CHAPITRE V

Des perturbations du mouvement de la Lune.

JjA Itrne est & U fois attirée par le soleil et par la terre; maïs son moarement autour de la terre , n'est troublé qne par la dilTërence des actions du soleil , sur ces deux corps. Si le soleil ^tait 1 une distance iafîaie , il agirait sur enx également et suivant des droites parallMes; leur mouTement relatif ne serait donc point tronblé par cette action qui leur serait conimane. Mais sa distance, quoique très grande par rapport à celle de la lune , ne peut pas être supposée infinie ; la tune est alteruativement pins près et plus loin dn soleil que la terre , çt la droite qui joint son centre à celui dn soleil , forme des angles plue ou moins aigus avei; le rajou recteur terrestre. Ainsi, le soleil agit inégalement et snirant des directions différentes, sur la terre et sur la lune ; et de cette diversité d'actions, il doit résulter dans le mouvement lunaire, des inégalités dépendantes des positions respectives du soleil et de la lune. C'est dans leur recherche, qne consiste .le fameux problème des trois corps , dont la solution rigoureuse surpasse les forces de l'analyse , mats que la proximité de la lune eu égard à sa distance au soleil , et la petitesse de sa masse par rapport & celle de la terre , permettent de résoudre par approximation. Cependant, l'analyse ta plus délicate est nécessaire pour démêler tous les tennes dont l'influence est sensible. Leur discussion est le point le plus important de cette analyse , lorsqu'on se propose de la

faire conconrir i la perfection des lablei lunaires ; ce qiiî doit <Stre son but principal. Od peut facilement imaginer un grand nombre de moyens diiFérena, de mettre en équation le problème des trois corps ; mais sa vraie difficulté consiste i distinguer dans les ^«piations dîSërentiellea et i déterminer exactement les termes qni , quoique tria petits en eux-mêmes , acquièrent une valeur sensible par les intégrations successives ; ce qui exige un cboix avantageux de coordonnées, des considéralions délicates sur la nature des intégrales, des approximations bien conduites , et des calculs faits avec soin , et vérifiés plusieurs fois. Je me suis attaché à remplir ces conditions , dans la théorie de la lune que j'ai donnée dans ma Mécanique céleste ; et j'ai eu la satisfaction de voir mes résultats coïncider avec cenx que Masson et Burg ont trouvés par la comparaison de pris de cinq mille observations de firadlej et de Maskéline , et qui ont donné aux table* lunaires une précision qu'il sera difficile de surpasser, et à laquelle la Géographie et l'Astronomie nautique sont principalement redevables de leurs progrès. On doit & Hajer, l'un des plus grands astronomes qui aient existé , la justice d'observer qu'il ^ le premier, porté, ces tables, an degré d'exactitude nécessaire pour cet important objet. Masson et Bui^ ont adtqité la forme qn^ leur avait donnée : ils ont rectifié les coefficiens de ces inégalités , et ils en ont ajouté quelques autres indiquées par sa théorie. Mayer a de plus , par l'inventioa dn cercle répétiteur , perfectionné considérablement par Borda, donné aux observations sur mer, la même précision qu'il avait apportée dans les tables lunaires. Enfin M. Borckhardt vient de perfectionner les tables lunaires, en donnant i leurs albumens, une forme plus

simple et plus commode , et en âélennïnant leora coeflîciens par l'ensemble de toutes les observations modernes. L'objet de ma tbëorie , a été de montrer dans la senle loi de la pesanteur unÏTerselle , la source de toutes les inégalîtës du mouvement lunaire ; et de me servir ensuite de cette loi, pour en perfectionner les tables, et pour en conclure plusieurs elëmens importans du système du HLonde , tels que les équations séculaires de la lune, sa parallaxe , celle du soleil et l'aplatissement de la terre. Heureusement , lorsque je m'occupais de ces recberches , Burg , de son ctlé, travaillait & perfectionner les tables lunaires. Mon analyse lui a fourni plusieurs équations nouvelles et .très sensibles ; et la comparaison qu'il en a faite avec un grand nombre d'observations , en a constaté l'existence , et a répandu un grand jour sur les élémens dont je viens de parler.

Les mouvemens des nœuds et du périgée de la lune , sont les principaux effets des perturbations 'que ce satellite éprouve. Une première approximation n'avait donné d'abord aux Géomètres, que la moitié du second de ces mouvemens. Glairaut en conclut que la loi de l'attraction n'est pas aussi simple qu'on l'avait cru jusqu'alors , et qu'elle est composée de deux parties dont lit première réciproque au carré des dislances, est seule sensible aux grandes distances des planètes au soleil , et dont la seconde croissant dans un plus grand rapport, quand la distance diminue, devient seosible & la distance de la lune à la terre. Cette conséquence fut vivement attaquée par Buffon : il se fondait sur ce que les lois primordiales de la nature , devant être les plus simples; elles ne peuvent dépendre que d'un seul module , et lem- expression ne peut renfermer qu'un seul terme. Cette considération doit nous porter '9

a9o EXPOSmOIf

sani doate , i ne compliquer la loi de l'attraction , que dena ua l}esoin extrême ; mais l'igpnorance oà dou* sommet, de la nature de cette force ne permet pas de prononcer avec aMurance , aur la simplicité de son expression. Quoiqu'il en soit , le Métaphysicien ent raison , cette fois , vis-à-vis dn Géomètre qui reconnut lui-m£me son erreur , et fît l'importante remarque , qu'en poussant plus loin l'approximation , la loi de la pesanteur donne le moarement du périgée Innaire , exactement coùforme aux observations; ce qui a ëté coufîmié depuis p«T tous ceux qui se sont occupés de cet objet. Le mouvement que j'ai conclu de ma théorie, ne diffère pas dn véritable, de sa quatre-cent-quarantième partie : la différence n'est pas d'un troia-centcinquantième , & l'égard dn mouvement des ncends. .

Quoique l'analyse soit indispensable pour faire sentir les rapports de toutes les inégalités du mouvement de la lune, & l'action du «oleil combinée avec celle de la terre sur ce satellite ; cependant , on peut sans y recourir , expliquer les causes de l'équation aannells da la lune et de son équation séculaire. Je m'arrêterai d'autant pins volontiers! les exposer , qne l'on en verra naître les plus grandes inégalités lunaires qui jusqn'i présent, ont été peu sensibles , mais que la suite des siècles doit développer aux observateurs.

Dans ses conjonctions avec le soleil , la lune en est plus près que la terre , et en éprouve une action plus considérable ; la différence des attra«Atons du s<^eil sur ces deux corps, tend donc alors i diminuer la pesanteur de la Inné vers la terre. Pareillement, dans les oppositions de la lune an soleil, ce satellite plus éloigné dn soleil , que la teire , en est plus faiblement attiré ; la différence des actions du soleil , tend donc encore i dimi-

nner U pennteur de la lune. Daas ces deux eu , cette diminution est k très peu près la même , et égale à deux fois le produit de 1* masse du soleil , par le quotient du rayon de l'orbe lunaire , divisé par le cube de la distance du soleil i la terre. Dans les quadratures, l'action dn soleil sur la lune , décomposée suivant le rayon vectear luoaire , tend à augmenter la pesanteur (jk la Inné vers la terre ; mais l'accroissemeut de cette pesanteur , n'est que la moitié de la diminution qu'elle éprouve dans les syzygîes. Ainsi , de toutes les actions du soleil sur U luue , dans le cours de sa révolution synodique , il résulte une force moyenne , dirigée suivant le rayon vectenr lunaire , qui diminue la pesanteur de ce satellite ,et qui est égale à la moitié dn produit de la masse du soleil , par le quotient de ce rayon divisé par le cube de la distance du soleil i la terre. Four avoir le rapport de ce produit , i la pesanteur de la Inné ; nous observons que cette force qui la retient dans son orbite , est k très peu près égale i la somme des masses de la terre et de la lune , divisée par le carré de leur distance mutuelle ; et que la force qui retient la terre dans son orbite , égale à fort peu près, la masse du sdeil divisée par le carré de sa distance k la terre. Suivant la théorie des forces centrales , expo* sée dans le troisième livre , ces deux forces sont comme les rayons des orbes de la lune et dn ioleA , divisés respectivement par les carrés des temps des révolutions de ces astres ; d'où il suit que le produit précédent est à la pesanteur de la lune , comme le carré dn temps de laluneest an carré du temps de la révolution sidérale de la terre ; ce produit est donc à fort peu près ,-7; de cette pesanteur que l'action moyenne du soleil diminue ainsi de sa SSB"*" partie.

^Qi EXPOSITION

En Terta de cette dimination , la lone est soutenue i une plus grande distance de la terre , que si elle âatt abandonnée k l'action entière de sa pesanteur : le secteur décrit par son rayon recteur autour de la terre , n'en est point alte'ré ; puisque la force qui la produit . est dirigée suivant ce rayou. Mais la vitesse rëelle et le mouvement angulaire de cet astre , sont diminués; et il est facile de voir qu'en éloignant la lune , de manière que sa force centrifuge soit ^gale i sa pesanteur diminuée par l'action du soleil , et que son rayon vecteur décrive un secteur égal à celui qu'il 'eût décrit dans le même temps sans cette action; ce rayon sera uigmenté de sa SSB*^' partie , et le mouvement angnlaire sera diminué d'on i79'*'**.

Ces quantités varient réciproquement aux cubes des distances du soleil à la terre. Quand le soleil est périgée , son action devenue plus puissante , dilate l'orbe de la lune; mais cet orbe se contracte à mesure que le soleil s'avance vers son apogée. La lune décrit donc une suite d'épicycloïdes dont les centres sont sor l'orbe terrestre , et qui se dilatent ou se resserrent , suivant que la terre s'approcbe ou s'éloigne du soleil. De là résulte dans son mouvement angulaire , une inégalité semblable à l'équation du centre du soleil, avec cette différence, qu'elle ralentit ce mouTement, quand celui du soleil augmente , et qu'dle l'accélère , qnand le mouvement du soleil dïmioue ; en sorte que ces deux équations sont affectées d'un signe contraire. Le mouvement angulaire du soleil est, comme on l'a vu dans le premier livre, réciproque an carré de sa distance : dans le périgée, celte distance étant d'un 60"" plus petite que sa grandeur moyenne , la vitesse angulaire est augmentée d'un So**™ : la diminution d'un 179**" produite par

l'acUon cla loleil, dans U mouTenent Inoairs, étant proportionnelle à l'augmentation dn cube de la distance du soleil i là terre , elle est alors pins grande d'un vingtième; l'accroissement de cette diminution est donc la SSBo**™ partie de ce mouvement. De U il soit que l'ëquation du centre du soleil , est à l'équation annueUe de la lune , comme un trentième du mouvement solaire; est à un SSSo''* dn mouvement lunaire ; ce qui donné 33g8" pour Tëquation annuelle. Elle est d'un huitième environ plus petite, suivant les observations : cette difFërence dépend des quantités négligées dans ce premier calcul.

Une cause semblable à celle de l'équation annuelle , produit l'équation séculaire de la lune. Halley a remarqué le premier, cette équation que Dunthorne et May» ont confirmée par une discussion approfondie des observations. Ces deux savans Astronomes ont reconnu que le m£me moyen mouvement lunaire ne peut pas satisfaire aux observations modernes, et aux éclipses observées par les Cbaldéens et par les Arabes. Ils ont essayé de les représenter, en ajoutant aux longitudes moyennes de ce satellite, nue quantité proportionnelle an carré du nombre des siècles avant ou après 1700. Suivant Dunthome , cette quantité est de 3o ",9 pour le premier siècle : Mayer l'a faite de at",6 dans ses premières Tables de la Lune , et l'a portée à 37 ",8 dans les dernières. Enfin , Lalande, par une discussion nouvelle de cet objet , a été conduit au résultat de Dunthome.

Les- observations arabes, dont on a principalement tkit usage , sont deux éclipses de soleil et nue éclipse de luoe , observées an Caire par EIbn-Junis vers la fin du dixième siècle, et depuis long-temps extraites d'un manuscrit de cet Astronome , existant dans la bîUiothèqnc

de Leyde. Ou avait ^leve dea doutée sur la réalité de cet ëclipses ', mais la traduction que Caouîa vient de faire , de la partie de ce précieux manuscrit, qui renferme les observations , a dissipe ces doutes : de plus , elle nooa à fait connaître vingt-cinq autres éclipsa observées par les Arabes, et qui confirment l'accélération du moyen mouvement deUJune. Usuffitd'ailleBrs, pour l'e'tablir, de comparer les observations modernes , i. celles dea Grecs et des Chaldtîens. En efièt, Delambre, Bouvard et BuTg ayant déterminé , au moyen d'un grand nombre d'observations des deux siècles précédées, le mouvement séculaire actuel, avec une précision qui ne laisse qu'une très légère incertitude ; il» l'ont trouvé de six ou sept cents secondes , plus grand que par lés observations modernes comparées aux anciennes ; le mouvement lunaire s'est donc acce'Iéré depuis les Cbaldéens ; et les observations arabes faites dans l'intervalle qui nous en sépare, venant à l'appui de ce résultat, il est in^possibl^ de le révoquer en doute.

Maintenant , qu'elle est la cause de ce phénomène P La gravitation univeraelle qui nous a ^t si bien connaître les nombreuses inégalitéa de la lune , rend-elle également raison de son inégalité séculaire i* Cea questions sont d'autant plus intéressantes à résoudre , que si l'on y parvient , on aura U loi des variations séculaires du monrevent de la lune; car on sent que l'hypothèse d'une accélération proportionnelle au temps, admise par les Astronomes , n'est qu'approchée et ne doit pas s'étendre à an temps IDtmité.

Cet objet a beaucoup exercé les Géomètres ; mais leurs recherches pendant long-temps infructueuses n'ayant fait découvrir , soit dans l'action du soleil et des planètes sur la lune , soit dans les figures non spbé-

DU SYSrrÈMB DU MONDE. igS

riquea de ce wtellïte et de la terre , riea ^î puisse altérer sensiblement son mouvemeot moyen ; cpnelquesans arsient pris le parti de rejeter son équation léculaire; d'antres, ponr l'expliqner, avaient eu recours i divers moyens tels qae l'action des comètes , la résistance de IVther, et la transmission auccessive de la gravité. Cependant la correspondance des autres phénomènes câestes avec la théorie de la pesanteur , est si parfaite ; que l'on ne peut voir sans regret , l'équation séculaire de la lune se refuser i cette théorie , et faire seule , exception d'une loi générale et simple dont la découverte , par la grandeur et la variété des objets qu'elle embrasse , fait tant d'honneur à l'esprit humain. Cette réflezioo m'ayant déterminé à considérer de non* veau, ce phénomène ; après quelques tentatives , je suis enfin parvenu A découvrir sa cause.

L'équation séculaire de la lune est due à l'action du soleil tar ce satellite , combinée a^c la variation sectaire de Pexcentrieité de l'orbe terrestre. Pour nous former une idée juste de cette cause ; rappelons-nous que les élémens de l'orbe de U terre , éprouvent des altérations par l'action des planètes : son grand axe reste toujours le même; mais son excentricité , son inclinaison, sur un plan fixe, la poeition de ses nœuds et de son périhélie , varient sans cesse. Rappelons-nous encore que l'action du soleil sur la lune , diminue d'un 1 79"™ , sa vitesse angulaire , et que son coefficient numérique varie réciproquement an cube de la distance de la terre an soleil ; or en développant la puissance cubique inverse de cette distance , dans nue série ordonnée par rapport au sinus et au cosinus du moyen mouvement de la terre et de ses multiples , le demi<grand axe de l'orbe terrestre étant pris pour unité ; on trouve

396 EXPOSITIOH

que cette série contient un terme égal è trou fois la moitié du carré de l'excentricité de cet orbe; la dimitmtiOK de la vitesse angulaire de la lune , renferme donc le produit de ce tenue, par nu 179''" de cette vitesse. Ce produit se confondrait avec la vitesse moyenne angulaire de la lune , si l'excentricité de l'orbe terrestre e'tait constante ; mais sa variation , quoique très petite , a une influence sensible k la longue , sur le mouTement lunaire. Il est visible qu'il accélère ce mouvementi quand l'excentricité diminue ; ce qui a eu lieu depuis lès observations anciennes jusqu'à nos jours : cette accélération se changera en retardement , quand l'excentricité parvenue â son miaimum, cessera de diminuer, pour commencer à crolti'e.

Dans l'intervalle de 1750 & i85o , le carré de l'excentricité de l'orbe a diminué de o,oooooi4oS95 ; l'accroissement correspondant de la vitesse angulaire de la litne a donc été un 0,0000000117821"" de cette vitesse. Cet accroissement ayant en lieu successivement et proportionnellement au temps , son efliet sur le mouvement de la lune , a été de m<ûtié moindre que si dans tout le cours du siècle , il eût été le même qu'à la .fin ; il fiiut donc pour déterminer cet efiêt, ou l'équation séculaire de la tune , k la fin d'un siècle & partir de i8oi , multiplier le mouvement séculaire de la lune , par la moitié d'un très petit accroissement de sa vitesse angulaire ; or dans un siècle , le mouvement de la lune est de 53474<'34°^"t o'' Bura ainsi 3i",5oi7pour son e'qaation séculaire.

Tant que la dîmination du carré de l'excentricité de l'orbe terrestre pourra être supposée proportionnelle au temps , l'équation séculaire de la lune croîtra sensiblement comme le carré du temps ; il suffira donc de

multiplier 3t",5oi7 par le carré du nombre des siècles Moitiés entre le temps pour lequel 00 calcule , et le commencement do XIX* siècle. Mais j'ai reconnu qu'en remontant aux obserTationa dialdéennes, le twme proportionnel au cube du temps , dans l'expression eu série , de l'éqoation séonlaïre de la lune, devenait sensible. Ce terme est égal â o",o57a 1 4 pour le premier siècle : il doit être multiplié par le cube du nombre de siècles, & partir de 1801 , ceproduit étantnégatif pour les siècles antérieurs.

L'action moTenue du soleil sur la lune dépend encore de l'inclinaison de l'orbe lunaire k l'écLiptique ; et l'on pourrait croire que la position de l'écîiptique étant variable , il doit eu résulter dans le mouvement de ce satellite , des inégalités séculaires semblables k celles qu'y produit l'excentricité de l'orbe terrestre. Mais j'ai reconnu par l'analyse, que l'orbe lunaire est ramené sans cesse par l'action du soleil, k la même inclinaison sur celui de la terre ; en sorte que les plus grande» et les plus petites déclinaisons de ta lune ' sont assujetties en vertu des variations séculaires de l'obliquité de l'écîiptique , aux mêmes cbengemeus que les déclinaisons semblables du soleil. Cette constance dans l'inclinaison de l'orbe lunaire , est confirmée par tontes les observations anciennes et modernes. L'excentricité de l'orbe lundire et son grand axe n'éprouvent pareillement que des altérations insensibles , par les changemens de l'excentricité de l'orbe terrestre.

Il n'eu est pas ainsi des variations du mouvement des nœuds et du périgée lunaire. En soumettant ces variations , à l'analyse ; j'ai trouvé que l'ioftuence des termes dépendans du carré de la force perturbatrice , et qui , comme on l'a vu , doublent le moyen mouvement du périgée , est plus grande encore sur la variation de

ag6 EXPOSmOH

ce mouTement. Le.ré*altat de cette épîiteiue analyse , m'a donné une équation •éculaïre , triple de l'ëijiiatioD séculaire du moyen mouvement de la lune ; et louatractire de la longitude moyenne de aon périgée ; en sorte que le moyeu moarement du périgée k ralentit , lorsque celui de la lune s'accélère. J'ai troaré sonblablement dans le mouvement des ucauds de l'orbe tu* naire « sur l'écliptique vraie , une équation ■fculaire additive 4 leur longitude moyenne , et égale à 735 millièmes de l'équation sécttlaïre du moyen mouvement. Ainsi, le mouvement des noeuds se ralentit ,' comme - celui du périgée , quand celui de la lune augmente ; et les équations séculaires de ces trois mouvemens , sont constanuaent dans le rapport des nomlnreso,735;3 et ■■ Il est facile d'en conclure que les troil mouvemens de I« lune par rapport au soleil , i son périgée et i ses nœuds , vont en s'accélèrent , et que leurs équations séculaires août comme les nombres i ; 4 i o,a65.

Les siècles 4 venir développeront ces grandes inégalités qui produiront , un jour , des variations an moins égales au quarantième de la circonférence, dans le mouvenijent séculaire de la lune , et au treizième de la circonférence dans celui du périgée. Ces inégalités ne sont pas toujours croissantes • elles sont périodiques , ' comme celles de l'excentricUé de l'orbe terrestre dont elles dépendent, et ne se rétablissent qu'après des miU lions d'années. Elles doivent altérer â la longue , les périodes imaginées pour embrasser des nombres entiers de révolutions de la lune , par ^apport i ses nceuds , à son périgée et an soleil, périodes qui varient sensiblement dans les diverses parties de l'immense période de l'équatîoD séculaire. La période lunisolaire de six cents ans , a 4té rigoureuse k une époque i laquelle il

DU SrSTËHË DV MONDE. 299

serait fikcile de remonter p«r l'analyse , ai les masses despUitètes étaient exactement connues; mais cette conoaissaoce , si désirable pour la perfection des théories astronomiques, nous manque encore. Henreusement , Jupiter dont on a bien déterminé la masse , est celle des planHes, qui a le plus d'influence sur l'équatioo séculaire de la lune; et les valeurs des autres masses planétaires , BODt asse£ approchées , pour que l'on n'ait point & craindre sur ta grandeur de cette équation, une erreur très sensible.

Déjà, les obserTatîons anciennes , malgré leur impedEeotîon , confirment ces inégalités ; et l'on peut en suivre ta marclt^ , soit dans tes observations , soit dans les Tables astronomiques qni se sont succédé jusqu'à nos jours. On a tu que les anciennes éclipses avaient fait connaître l'accélérationânmouTement delà lune , avant que la théorie de la pesanteur en eût développé la cause- En comparant k cette théorie, les observations modernes , et les éclipses observées par les Aral>es , les Grecs et les Cbaldéens ; on trouve entre elles , un accord qui parait surprenant, quand on considère l'Imperfection des ol>servations anciennes , et l'incertitude que laisse encore sur les variations de l'excentricité de.I'orbe de Uterre, celle où noussoounes sur les nasses de Vénus et de Mars. lie développement des équations séculaires de la lune , sera une des données les ^us propres i déterminer ces niasses.

Il était surtout intéressant de vérifier la théorie de la pesanteur, relativement à l'équation séculaire du périgée de l'orbe lunaire , ou à celle de l'anomalie , quatre fois plus grande que l'équation séculaire du moyen mouvement. Sa découverte me fit juger qu'il fallait diminuer de quinze à seiae minutes , le mouvement séculaire

Kctnel do -périgée, employé par les Astronomes, et qu'ils araîent conclu par la comparaison des observa " tions modernes aux anciennes. En effet , n'ayant point en égard à son équation séculaire , ils ont dû trouver ce mouvement trop rapide ; de même qu'ils assignaient un moyen mouvement trop petit & la Inné , lorsqu'ils ne tenaient point compte de son équation séculaire. C'est ce que WA. Bouvard et Bnrg ont confirmé en déterminant le mouvement séculaire actuel du périgée lunaire , au moyen d'un très grand nombre d'observation* modernes. M. Bouvard a de plus retrouvé le même mouvement , par les observations les plus anciennes et par celles des Arabes , en ayant égard & son équation séculaire dont il a ain$i prouvé l'existence d'une manière incoolestable.

Les moyens mouvemens et les époques des Tables de l'Almageste et des Arabes, indiquent évidemment ces trois équations Séculaires des mouvemens de la lune. Les Tables de Ptolémée sont le résultat d'immenses calcols faits par cetAitronomeetparHipparque. Le travail d'Hipparque ne nous est point parvenu :noussavons seulement par le témoignage de Ptolémée , qu'il avait mis le plus grand soin k choisir les éclipses les plus avantageuses i la détermination des élémens qu'il chercbait à connahre. Ptolémée , après deux siècles et demi d'observations nouvelles , ne cbangea que très peu ces élémens ; it est donc certain que ceux qu'il a employés dans ses Tables, ont été déterminés par un très grand nombre d'éclipsés dont il n'a rapporté que celles qui lui paraissaient le pins conformes aux résultats moyens qn'Hïpparque et lui avaient obtenus. Les éclipses ne fout bien connDttre que le moyen mouvement synodique de la lune , et ses distances à ses nœuds et à sou périgée ; on

DU SYSTEME DU MONDE. 3o[.

ne pent donc compter qae aux ces éXêmevt, dans les Tables de l'Almageste ; or en remontant à la première époque de ces Tables , au mojen des moavemena déterminés par les seules observations modernes , on ne i-etrouve point lés. moyennes distances de la lune, & ses nœuds, k son périgée et au soleil, que ces Tables donnent à cette époque. Les quantités qu'il faut ajouter à ces distances , sont à fort peu près celles qui résultent des équations séculaires; les élémens de ces Tables confirment donc à la fois , l'existence de ces équations et les valeurs que je leur ai assignées.

Les mouvement de la lune par rapport i son périgée et an soleil , plus lents dans les Tables de l'Alnuigeste , jme de nos jours , indiquent encore dans ces mouventens , une accélération pareillement indiquée , soit par les corrections qu'Albaténius , huit siècles après Ptolémée, fit aux élémens de ces Tables, soit par les époques des Tables qa'EbnJunis construisit vers l'an mil , sur l'ensemble des observations cbaldéennes , grecques et arabes.

Il est remarquable que la diminution de l'exceutricité de l'orbe terrestre, soit beaucoup plus sensible dans les mouvemens de la lune , que par elle-même. Cette diminution qui depuis l'éclipsé la plus ancienne dont nous ayons connaissance , n'a pas altéré de quinze minutes, l'équation du centre du soleil,- a produit une variation de deux degrés dans la longitude de la lune , et de huit degrés dans son anomalie moyenne : on pouvait à peine la soupçonner d'après les observations d'Hipparque et de Ptolémée : celles des Arabe» l'indiquaient avec beaucoup de vraisemblance ; mais les anciennes éclipses comparées à ta théorie de la pesantem-, ne laissent aucun doute à cet égard. Celleréflexion ,

3oî EXPOSITION

si je pais ainsi dire , des Tarùtions s^cidaires d£ l'orbe terrestre par le mouTement de la Inné , en Terta de l'action du soleil, a li«a même poar les înëgalitës périodiques. C'est «insî qae l'équation da centre de l'orbe terrestre, reparaît dans le mouTement lunaire , avec un signe contraire, et réduite enriron ao dixième de sa Talenr ; pareillement l'inégalité causée par l'action lunaire dans le mouvement de la terre , se reproduit dans celui de la lune , mais aiFaiblie à pea près dans le rapport d'un à deux. Enfin l'action du soleil , en transmettant k la lune , les in^lités que les planètes font éprouver an mouvement de la terre , ,rend cette action indirecte des planètes sur ta Inné , plu* considéraUe que letir action directe sur ce satellite.

Ici nons voyons un exemple de la manière dont les phénomènes en se développant , nous éclairent sur leurs véritables causes. Lorsqne la seule accélération du moyen mouvement de la lune, était connue ;on pouvait l'attribuer à la résistance de l'éther, ou k la transmission saccessive de la gravité. Mais l'analyse nous montre que ces denx causes ne peuvent produire aucune altération sensible dans les moyens monvemena des nœuds et du périgée lunaire, et cela seul suffirait pour les exclure , quand même la vraie cause des variations observées dans ses mouvemeus serait encore ignorée. L'accord de la théorie avec tes observations , noua prouve que si les moyens moavemens de la lune sont altérés par des causes étrangères à la pesanteur universelle , leur influence est très petite et jusqu'à présent insensible.

Cet accord établit d'une manière certaine , la constance de la durée du jonr, élément essentiel de toutes les théories astronomiques. Si cette durée surpassait UAintenant , d'un centième de seconde , celle da temps

DU S¥STÈUE DU MONDE. ' 3o3

dVtpparqQe; la ânrtfe du aikcU actnel serait plna grande ^'ators, de 365",a5 : daos cet interTalle, la luoe difcrit UD arc de 534 ")6; 1* moyeD moaTement séculaire actuel de la lune , en paraîtrait donc augmenta de cette ^Antit^ , ce qui augmenterait de 1 3 ", 5 1 Bon équation séculaire pour le premier siècle , i partir de i8oi, et qui, par ce qnî précède, est de 3i,"5oi7. Les obserrationa ne permettent pas de supposer une augmentation aussi considérable ; on peut donc assurer que depuis Uipparqne, la durée d'un, jour n'a pas varié d'un centième de seconde.

Une des équations les plus importantes de la tbéorie lunaire, en ce qu'elle dépend de l'aplatissement de la terre, est relative an mouvement de la lune en latitude. Cette inégalité est proportionnelle au sinus de la longitude vraie de ce satellite. Elle est le résultat d'une notation dans l'orbe lunaire, produite par l'action du sphéroïde terrestre , et correspondante à celle que la lune produit d^ns notre équatenr , de manière que l*nne de ces nutations est la réaction de l'autre ; et si toutes les molécules de la terre et de la lune , étaient liées fixement entre elles , par des droites inflexibles et sans masse , le système entier serait en équilibre autour du centre de gravité de la terre, en vertu des forces qui produisent ces deux nutations ; la force qui anime la lune , compensant sa petitesse , par la longueur du levier auquel elle serait attachée. On peut représenter cette inégalité en latitude , en concevant que l'orbe lunaire, au lieu de se mouvoir uniformément sur l'écliptique avec une inclinaison constante , se meut avec les mêmes conditions sur un plan très pen incliné k l'écliptique , et passant constamment par les équînoxes , entre l'écliptique et l'équatenr ; phénomène qui se reproduit

3o4 EXPOSmON

d'une manière plus Sensible , dans les mouTemens des satellites ie Jupiter , en vertu de l'aplatissement considérable de cette planète. Ainsi, cette inégalité diminue l'inclinaison de l'orbe lunaire à r^clipti(pie , lorsque son nœud ascendant coïncide avec l'équinoxe du printemps : elle l'augmente , lorsque ce nœud coïncide avec l'équinoxe d'automne ; ce qui ayant eu lieu eo 1755, a rendu trop grande, l'inclinaison que Masson a d^terminëe par les observations de Bradlej de 1760 à 1760. EneR'et, M. Burg qui l'a déterminée par des obserTations faites pendant un plus long intervalle, .et en ayant égard à l'inégalité précédente , a trouvé une inclinaison plus petite de ii"-7- Cet astronome «bien voulu, à ma prière, déterminer le coefficient de cette inégalité , par un très grand nombre d'observations , et .il l'a trouvé égala — a4">^'4T M. Burckhardt en employant & cet objet, un nombre plus grand encore d'observations, vient de retrouver le même résultat qui donne ~-^ pour l'aplatissement delà terre.

On peut encore déterminer cet aplatissement, au moyen de l'inégalité du mouvement lunaire en longitude, qui dépend de la longitude du nœud de la lune. L'observation l'avait indiquée à Mayer, et Masson l'avait fixée i a3",765; mais comme elle ne paraissait pas résulter de la théorie de la pesanteur, la plupart des Astronomes la négligeaient. Cette théorie m'a fait voir qu'elle a pour cause , l'aplatissement de la terre. MM. Burg et Burckhardt l'ont fixée par un grand nombre d'observations, à ia",^7 ; ce qui répond à l'aplatissement TrîîTi. le même à très peu près, que donne l'inégalité précédente du mouvement en latitude. Ainsi la lune , par l'observation de ses mouvemens , rend sensible i l'Astronomie perfectionnée , l'ellipticité de la

DU SYSTÈME DU MONDE. 3o5

terre dont elle fit conDaître la rondeur anx premiers astronomes , par ses éclipses.

Les deux inégalités précédentes méritent toute l'attention des observateurs : elles ont sur les mesures géodésiqnes^ l'avantage de donner l'aplatissement delà' terre, d'une manière moins dépendante des irrégularités de sa figure. Si la terre était bomogèae, elles Seraient beaucoup plus graudes que suivant les observations q[ui. par conséquent, excluent cette bomogénéîté. Il en résulte encore que la pesanteur de la luue vers la terre, se compose des attractions de toutes les molécules de cette planète ; ce qui fournit une nouvelle preuve de l'attraction de toutes les parties de la matière. - '

La théorie combinée avec les expériences du pendule et les mesures des degrés terrestres, donne, comme on l'a va dans le premier chapitre de ce livre , la parallaxe de la lune , k très peu près conforme aux observations ; en sorte que l'on pourrait réciproquement conclure de ces observations , la grandeur de la terre.

Enfin , la parallaxe solaire peut ètce déterminée avec précision, au moyeu d'une équation lunaire en longitude , qui dépend de la simple di^Eince augolaire de la lune au soleil. Pour cela, j'ai calculé avec un soin particulier, le coefficient de cette équation; et en l'égalant i celui que MM. Bnrckliardt et Burg ont trouvé par la comparaison d'une longue série d'observations , feu ai conclu la parallaxe moyenne du soleil, de36",58,la m£me que plusieurs Astronomes ont déduite du dernier passage de Vénus.

Il est très remarquable qu'un Astronome ,' sans sortir de son observatoire , eu comparant seulement ses observations à l'analyse , ait pn déterminer exactement la grandear et l'aplatissement de la terre; et sa dis-

3o6 EXPOSITION

taoce an «deil et à la laae , éiémeju dont la connaiisaace a été le frnît de longs et pénibles voyages dans tes deux h^mùphères. L'accord des rësoltats obtenus par ces denx mëtbodea , est une des preurea les plus frappantes de la graTttaUon unÏTCrselle,

Nos meillenres Tables Innairea sont fondées sur la théorie et snr les obserTations. E^es empruntent de la théorie, les argumens des inégalités , qu'il eût été tris di£Scile de connaître par les observations seules. J'ai déterminé , dans mon Traité de Mécanique céleste , les coeffioiens de ces argumens , d'une m&niire fort approchée ; nuis le peu de Convergence des approximations, et U difficulté de démêler dans le nombre immense des termes que l'analyse développe , ceux qui peuvent acquérir par lea intégrations nne valeur sensible , rend très épineuse, la recherche de ces ooefficiens. La nature elle-mâme nous ofire dans les recueils d'observations , les résultat* de ces intégrations si difficiles i obtenir par l'analyse. MM. Burkharât et Burg ont employé i les d^ terminer, plusieurs milliers d'observations, et ils ont ainsi donné nne grande précision à lenrs Tables lunaires. Désirant d'en bannir tout empirinne , et de voir discuter par d'antres Géomèbres, plnsienrs points délicats de la théorie auxquels je suU parvenu le premier , tels que les équations séculaires des monvemens de la lune ; j\>b< tins de l'Académie des Sciences , qu'elle proposerait pour le sujet de mathématiqnes de l'année 1 810 , la formation par U seule théorie , des Tables lunaires aussi parfaites que celles que l'oa a formées par le concours de la théorie et des observations. Deux places ont été couronnées par l'Académie : l'auteur de l'une d'elles , M. Damoiseau , l'avait accompagnée de tables qui , comparées aux observations, les ont représentées avec

DU STSTËaiE DU HONI^ 307

l'unctitade de nos meilleures tables. Leg adteurs des deux pièces s'accordent sur les inëgalîtis përiodïinies et séculaires des monTemens de la lune. Ils difi^reot peu de mou résultat sur IVqaation séculaire du mojea mon- Tcmeut; mais au Heu des nombres i; 4; o,i65 par lescjnels j'ai représenté les rapports des équations sécnlairesdu mouvement de la lune , relatîrement au so~ leil , an périgée de l'orbe lunaire et à ses nœuds ; ils ont tronvë les nombres i ; 416776; 0,391. M. Damoiseau dans sa pîfcce , avait donné le second de ces nombres k fort peu près égal i 4 i mais ayant revn ses calculs avec un soin particulier , il est parvenu au résultat de MM. Plana et Garlini, anteurs dé l'antre pièce. Comme ils ont porté ibrt loin les approximations ; leurs nombres paraissent préfà>ables k ceux que j'avais déterminés. Enfin , ces approximatioBs leur ont donné les iBf^ens mouvemens du périgée et des nœuds de l'orbe Innaire , exactement conformes aux observations.

n snit incontestablement de ce qu'on vient de voir , que la loi de la gravitation universelle, est la cause unique de tontes les inégalités de la lune; et si l'on considère le grand nombre et l'étendue de ces inégalités , et la proximité de ce satellite k la terre ; on jugera qu*îl est de tous les corps célestes , le plus propre à établir cette grande loi de la nature , et ta puissance de l'analyse , de ce merveilleux instrument sans lequel il e&t été impossible k l'esprit hnnwiii , de pénétrer dans une théorie ausn compliquée , et qui peut être employée comme on moyeu de découvertes , aussi certain que l'obserTetion eUe-m£me.

Quelques partisans des causes finales, ont imaginé que la lune avait été donnée k la terre , pour l'éclairer pendant les nuit<. Dans ce cas, la nature n'aurait point

3oB EXPOSITION

atteint le but qu'elle te serait propose; puisque SOUTent, nous semnies privés i la fois de U lumière du solett et de celle de la lune. Pour j parvenir , il eût snffi de mettre à l'erigine , la lune en oppositiou avec le soleil , dans le plan même de l'ëcliptique , & une distance de la terre , ëgale à la centième partie de la distance de la terre eu soleil ', et de donner i la Inné et h la terre , des vitesses parallèles proportionnelles k leurs distances i cet astre. Alors, la lane sans cesse en opposition au soleil, eût décrit autour de lui , une ellipse semblable 4 celle de la terre ; ces deux astres se seraient succédé l'un à l'antre sur l'IiorizoD ; et comme i cette distance , la lune n'eût point été éclipsée, sa lumière aurait constamment remplacé celle An soleil.

D'autres philosophes frappés de l'opinion singnliire des Arcadiensqni se croyaient pins anciens que la lune, ont pensé que ce satellite était primitivement une comète qui, passant fort près de la terre, avait été forcée par son attraction de l'accompagner. Mais en remontant par t'analyse , aux temps les plus reculés; on voit toujours la lune se mouvoir dans un orbe presque cîrciilaire , comme les planètes autour du soleil. Ainsi, ni U lune , ni ancan satellite n'a été originairement' une

La pesanteur i la surface de la lune, étant beaucoup plus petite qu'à la surface de U terre, et cet astre n'ayant point d'atmosphère qui puisse opposer une résistance sensible au mouvement des projectiles; on conçoit qu'un corps lancé avec une grande force , par l'explosion d'un volcan lunaire, peut atteindre et dépasser la limite où l'attraction de la terre commence k l'emporter snr l'attraction de la lune. Il suffit pour cela , que sa vitesse initiale suivant la verlicftle, soit de sSoo

pyGOOQ

mètres par seconde. Alors aa lien de retomber snr la lune , il devieDt an satellite de la terre , et décrit autour d'elle , une orbite plus ou moios alongëe. Sod impulaîoa primitire peut être tellement dirigée , qu'il aille rencontrer directement l'atmosphère terrestre : il peut aussi ne l'atteindre qu'après plusieurs et même un très grand nombre de révolutions; car il est visible que l'action du soleil , qui change d'une manière très anisible les distances de la lune A la terre, doit produire dans le rayon vecteur d'un satellite mA dans un orbe fort excentrique , des variations beaucoup plus considérables, et peut diminuer k la longue la distance pér^e du satellite, en sorte qu'il pénètre dans notre atmosphère. Ce corpi, en la traversant avec une grande vitesse , éprouverait une très forte résistaitce , et finirait bientM par se précipiter sur la terre : le frottement de l'air, contre sa surface , suffirait pour l'enflammer et le faire détonner , s'il renfermait des matières propres à ces effets; et alors il nous offrirait tous les phénomènes que présentent les aérolitheâ. S'il était bien prouvé qu'ils ne sont point des produits des volcans ou de l'atmosphère, et qu'il faut en chercher la cause au-delà, dans l'espace céleste; l'hypothèse précédente qui, d'ailleurs , explique l'identité de composUîon , observée dans les aéroUthes , par celle de leur origine , ne serait point destituée de vraisemblance.