M'L — ML

*30. Lemme. AB et AC (%. a4} sont deux arcs infiniment petits du premier ordre qui se touchent au point A. Ou suppose que la direction BC fait avec la normale commune en A un ang'le du premier ordre. Nous voulons montrer que la différence des arcs AB, AC est du troisième ordre au moins.

Soit BE perpendiculaire à la tangente commune AT, et soit D l'intersection de cette tangente par BC prolongé. Nous avons obtenu an n" 25 l'expression de la différence entre un arc du premier ordre et sa projection sur la tangente en son origine, c'est>-à-dire l'expression d'une différence telle que arc AB — AE, et cette expression est du troisième ordre. D'un autre côté ED est du troisième ordre aussi, car il est le produit de BE qui est du second (i5) par la tangente de l'angle EBD, et cet angle est du premier ordre eo tant qu'égal à celui que fait BD avec la normale AV, lequel est du premier ordre par hypothèse. Donc la différence

=h (arc AB — AD) est du troisième ordre au moins, et l'on établirait de même que

± (arc AC — AD) est du troisième ordre ou d'un ordre supérieur. Il suit de là que la différence des arcs AB et AC ne saurait être d'un ordre inférieur au troisième.

*31. Lemme. Dans la figure ai, où Q est l'intersection des normales en M et en M'et où C est le centre de courbure en M, concevons que de Q comme centre avec QM pour rayon ou décrive un cercle. Ce cercle coupera la normale QM' en un point qui n'est pas marque sur la figure et que nous nommerons B. Or à. cause de CM = ^, angle MQM' = s,

ai-c de cercle MB on a, ngoureusomeni, = ^ + Cy.

La différence entre l'arc de cercle MB et l'arc MM' ou 4s est du troisième ordre au moins, d'après le numéro précédent. En outre CQ

diffère do gare CC ou -ip d'une quantité qui est du second ordre puisque la différence des longueurs CQ, C'Q est du second ordre (28), et que leur somme n'excède l'arc CC ou Ip que par le troisième (17). Remplaçant dans l'égalito ci dessus arc MB et CQ respectivement par is et -ip, il vient

et cette relation est exacte au second oi'dre près. *32. Angle de contingence de l'arc — .

De la relation qui vient d'être obtenue on déduit

valeur de s qui n'est en défaut que d'une quantité d'ordre supérieur au second. La multipJiant haut et bas par p — ^ip , puis néglig-eant au dénominateur le terme en Ap', par quoi l'on n'introduit qu'une erreur du troisième ordre, il vient

Aï jApAs

Ceci acquis, soit A un point de l'arc MM'. Soient 7 l'an^jle de contingence de l'arc MA, et 3p l'accroissement du rayon de courbure

de M à A. Supposant l'arc MA égal à ^, la dernière relation donne

Or elle donne aussi

et de ces deux résultats on déduit

Mais par le principe d'après lequel les accroissements infiniment

petits de, la fonction sont proportionnels à Ci Sp vaut —, paT quoi la dernière égalité devient

Remplaçant au dénominateur p par — , jjuis faisant, (

edec vre, m ^ 2, et appelant t î'angle de conting-ence de l'ar

*33. Anffle que fait la corde MM' avec la tangente au milieu de l'arc.

Soit n (fig. 35, où m est le milieu de l'arc), l 'intersection de cette corde et de cette tang^ente ; il s'ag^it d'obtenir l'expression de l'ang-le n. La propriété de l'angle extérieur d'im triangle donne n = l—M.

Les valeurs des angles / et M ont été formées, l'une tout à l'heure, l'autre dans la remarque qui termine le n" z-]. On en tire

Le dessin de la %ure est justifié par le fait de / > M, d'où il résulte que c'est à droite que la tangente en m va couper la corde pi-olongée.

*34. Direction da diamètre, au point en lequel il rencontre la courbe.

On appelle diamètre la ligne qui coupe en leurs milieux toutes les cordes parallèles à une même droite. La tangente à la courbe, au point où celle-ci est rencontrée par le diamètre, est parallèle à ces cordes. Dès lors la direction à déterminer est celle de la droite qui joint le milieu de la corde d'un arc infiniment petit au point de l'arc en lequel la tangente est parallèle à la corde.

Cette droite se confondant, dans le cercle, avec la normale au point où elle rencontre l'arc, on pourrait au premier abord penser que, dans toute autre courbe, l'angle qu'elle fait avec cette normale est infiniment petit. Mais ce n'est pas le cas, et indépendamment de la

recherche qui va nous occuper, la connaissance d'une courbe quelconque, celle de l'ellipse par exempte, suffit pour le reconnaître. Soit en effet E le point de l'arc où la tang'ente est parallèle à la corde. Nous supposerons que les deux estrémit^is de l'arc aillent se rapprochant de telle manière que la corde reste parallèle à elle-même, et aiors le point E sera fixe. La limite de la droite qui joint E au milieu de la corde étant tangente en E au diamètre qui passe par ce point, pour que cette droite fît avec la normale en E un angle infiniment petit il faudrait que tout diamètre filt, au point où il coupe la courbe, lang«nt à la normale. Dans l'ellipse, les diamètres étant des droites, ils devraient donc se confondre avec les normales. Or cela n'a pas lieu, puisque tous le.s diamètres de l'ellipse passent par le centre, et que les seules normales de cette courbe qui passent par le centre sont celles conduites par les sommets.

Il s'ag^it donc de déterminer la direction de la droite qui joint le milieu A (fig. 26} d'une corde infiniment petite au point E de l'arc où la tang^ente est parallèle à cette corde. Nous chercherons à cet effet la limite 9 de l'ang'le qu'elle fait avec la normale en ce point de l'arc. Ce que nous appelons 9 c'est donc l'angle que fait la normale en E avec la limite de la direction EA.

Soit m le milieu de l'arc, et soit B le point où l'arc est coupé par la perpendiculaire élevée en A à la corde. Les cordes BM, BM' étant égales, la différence des arcs BM, BM' est du troisième ordre au moins, et, par conséquent, l'ordre de grandeur de l'arc /nB, m.oitié de cette différence, n'est pas inférieur au troisième. Il suit de là, et de ce que AB est du second ordre (16), que l'angle mAB est infiniment petit. Dès lors la droite mk est à la limite perpendiculaire à la corde MM'. Partant, elle fait un angle infiniment petit avec la normale en un point quelconque de l'arc MM' , donc avec la normale en E, et par conséquent oa a

e = lim angle ;jiAE.

En outre, la direction mE se confondant à la limite avec celle de la tangente au point E, l'angle EmA diffère infiniment peu d'un angle droit; par suite on a

et puisque rriB est d'un ordre supérieur ù celui de AB, inA a, comme

AB, pour expression -sxs (lO); on a donc

,. arc mE tange = lim — 5 '

et tout [■evient à trouver l'expression de l'arc r/iE.

L'angle que font entre elles les tang;entes aux points m et E est

précisément ég^al à celui que fait la première de ces deux tangentes

avec la corde MM', c'est-à-dire à l'angle n du numéro précédent, que

nous avons trouvé valoir — — -. On obtiendra l'arc /«E à une fraction

près de lui-mSme infiniment petite en multipliant i'angle de ses tangentes extrCmes par le rayon de courbure au point m, ou par toute autre grandeur qui en difl'ère infiniment peu, par conséquent par le

rayon de courbure en M, qu'on peut ici remplacer par — . Le produit

Substituant enfin dans l'égalité ci-dessus à arc mE cette valeur, il vient,

Remarque. — La longueur mE étant du second ordre d'après l'expression que nous venons d'en écrire, et Bm étant d'un ordre plus élevé comme on l'a vu tout à l'heure, BE est du second, et de là

(*) Celte formule a étt obtenae, mais d'une manière toute différente, par M. Abel Transon, dans un mémoire inséré au Journal de LiouoUle, volume de 1841, pages 191 et suivantes. L'auteur l'établit pour le cas des sections coniques, puis il fait voir que, de ce qu'elle a iieu dans les sections coniques, il résulte qu'elle a lieu dans toute courbe. Dans son livre intitulé Des méthodes en géométrie (18^), au o" 54, M. Paul Serret l'a établie a l'aide de la développaote du cercle. Le même auteur en a donné plus tard une démonstraiion géométrique indépendante de la considération de toute ligne particulière,, et d'ailleurs fort Iiabile, qu'on trouvera dans le volume pour le premier semestre de 1876 des Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences de Paris, à partir de la page 67. Celle qu'on rient de lire a été composée pour la seconde édition du présent ouvraçe (1806).

e une proposition qui nous sera utile plus loin. La corde BE, e toute corde inscrite dans le segment MM', est parallèle à la limite à la corde de ce seg;ment, et il suit de là que, G étant le pied de la perpendiculaire abaissée de E sur cette dernière corde, la différence des longueurs BA et EC est d'ua ordre plus élevé que celui de BE, donc d'un ordre supérieur au second. Or nous avons rappelé il y

lis* a un instant l'expression de BA, qui peut s'écrire - — -, et comme

P cette expression est du second ordre, elle est aussi celle de EC, de la distance, à la corde d'un arc infinitésimal, du point culminant de cet arc, du point où la tangente est parallèle à la corde.