CHAPITRE V

Du mouvement d'un système de corps.

Vjohsidjëhoks d'abord l'action de deux points mat^ela de masses différentes , et q[ui , raûs sur nne même droite, viennent k se rencontrer. On peut concevoir immédiatement avant le choc , leurs mouvemeDs décomposés de manière qu'ils aient unevitesse conminne, et deux vitesses contraires telles qu'en vertu d'elles seules , ils se feraient mutuellement équilibre. La vitesse commune aux deux points n'est pas altérée par leur action mutuelle; cette vitesse doit donc subsister après le choc. Pour la déterminer nous observerons que la quantité de mouvement des deux poids en vertu de cette commune vitesse , plus la somme des quantités de mouvement dues aux vitesses détruites , représente la somme des quantités de mouvement avant le choc , pourvu que l'on prenne avec des signes contraires, les quantités de mouvement dues aux vitesses contraires; mais par la condition de l'e'quilibre , la somme des quantités de mouvement dues aux vitesses détruites , est nulle ; la quantité de mouvement due i la vitesse commune , est donc égale à celle qni existait primitivement dans les deux points; par conséquent , cette vitesse est égale i ta somme des .quantités de mouvement , divisée par la somme des masses.

Le cboc de deux points matériels est purement idéal; mais il est facile d'y ramener celui de deux corps quelconques , en observant , que si ces corps se choquent

DU SYSTÈME DU MONDE. as?

uûrant une droite pauant par leurs centres de gravité, et perpendiculaire k leur surface de contact , ils agiseent l'on sur l'autre , comme si leurs masses étaient rëaniesà ces centres; le mouvement se commnaique donc alors entre eux, Comme entre deux pointa matâ^iels dont les masses seraient respectivement ëgales à ces corps.

La dânonstration précédente suppose qu'après le oboc, les deux corps doivent avoir la même vitesse. On conçoit que cela doit être pour les corps mous dans lesquels la communication du mouvement a lieu successivement et par nuances insensibles; car il est visï- ^ ble que dès l'instant od le corps choqué a la m£me vitesse que le corps choquant , toute action cesse entre eux. Mai* entre deux corps d'une dureté absolue, le choc est instantané , et il ne parait pas nécessaire qu'après , leur vitesse soit la même : leur impénétrabilité mutuelle exige seulement que la vitesse da corps choquant soit la plus petite; d'ailleurs elle est indéterminée. Cette indétermination prouve l'absurdité de l'hypothèse d'une diireté absolue. En effet, dans la nature , les corps les plus durs, s'ils ne sont pas élastiques , ont une mollesse imperceptible, qui rend leur action mutuelle , rocceseive , quoique sa durée soit insensible.

Quand les corps sont parfaitement élastiques , il faut pour avoir leur vitesse après le choc , ajouter on retrancher de U vitesse commune qu'ils prendraieut s'ils étaient sans ressort ; la vitesse qu'ils acquerraient ou qu'il perdraient dans cette hypothèse ; car l'élasticité parfaite double ces elTets, par le rétablissement des ressorts que le choc comprime ; on aura donc la vitesse de chaque corps après le choc , en retranchanl

n8 EXPOSITION

sa vitesse avant te choc , du- double de celle ' vitesse

conunune.

OeU il est aise de conclure que la somme des produits de ■ chaque masse par le carré de sa vitesse , est la mâme avant et après le choc des deux cor^s ; ce qui a lieu gênerai émeut dansle choc d'un nombre quelconque de corps parfaitement astiques , de quelque manière qu'ils agissent les ans sur tes autres.

Telles sont'les lois de la communication du mouvement , lois- que l'expérience confirme , et qui dérivent mathëmatiquement des deux lois fondamentales du mouvement , que nous avons exposées dans le second chapitre de ce livre. Plusieurs philosophes ont essayé de les déterminer par la considëration des causes finales. Descartea , persuadé que la qnantitë de mouvement devait se conserver toujours la même dans l'nnîvei-s , sans e'gard k sa direction , a déduit de cette fausse hypothèse , de fausses lois de la communication du mouvement , qui sont un' exemple remarquable des erreurs auxquelles on s'expose en cherchant à deviner les lois de -la nature , par les vues qu'on lui suppose.

Lorsqu'un corps reçoit une împtilsîou suivant une direction qui passe par son centre de gravité , toutes ses parties se meuvent arec une égale vitesse. Si cette direction passe A côte' de ce point , les diverses parties du corps ont des vitesses inégales, et de cette inégalité, résulte un mouvement de rotation du corps autour de sou centre de gravité , en mime temps que ce centre est transporté avec la vitesse qu'il aurait prise, si la direction de l'impulsion edt passé par ce point. Ce cas est celui delà terre et des- planètes. Ainsi pont expliquer le double mouvement de rotation et de translation de la terre , il suffit de supposer qu'elle a reçu primi-

tivement une impalsion dont la direction a paasë à une petite diatanœ de bod centre de gravite , distance qui dans l'hypothèse de l'homogénéité de cette planète , est & peu près la cent soixastième partie de son - rayon. Il est infinîment peu probable que la projection primitive des planètes , des satellites et -des comètes , a passé exactement par leurs centres de gravité; tous ces corps doivent donc tourner sur eux-mêmes. Par une raison semblable -, le ' soleil qni tourne sur luim£me , doit avoir reçu .nne impulsion qui , n'ayant point passé par son centre de gravité , le transporte dans l'espace , avec )e système planétaire , à moins qu'une impulsiob dans nn sens contraire , n'ait anéanti ce mouvement, ce qni n'est pas vraisemblable.

L'impulsion donnée k iine sphère homogène, suivant tt&e direction qui ne passe point par son centre , la fait tourner constamment autour du diamètre perpendiculaire au plan mené par son centre et par la direction de laforce imprimée. De nouvelles forces qui sollicitent tous ses points, et dontja résultante passe par son centre , n'altèrent point le parallélisme de son axe de rotation. C'est ainsi que l'axe de la terre reste toujours i très peu près parallèle à lui-même , dans sa révolution autour da soleil ; sans qu'il soit nécessaire de supposer avec Copernic , un mouvement annuel des pâles de la terre autour de cenx de l'écliptique.

Si le corps a nne figure quelconque, son axe de rotation peut varier à chaque instant : (a recherche de ces variations, quelles que soient les forces qui agissent sur le corps , est le problème le plus intéressant de la mécanique des corps durs , par set rapports avec la précesston des équinoxes et avec la libration de la lotie. En le résolvant , on a été conduit à ce résutlat

a3o EXPOSITIOW

curieux et très utile, savoir que dans tout corps, il existe trots axes perpeadicnlaires estre eux , passant par son centre de gravittf , et autour desquels il peut tourner d'une manière uniforme et invariable , quand il ti'eat point sollicita pardes forces étrangères. Ces axes ont ét^ pour cela , nommés axes prindpaax de rotation. Ils ont cette proprîëtë que la somme des produits de chaque molécule du corps par le carré de sa distance i l'axe , est on maximam par rapport & deux de ces dxes , et nn mnâman par rapport au troisième. Si l'on conçoit le corps tournant autour d'un axe fort peu incliné i l'un on k l'autre des deux premiers , l'axe instantané de xotatîon du corps s'en écartera toujours d'une quantité très petite ; ainsi la rotation est stable relativement i ces deux premiers axes : elle ne l'est pas relatÏTenient an troisième; et pour peu que l'axe instantané de rotation s'en écarte , il fera autour de lui , de grandes oscillations.

Un corps ou un système de corps pesans , de figure qnelconqne , oscillant antonor d^a axe fixe et horizontal , forme un pendule composé. H n'en existe point d'autres dans la nature , et les pendules simples dont nous avons parlé ci-dessus , ne sont que de purs concepts géométriques propres à simplifier les objets. 11 est facile d'y rapporter les pendules composés dont tous les points sont ^tachés fixement ensentble. Si l'on multiplie la longueur du pendule simple dont les oscillations sont de même durée qne celles du pendule composé , par la masse de ce dernier pendule , et par la distance de son centre de gravité à l'axe, d'oscillation ; le produit sera égal à la somme des produits de chaque molécule du pendule composé, par le carré de sa distance an même axe. C'est au moyen de cette

DU SYSTÈME DD MONDE. a3i

règle trouvée par Haygens , que les exp^rieaces sur les pendules composes ont fait connaître la longueur du pendule simple qui bat les secondes.

Iniaginoiu un pendule faisant de très petites oscillations dans un même plan , et supposons qu'an moment oA il est le plus ëloignë de la vertic^, oo lui imprime une petite force perpendiculaire au plan de son mouvement ; il décrira nue ellipse autour de la verticale. Pour Se repr^nter ton mouvement, on peut concevoir uu peudnle fictif qui continue d'osciller comme t'eût fait le pendule réel , sans la nouvelle force qui lui a ét4 imprimée , tandis que ce pendule réel oscille en vertu de cette force , de chaque oôtrf du pendule idéal, comme si ce pendule ficUf était immobile et vertical. Ainsi le mouvement du pendale réel est le résultat de deux odcUlatious simples , Coexistantes et perpendiculaires l'une à l'autre.

Cette manière d'envisager les petites oscillations des corps , peut £tre étendue à un s^tème quelconque. S> Von suppose le ^stème dérangé de son Âat d'équilibre par de très petites impulsions, et qu'ensuite on vienne i lui en donner de nouvelles ; il oscillera par rapport aux états successifs qu'il aurait pris en vertu des premières impulsions, de la même manière qu'il oscillerait par rapport i son état d'équilibre, si les nouvelles impulsions Inï étaient seules imprimées dans cet état. Les oscillations très petites d'un système de corps , quelque composées qu'elles soient, peuvent donc être considérées comme étant formées d'oscillations simples , parfaitement semblables k celles du pendule. En eiTet, ai l'on conçoit le système primitivement en repos et trèa peu dérangé de son état d'équilibre , en sorte que la force qui sollicite cbaque corps, tende A le ramener au

poiat «jo'U occuperait daiu. cet état, et de pins., .toit propottionaelle k la distance du corps & ce pdiot ; il est clair que cela aura lieu pendant l'oscillation du système, et qu'à chaque instant, les vitesses des diffîrens corps seront proportionnelles i leurs distances i la position d'équilibre ; ils arriveront donc, tons au même isstant, i cette position, et ils oscilleront de la même manière. qu'uD pendule simple. Mais l'ëtat de dérangement que nous venons de supposer an système , n'est pas unique. Si l'on éloigne nu des corps , de sa position d'équilibre , et que l'on cherche les situations des autres corps, qui satisfont aux conditions précédentes ; on parvient i ane équation d'un degré égal au nombre des corps du système, mobiles entre eux; ce qui donne pour chaqae corps , antant d'espèces d'oscillations simples , qu'il y a de corps. Concevons au système , la pre mière espèce d'oscillations ; et à un instant quelconque, éloignons par la pensée , tons les corps de leur position , pr.oportionnellement aus quantités relatives à la seconde espace d'oscillations. £n vertu de la coexistence des oscillations, le système oscillera par rapport aux états successifs qu'il aurait eus par la première espèce d'oscillations, comme il aurait oscillé par la seconde espèce seule, autour de son état d'équilibre; son mouvement sera donc formé des deax premières espèces d'oscillations. On peut semblablement combiner avec ce mouvement, latroisième espèce d'oscillations, et en continuant ainsi de combiner toutes ces espèces, de la manière la plus générale; on peut composer par la synthèse , tous les mouvemeni possibles du système , pourvu qa'ib soient très petits. Réciproquement, on peut, par l'analyse, décomposer les mouvemens , en oscillations simples. De là résulte un moyen facile de rc-

e la stabilité absolue de IMquilibre d'un •3r8time de corps. Si dans tonf es les positions ■ relatives à cha- ,qiie espèce d'oscillations , les forces tendent À rameneiles corps à l'ëtat d'équilibre , cet ëtat sera stable : il ne le sera pas , ou il n'aura qn'une stabilité relative , si dans quelqu'une de ces positions , les forces tendent 1 en âoîgner les corps.

n est visible que cette manière d'envisager les mouvemens très pe^s d'un système de corps , peut s'étendre aux fluides eux-m£mes dont les oscillations sont le résultat d'oscillations simples, existaates k la fois, et souvent en nombre infini.

Ou a un exemple sensible de la coexistence des oscillations très petites, dans les ondes. Quand on agite légèrement nu point ^e la surface d'une eau stagnante, on voitdes ondes circulaires se former et s'étendre autour de lui. En agitant la sorfkce dans un autre point , de nouvelles ondes se forment et se mêlent aux premières : elles se supà^KMent i la surface agitée parles.premières ondes, comme elles se seraient disposées sur cette surface, sielleeût été tranquille; en sorte qu'on les distingue parfaitement dans leur mélange. Ce que l'œil aperçoit relativement aux ondes, l'oreille le sent par rap- - |iort aux sons ou aux vibrations de l'air, qui se propagent simultanément sans s'altérer, et font des impressions très-distinctes.

Le principe de la coexistence des oscillations sim- <ples , que l'on doit A Daniel Beruonillî , est un de ces résultats généraux qui plaisent à l'imagination , par la facilité qu'ils loi donnent, de se représenter les phénomènes et leurs changemens successifs. On le déduit aisément de la tbéoi-ie analytique des petites oscillations d'un système de corps. Ces oscillations de'pendent

d'équatîOns diOërentiellea Unëaîres, dont les inWgrales complètes sont U lomme des iat^ales particulières. Ainsi les oscillations simples se superposent les autn aux autres , pour former le mouvement du système ; comme, les inte'grales particulières qui les expriment , s'ajoutent ensemble pour former les intégrales compUtes. Il est intéressant de suivre ainsi dans les phénomènes de la nature , les vëritës inteilectaelles de l'anal jse. Cette correspondance dont le système du monde oi&ira de nombreux exemples, fait l'un des plus grands charmes attachés aux spéculations mathématiques.

Il est naturel de ramener i un principe général, les lois du mouvement des corps; comme on a renfermé dans le seul principe des vitesses virtuelles, les Ims de leur équilibre. Pour y parTeoir , considérons le mouvement d'un système de corps agissant les nus sur les autres, sans être Bollicilés par des forces accélératrice». Leurs vitesses changent! chaque instant ; -mais on psnt concevoir chacune de- ces vitesses dans un instant quelconque , comme étant composée de celle qui a lieu dans l'instant suivant) et d'une antre vitesse qui doit £tre détruite an commencement de ce second instant. Si cette vitesse détruite était connue, il serait facile par la loi de la décomposition desforces , d'en conclure la vitesse des corps au second instant; or il est clair que si les corps n'étaient animés que des vitesses détruites, ils se feraient mutuellement équilibre , ainsi les lois de l'équilibre donneront les rapports des vitesses perdues, et il sera aisé d'en conclure les vitesses restantes et leurs directions; on aura donc par l'analyse infinitésimale, les variations successives du mouvement du système et sa position à tons les instans.

Il est clair que si les corps soni animés de forces ac-

DU SYSTÈME DO MONDE. i35

céléntricet, on pourra ttmjours employer la même decomposition de vitesses; mais alors, IMqaitîbre doit avoir lieu entre les rîtesses de'tmîtes et ces forces.

Cette manière de ramener les lois dn mouvement i celles de l'équilibre, doat on est principalement redevable A d'Alembert, est générale et très lumineuse. On aurait lieu d'être sntpris qu'elle ait échappa aux gëomètres qui s'étaient occupes avant lui, de dynamique, si l'on ne savait pas qtte les idées les plus simples sont presque toujours celles qui s'offrent les dernières A l'esprit humain.

Il restait ebcore à unir le principe que nons venons d'exposer , A celui des vitesses virtuelles , pour donner à la mécanique, toute la perfection dont elle paraît susceptible. C'est ce que Lagrangea fait, et par ce moyen, il « réduit la recherche du monvement d'un système quelconque de corps , à l'intégration des équations différentielles. Alors, l'objet de la mécanique est rempli , et c'est A l'analjrse pure A achever la solution des problèmes. Voici la mamière la plus simple de former les équations différeatie&es du monvement d'un système quelconque.

Si l'on imagine trois axes fixes perpendiculaires entre eux , et qu'A an instant quelconque , ou décompose la vitesse de chaque point matériel d'un système de corps , en trois autres parallèles à ces axes , on pourra considérer chaque vitesse partielle , comme étant uniforme pendant cet instant ; on pourra ensuite concevoir A la fin de l'instant , le point animé parallèlement à l'un de ces axes, de trois vitesses , savoir, de sa vitesse dans cet instant, de la petite variation qu'elle reçoit dans Hnstaut suivant , et de cette même variation appliquée en sens contraire. Les deux premières de ces vitesses sub-

sistent dans l'instant suivant; U tcoisiëme doit donc être dAraite parles forces qui solltciteat le point, et par l'action des autres points du système, Ainsi en concevant les variations instantanées des vitesses partielles de cbaqae point du système , appliquées & ce point en sens contraire ; le système doit être, en équilibre en verta de tontes ces variations et des forces qui l'animent. On aura par le principe des vitesses virtuelles, les éqaations de cet équilibre ; et en les combinant avec celles de la liaison des parties do système, ou aura les équations différentielles dn mouvement de chacun de ses points.

Il est visible que l'on peut ramener de la même manière, les lois du mouvement, des fluides à celles de leur équilibre. Dans ce cas , les conditions relatives i la liaison des parties du système , se réduisent i ce que le volume d'une molécule quelconque dn fluide, reste toujours te mime , si le fluide est incompressible ; et qu'il dépende de la pression snivaot une loi donnée, û le fluide est élastique et compressible. Les équations qai expriment ces conditions et les, variations du mouvement du fluide , renferment les difi'érences partielles des coordonnées de la molécule , prises soit par rapport au ' temps, soit par rapport aux coordonnées primitives. L'intégration de ce genre d'équations oflre de grandes diiEcultéa, et l'on n'a pu y réussir encore que dans quelques cas particuliers relatifs an mouvement des fluides pesans dans des vases , à la théorie du sou , et aux oscillations de la mer et de l'atmosphère.

La considération des équations diiTérentieUes dn mouvement d'un ^stème de corps , a fait découvrir plusieurs principes de mécanique, très utiles et qui sont une extension de ceux que nous avons présentés sur le mouvement d'un point , dans le second chapitre de ce lifre.

DU SYSTÈME DU MONDE. sSy

Un point mat^Ftel se meut aniformément en ligne droite , s'il n'ëprouve pas l'action de cames étrangères. Dans un système de corpa agissant les nns sur les antres ■ans éprouver l'action de causes extérieures , le centre commun de grayitë se ment uniformément en ligne droite, et son mouvement est le même que ai tous ]es cojrps étant supposés rénnis A ce point , toutes les forces qui les animent , lui étaient immédiatement appliquées ; en sorte que la direction et la quantité de leur résultante) restent constamment les mêmes.

On a va que le rayon vecteur d'un corps sollicité par une force dirigée vers nu point fixe, décrit des aires proportionnelles aux temps. Si l'on suppose un système de corps agissant les uns sur les antres d'une manière quelconque , et sollicités par une force dirigée vers un point fixe; si de ce point on mèue à chacun d'eux, des rayons vecteurs que l'on projette sur un plan invariable passant par ce point ; la somme des produits de la masse 'de chaque corps, par l'aire quetrace la projection de son rayon vecteori'est proportionnelle an temps. C'est en cela que consiste le principe de la conservatioit des aires.

S'U n'y a pas de point fixe vers lequel le système soit attiré, et qu'il ne soit soumis qu'à l'action mutuelle de ses parties ; on pent prendre alors tel point que l'on veut, pour origine des rayons vecteurs.

Le produit de la masse d'un corps , par l'aire que décrit la projection de son rayon vecteur , pendant une unité de temps , est égal à la projection de la force entière de ce corpa, multipliée par la perpendiculaire abaîasée du point fixe, sur la direction de la force ainsi projetée : ce dernier produit est lé moment de la fwce pour faire tourner le système autour de l'axe qui pas-

MDt par le point ûxe , est perpeDdicnlairâ au pUn de projecUon ; le principe de la conserratiou des «ires revient donc à ce que la somme des momeus des forces finies pour faire tourner le système antonr d'an axe quelconque , passant par le point fixe , somme qni dans Vétat d'ëipiilil>re est nulle , est constante dans l'état de mouvement. Présenté de cette manière, ce principe convient à toutesles lois possible» entre la force et la vitesse.

On nomme force vùv d'un système', la somme des produits de la masse de chaque corps par le carre de sa vitesse. Lorsqu'un corps se meut sur ane courbe on sur une surface , sans e'prouver d'action étrangère , sa force vive est toujours la même, puisque sa vitesse est constante. Si les corps d'un système n'éprouvent d'antres actions, que leurs tractions et pressions mutuelles, soit îmmëdiatement , soit par l'entremise de verges et de fila inextensibles et sans ressort , la force vive du système est constante, dans le cas même on plusieurs de ces corps sont astreints à se mouvoir sur des lignes on sur des surfaces coorbes. Ce principe que l'on a nommé principe de la conservatio» ^s forées viyes ,^'étend A toutes les lois possibles entre la force et la vitesse ; si l'on désigne par ^n» vive d'un corps, le double de l'intégrale du produit de sa vitesse , par la différentielle de la force finie dont il est animé.

Dans le mouvement d'un corps sollicité par des forces quelconques , la variation de la force vive est égale à deux fois le produit de la masse du corps , par la somme des forces accélératrices multipliées respectivement par les quantités élémentaires dont le corpa s'avance vers leurs origines. Dans le mouvement d'un système de corps, le donble de la somme de tous ces produits, est la Tuialion de la force vive <ln système.

CaaceVQiu qae dans le mouvemeat du système , toua let corpt arrivent an même inotant , dans la positioii où il serait eu équilibre en vertu des forces «ocëUratrices qui le sollicitent : la variation de la force vive y sera nulle par le principe des vitesses virtnelles ; la force vive sera donc alors à son maximum on â aon mimmum. Si le système nMtait mû que par une setile espèce de ces oscillations simples , les corps en partant de la situation d'équilibre , tendraient A y revenir si l'équilibre est stable; leurs vitesses diminueraient donc à mesure qa'ils s'en éloigoeraieut, et par conséquent la force vive serait dans cette position , un maximum. Mais si l'équilibre n'était point stable , les corps en s'elàignant de cet état , tendraient à s'en écarter davantage , et leurs vitesses ' iraient en croissant; leur force vive serait donc alors un minimum. De U on peut conclure qae si la force vive est constamment un maximum , lorsque les corps parviennent au même instant â la position d'équilibre , quelle que soit leur^ vitesse, l'équilibre est stable, et qn'au contraire , il n'a ni stabilité absolue , ni stabilité relative , si la force vive dans cette position du système, est constamment un mimmum.

Enfin, on a TU dans le second chapitre, que la somme des intégrales du produit de cbaqne force finie du ^stème , par l'élément de sa direction , somme qui . dans l'état d'équilibre est nulle, devient un minimum dans l'état de mouvement. C'est ed cela que consiste le principe de la moindre a<^D , principe qui difilre de ceux du mouvement uniforme du centre de gravité , de la conservatioa des aires et des forces vives, en ce qae ces priocipea sont de véritables intégrales des équations difiérentielles du mouvement des corps ; au lien que celui de la mmudre action n'est qu'une