MM

Lors donc que le plan ne contient pas la tang-ente en M, la limite

M'P du rapport -tt^, est finie, el par suite M'P est du premier ordre.

Supposons maintenant que le plan renferme la tangente en M; alors, l'angle a. étant nul, M'P (fig. 3o) n'est plus du premier ordre, et l'on va voir qu'il est généralement du même ordre que la distance de M' à la tangente en M, par conséquent du second. De M' abaissons. M'T perpendiculaire à la tangente en M, et joignons PT, qui sera aussi perpendiculaire à cette tangente. Dans le triangle M'PT, rectangle en P, l'angle T est fini; pour qu'il fû! infinimenl petit il faudrait que le plan fût dirigé suivant la limite de la direction TM', et pour le moment nous écarterons ce cas. L'angle T étant fini, et l'angle P l'étant aussi puisqu'il est droit, le rapport des longueurs M'P et M'T est fini, ce qui fait que ces longueurs sont du même ordre.

II ne reste à considérer que le cas exceptionnel écarté tout à l'heure,, celui où le plan est conduit par la tangente et par la limite de la direction TM'. Alors M'P, distance de M' à ce plan, est d'un ordre supérieur à celui de M'T, distance de M' à la tangente, puisqu'il est le produit de M'T par le sinus de l'angle M'TP, qui, d'après l'hypothèse, tend vers zéro. M'P est donc, dans le cas qui nous occupe, d'un ordre supérieur au second. Nous formerons plus loin son expression et l'on verra qu'il est du troisième ordre.

-Bill existe donc en chaque poiat M d'une ligne non plane un plan dont le contact avec elle est plus intime que celui de tout autre plan conduit ég'alement par M. La distauce de M' à ce plan est d'un ordre supérieur à l'ordre de la distance de M' à la tang'ente, et, parmi tous les plans qui passent par M, il est le seul qui jouisse de cetl« propriété. Ce plan remarquable a reçu le nom de plan osculatear. D'après ce qui précède, il est la limite du plan mené par la tang^ente et par la perpendiculaire abaissée de M' sur la tangente. En d'autres termes, le plan oscalateur en un point d'une courbe non plane est la limite da plan déterminé par la tangente en ce point et par an second point de la coarbe infiniment voisin {*).

Le plan osculateur peut encore, nous le verrons dans les numévoù suivants, être envisagé de deux autres manières : i" comme limite du plan conduit par la tangente en M parallèlement à celle en M' ; 2" comme limite du plan déterminé par trois points de la coui'be infiniment voisins.

42. Le plan osculateur en M est identique à la limite du plan déterminé par la tangente en M et par une parallèle menée de M à la tangente en M', donc à la limite du plan mené par la première de ces deux tangentes parallèlement à la seconde.

Appelons A ce plan. On va reconnaître qu'il fait un angle infiniment petit avec le plan considéré tout à l'heure, celui que déterminent la tangente MT et le point M', et de là résultera la proposition. Nommons B ce dernier plan.

Projetons l'arc MM' sur un plan perpendiculaire à MT, par exemple sur le plan normal (on appelle ainsi le plan perpendiculaire à MT mené par M). Soit m' (fig. 3i) la projection de M' ; c'est suivant la droite Mm' que le plan B coupe le plan normal.

Soit MN l'intersection du plan normal par le plan A; MN est la projection, sur le plan normal, de la parallèle tiré de M à la tangente en M'. L'angle NM/îî' est l'angle des plans A et B, et l'on va voir que cet angle est infiniment petit.

Soit m'n la projection de la tangente en M' sur le plan normal; m'n est tangent en m' à la projection Mm' de l'arc MM', et alors

(*) J. Bertrand, Calcul diffèrentki et calcul inléijral, tome I, n» mi.

l'angle Mm'n tend vers zéro puisque l'arc Mm' est infiniment petit. Or rang;le NMm' est ég-al à l'ang-le Mm'n, car MN et m'n sont parallèles puisque MN, ainsi qu'on vient de le remarquer, est la projectiou sur le plan normal de la parallèle tirée do M k la tanfjente en M'. L'angle NMm' est donc infiniment petit.

43. Concevons, comme on l'a déjà fait plus haut, que tandis qu'un mobile se déplace le long de la courbe, une droite assujettie à passer par un point fixe se meuve de manière à être toujours parallèle à la tangente au point où le mobile se trouve dans le même instant. Cette droite décrit une surface conique dont les g'énératrices sont parallèles aux tangentes de la courbe donnée. Appelons p, ji' les génératrices parallèles aux tangentes en les points M, M' de cette courbe : le plan conduit par ft et fi' est parallèle au plan conduit par la tangente en M parallèlement à celle en M' ; donc, à la limite, le plan (fi, fi') est parallèle au plan osculateur en M. Mais à la limite le plan (f*, [i'} est tangent au cône suivant la génératrice ft; ainsi les plans osculateurs de la courbe sont parallèles aux plans tangents à cette surface.

44. La courbe traverse en général le plan oscalateur au point de contact.

Coupons par un plan le cône du précédent numéro, et soit a le point de la ligne d'intersection situé sur la génératrice parallèle à la tangente en M. On va reconnaître que si la courbe donnée ne traverse pas au point M le plan osculateur, il y a, sur la courbe d'intersection, inflexion au point a. Comme les points d'inflexion sont nécessairement isolés, il résultera de là qu'en des points isolés seulement la courbe ne traverse pas le plan osculateur, et la proposition se trouvera démontrée.

Supposons donc que la courbe donnée ne traverse pas au point M le plan osculateur ; alors, dans le voisinage de M et de part et d'autre de ce point, la courbe est située d'un même côté du plan osculateur. Si donc on conduit un plan par la tangente en M et par le point M', comme ce plan fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur, il coupera la courbe en un autre point M* infiniment voisin de M et situé par rapport à M' de l'autre câté de M.

Cela posé, reprenons la figure du d" 42, dans laquelle m' est la projection de M' sur le plan normal en M. Le plan conduit par MT, tangente en M, et par le point M', contient la droite Mm', qui est une corde de la projection de la courbe sur ce plan normal.

11 existe sur l'arc Mm' de cette projection un point en lequel la tangente est parallèle à la corde Mm'; appelons-le n' et soit N' le point de la courbe considérée dont il est la projection : N' est situé entre M etM', et la tan§:ente en n' est la projection de celle en N'. Il résulte de là et de ce que le plan déterminé par la tangente MT et par le point M' contient la corde Mm', que ce plan contient la parallèle menée par M à la tangente en N'. Puisque ce même plan passe par un point M' situé relativement à M' de l'autre cété de M, il contient encore la parallèle menée par M à la tangente en un point N" infiniment voisin de M et situé relativement à N' de l'autre côté de M.

Reprenons maintenant le cône du numéro précédent, et soient ^i, /, ï" les génératrices parallèles aux tangentes en M, N', N' : v" est situé sur le cône de l'autre côté de ft par rapport à v', et les trois génératrices fi, ï, ï" se trouvent, en vertu de ce qui précède, contenues dans un même plan.

Que l'on coupe le cône par un plan quelconque; on obtiendra une courbe dont soient a, b' et b" les points situés sur fi, «', v" ; le point b" est situé sur la courbe de l'autre côté de a par rapport à b' . Ces trois points étant contenus dans le plan des génératrices p, v' , v" , la corde ab' de la courbe d'intersection passe par b" ; or puisque b' et b" sont infiniment voisins de a, cela ne peut avoir lieu que si au point a il y a inflexion. La proposition est ainsi démontrée.

Si au point M la courbe ne traverse pas le plan osculateur, la surface conique, lieu des parallèles aux tangentes, s'infléchit suivant la parallèle à celle en M, ou, en d'autres termes, la surface conique est coupée, tout le long de cette parallèle, par son plan tangent. Cela résulte de la démonstration qu'on vient de lire ; mais indépendamment de cette démonstration on rend la chose sensible en prenant le point M lui-même pour sommet de la surface conique. Alors en effet on voit sans peine que si la courbe ne traverse pas le plan osculateur,

la surface conique passe de l'autre côté de ce plan à partir de la tangente en M, et que cela n'a pas lieu lorsqu'au contraire le plan osculateur est traversé par la courbe.

45. Le plan déterminé par M el par deux points M', M" de la courbe infiniment voisins de M se confond avec le plan oscalatear.

Soit M'T" (fig. 82) la tang'cnte en M'. Conduisons un plan par la tangente MT et par le point M", est un autre parla tang-enteM'T" et par le point M. Ces deux plans et celui que nous avons en vue, savoir le plan MM'M", contiennent tous trois la corde MM".

Le plan TMM" fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur en M, et le plan T"M°M fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur en M". L'angle de ces deux plans osculateurs étant infiniment petit puisque les deux points M et M" sont infiniment voisins, il en est de même de celui des plans TMM", T"M"M. Donc, des quatre angles dièdres que ces deux plans font entre eux, deux sont infiniment petits et les deux autres tendent vers deux droits. Il sera dès lors établi que le plan MM'M" se confond à la limite avec le plan osculateur en M si l'on fait voir qu'il est compris dans les deux dièdres infiniment petits que font les plans TMM" et T'M'M, et à cet effet il suffit de montrer que l'arc MM'M" est compris dans l'un des deux dièdres infiniment petits.

Ramenée à ces termes la proposition est évidente; car puisque l'arc est infiniment petit il serait impossible, s'il était situé dans l'un des deux grands dièdres, que chacune des deux faces de ce dièdre contînt la tangente et l'une de ses extrémités. Il est donc compris dans l'un des deux dièdres infiniment petits.

*46. On peut encore établir la proposition comme suit : Soit MK (fig. 33) l'intersection du plan osculateur et du plan normal en M, et soit toujours MT la tangente ; il s'agit de montrer que le plan MM'M" se confond à la limite avec le plan KMT. Tirons la corde MM', et soit MX l'intersection du plan MM'M" avec le plan normal en M : la droite MM' tend à se confondre avec MT, et nous allons prouver que MX fait un angle infiniment petit avec MK. Il résultera de là que le plan XMM' coïncide à la limite avec le plan

KMT. La proposition sera dûmontriîe alors, puisque le plan XMM' n'est autre que le plan MM'M" .

Par M" menons un plan perpendiculaire à MT, et soit a le point où il coupe ie prolongement de la corde MM' : la droite M'a est située dans le plan MM'M' ; nous allons montrer que l'angle qu'elle fait avec le plan KMT est infiniment petit. Comme cet angle est ég'al à l'ang-le des droites MK, MX, la proposition se trouvera alors démontrée.

D'un point quelconque A de la courbe abaissons AP perpendiculaire à MT, AQ perpendiculaire au plan osculateur, et joignons PQ qui est perpendiculaire à MT. Si l'on suppose que le point A se rapproche indéfiniment de M, AP est infiniment petit comparé à MP, donc aussi PQ, moindre que AP, De plus, comme ensuite de la définition du plan osculateur l'angle APQ tend vers zéro, AQ est infiniment petit comparé à PQ. On a par conséquent ;

Rapportons la courbe à trois axes rectangulaires. Prenons MT pour axe des x, MK pour axe des y, et pour axe des z la perpendiculaire élevée de M au plan TMK. Soient

^ = F{x), z^fix) les équations des projections de la courbe sur le plan des xy et sur celui des xz; les coordonnées du point A sont

œ = MP, ^ = PQ, s = AQ, et par suite, si l'on suppose que x tende vers zéro, on a, à cause des relations (i),

Désignons par x', x" les x des points M' el M"; les coordonnées du point a seront

» = =»-, S = 2lr(a,') t = ^Ax').

Par suite, la tangente de l'aiigîe que fait la droite H"a avec io pîai iTy est ég^ale à

et notre théorème sera démontré si nous faisons voir que cette expression tend vers zéro avec x' et ce". La divisant haut et bas par x' cE posant

elle devient K^")-^i^')

et l'on a, x teudant vers zéro,

lim if{x) = o, lim ^x) ^= o, lim -j— = o.

Pour montrer que le rarmort ï^-^f i— -, tend vers zéro avee

x' et x" concevons que sur deux axes rectangnilaires OX, OY on

construise une courbe N en prenant pour abscisses les valeurs que

revêt f(x) quand on fait varier x à partir de zéro, et pour ordonnées

les valeurs correspondantes de ^(x). Cette courbe passe par l'origine

des coordonnées puisqu'on a 51(0) ^= o, ^{o) ^^= o. De plus, elle est à

l'origine tang-ente à l'axe OX, puisque la tangente de l'angle que fait

avec OX une sécante de la courbe N passant par l'origine est égale à

Mx) . Ux")—^{x'y

- — : , et que ce rapport tend vers zéro avec x. Mamtenant — ■ r—-

est l'expression de la tangente de l'angle que fait avec l'axe OX la sécante conduite par les points de la courbe N obtenus en faisant successivement dans ^{x) et dans ■^(x), j; :r= œ' et a; =: œ° . Or cet angle est infiniment petit, puisque x' et œ" tendent vers zéro et que la courbe N est tangente à l'origine à l'axe OX. Donc le rapport

47. L'angle des plans oscillateurs en M et en M' est en général du premier ordre.

Concevons que tandis qu'un mobile se transporte ie long de la courbe, «ne droite assujettie à passer par le centre d'une sphère de rayon unité se meuve de façon à être continuellement une normale du plan osculateur au point où le mobile se trouve dans le même instant : cette droite décrit sur la sphère une courbe dont soient m et m' les points qui correspondent à M et à M'. L'arc mm' de cette courbe est en général du même ordre infinitésimal que l'arc MM', et comme l'ang^le des plans osculateurs en M et en M' et égal à l'angle mom', o désignant le centre de la sphère, tout revient à montrer que l'arc mm' et l'angle mom' sont du môme ordre. Or ce sont des infiniment petits égaux, car si l'on mène par m et m' un gi'and cercle de la sphère, l'angle mom' est égal à l'arc mm' de ce grand cercle, et cet arc a la même corde que l'arc mm' do la courbe décrite par la normale au plan osculateur.

■48. L'angle des plans oscnlateurs en deux points infiniment voisins se nomme angle de torsion; nous le représenterons habituellement par le signe j;. L'angle de contingence, ou angle des tangentes, sera désigné comme précédemment par s.

Nous continuerons de même à désigner par p le rayon de courbure au point M, c'est-à-dire la limite du rapport de l'arc MM' à l'angle des tangentes en ses oxtrémitos. Nous posons donc, comme dans les lignes planes,

La limite du rapport de l'arc à l'angle de torsion est le rayon de torsion, qui dans la suite sera désigné habituellement par <r. Nous posons donc

Les rapports inverses - et - sont appelés, le premier, la courbai

et le second la torsion ou encore la seconda courbure. De là terme courbes à double courbure par Ictiucl sont souvent désigni

is courbes non plai

49. La tangente en M est la limite de l'intersection des plans oscillateurs en M et en M' ; de plus, le point M est la limite du point de rencontre de MT, tangente en M, et de l'intersection des deux plans osculateurs.

Soit toujours MK (fig'. 34) l'intersection du plan normal et du plan osculateur en M, et soit a le point où la tangente en un point A de la courbe, situé à une distance finie de M, perce le plan TMK, qui est osculateur en M : a est un point de l'intersection des plans osculateurs en M et en A.

Soient MB et MC les projections de la courbe sur le plan osculateur et sur le plan normal en M, les points B et G étant les projections de A ; les courbes MB, MC sont respectivement tang-entes on M aux droites iVIT, MK, et les projections do la tangente en A sont tangentes à ces courbes en B et en C.

Soit g le point où la tangente en C à la courbe MC coupe MK i ç est la projection du point a sur le plan normal, ce qui fait que a est l'intersection de la tangente en B à la courbe MB et d'une parallèle menée par g à MT. 11 résulte de là que a est situé, sur la tangente en B, entre le point B et le point où cette tangente coupe MT, si seulement A a ét(5 pris assez près de M pour que les arcs AB, AC n'aient aucun point d'inflexion. Dés lors, si une droite glisse do A à M le long de la courbe donnée en lui restant toujours tangente, la ligne qu'elle trace sur le plan osculateur en M passe entre MT et l'arc MB, et, par suite, est tangente en M à MT. Appelons cette ligne la courbe Ma.

Nous allons maintenant montrer que l'intersection des plans osculateurs en M et en A est précisément la tangente en a à cette nouvelle courbe, et par là se trouvera établie la double proposition qui fait l'objet de ce numéro.

Concevons que par le point A (fig. 35) on mène une parallèle k la tangente en un point A' infiniment voisin de A, et soit b le point où elle perce le plan osculateur en M : le plan osculateur en A est la limite du plan des deux droites Aa, Ab (4^), et, par suite, l'intersection des plans osculateurs en M et en A est la limite de la direction ab. Tout revient donc à prouver que cette limite est tangente en a à la courbe Ma. Nous allons montrer que la longueur ba', a' désignant

le point où la tangente en A' rencontre la courbe Ma, est de l'ordre du carré de l'arc AA', donc aussi de celui du carré de l'arc aa', car lea deux arcs sont nécessairement du même ordre inSnitésimal. H suivra de là que la limite de la direction ab est identique à la limite de la direction aa'. Comme cette dernière limite n'est autre que la tang'ente en a à la courbe Ma, la proposition se trouvera démontrée.

On a ha'^= -r- — , d désig;nant la distance des droites A6, A' a', et a,

l'angle que ba' forme avec ces droites. Soit |S l'ang-le que font A6 et A.' a' avec le plan osculateur en M ; comme ba' eist situé dans ce plan, l'angrle « est compris entre jS et un droit, et est un angle fini par conséquent, car p est fini. Partant, ba'esi de l'ordre de d. Maïs d n'est autre chose que la distance de A à la tangente en A' , ce qui fait qu'il est de l'ordre du carré de l'arc AA' (4o, Cor.), et par suite aussi ba'-

50. L'intersection des plans oscalatears en trois points M, M', M" d'une courbe infiniment voisins est infiniment voisine de ces trois points.

Les plans osculatcurs en M' et en M" coupent celui en M suivant deux droites dont le point de croisement est l'intersection des trois plans osculateurs. Il s'agit donc de faire voir que ce point de croisement, qui sera désigné par c, est infiniment voisin de M. Les deux droites en question sont tangentes en des points rf et e à la courbo Ma du numéro précédent. Or les points rf et e sont infiniment voisins de M, et il en est de même par conséquent du point d'intersection des deux tangentes, c'est-à-dire du point c.

Digression sur l'emploi des courbes auxiliaires.

51. Avant d'aller plus loin il est nécessaire de présenter quelques considérations sur l'emploi des courbes auxiliaires dans les démonstrations qui ont pour but d'établir les propriétés que les lignes possèdent en chacun de leurs points. Nous avons surtout en vue d'indiquer une précaution sans laquelle l'introduction de ces courbes dans le raisonnement pourrait parfois conduire k des résultats faux.

11 convient de distinguer deux cas.

Tantôt la courbe auxiliaire est indépendante de la position du point que l'on considère sur la courbe donnée, ou, en d'autres termes, reste la même quel que soit ce point. Telles étaient les courbes auxiliaires dont on a fait usage aux W^ 4» et 47 pour établir que ran§:le des tangentes et celui des plans osculateurs en deux points d'une courbe infiniment voisins sont en g'énéral de l'ordre de l'arc que ces deux points comprennent entre eux; telle était encore celle dont on s'est servi au n" 44 pour prouver que la courbe traverse en général le plan osculateur. Il n'y a aucune précaution spéciale à prendre quaud c'est ce cas qui se présente.

D'autres fois, au contraire, la courbe auxiliaire varie d'un point à l'autre de la courbe donnée. Ce cas s'est déjà présenté plusieurs fois. Aux ni^ 4^ et 49 nous avons fait usag« de la projection de la courbe donnée sur le plan normal au point considéré ; au n" 49 nous avons fait usa^e de la courbe tracée sur le plan osculateur au point considéré par une droite qui se meut en restant tangente à la courbe donnée ; et dans le n° 4^ encore nous avons construit une courbe au;xiliaire variable. C'est dans ce second cas qu'il peut, comme on va le reconnaître, devenir indispensable d'user de précaution, si l'on ne veut pas s'exposer à être conduit par le raisonnement à des résultat? erronés.

Lorsque dans les déductions qui ont pour but d'établir une propriété que toute ligne possède on chacun de ses points on fait usage d'une courbe auxiliaire, il arrive souvent qu'on doive attribuer à cette courbe, en un point déterminé, la jouissance de propriétés antérieurement démontrées. Mais il ne faut pas oublier que la plupart de ces propriétés n'existent qu'ew général, et peuvent cesser d'avoir lieu en certains points isolés. Lors donc que dans un raisonnement on attribue à une courbe auxiliaire variable, et en un point déterminé, la jouissance de telle propriété générale des courbes, il est indispensable de s'être préalablement assuré que ce point n'est pas un de ces points exceptionnels où la propriété en question cesse d'avoir lieu. Si cette précaution n'a pas été prise, la démonstration est insuffisante.

Pour montrer par un exemple le dangerqu'ilj aurait à la négliger, considérons la projection d'une courbe non plane sur le plan normal

en sou point M : l'intersection MK {iig. 'ii) du plan normal et du pian osculateur est tangente en M à la projection. Appelant m' la projection de M' et p le pied de la perpendiculaire abaissée de m' sur MK, la long'ueur Mm' est du second ordre, puisqu'elle est égale à la distance de M' à la tangente en M (48, Cor,). Si l'on néglige la précaution sur laquelle nous insistons, on déduira immédiatement de là que m'p est du quatrième ordre comme étant de l'ordre du carré de l'arc Mm' (i5}; et puisque m'p est égal à la distance de M' au plan osculateur en M, on arriverait à cette conséquence que la distance de rextrémité d'un arc infiniment petit au plan osculateur en son origine est du quatrième ordre, l'arc étant du premier. Or cette conséquence serait fausse, car nous formerons prochainement (63) l'expression de cette distance, qui se trouvera être du troisième ordre.

Nous avons plusieurs fois déjà, comme il a été rappelé tout à l'heure, fait usage d'une courbe auxiliaire variant d'un point à un autre de la ligne donnée. Mais jamais nous n'avons eu à lui attribuer, en un pomt déterminé, la jouissance de ces propriétés qui peuvent cesser d avoir lieu en certains points isolés. Nos déductions n'étaient donc nullement invalidées par l'emploi d'une courbe auxiliaire variablp II n en serait plus de même dans quelques-unes de celles qui vont suivre, et il y aura lieu d'user de la précaution dont nous avons cherché à faire ressortir l'importance.

52. En vue de cette précaution nous ferons une remarque avant de rentrer en matière.

Dans la figure i4, L est l'intersection des tangentes en M et en M', et P est le pied de la perpendiculaire abaissée de M' sur ML. On a établi les propositions suivantes :

1" L'arc MM' et l'angle M'LP sont du même ordre infinitésimal (4).

2" Les angles M et M' formés par la corde avec les deux tangentes sont égaux entre eux et à la moitié de l'angle M'LP, et les longueurs ML et M'L sont égales entre elles et à la moitié de l'arc MM' (iS).

3" Le supplément d'un angle inscrit dans l'arc MM' est îa moitié de l'angle M'LP (i 4).

4" M'P vaut la moitié du produit de l'arc MM' par l'angle M'LP

5° La différence entre l'arc MM' et sa corde a pour expression la vinglnquatriÈine partie du produit de cet arc par le carré de l'angle M'LP(,,).

Ces propositions sont de celles qui peuvent cesser d'avoir lieu en des points exceptionnels et isolés. Ce qu'on veut faire remarquer ici, c'est que si le point M n'est pas exceptionnel quant à la première, il ne l'est pas non plus quant aux quatre autres. En d'autres termes nous voulons montrer que, M étant un point déterminé d'une courbe plane, toutes les fois qu'on pourra prouver que l'arc MM' et l'ang^le M'LP sont du même ordre infinitésimal on sera certain : que les ang'les M et M' sont ég^aux à la moitié de M'LP, et les long'ueurs ML et M'L égales à la moitié de l'arc MM' ; que le supplément d'un angle inscrit dans l'arc MM' est la moitié de l'angle M'LP; que M'P vaut la moitié du produit de l'arc MM' par l'angle M'LP; et que la différence entre l'arc MM' et sa corde a pour expression la vingtquatrième partie du produit de cet arc par lo carré de l'angle M'LP.

L'angle M'LP étant l'augle de contingence, s'il est du même ordre que l'arc MM' le rayon de courbure au point M est fini. Cela résulte de la définition même du rayon de courbure. Alors, pour se convaincre que les angles M et M' sont égaux à la moitié de M'LP et que les longueurs ML et M'L sont égales à la moitié de l'arc MM' il suffit de se reporter aux raisonnements par lesquels on a prouvé que ces relations existent en général (i 3), car on reconnaîtra qu'ils ne peuvent se trouver en défaut que si le rayon de courbure est nul ou infini en celle des deux extrémités de l'arc qui est supposée fixe.

En se reportant aux démonstrations des ti'^ i4 et i5, qui font connaître la valeur du supplém.ent de l'angle inscrit dans l'arc MM' et celle de la perpendiculaire M'P, on verra qu'elles sont entièrement fondées sur les théorèmes établis au n" i3, et que par conséquent la troisième et la quatrième des propositions rappelées tout à l'heure ont lieu aussi toutes les fois que l'arc MM' et l'angle M'LP sont du même ordre infinitésimal.

Enfin, il en est de même de la dernière de ces propositions, car, en fait de propriétés qui peuvent cesser d'avoir lieu en des points isolés, la démonstration par laquelle nous l'avons établie n'en suppose pas d'autres que celles rappelées ci-dessus sous les numéros 2 et 3.

Expressions de diverses grandeurs qui naissent de la considération des tangentes et des plans osculateurs aux deux extrémités d'un arc infinitésimal (*).

53. Lemme I. Un angle L a i5f^ projeté orthogonal ement sur un plan qui est incliné sur celui de L d'une quantité s qu'on suppose tendre vers zéro. Désignons par / la projection de L, et cherchons l'ordre de grandeur de la différence des angles L et /.

Tirons GH (fig. 36) parallèle à l'intersection des deux plans, le plan de L et le plan de projection. Le plan mené par H perpendiculairement à GH coupe en des points P, Q,p, y les parallèles conduites par G aux côtés de L et de l. La droite GH est alors l'intersection des plans PGQ, pGq, et le dièdre GH vaut a.

Les angles PGQ, pGq soat respectivement égaux à L ot à l; par-

--.. , PQ^i"Q „:, , /'?siny

sm L ~ôp— ^ S'il i - -ij^.

„ ,sinL PQGDsinQ ^, . . ^ GH . GH

d'ou^-v-=-S^„^. MaissmQ = ;^,sm çr = -— , partant, sin l pqGP sm q GQ ' Gq

sinL PQG/>Gg

■sm7~p^GPGQ'

PO I I Il résulte de la construction uu 'on a — = , et comme i