LES LIONES NON PLANES

Propriété fondamentale des surfaces, et premières notions sur les surfaces développables.

On. ne saurait, sans ce préliminaire, aborder l'ôtude des propriétés des lignes non planes ; mais nous aurons soin de le réduire au strict nécessaire. La définition de la tang^ente est, dans ces lig^nes, la même que dans les courbes planes, et il y aurait ici à répéter mot pour mot le contenu du n" 2.

35. P désignant un point quelconque d'une surface, les tangentes enP à toutes les lignes tracées par ce point sur la sur/ace sont, en général, contenues dans un même plan.

Considérons la surface comme eng'endrée par une li§;ne génératrice qui se meuve en se déformant d'une manière continue. Soit PX (Kg:. 27) ia g'énératrice à l'instant où elle passe par le point P, et soient PY, PZ deux lignes quelconques tracées sur la surface par ce point ; la proposition sera démontrée si l'op fait voir que les tangentes en P aux trois courbes PX, PY, PZ sont dans un même plan.

Prenons la génératrice dans une position infiniment voisine de PX, et soient P',P° les points où elle coupe alors PZ etPY.Leplan PP'P" contient : i" la corde PP', qui, à la limite, devient la tangente en P

à la iigne PY; a" k cordo PP",qui, à la limite, devîeot lu lang'eotfl en P à ta li^e PZ; 3" la corde P'P", qui ditFère infiniment peu de la lang'ente en P' à la génératrice, et par suite aussi de la tangente enP àPX. La limite du planPP'P" contient donc les tangentes en P aux trois lignes PX, PY, PZ (*).

Il arrive qu'une auri'ace présente des points saillants ; en de tels points la démonstration échappe, elle ne se fait plus, et le tliéorème n'a pas lieu. Il peut même se trouver en défaut en tous les points d'une lig^e, lorsque la ligne se dessine sur la surface en forme d'arôte. Mais le théorème ne saurait jamais n'avoir lieu en aucun des points d'une partie de surface, quelque petit que soit d'ailleurs le contour fermé qui la limite. C'est là ce qu'il faut entendre quand on dit que la proposition est vraie en général.

Le plan qui renferme les tangentes à toutes les courbes tracées sur une surface par un de ses points est appelé le plan tangent à la surface en ce point. La perpendiculaire menée au plan tangent par ce point porte le nom de normale, et le point lui-même est le point de contact.

Cor. I. Le pian tangent est déterminé par les tangentes à deux quelconques des courhes qu'on peut conduire sur la surface par le point de contact.

Cor. II. Dans une surface réglée (on appelle ainsi celles qui, comme par exemple les cônes et les cylindres, sont eng-endrées par le mouvement d'une droite), le plan tangent contient la génératrice qui passe par le point de contact.

Cor. m. P' étant un point de la surface infiniment voisin de P, la distance de P' au plan tangent en P est en général de l'ordre du carré de PP'. On le démontre à l'aide de la courbe suivant laquelle la surface est coupée par le plan que déterminent la normale en P et le point P'.

36. Concevons qu'on se déplace sur une surface réglée en se transportant le long d'une génératrice, et qu'en chacun des points de

celle-ci on considère le plan tangent. Il arrive do deux choses ou bien le plan tangent, qui ne cesse pas de contenir 1; change de direction d'un point à l'autre, tournant autour de la génératrice, ou bien il ne change pas de direction et reste identique k luimême. Dans ce dernier cas, le plan tangent en un point de la surface est tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point. Ce cas est celui des cylindres et des cônes, et d'autres surfaces encore que nous apprendrons plus loin à connaître.

Lorsque le plan tangent en chaque point d'une surface réglée est tangent dans toute l'étendue de la génératrice qui passe par ce point, ou peut faire rouler un plan sur la surface, et dans chacune des positions successives qu'il prend en vertu de ce mouvement il touche la surface dans toute l'étendue d'une droite. La surface peut alors être développée sur un plan, car on peut concevoir que le plan roulant entraîne avec lui tout ce qu'il touche, comme s'il était recouvert d'une matière visqueuse, et alors, son mouvement terminé, il aura développé la surface sans déchirures et sans pticatures. C'est pour cela que les surfaces réglées en lesquelles le plan tangent est tangent tout le long d'une génératrice sont appelées surfaces développabUs. Les autres surfaces réglées, celles en lesquelles le plan tangent varie d'un point k un autre d'une même g-énératrice, sont appelées surfaces gauches.

37. Concevons une courbe tracée sur une surface dévcloppable r le plan que nous supposons rouler sur la surface en en entraînant les parties à mesure qu'il les touche entraînera aussi la courbe, qui finira par se trouver transformée en une ligne plane, droite ou courbe. On admettra qu'à chaque instant du mouvement la partie déjà transformée de la courbe se raccorde avec celle qui ne l'est pas encore, c'est-à-dire qu'à leur point de rencontre ces deux parties ont même tangente.

Au lieu de se représenter, comme nous venons de le faire, le plan déroulant sur lui-même la surface, on peut se le représenter s' enroulant sur elle de manière à l'envelopper graduellement. Alors une ligne préalablement tracée sur le plan se transformera en une courbe tracée sur la surface, et à chaque instant du mouvement la partie

dûjà enroulée se raccordera avec celle qui ne l'est pas encore, de sorte qu'à leur point de rencontre ces deux parties auront même tangente. Si au lieu d'uoe courbe on a tracé sur le plan une droite, elle se trouvera à chaque instant tang^eute à la courbe suivant laquelle elle s'enroule, au point où elle s'en sépare.

Concevons qu'on dérouie une surface développablc sur le plan tangent suivant l'une de ses g^éoératrices. Considérons une courbe tracée sur la surface et coupant cette génératrice en un point P. De la proposition énoncée tout à l'heure il résulte que la tangente en P à cette courbe est tangente aussi en P à sa transformée dans le plan tangent.

On en déduit encore que si deux lignes tracées sur une surface développable se coupent sous un certain angle, — on appelle angle de deux lignes qui se croisent l'angle de leurs tangentes au point de croisement, — et qu'on développe la surface sur un plan, les transformées de CCS deux lignes continuent c\ se couper sons le même angle.

38. On admettra encore que la longueur d'un arc tracé sur une surface développable n'est point altérée par le développement de la surface sur un plan. En d'autres termes, an arc tracé sur une surface développable est égal en longueur à la transformée plane à laquelle il donne naissance quand on développe la surface. La même égalité a lieu entre un arc tracé sur un plan et la transformée qu'il engendre quand on enroule le plan sur une surface dévelop-

Nous aurons plus tard iV revenir aux surfaces réglées afin de compléter ces notions; nous les quittons maintenant pour l'étude des courbes non planes, appelées aussi courbes gauches et courbes à double courbure. On verra un peu plus loin le motif de cette dernière dénomination.

De la tangente.

39. Lemme. — Dans une courbe non plane, comme dans une courbe plane, un arc infiniment petit et sa corde sont des infiniment petits égaux.

II s'ao-it de montrer que la limite du rarinort — , ■ ■,",, ■■- est l'unité. = ' " corde 31M'

Par le point M (fig". 28) conduisons un plan qui ne contienne pas la tangente en ce point, puis faisons glisser le long de l'arc une droite assujetlie à rester perpendiculaire à ce plan ; cette droite engendre un cylindre et décrit sur le plan un arc dont nous nommerons m' la seconde extrémité. Soient MT, M< les tangentes en M aux arcs MM', Mm' ; elles sont situées dans le plan tangent au cylindre suivant la génératrice qui passe par M (35).

Développons le cylindre sur ce plan (angenl, et soient K, k les positions que viennent occuper M' el m' par l'effet du développement : k est situé sur M(, et MT est langent en M à la transformée de l'arc MM', c'est-à-dire à l'arc MK (37). En outre, on a (38) arc MK = arc MM', M' m' = K/r.

L'ang:le K/cM est droit, et si l'on tire la corde Mm' l'angle M'/n'M est droit aussi; en conséquence on a

Kfr = corde MK sin KMfc, M'm' =: corde MM' sin M'Mm', et de ces deux égalités on tire par division corde MK sin KMK

corde MM' sin M'Mm' Les angles KMA et M'Mm' tendant tous deux vers TMï, le rapport sin KMfr

a pour limite runité. On a donc corde MK "" corde MM' ~ '' Mais l'arc MK étant plan, on peut le substituer à sa corde, ce qui donne

arc MK

corde MM' ' ou, iV cause de l'égalité des arcs MK et MM',

,. arc MM' ^^^

^"^ corde MM' ^'<'- On verra plus loin que la différence entre l'arc MM' et sa corde est du troisième ordre, et que l'expression de cette différence est la même que dans les lignes planes.

(+) Voir mm. ann. rie math., 18o3, p. 212 el 213.

40. Dans ane courbe non plane, comme dans une courbe plane, l'angle des tangentes auœ deux extrémités d'un arc infiniment petit est, en général, du même ordre que Parc.

Concevons que tandis qu'un mobile se transporte le loQ§r de la courbe, une droite assujettie à passer par le centre d'une sphère de rayon unité se meuve de manière à être constamment parallèle à ia tangente à la courbe au point où le mobile se trouve dans le môme instant. Cette droite, par l'effet de son mouvement, coupe la surface de la sphère suivant une ligne qui a reçu le nom à' indicatrice: sphérique. L'arc de cette indicatrice est celui de la courbe primitive, ■comptés à partir de points pris sur ces deux lignes, sont deux quantités fonctions l'une de l'autre, et dès. lors les accroissements simultanés et infiniment petits de l'un et de l'autre sont du même ordre infinitésimal. Si donc on appelle m et m,' les points de l'indicatrice ^sphérique qui correspondent aux points M et M' de la courbe primitive, les arcs MM', mm' sont du même ordre.

Cela posé, par m et par m' faisons passer un grand cercle de la sphère. L'angle des tangentes en M et en M' étant égal à l'arc mm' ■de ce grand cercle, la question est ramenée è montrer que cet arc est du même ordre que l'arc mm' de l'indicatrice. Or non seulement ces deux arcs sont du même ordre, mais ce sont des infiniment petits égaux, puisqu'ils ont la même corde (Sg).

Cor. — On a vu que dans une ligne plane la distance de M' à la tangente en M est de l'ordre du carré de l'arc MM'. On fait voir aisément qu'il en est de même dans une ligne non plane. Il suffit pour cela de projeter la figuie sui un plan Alors le raisonnement sera fondé sur ce que la projection de la tang^ente est tangente à la projection de la courbe (comme jI résulte de la définition même de la tangente), et sur ce qu une droite mfaniment petite et sa projection sont du même ordre infinitésimal pourvu seulement que l'angle que fait la droite projetée avec le plan de projection ne soit pas droit à la

Nous verrons du reste plus loin (58) que la distance de M' à la tangente en BI a pour expression, comme dans les lignes planes, la moitié du produit de l'arc par l'angle de contingence ; aussi le p ■corollaire n'a-t-il été donné que parce que nous allons en avoir b

Du plan osculateur.

H. Définition du plan oscillateur. Parmi les plans qu'on peut coiiduire par un point donné d'une ligne non plane, il j en a un particulièrement remarquable. On arrive à la notion de ce plan en cherchant l'ordre infinitésimal de la distance de M' à un plan passant par M.

Soit P (fig. ag) la projection de M' sur un plan mené à volonté par

M; il s'agît de déterminer l'ordre de M'P. On a

~ = siaM'MP,