M'H=M'I = G'I— CM

= CJ — CM -^ arc CC — C'I — CI +arcCC = IP — CP — CI + arc CC ^ (arc CC — CP) — (Cl — IP).

Le terme (CI — IP) est devenu soustractif, d'additif qu'il était; mais nous avons vu que ce ternie doit être négligée comme infiniment petit comparé à l'autre. En le supprimant on retrouve îa valeur do M'H déjà obtenue.

C'est un contact du deuxième ordre que celui de la courbe et du cercle osculateur, d'après la définition, donnée ci-dessus au n" 18, de l'ordre du contact de deux lignes qui so touchent.

Remarque. MM' ou As étant du premier ordre infinitésimal ainsi que t, si i/i est d'un ordre supérieur, ce qui peut arriver, mais seulement en des points isolés, alors la distance de M' au cercle osculateur en M est d'un ordre supérieur au troisième. Nous aurons plus loin à invoquer cette proposition. Si l'on éprouve, à la tenir pour une conséquence de la formule ci-dessus, quelque scrupule venant de ce que nous avons obtenu celle-ci en appliquant à la développée deux théorèmes (ceux des o!^ i5 et 17) qui cessent d'avoir lieu au point C de cette courbe lorsque 4p et t ne sont pas du même ordre, on l'établira directement comme suit : Appelons n l'ordre infinitésimal de Ap; nous allons reconnaftre que la distance en qiiestion est de l'ordre « -l- 2 au moins. Pour le démontrer on commencera par faire voir, en suivant la même marche que tout à l'heure, que cette distance est, en tant qu'infiniment petite, égale à

arc ce — C'P.

Ckinsidérons maintenant l'intersection Q (Gg. ^1) des tangentes k la développée en C et en G' ; à cause de

arc ce < CQ + G'Q, l'expression ci-dessus est plus petite que

CQ + C'Q~C'P, c'est-à-dire que CQ — PQ,

et la proposition sera acquise si nous faisons voir que cette dernière différence est de l'ordre n -f- a au moins. Or on rend la chose évidente en remarquant que, l'ano'Ie GQP étant égal à s, on a

CQ-PQ = »CQ»m'!,, et que dans le second membre de cette é§;alité le facteur GQ est plus petit que la somme CQ -f- C'Q, qui est de l'ordre n, puisqu'elle est (3 Rem. 1), en tant qu'infiniment petite, ég-ale à l'arc GC, et par suite à Ap.

Le lecteur pressé de connaître les propriétés des lignes non planes peut dès à présent passer à la seconde partie de l'ouvrage, car jusqu'à la fin de la première tous les numéros auront l'astérisque.

'*26. Lemmes. Nous nous proposons, dans les deux numéros qui suivront celui-ci, d'effectuer les déterminations annoncées au n" i3. Les mômes lettres (fig. 23) désignant les mêmes choses qu'ai

précédent (on n'a pas tracé les arcs MM', MI qui auraient chargé la figure sans utilité) supposons pour fixer les idées que le rayon de courbure aille croissantdeM vers M'. Soit MT la tangente au point M; menons les tangentes en M' et en I à la courbe et au cercle, et soient L, K et R les points en lesquels MT est coupé par ces deux tangentes et par une parallèle menée de I à la première. Nous allons chercher

la limite du rapport -p-.

On a RL

^sn

tlRT'

RK

sinlRT '

M'I. Cl IK.CP ■

*°" KR-

= ÎK:

sin RIK

"" IKs

in CIP ""

On n'altère pas la limite de

ce demi

ier rapport

enyï

remplaçantM'I

par ît^Ap , Cl ou

f pa,

par as.

et GP par

Cm

substitua

tions faites , il

vient

donc lir

liL 3

° RK ^ i'

eti'

on tin

ode là

Appelons S l'intersection des tangentes M'L, IK ; de ce que ^^

est inférieur k l'unité il résulte que S lomhe bien, comme le représente la figure, dans l'angle M'MT.

*27; Différence des angles que font avec la corde MM' les tangentes en M et en W.

Dans la figure du numéro précédent tirons les cordes MM', MI; appelons M et M' les ang^les M'ML, MM'L qui sont ceux dont on veut connaître la différence. Dans la recherche de cette différence nous négligerons les quantités d'ordres plus élevés que le second.

On a M = IMT — IMM'.

L'arc MI étant un arc de cercle, l'angle IMT vaut la moitié exactement de son angle de contingence, c'est-à-dire la moitié de IKT. Représentant ce dernier angle par e, on a donc M=^e — IMM'.

L'angle IMM' élant du second ordre puisque M'I est du troisième,

on n'altère cette valeur de M que d'une quantité d'un ordre supérieur

au second si l'on y remplace l'ansrle IMM' par le rapport ,

' ^' cordeMM'

qui lui est égal en tant qu'infiniment petit puisque M'I est à la limite perpendiculaire à la corde MM'. Ecrivant d'ailleurs sî'ip au lieu de M'I et 4s au lieu de corde MM', il vient

et cette valeur de M n'est fautive que d'une grandeur d'ordre supérieur au second.

D'un autre côté, le triangle SLK donne M'LT = IKT — LSK, ou, à cause de M'LT = ., de IKT — e, et de LSK = M'SI = CIP, t=e — CIP.

L'angle CIP est du second ordre, car son sinus est le quotient de CP, qui est du second ordre, par CI qui est fini. Dans la valear cidessus de s substituons à CIP son sinus -^. Ecrivant -tAp au lieu de CP et — au lieu de CI, il vient

^ ' s As

et cette valeur de t n'est fautive que d'une quantité d'ordre supérieur au second.

Or M' est égal as — M, d'où M — M' ^^ 2M — z. Remplaçant au second membre M et i par leurs valeurs (i) et (2) il vient