CHAPITRE II

Des perturbations du mouvement elliptique des planètes.

Si les planètes n'obéissaient qu'à l'action du soleil , elles décriraient autour de lui, des orbes elliptiques. Mais elles agissent les unes sur les autres : elles agissent également sur le soleil ; et de ces attractions diverses, il résulte dans leurs niouvemens elliptiques, des perturbations que les observations font entrevoir, et qu'il est nécessaire de déterminer , pour avoir des tables exactes des mouvemens planétaires. La solution rigoureuse de ce problème, surpasse les moyens actuels de l'analyse, et nous sommes forcés de recourir aux approximations. Heureusement, la petitesse des masses des planètes eu égard à celle du soleil , et le peu d'excentricité et d'inclinaison mutuelle de la plupart de leurs orbites, donnent de grandes facilités pour cet objet. Néanmoins, il reste encore très compliqué, et l'analyse la plus délicate et la plus épineuse est indispensable, pour démêler dans le nombre infini des inégalités auxquelles les planètes sont assujetties , celles qui sont sensibles, et pour assigner leurs valeurs.

Les perturbations du mouvement elliptique des planètes , peuvent être partagées en deux classes très distinctes; les unes affectent les élémens du mouvement elliptique, et croissent avec une extrême lenteur : on les a nommées inégalités séculaires. Les autres dépendent de la configuration des planètes, soit entre elles, soit à l'égard de l(>in\s nœuds et de leurs péribêlies , et se rétablissent toutes les fois que ces configurations redeviennent les mêmes; elles ont été nommées inégalités périodiques , pour les distinguer des inégalités séculaires qui sont également péiioditpies, mais dont l(;s péiiodes beaucoup plus longues sont iiidépentlanles de la configuration mutuelle des planètes.

La manière la plus simple d'envisager ces diverses perturbations , consiste à imaginer une planète mue conformément aux lois du mouvement elliptique, sur une ellipse dont les élémens varient par des nuances insensibles; et à concevoir en même temps que la vraie planète oscille autour de cette planète fictive , dans un très petit orbe dont la nature dépend de ses perturbations périodiques.

Considérons d'abord les inégalités séculaires qui, en se développant avec les siècles, doivent changer à la longue, la forme et la position de tous les orbes planétaires. La plus importante de ces inégalités, est celle qui peut affecter les moyens mouvemens des planètes. En comparant entre elles , les observations faites depuis le renouvellement de l'Astronomie, le mouvement de Jupiter a paru plus rapide, et celui de Saturne, plus lent que par la comparaison de ces ménîes observations, aux observations anciennes. Les Astronomes en ont conclu que le premier de ces mouvemens s'accélère, tandis que le second se ralentit de siècle en siècle; et pour avoir égard à ces changeraens, ils ont introduit dans les tables de ces planètes, deux équations séculaires croissantes comme les carrés des temps , l'une additive au moyen mouvement de Jupiter, et l'autre soustractive de celui de Saturne. Suivant Halley, l'équation séculaire de Jupiter est de 106" pour le premier siècle, à partir de 1700 : l'équation correspondante de Saturne est de :456",g4. Il était naturel d'en chercher la cause, dans l'action mutuelle de ces planètes les plus considérables de notre système. Euler qui s'en occupa le premier, trouva une équation séculaire égale pour ces deux planètes, et additive à leurs moyens mouvemens; ce qui répugne aux observations. Lagrange obtint ensuite des résultats qui leur sont plus conformes : d'autres géomètres trouvèrent d'autres équations. Frappé de ces différences, j'examinai de nouveau, cet objet; et en apportant le plus grand soin à sa discussion , je parvins à la véritable expression analytique du mouvement séculaire des planètes. En y substituant les valeurs numériques des quantités relatives à Jupiter et à Saturne, je fus surpris de voir qu'elle devenait nulle. Je soupçonnai que cela n'était point particulier à ces planètes, et (pie si l'on mettait cette expression sous la forme la plus simple dont elle est susceptible, en réduisant au plus petit nombre, les diverses quantités qu'elle renferme , au moyen des relations qui existent entre

ig8 EXPOSITION

elles; tous ces termes se détruiraient mutuellement. Le calcul confirma ce soupçon, et m'apprit qu'en général, les moyens mouvemens des planètes et leurs distances moyennes au soleil, sont invariables, du moins quand on néglige les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites, et les carrés des masses perturbatrices; ce qui est plus que suffisant pour les besoins actuels de l'Astronomie. Lagrange a confirmé depuis, ce résultat, en faisant voir par une très belle méthode, qui a lieu en ayant même égard aux puissances et aux produits d'un ordre quelconque, des excentricités et des inclinaisons; et M. Poisson a fait voir par une savante analyse, que le même résultat subsiste en étendant les approximations aux carrés et aux produits des masses des planètes. Ainsi les variations observées dans les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne, ne dépendent point de leurs inégalités séculaires.

La constance des moyens mouvemens des planètes et des grands axes de leurs orbites, est un des phénomènes les plus remarquables du système du monde. Tous les autres éléniens des ellipses planétaires, sont variables : ces ellipses s'approchent ou s'éloignent insen.siblement de la forme circulaire : leurs inclinai.sons sur un plan fixe et sur l'écliptique, augmentent ou diminuent : leurs iiérihélies et leurs nœuds sont en mouvement. Ces variations produites par faction mutuelle des planètes, s'exécutent avec tant de lenteur, que pendant plusieurs siècles, elles sont à peu près proportionnelles aux temps. Déjà les observations les ont fait apercevoir: on a vu dans le premier livre, que le périhélie de l'orbe terrestre a présentement un mouvement annuel direct, de 36*, et que la diminution séculaire de l'inclinaison de cet orbe à l'équateur, est de i48". Euler a développé, le premier, la cause de cette diminution que toutes les planètes concourent maintenant à produire par la situation respective des plans de leurs orbes. Cvs variations de l'orbe terrestre ont lait coïncider le périgée du soleil, avec l'équinoxe du printemps, à une époque à laquelle on peut remonter par l'analyse, et que je trouve antérieure à notre ère, de 40^9 ans. Il est remarquable que cette épcxpie astronomique soit à peu près celle où la |)lupart des chioiu>l<>gistes placent la création du monde. Les observations anciennes ne sont pas assez précises, et les observations modernes sont trop rapprochées pour

fixer avec exactitude , la quantité des grands changemens des orbes planétaires; cependant elles se réunissent à prouver leur existence, et à faire voir que leur marche est celle qui dérive de la loi de la pesanteur universelle. On pourrait donc par la théorie, devancer les observations et assigner les vraies valeurs des inégalités séculaires des planètes, si l'on avait leurs niasses ; et l'un des plus sûrs moyens de les obtenir, sera le développement de ces inégalités par la suite des temps. Alors on pourra remonter par la pensée, aux changemens successifs que le système planétaire a éprouvés : on pourra prévoir ceux que les siècles à venir offriront aux observateurs; et le géomètre embrassera d'un coup d'oeil dans ses formules, tous les états passés et futurs de ce système.

Ici, se présentent plusieurs questions intéressantes. Les ellipses planétaires ont-elles toujours été, et seront-elles toujours à peu près circulaires? quelques-unes des planètes n'ont-elles pas été originairement des comètes dont les orbes ont peu à peu approché du cercle, par l'attraction des autres planètes? la diminution de l'obliquité de l'écliptique, continuera-t-elle au point de faire coïncider l'écliptique avec l'équateur, ce qui produirait l'égalité constante des jours et des nuits sur toute la terre? L'analyse répond à ces questions diverses, d'une manière satisfaisante. Je suis parvenu à démontrer que, quelles que soient les masses des planètes , par cela seul qu'elles se meuvent toutes dans le même sens, et dans des orbes peu excentriques et peu inclinés les uns aux autres ; leurs inégalités séculaires sont périodiques et renfermées dans d'étroites limites , en sorte que le système planétaire ne fait qu'osciller autour d'un état moyen dont il ne s'écarte jamais que d'une très petite quantité. Les ellipses des planètes ont donc toujours été et seront toujours presque circulaires; d'où il suit t[u'aucune planète n'a été primitivement une comète, du moins si l'on n'a égard qu'à l'action mutuelle des corps du système planétaire. L'écliptique ne coïncidera jamais avec l'équateur, et l'étendue entière des variations de son inclinaison, ne peut pas excéder trois degrés.

Les mouvemens des orbes planétaires et des étoiles embarrasseront, un jour, les astronomes, lors([u'ils chercheront à comparer des observations précises, séparées par de longs intervalles de temps. Déjà cet embarras commence à se faire sentir; il est donc intéressant de pou-

voir retrouver au milieu de tous ces changemens , un plan invariable ou qui conserve toujours une situation parallèle. Nous avons exposé à la fin (lu livre précédent, un moyen simple pour déterminer im plan semblable, dans le mouvement d'un système de corps qui ne sont soumis qu'à leur action mutuelle : ce moyen appliqué au système solaire, donne la règle suivante.

« Si à un instant quelconque, et sur un plan passant par le centre » du soleil, on mène de ce point, des droites aux nœuds ascendans » des orbes planétaires avec ce dernier plan ; si l'on prend sur ces » droites, à partir du centre du soleil , des lignes qui représentent les » tangentes des inclinaisons des orbes sur ce plan ; si l'on suppose » ensuite aux extrémités de ces lignes, des masses proportionnelles » aux masses des planètes , multipliées respectivement par les racines » carrées des paramètres des orbes, et par les cosinus de leurs incli- » naisons; enfin si l'on détermine le centre de gravité de ce nouveau j) système de masses; la droite menée de ce point au centre du soleil , » représentera la tangente de l'inclinaison du plan invariable, sur le » plan donné; et en la prolongeant au-delà de ce point, jusqu'au ciel, » elle y marquera la position de son nœud ascendant. »

Quels que soient les cbangemens que la suite des siècles amène dans les orbes planétaires, et le plan auquel on les rapporte; le plan déterminé par cette règle, conservera toujours une situation parallèle. Sa position dépend , à la vérité , des masses des planètes ; mais elles seront bientôt suffisamment coinuies, pour la fixer avec exactitude. En adoptant les valeurs de ces masses, que nous donnerons dans le chapitre suivant, on trouve que la longitude du nœud ascendant du plan invariable, était de 1 1 4", 7008 , an commencement du dix-neuvième siècle, et que son inclinaison à l'écliptique était de i°,7565 , à la même époque.

Nous faisons ici abstraction des comètes qui, cependant doivent influer sur la position de ce plan invariable ; puisqu'elles font partie du système solaire. Il serait facile d'y avoir égard par la règle précédente, si lems masses et les élémens de leurs orbes étaient coniuis. Mais dans l'ignorance où nous sommes sur ces objets, nous supposons les niasses des comètes, assez petites poiu* que leiu- action sur le système planétaire soit insensible; et cela paraît fort vraisemblable.

puisque la théorie de l'attraction mutuelle des planètes, suffit pour représenter toutes les inégalités observées dans leurs mouvemens. Au reste si l'action des comètes est sensible à la longue, elle doit principalement altérer la position du plan que nous supposons invariable; et sous ce nouveau point de vue, la considération de ce plan sera encore utile, si Ton parvient à reconnaître ses variations; ce qui présentera de grandes difficultés.

La théorie des inégalités séculaires et périodiques du mouvement des planètes, fondée sur la théorie de la pesanteur universelle, a été confirmée par son accord avec toutes les observations anciennes et modernes. C'est surtout dans la théorie de Jupiter et de Saturne, que ces inégalités sont sensibles : elles s'y présentent sous une forme si compliquée, et la durée de leurs périodes est si considérable, qu'il eût fallu plusieurs siècles, pour en déterminer les lois par les seules observations que sur ce point, la théorie a devancées.

Après avoir reconnu l'invariabilité des moyens mouvemens planétaires; je soupçonnai que les altérations observées dans ceux de Jupiter et de Saturne, venaierit de l'action des comètes. Lalande avait remarqué dans le mouvement de Saturne, des irrégularités qui ne paraissaient pas dépendre de l'action de Jupiter : il trouvait ses retours à l'équinoxe du printemps, plus prompts dans le dernier siècle, que ses retours à l'équinoxe d'automne, quoique les positions de Jupiter et de Saturne , soit entre eux , soit à l'égard de leurs périhélies , fussent à peu près les mêmes. I,ambert avait encore observé que le moyen mouvement de Saturne, qui par la comparaison des observations modernes aux anciennes, paraissait se ralentir de siècle en siècle, semblait au contraire, s'accélérer, par la comparaison des observations modernes entre elles; tandis que le mouvement moyen de Jupiter offrait des phénomènes opposés. Tout cela portait à croire que des causes indépendantes de l'action de Jupiter et de Saturne, avaient altéré leurs mouvemens. Mais en y réfléchissant davantage, la marche des variations observées dans les moyens mouvemens de ces deux planètes, me parut si bien d'accord avec celle qui devait résulter de leur attraction mutuelle, que je ne balançai point à rejeter l'hypothèse d'une action étrangère.

C'est un résultat remarquable de l'action réciproque des planètes ,

que si l'on n'a égard qu'aux inégalités qui ont de très longues périodes, la somme des masses de chaque planète, divisées respectivement par les grands axes de leurs orbes considérés comme des ellipses variables, est toujours à très peu près constante. De là il suit que les carrés des moyens mouvemens, étant réciproques aux cubes de ces axes; si le mouvement de Saturne se ralentit par l'action de Jupiter, celui de Jupiter doit s'accélérer par l'action de Saturne; ce qui est conforme à ce que l'on observe. Je voyais de plus que le rapport de ces variations, était le même que suivant les observations. En supposant avec Halley,le retardement de Saturne, de 256",94 pour le premier siècle, à partir de 1700; l'accélération correspondante de Jupiter serait de to4",9r , et Halley avait trouvé io6",02 par les observations. Il était donc fort probable que les variations observées dans les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne, sont un effet de leur action mutuelle; et puisqu'il est certain que cette action ne peut y produire aucunes inégalités, soit constamment croissantes, soit périodiques, mais d'une période indépendante de la configuration de ces planètes, et qu'elle n'y cause que des inégalités relatives à cette configuration; il était naturel de penser qu'il existe dans leur théorie, une inégalité considérable de ce genre, dont la période est fort longue, et d'où naissent ces variations.

Les inégalités de cette espèce, quoique très petites et presque insensibles dans les équations différentielles, augmentent considérablement par les intégrations, et peuvent acquérir de grandes valeurs dans l'expression de la longitude des planètes. Il me fut aisé de reconnaître de semblables inégalités , dans les équations différentielles des mouvemens de Jupiter et de Saturne. Ces mouvemens approchent beaucoup d'être commcnsurablos, et cinq fois le mouvement de Saturne, est à très peu près égal à deux fois celui de Jupiter. De là je conclus que les termes qui ont pour argument, cinq fois la longitude moyenne de Saturne , moins deux fois celle de Jupiter, pouvaient devenir très sensibles par les intégrations , quoiqu'ils fussent multipliés par les cubes et les produits de trois dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites. Je regardai conséquemment ces termes , comme une cause fort vraisemblable des variations observées dans les

DU SYSTÈME DU MONDE. ao3

moyens mouvemens de ces planètes. La probabilité de cette cause, et l'importance de l'objet, me déterminèrent à entreprendre le calcul pénible, nécessaire pour m'en assurer. Le résultat de ce calcul confirma pleinement ma conjecture, en me faisant voir i' qu'il existe dans la théorie de Saturne, une grande inégalité de 8895",7, dans son maximum, dont la période est de 929 ans, et qui doit être appliquée au moyen mouvement de cette planète; 2° que le mouvement de Jupiter est pareillement soumis à une inégalité correspondante dont la période est à très peu près la même, mais qui affectée d'un signe contraire, ne s'élève qu'à 3662",4- I^'» grandeur des coefficiens de ces inégalités, et la durée de leur période, ne sont pas toujours les mêmes : elles participent aux variations séculaires des élémens des orbites, dont elles dépendent : j'ai déterminé avec un soin particulier, ces coefticiens et leur diminution séculaire. C'est à ces deux grandes inégalités auparavant inconnues, que l'on doit attribuer le ralentissement apparent de Saturne et l'accélération apparente de Jupiter. Ces phénomènes ont atteint leur maximum vers i56o : depuis cette époque, les moyens mouvemens apparens de ces deux planètes, se sont rapprochés des véritables; et ils leur ont été égaux en 1790. Voilà pourquoi Halley, en comparant les observations modernes aux anciennes , trouva le moyen mouvement de Saturne, plus lent, et celui de Jupiter, plus rapide que par la comparaison des observations modernes entre elles; au lieu que ces dernières ont indiqué à Lambert, une accélération dans le mouvement de Saturne, et un retardement dans celui de Jupiter; et il est remarquable que les quantités de ces phénomènes, déduites des seules observations par Halley et Lambert, soient à très peu près celles qui résultent des deux grandes inégalités dont je viens de parler. Si l'Astronomie eût été renouvelée quatre siècles et demi plus tard, les observations auraient présenté des phénomènes contraires; les moyens mouvemens que l'Astronomie d'un peuple assigne à Jupiter et à Saturne, peuvent donc nous éclairer sur le temps où elle a été fondée. On trouve ainsi que les Indiens ont déterminé les moyens mouvemens de ces planètes, dans la partie de la période des inégalités précédentes, où le moyen mouvement apparent de Saturne était le plus lent, et celui de Jupiter, le plus rapide : deux de leurs principales époques dont l'une remonte à l'an 3 102 avant l'ère chré-

2o4 EXPOSITION

tienne et dont l'autre se rapporte à l'an i49i> remplissent à peu

près cette condition.

Le rapport presque commensurable des mouvemens de Jupiter et de Saturne, donne naissance à d'autres inégalités très sensibles. La plus considérable affecte le mouvement de Saturne : elle se confondrait avec l'équation du centre, si cinq fois le moyen mouvement de cette planète , était exactement égal au double de celui de Jupiter. C'est elle principalement qui dans le dernier siècle, a rendu les retours de Saturne à l'équinoxe du printemps, plus prompts que ses retours à l'équinoxe d'automne. En général, lorsque j'eus reconnu ces diverses inégalités et déterminé, avec plus de soin qu'on ne l'avait fait encore, celles qwe l'on avait déjà soumises au calcul; je vis tous les phénomènes observés dans le mouvement de ces deux planètes, s'adapter d'eux-mêmes à la théorie : ils semblaient auparavant, faire exception de la loi de la pesanteur universelle; et maintenant, ils en sont une des preuves les plus frappantes. Tel a été le sort de cette brillante découverte de Newton, que chaque difficulté qui s'est élevée, a été pour elle le sujet d'un nouveau triomphe; ce qui est le plus sûr caractère du vrai système de la nature. Les formules auxquelles je suis parvenu pour représenter les mouvemens de Jupiter et de Saturne, satisfont avec une précision remarquable, aux oppositions de ces deux planètes, obser\ées par les plus habiles astronomes, au moyen des meilleures lunettes méridiennes et des plus grands quarts de cercle : l'erreur n'a jamais atteint l\o" ; et il n'y a pas vingt ans, que les erreurs des meilleures tables surpassaient quelquefois quatre mille secondes. Ces formules représentent encore, avec l'exactitude des observations mêmes, les observations de Flamsteed, celles des Arabes et les observations citées par Ptolémée. Cette grande précision avec laquelle les deux plus grosses planètes de notre système planétaire, ont obéi depuis les temps les plus reculés, aux lois de leur attraction mutuelle, prouve la stabilité de ce système; puisque Saturne , dont l'attraction par le soleil est environ cent fois moindre que l'attraction de la terre par le même astre, n'a cependant éprouvé depuis Ilipparcpie jusqu'à nous, aucune action sensible de la part des causes étrangères.

Je ne puis ra'empêcher ici , de comparer les effets réels du rapport

qui existe entre les moyens mouvernens de Jupiter et de Saturne, avec ceux que l'Astrologie lui avait attribués. En vertu de ce rapport, les conjonctions mutuelles de ces deux planètes se renouvellent dans l'intervalle d'environ vingt années ; mais le point du ciel où elles arrivent, rétrograde à peu près d'un tiers du zodiaque, en sorte que si la conjonction arrive dans le premier point d'Ariès, elle aura lieu vingt ans après, dans le signe du Sagittaire; vingt ans encore après , elle arrivera dans le signe du Lion , pour revenir ensuite au signe du Bélier à dix degrés de distance de sa position primitive. Elle continuera ainsi d'avoir lieu dans ces trois signes, pendant près de deux cents ans; ensuite, elle parcourra de la même manière, dans les deux cents années suivantes, les trois signes du Taureau, du Capricorne et de la Vierge; elle emploiera pareillement deux siècles, à parcourir les signes des Gémeaux , du Verseau et de la Balance : enfin dans les deux siècles suivans , elle parcourra les signes de l'Écrevisse , des Poissons et du Scorpion, pour recommencer après, dans le signe d'Ariès. De là se compose mie grande année dont chaque saison a deux siècles. On attribuait luie température différente à ces diverses saisons ainsi qu'aux signes qui leur répondent : l'ensemble de ces trois signes se nonsmait trigone : le premier trigone était celui du feu; le second, celui de la terre; le troisième, celui de l'air; et le quatrième, celui de l'eau. On conçoit que l'Astrologie a dû faire un grand usage de ces trigones que Kepler lui-même a expliqués avec beaucoup de détail, dans plusieurs ouvrages. Mais il est remarquable que la saine Astronomie, en faisant disparaître cette influence imaginaire du rapport cju'ont entre eux les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne, ait reconnu dans ce rapport, la source des grandes perturbations du système planétaire.

La planète Uranus, quoique récemment découverte, offre déjà des indices incontestables des perturbations cpi'elle éprouve de la part de Jupiter et de Saturne. Les lois du mouvement ellipticjue ne satisfont point exactement à ses positions observées, et pour les représenter, il faut avoir égard à ses perturbations. Leur thc'orie, par un accord singulier, la place dans les années 1769, 1766 et 1O90, aux mêmes points du ciel où Le Monnier, Mayer et Flamsteed avaient déterminé la position de trois petites étoiles que l'on ne retrouve plus aujourd'hui; ce qui ne laisse aucun doute sur l'identité de ces astres avec Uranus.

ao6- EXPOSITION

Les petites planètes que l'on vient de découvrir , sont assujetties à de très grandes inégalités qui répandront un nouveau jour sur la théorie des attractions célestes, et donneront lieu de la perfectionner; mais il n'a pas encore été possible de reconnaître ces inégalités par les observations. Il n'y a pas trois siècles que Copernic introduisit le premier dans les tables astronomiques le mouvement des planètes autour du soleil : environ un siècle après , Kepler fit entrer les lois du mouvement elliptique, qu'il avait trouvées par les observations de Ticho-Brabé, et qui ont conduit Newton à la découverte de la gravitation universelle. Depuis ces trois époques à jamais mémorables dans l'histoire des sciences, les progrès de l'analyse infinitésimale nous ont mis à portée de soumettre au calcul les nombreuses inégalités des planètes, qui naissent de leurs attractions mutuelles, et par ce moyen , les tables ont acquis une précision inattendue : auparavant, leurs erreurs étaient de plusieurs minutes; maintenant elles se réduisent à un petit nombre de secondes, et souvent il est probable que leurs écarts sont dus aux erreurs inévitables des observations.

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