.
En généralisant le théorème que nous avons donné à la fin du premier chapitre , sur l'équilibre d'un point; on est conduit au théorème suivant qui renferme de la manière U pins générale , les conditions de l'équilibre d'un système de points matériels animés par des forces quelconques.
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Si l'on change infiniment peu' la position du système , d'une manière compatible arec la liaison de ses parties , chaque point matériel l'avancera dans la direction de la fiirce qai le sollicite , d'une quantité égale à la partie de cette direction, comprise entre la première position du point, et la perpendiculaire abaissée de là «econde position du point, sur cette direction. Cela posé : tloiu fétat ttétfoUibre , la somme des produits ék dui^ue forée par Ut ^utattiti dont le point auquel elle est i^^Ii^uée , t^avance dans sa direction, est nulle; et reaproquement, si cette somme est nulle, quelle fue soit la variation du système, il est en équilibre. C'est en cela que consiste le principe des TÏteases virtuelles , principe dont on est i^edevable k Jean BemouiUi. Maïs pour en fitire usage, il faut observer de prendre négativement, les produits tpie nous venons d'indiquer , rdatifs aux points qui, dans le'changementde position du ^stème, s'avmcent en sens contraire de la direction de leurs forces : il &nt se rappeler encore , que la force est le produit de la masse d'un point matériel , par la vitesse qu'elle lui ferait prendre , s'il était libre.
En concevant la position de chaque point du système, déterminée par trois coordonnées rectangles; la soniDM des produite de chaque force , par la quantité dont le point qu'elle sollicite , s'avance dans sa direction , lorsqu'on fait varier infiaiment peu le système , sera exprimée par une fonction linéaire des variation» des coordonnées de ses différens points : ces variations ont entre elles , des rapports résultans de la liaison des parties du système; en réduisant donc au moyen de ces rapports , les variations arbitraires an plus petit nombre possible, dans la somme précédente qui doit être nulle pour l'équilibre; il faudra pour qu'il ait lieu
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dans tons lâs wni , égaler iépaximtai i tévo , le coefficient de chacune des variatioiu restantes , ce qaî donnera autant d'équations cpi'il y aura de ces variations arbitraires. Ces équations réoiùes à celles que donne la liaison des parties do système, renfermeront toutes les conditions de son équilibre.
U existe deux états d'équilibre , très dîstiacts. Dana l'on , si l'on trouble on peu l'équilibre , tons les corps du système ne font que de petites oscillations aatoor de leur position primitiTe ; et alors , l'équilibre est Jèrme on stable. Cette stabilité est absolue , si elle a lieu quelles que soient les oscillations éa système ' : elle n'est que relative , si elle n'a lien que pai' rapport aux oscIltatioDs d'une certaine espèce. Dans l'autre état d'équilibre, les corps s'éloignent de plus en plus de leur position primitive, lorsqu'on les en écarte. On aura une juste idée de ces deux états, en considérant une ellipse placée verticalement sur un plan horizontal. Si l'ellipse est en équilibre sur son petit axe , il est clair qu'en l'écartant un peu de cette situation, par un petit mouvement sur elle-même , elle tend A y revenir en faisant des oscillations que les firotteœens et la résistance de l'air auront bientôt anéanties. Mais si l'ellipse est en équilibre sur son grand axe ; une fois écartée de cette situation, elle tend à s'en éloigner davantage , et finit par se renverser sur son petit axe. La stabilité de l'équilibre dépend donc de U nature des petites oscillations que le système troublé d'une manière quelconque , fait autour de cet état. Pour déterminer généralement de quelle manière les divers états d'équilibre stable ou non stable se succèdent, considérons une courbe rentrante placée verticalement dans une situation d'équilibre stable. Dérangée un peu de
cet^tat, elle tend A y rerenir : cette tendance varie à mesure Ç[ue l'^cartement augmente , et lorsqu'elle devient nuUe , b coorbe se retrouve dans une situation nouvelle dMqailibre , mais qui n'est point stable , puisque la courbe avant d'y arriver , tendait encore vers son premier ëtat. Au-delà de cette dernière situation, la tendance vers le premier état et par conséquent vers le second, devient négative jusqu'à ce qu'elle redevienne encore nulle ; et alors , la courbe est dans une situation d'équilibre stable. En continnant ainsi , on voit qne les états d'équilibre stable et non stable , se succèdent alternativement , comme lea Muuima et les miaùaa des ordonnées dans les courbes. 11 erà lacile d'étendre le mime raisonnement , aux divers états d'équilibre d'un système de corps.
