CHAPITRE II

Des perturbations du mouvement eUiptàque des

Jt les planètes n'obéissaient qu'à l'action du soleil , elles décriraient autour de lu! , des orbes elliptiques. Mais elles agissent les unes sur les autres : elles agissent également sur le soleil ; et de ces attractions diverses , il résulte dans leurs mouvemens elliptiques , des perturbations que les observations font entrevoir , et qu'il est nécessaire de déterminer , pour avoir des tables exactes des mouvemens planétap^s. La solution rigoureuse de ce problème surpasse les moyens actuels de l'analyse, et nous sommes forcés de recourir aux approximations. Heureusement , la petitesse des masses des planètes eu ^gard à celle du soleil , et le peu d'excentricité et d'inclinaison mutuelle de la plupart de leurs orbites , donnent de grandes lacilités pour cet objet. Néanmoins, il reste encore très compliqué , et l'analyse la plus délicate et la plus épineuse est indispensable , pour démêler dans le nombre infini des inégalités auxquelles les planètes sont assujetties , celles qui sont sensibles , et pour assigner leurs valeurs.

Les perturbations du mouvement elliptique des planètes, peuvent être partagées en deux classes très distinctes ; les unes aJFectent les élémens du mouvement elliptique , et croissent avec une extrême lenteur : on les a nommées inégalités séculaires. Les autres dépendent de la configuration des planètes , soit entre elles , soit à l'égard de leurs nœuds et de leurs péribélies , et

se rétablisseDt toutes les fois qne ces conCgaralioQs redeviennent les mêmes ; elles ont élé nommées inégalités périodiques , pour les dUUngner des iae'galitës séculaires qui sont e'galement' périodiques , mais dont les périodes beaucoup plus longues sont indépendantes de la configuration mutuelle des planètes.

La manière la plus simple d'envisager ces diverses perturbations , consiste i imaginer nne planète mue conformément aux lois du mouvement elliptique , sur une ellipse dont les élémens varient par des nuances insensibles ; et A concevoir en même temps que la vraie planète oscille autour de cette planète fictive , dans nu très petit orbe dont la nature dépend de ses perturbations périodiques.

Considérons d'abord les inégalités séculaires qui , en se développant avec les siècles , doivent cbanger à la longue, U forme et la position de toutes les orbes planétaires. La plus importante de ces inégalités , est celle qui peut affecter les moyens mouvemens des planètes. En comparant entre elles , les observations faites depuis le renouvellement de l'Astronomie , le mouvement de Jupiter a paru plus rapide , et celui de Saturne , plus lent, que par la comparaison de ces mêmes observations , aux observations anciennes. Les Astronomes en ont conclu que le premier de ces mouvemens s'accélère, tandis que le second se ralentit de siècle en siècle; et pour avoir égard à ces changemens , ils ont introduit dans les tables de ces planètes , deux équations sécalaires croissantes comme les carrés des temps , l'une additive au mojen mouvement de Jupiter, et l'autre soustractive de celui de Saturne. Suivant Halley , l'équation séculaire de Jupiter est de 106" pour le premier siècle, à partir de 1700 : l'équation corres-

,yG®Oglc

DU SYSTÈME DU MONDE. a6r

poDdante de Satorne est de :i56",Q^. R iftait naturel d'en chercher la canse , dans l'action mutnelle de ces planètes lesplùa considérables de notre système. Euler, qai s'en occupa le premier , trouva une équation aécnlaîre égale pour ces deux planètes , et additive à leurs moyens monremens ; ce qui répugne aux bhservations. Lagrange obtînt ensuite des résoltats qui leur sont plus conformes : d'autres Géomètres troOTèrent d'antres éqoàtîons. Frappé de ces différences , j'examinai de nouveau cet objet ; et en apportant le plus grand soin à sa discussion , je parvins i- la véritable expression analytique du mouvement séculaire des planètes. En j substituant les valeurs numériques des quantités relatives à Jupiter et  Saturne , je fus surpris de voir qu'elle devenait nulle. Je soupçonnai que cela n'était point particulier % ces planètes , et que si l'on mettait cette expression sons la forme la plus simple dont elle est susceptible , en réduisant an pins petit nombre , les diverses quantités qu'elle renferme , au moyen des re-

' lations qui existent entre elles ; tons ces termes se détruiraient mutuellement. Le calcul confirma ce soupçon, et m'apprit qu'en général , les moyens mouvemens des planètes et leur distances moyennes au soleil , sont invariables , du moins quand on néglige les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des

' orbites , et les carrés des masses perturbatrices ; ce qui est plus que sufiSsant pour les besoins actuels de l'Astronomie. Lagrange a confirmé depuis , ce résultat , en faisant voir par une très belle méthode , qu'il s lieu en ayant même égard aux puissances et aux produits d'un ordre quelconque , des excentricités et des inclinaisons ; et M. Poisson a fait voir', par une savante analyse , que le même résultat subsiste en étendant

atia EXPOSITION

lea approiîinttioiu &nx carres «t aux produits des masses des plaa^B. Aiosi les variatioju observées dans les moyens moavemeiis de Jupiter et de Saturoe , ue dépendent point de leurs inégalités séculaires.

La constance des moyens moavemeus des planites et des grands axes de leurs orbites, est an des phénomènes les plus reDUFC[uable8 du système du monde. Tons les autres élémens des ellipses planétaires , sont variables : ces ellipses s'approclient ou s'éloignent insensiblement de la forme cÙKiuleire : leurs indinaiaons sur un plan 6ze et sur l'écliptîipie , augmentent ou diminuent : leurs péribélies et leurs sceuds sont en mouvement. Ces variations produites par l'action mutuelle des planètes , s'exécutent avec tant de lenteur , que pendant plusieurs siècles , elles sont k peu près proportionnelles aux temps. Déj Les observations les ont fait apercevoir: onavn dans lepremier livre, quelepérihélie de l'orbe terrestre a prés^itement un mouvement annnd direct, de 36" , et que la diminotiou séculaire de l'inclinaison de cet ori>e k l'équateur, est de 148". Enler a développé , le prunier , la cause de cette diminution que toutes les planètes concourent muntenant k produire par la BÎtoation respective des plans de leurs otbeê. Ces variations de l'orbe terrestre ont fait coïncider le périgée du soleil , avec L'équinoxe du prtntenqw , k une époque k laquelle on peut remonta par l'analyse , et que je trouve antérieure à notre ère , de 4069 ans. Il est remarquable que cette époque astronomique soit à peu près celle oà la plupart des cliro-. nologistes placent la création du monde. Les obs^^ations anciennes ae sont pas assez précises , et les observations modernes sont trop rapiM-ochées pour fixer avec exactitude , la quantité des grands changemeos des or-

DU STSTËHE DU MONDE. s63

bes plâD^teire?; cepeadaat etlea K réonisseiit k prouver leur exiftence , et i fxïre voir que leur marche est celle qui dà^ve de U loi de la pesauteur uviverselle. Oa pourrait donc , par 1« théorie , devancer lea observations et assigner les vraies valeurs des inégalités séculaires des planètes , si l'on avait leurs masses ; et IVa des plus s&rs moyens de les obtenir , sera le développement de ces inégalités par la suite des temps. Alors OD pourra remonter par la pensée , aux cbangemens •ucces8Î& que le système planétaire a éprouvés : ou pourra prévoir ceux qne les siècles à venir olFrîrout aux observateurs ; et le géomètre embrassera d'un coup d'œil dans ses formules , tons les états passés et futurs de ce système .

Ici, se présentent plusieurs questions intéressantes. Les ellipses planétaires ont-elles toujours été, et serontelles toujours à peu près circulaires f quelques-nues des planètes u'ont-elles pas été originairement des comètes dont les orbes oat peu à peu approché du cercle, par l'attraction des autres planètes ? la diminution de l'obliquité de l'écliptique , continuera't-eUe au point de faire coïncider l'écliptique avec l'éguateor , ce qui produirait l'égalité constante des jours et des nuits sur tonte la terre ? L'analyse répond i ces questions diverses , d'une manière satisfaisante. Je suis parvenu i démontrer que , quelles qae soient les masses des planètes , par cela seul qu'elles se meuvent toutes dans te même sens , et dans des orbes peu excentriques et peu inclinés les uns aux autres ; leurs inégalités sécaUîres sont périodiques et renfermées dans d'étroites limites , en sorte que le système planétaire ue fait qu'osciller autour d'un état moyen dont il ne s'écarte jankais que d'une très petite quantité. Les ellipses des planètes ont

a64 EXPOSITION

donc toujours été et seront toujours preScjue «îi-culairea ; d'où il suit qu'aucune planète n'a élé primitivement une comète , du moins si l'on n'a égard qu'à l'action mutuelle des corps du système planétaire. L'écliptique ne coïncidera jamau aTec l'e'quateur , et l'étendue entière des variations de son inclinaison, ne peut pas excéder trois degrés.

Les mouvemens des orbes planétaires et des étoiles embarrasseront , un jour , les Astronomes , lorsqu'ils chercheront & comparer des observations précises , séparées par de longs intervalles de temps. Déjà cet embarras commence se faire sentir; il est donc intéressant de pouvoir retrouver au milieu de tous ces changemeus,'Utt plan invariable ou qui conserve toujours une situation parallèle. Nous avons exposé à la fia du' livre précédent, un moyen simple pour déterminer un plan semblable , dans le mouvement d'un système de corps qui ne sont soumis qu'à leur action mutuelle : ce moyeu appliqué au système solaire , donne la règle suivante :

■ Si à un instant quelconque , et sur un plan passant ■ par le centre du soleil , on mène de ce point, des » droites aux nœuds ascendaos des orbes planétaires H avec ce dernier plan ; si l'on preud sur ces droites , 1. 4 partir du centre du soleît, des lignes qui représen- » tent les tangentes des inclinaisons des orbes sur ce u plan ; si l'on suppose ensuite aux extrémités de ces >' lignes , des masses proportionnelles aux masses des » planètes , multipliées respectivement par les racines » carrées des paramètres des orbes , et par les cosinus » de leurs inclinaisons ; enfin si l'on détermine le centre u de gravité de ce nouveau système de masses ; la droite » menée de ce point au centre du soleil , représentera

» la tangente de rinclînaison du plan invariable, sur le

■ plan donne ; et en la prolongeant au-delà de ce point,

■ jusqu'au ciel , elle -y marquera la position de son nœud

■ ascendant.»

Qaels que soient les cliaDgemens que la suite des siècles amène dans les orbes planétaires, et le plan auquel on les rapporte; le plan d^termin^ par cette règle, conservera toujours nue situation parallèle. Sa position dépend , à la vérité , des masses des planètes ; mais elles seront bientftt suffisamment connues, pour la fixer avec exactitude. En adoptant les valeurs de ces masses, que nous donnerons dans le chapitre suivant, on trouve que la longitude du nœud asceiidant du plan invariable, était de t i4'',70o8 , au commencement du dix-neuvième siècle , et que son inclinaison i l'écliptique était de i'',7565, k la même époque.

Noos faisons ici abstraction des comètes qui , cependant , doivent influer sur la position de ce plan invariable; puisqu'elles font partie du système solaire. Il serait facile d'y avoir égard par la règle précédente , si leurs masses et les élémens de leurs orbes étaient connus. Mais dans l'ignorance où nous sommes sur ces objets, noua supposons les masses des comètes , assez petites pour que leur action sur le système planétaire soit insensible; et cela parah fort vraisemblable , puisque la théorie de l'attraction mutuelle des planètes , sufEtpour représenter toutes les inégalités observées dans leurs mouvemens. Au reste si l'action des comètes est sensible à la longue , elle doit principalement altérer la position du plan que nous supposons invariable ; et sous ce nouveau point de vue , la considération de ce plan sera encore utile , si l'on parvient à reconnaître ae$ variations; ce qui présentera de grandes difficultés.

ià66 EXPOSITIOM

La théorie des inëgalità aécnliîrei et piériodiijaes du monvepteot des planètes, fond^ sur la théorie de la pesanteur unirenelle , a ^té confirmée par son accord avec toutes les observations anciennes et modernes- C'est surtout dans la théorie de Jnpiter et de Saturne , que ces illégalités sont sensibles : elles s'y présentent soua une forme si compliquée , et la durée de leurs périodes est si considérable , qu'il eât fallu plusieurs siècles , pour en déterminer les lois par les seules observations que , sur ce point, la théorie a devancées.

Après avoir reconnu l'invariabilité des moyens mouvemens planétaires , je soupçonnai que les altérations observées dans ceux de Jupiter et de Saturne , venaient de l'actioa des combles. Lalande avait remarqué dans le mouvement de Saturne , des irrégularités qui ne paraissaient pas dépendre de l'action de Jupiter : il trouvut i^ retours i Téipiinoxe du printemps , plus prompts dans le dernier ùècle , que ses retours 1 l'équi- DOxe d'automne , quoique les positions de Jupiter et de Saturne, soit entre eux, soit i l'égard de leurs périhélies , fussent à peu près les mêmes. Lambert avait encore o|>servé que le moyen mouvement de Saturne , qui par la comparaison des observations modernes anz anciennes, paraissait se ralentir de siècle en siècle, semblait au contraire , s'accélérer, par la comparaison des observations modernes entre elles j tandis que le moyen mouvement de Jupiter offrait des phénomènes opposés. Tout cela portait A croire que des causes indépendantes de l'action de Jupiter et de Saturne , avaient altéré leurs mouvemeos. Mais en y réfléchissant davantage , la marche des variations observées dans les moyens mouvemens de ces deux planètes , me parut si bien d'accord avec celle qui devait résulter de leur attraction mu-

DU SYSTÈME OU MONDE. a6j

tuellâ, que je ne balançai point k rejeter lYi^iotlièse d'une action étrangère. '

Cest un résultat remarcpiable de l'actîoD réciproque des plaaètes, que si l'on n'a égard qu'aux inégalités qui ont de très longues périodes , la somme des masses de chaque planète, divisées respectirement par les grands axes de leurs orbes considérés comme des ellipses variables , est toujours à très peu pris constante. De là il suit que les carrés des moyens mouvemens , étant réciproques aux cubes de ces axes ; si le mouvement de Saturne se ralentit par l'action de Jupiter , celui de Jupiter doit s'accélérer par l'action de Saturne; ce qui est conforme i ce que l'on observe. Je voyais de plus que le rapport de ces variations était le même que suivant les observations. En supposant avec Hidley^ le retardement de Saturne , de iS6",94 pour Le premier siècle, i partir de 1700; l'accélération correspondante de Jupiter serait de io4")9> > ^^ Halley avait trouvé lo&'iOa par les observations. H était donc fort probable que les variations observées dans les moyens monvemens de Jupiter et de Saturne , sont un effet de leur action mi^oelle ; et puisqu'il est certain que cette action ne peut y produire aucunes inégalités , soit constamment croissantes , soit périodiques , mais d'une période indépendante de la configuration de ces planètes , et qu'elle n'y caose que des inégalités relatives i cette configuration ; il était naturel de peuser qu'il existe dans leur théorie , une inégalité considérable de ce genre , dont la période est fort longue , et d'où naissent ces variations.

Les inégalités de cette espèce , quoique très petites et presque insensibles dans les équations ditTéreu tielles, augmentent considérablement par les iotégrations , et

a68 • EXPOSÏTlOH

peuvent acquérir de grâedea râleurs daoa l'expressioa de U longitude des planètes. Il me fat aiaé de reconnaître de sembl&bles ioég&liles, dans les équations différentielles des mouvemens de Jupiter et de Saturne. Ces mouTemens approcbeut beaucoup d'être commensurahles , et cinq fois te mouvement de Saturne, est k très peu près égal À deux fois celui de Jupiter. De là je conclus que les termes qui ont pour argument, cinq fois ta longitude mojenue de Saturne , moins deuy fois celle de Jupiter , pouvaient devenir très sensibles par les intégrations , quoiqu'ils fussent multipliés par les cubes elles produits de trois dimensions, des excentricités et des inclinations des orbites. Je regardai conséqnemteent ces tenues , comme une cause fort vraisemblable des variations observées dans les moyens mouvemens de ces planètes. La probabilité de cette cause, et l'importance de l'objet, me déterminèrent À entreprendre le calcul pénible , nécessaire pour m'en ' assurer. Le résultat de ce calcul confirma pleinement ma conjecture, en me faisant voir i* qu'il existe dans la tbéorie de Saturne , une grande inégalité de SSgS" ,7 , dans son maximum, dont la période est de 939 ans, et qui doit être appliquée an moyeu mouvement de cette planète ; a" que le monvemeat de Jupiter est pareillement soumis à une inégalité correspondante dont la période est & très peu près la même , mais qui affectée d'un signe contraire, ne s'élève qu'à 3662" ,4. La grandeur des coefficîens de ces inégalite's , et la durée de leur période , oe sont pas toujours les mêmes : elles participent aux variations séculaires des élémens des orbites , dont elles dépendent : j'ai déterminé, avec un soin particulier , ces coefficîens et leur diminution séculaire. C'est à ces deux grandes inégalités , auparavant

inconnues , que l'on doit attrîbner le ralentissement, apparent âe Saturne et l'accélëration apparente de Jupiter. Ces phénomènes ont atteint leur maximum vers 1 56o : depuis cette e'poque , les moyens mouremens apparens de ces dens planètes, se. sont rapproches des véritables , et ils leur ont été égaux en 1 790. Voilà pourquoi Ualley , en comparant les observations modernes aux anciennes , trouva le moyen mouvement de Saturne, plus lent , et celui de Jupiter , plus rapide que par la con^araison des observations modernes entre elles; au lieu que ces dernières ont indiqué k Lambert , une accélA-atiou dans le mouvement de Saturne , et un retardement daosceluide Jupiter;et il est remarquable que les quantités de ces phénomènes , Réduites des seules observations par Halley et Lambert , soient k très peu près celles qui résultent des deux grandes inégalités dont je viens de parler. Si l'Astronomie eût été renouvelée quatre siècles et demi plus tard, les observations auraient présenté des phénomènes contraires; les moyens mouvemens que l'Astronomie d'un peuple assigne à Jupiter et à Saturne , peuvent donc nous éclairer sur le temps où elle a été fondée. Ou trouve ainsi .quo les Indiens ont déterminé les moyens mouvemens de ces planètes , dans la partie de la période des inégalités précédentes , où le moyen mouvement apparent de Saturne était le plus lent , et celui de Jupiter , le plus rapide : deux de leurs principales époques dont l'une remonte k l'an 3i03 avant l'ère chrétienne, et dont Tautre se rapporte à l'an i4gi • remplissent à peu près cette condition.

Le rapport presque commensurable des mouvemens de Jupiter et de Saturne, donne naissance àd'autres inégalités très sensibles. La plus considérable affecte le

mouvement de Saturne : elle se confondrait avec VéquatioD du centre , aï cinq fois le moyen mouvement de cette planète ^it exactement égal au double de celai de Jupiter. C'est elle principalement qui, dans le dernier siècle , a rendu le> retours de Saturne A l'ëquînoxe du printemps , plus prompts que ses retours i l'équinoxe d'automne. En gênerai , lorsque j'eus reconnu ces diverses inégalités, et détermine avec plus de soin qu'on ne l'avait fait encore, celles que l'on avait déjl soumises au calcul; je vis tons les phénomènes observés dans le mouvement de ces deux planètes, s'adapter d'eux-mêmes k la tbéorie : ils semblaient auparavant, faire exception de la loi de la pesanteur universelle ; et maintenant 1 ils en sont une des preuves les plus frappantes. Tel a été le sort de cette brillante découverte de Newton, que chaque difficulté qui s'est élevée , a été pour elle le sujet d'an nouveau triomphe ; ce qui est le plus sûr caractère du vrai système de la nature. Les formules auxquelles je suis parvenu pour représenter les mouvemens de Jupiter et de Saturne , satisfont avec une précision remarquable , aux oppositions de ces deux planètes, observées par les plus habiles Astronomes , au moyen des meilleures lunettes méridiennes et des plus grands quarts de cercle : l'erreur n'a jamais atteint 4o"; et il n'y a pas vii^ ans , que les erreurs des meilleures tables surpassaient quelquefois quatre mille secondes. Ces formules représentent encore, avec l'exactitude des observations mêmes, les observations de Flamsteed, celles des Arabes et les observations citées par Ptolémée. Cette grande précision avec laqoelle les deux plus grosses planètes de notre système planétaire , ont obéi depuis les temps les plus reculés , aux lois de leur attraction mutuelle , prouve la

stabilité de ce sptème ; puisque Satame dont l'attractioa par le soleil , est environ cent fois moindre que l'attraction de la terre par le même astre , n'a cependant éprouvé, depuis Hipparqne jusqu'à nous, aucune action sensible de la part des causes étrangères.

Je ne puis m'empécher ici , de comparer leA ËlFets réels du rapport qnî existe entre les moyens mouvemens de Jupiter et de Satnme , avec ceux que l'Astrologie lui avait attribués. En vertu de ce rapport, les conjonctions mutuelles de ces deux planètes se renouvellent dans l'intervalle d'enviroti vingt années ; mais le point du ciel où elles arrivent , rétrograde à peu près d'un tiers du zodiaque , eu sorte que si la conjonction arrive dani le premier point d^'Ariès, elle aura lieu vingt ans après , dans le signe du Sagittaire ; vingt ans encore après , elle arrivera dans le signe du Lion , pour revenir ensuite au signe du Bélier à dix degrés de distance de sa position primitive. Elle continuera ainsi d'avoir lien dans ces trois signes, pendant près de deux cents ans ; ensuite , elle parcourra de la même khanière , dans les deux cents années suivantes , les trois signes du Taureau , du Capricorne et de la Viet^e ; elle emploiera pareillement deux siècles , k parcourir les signes des Gémeaux, du Verseau et de la Balance : enfin dans les deux siècles suivans , elle parcourra les signes de l'Écrevisse , des Poissons et du Scorpion , pour recommencer après, dans le signe d'Ariès. De là se compose une grande année dont cbaque saison a deux siècles. Ou attribuait une température différente k ces diverses saisons ainsi qu'aux signes qui leur répondent : l'ensemble de ces trois sîgUes se nommait trigone : le premier trigone était celui du feu ; le second , celui de la terre ; le troisième , celui de l'air; et le quatrième , celui de l'eau.

aja KtPOSITlON

On conçoit que l'Astrologie a. dû fâii'e un grand usage de ces trîgones que Kepler lui-même a expliqués avec beaucoup de de'tail, dans plusieurs ouvrages. Mais il est remarquable que la saine Astronomie, en faisant disparaître cette influence imaginaire du rapport qn'oat entre eux , les moyensmouYemens de Jupiter et de Saturne , ait reconnu dans ce rapport, la source des grandes perturbations du système planétaire.

La planète Uranus, quoique récemment dëcouverte, offre déjà des indices incontestables des .perturbations qu'elle éprouve de la part de Jupiter et de Saturne., Les lois, du mouvement elliptique ne satisfont point exactement A ses positions observées , et pour les représenter, il faut avoir égard à ses perturbations. Leur tbéorie, par un accord singulier, la place dans les années 17691 1756 et 1690, aux mêmes points du ciel où Le Monnier , Mayer et Flamsteed avaient déterminé la position de trois petites étoUes que l'on ne retrouve plus aujourd'hui; ce qui ne laisse aucun doute sur l'identité de ces astres avec Uranns.

Les petites planètes que Ton vient de découvrir , sont asiuîelties i de très grandes inégalités qui répan-di-ont un nouveau jour sur la tbéorie des attractions célestes, et donneront lieu de la perfectionner; mais il n'a pas encore été possible de reconnaître ces inégalités par les observations. Il n'y a pas trois si{Ècles, que Copernic introduisît le premier dans les tables astronomiques, le mouvement des planètes autour du soleil : environ un siècle après , Kepler y fit entrer les lois du mouvement elliptique , qu'il avait trouvées par les ob-, servations de Tïcfao-Brahé , et qui ont conduit Newton à la découverte de la gravitation universelle. Depuis ces trois époques à jamais mémorables dans l'bbtoire

des sciences, les progrès de l'analyse infinité^male nous ont mis 1 portée de soumettre au calcnl , les nombreuses inégalités des planètes, qui naiss^t de leurs attractions mutuelles , et par ce mojen , les tables ont acquis nne précision inattendue : auparavant, leurs erreurs étaient de plusieurs minutes ; maintenant elles se réduisent à un petit nombre de secondes , et souvent il est probable que leurs. écarts sot)t dus aux erreurs inéritables des observations.