M'H = M'I=C'M'— CI

Mais (9)

CM' = arc CC + CM = arc CC + CI ; donc

M'H=^arcCC + CI — CI,

ou, en nommant P le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur CM',

M'H = (arcCC' — C'P)4-(CI — IP).

Des deux termes qui forment le second membre de cette équation, le dernier est infiniment petit par rapport à corde CC — CP; il l'est à plus forte raison par rapport au premier terme, et dès lors il doit être négligé. Cela résulte, d'après le numéro précédent, de ce que CC est infiniment petit tandis que CI est fini, et de ce que P est la projection de C sur Cl. On a donc

M'H = arcCC — CP.

Tout est ainsi ramené à trouver l'expression de l'excès de l'arc CC sur la longueur CP. Cette expression se déduit avec une égale facilité de l'un ou de l'autre des deux théorèmes établis au N" 17. Faisons usage du premier, et remarquons à cet effet que arc CC ■ — CP est la somme des deux différences

arc CC — corde CC cl corde CC—CP.

La premièi-e étant la dilîérence d'un arc infiniment petit à sa corde,

elle a pour valeur la vingt-quatrième partie du produit de l'arc CC par le carré de l'angle des tangentes en G et en C. Or l'arc CC est précisément égal à l'accroissement àp que prend le rayon de courbure quand on passe de M à M', et l'angle des tangentes en C et G' est égal à celui des tangentes en M et en M', c'est-à-dire à s. On a donc

arc GC'^ coide CC'^xTsMp.

Quant à la seconde diiFérence, par la propriété du carré de l'hypoténuse elle est égale à — ■■ ■. Or on peut dans ce rapport

remplacer corde CC' ainsi que C'P par arc GC' ou ap, puis CP par -sàp (i5). Il devient alors -j^Ap, et l'on a par conséquent

corde CC'—C'P = ^,V Les trois dernières égalités donnent, en les ajoutant,

Ainsi, la distance de M' au cercle osculaCeur en M esC la sixième partie da produit de l'accroissement du rayon de courbure par le carré de l'angle de contingence.

Ou a supposé que le rayon de courbure allait croissant de M vers M', et la figure a été construite en conséquence. S'il allait décroissant on trouverait {fig. 35), les usâmes lettres continuant à désigner les mêmes choses,