PQ

vaut ^a^cn tant qu'infiniment petit, le facteur — ne surpasse l'unité

que d'une grandeur de l'ordre du carré de k. Les angles PG/), QG(/,. que nous nommerons respectivement |3 et 3, sont plus petits l'un et

l'autre que «, d'où il suit que les facteurs jTpipTji étant ég-aux è cos |3.

et à cosS, sont plus rapprochés encore de l'unité que ne l'est cos«,

ce qui achève de prouver que la différence entre le rapport — — - et

l'unité est de l'ordre au moins du carré de a.

(♦) Les énoncés de plusieurs des théorèmes qu'on trouyera dans cet article ont été donnés parM.Ossian Bonnet, en i8B3, dans les JVouue/ies oium/es de mathématiques^ Les simples énoncés, saas démonstrations.

Ici deux cas sont à distinguer, seioo que L tend vers zéro ou qu'il tend vers une limite finie. Si L tend vers zéro, cet angle et sa projection sont des infiniment petits égaux, et c'est là tout ce que nous aurons besoin de savoir sur ce cas. D'après ce qu'on vient de lire, la

limite de -. — r est i quel que soit L. Or si L tend vers zéro cette limite est la même que celle de -j, laquelle se trouve par conséquent être égale à l'unité, ce qui entraîne la proposition.

54. En voici une conséquence dont nous aurons quelquefois ;'i faire usage.

Que l'on projette une courbe sur le plan osculateur en l'un M de ises points, et soit m' la projection de M'. Les tangentes en M à la courbe et à sa projection se confondent; la tangente en m' à la projection est la projection de celle en M' à la courbe; et un plan parallèle aux tangentes à la courbe en M et en M' est parallèle à la limite au plan osculateur. Partant, ensuite de la proposition qu'on vient d'obtenir, l'angle des tangentes en M et en M' « la courbe et celui des tangentes en, M et en m' à sa projection sont des infiniment petits égaux.

55. Supposons maintenant que h ne tende point vers zéro, mais

bien vers une quantité finie. Posons -: — j — i =: K«^ i K tend, d'après

l'avant-dernier numéro, vers une limite qui est finie ou nulle. II suit de là que si l'on pose sinL — sin / ^ Hb^, la limite de H est finie ou nulle aussi. La quantité dont varie le sinus, quand on passe de l'angle à sa projection, est donc de l'ordre au moins du carré de a. Il en est de même par conséquent de la quantité dont varie l'angle lui-même, car l'accroissement de l'angle et celui du sinus sont du même ordre infinitésimal, pourvu seulement que l'angle ne soit pas droit à la limite. Il est donc acquis que la différence entre l'angle L et sa projection est de l'ordre au moins du carré de a. Par la nature du théorème il est évident que le cas où la limite de L serait l'angle droit ne peut faire exception. D'ailleurs il est bien facile, dans ce cas aussi, de conduire la démonstration y son ferme; il suffit de partager L en

deux parties : la propusitioii, vraie de chacune d'elles, sera vraie de leur somme.

* Dans son Cours d'analyse infinitésimale Ph. Gilbert fait, à la rédaction près, la démonslration comme suit.

Appelant C,c les angles QGH, yGH on a

.. HQ Hff

par quoi, à cause de Hq :^: HQ cos a, on a tgc = i^Ccosa.

Retranchant cette ég-alité membre à membre de l'identité tgG^=tgC, et tenant compte de la relation i — cos a; = 2 sîn^^, il vient tffC- tffC^2tgCéa'la,

ce qui, vu l'égalité tffx — tgy ^=. ^, peut s'écrire

sin(G— e)=2sinCcoscsin5^.

D'après cette relation le sinus de i'ang'le C — c est égal à une fraction de a^, et il en est ainsi par conséquent de l'angle C — c, qui ne diffère de son sinus que d'une partie de lui même dont le rapport au tout est infiniment petit.

Appelions D et d respectivement les deuK angles PGH et pGH : les différences C — c et D — d sont ainsi deux fractions de a^. Nommons les ma^ et nà^. Si, comme dans notre %ure, l'intersection du plan de l'angle PGQ ou L et du plan de projection est en dehors de cet angle, la différence L — / entre l'angle et sa projection est (m — n)a^. Elle est (m + n)a? si cette intersection est, au contraire, à l'intérieur de l'angle. Dans l'un comme dans l'autre cas l'ordre infinitésimal de la différence L — / entre l'angle L et sa projection sur un plan faisant avec le sien un angle infiniment petit a est, au m.oins, celui du carré de a.

56. Lemme IL Soient AB, A'B' (fig. 3^) deux angles droits de sommet commun qui tendent k se confondre. (Nous supprimerons ici la lettre du sommet dans la désignation des angles.) On veut montrer que si les deux angles AA' , BB' sont du même ordre infinitésimal et si OB est perpendiculaire à ia position limite du plan AOA', OA est perpendiculaire à la position limite du plan BOB'.

Soit oc normal au plan AOB; OABG est un tvièdre trirectangle. Le plan A'OB' coupe les plans AOC, BOG suivant des droites Oa, Ob. Le dièdre A'OAC est infinimeni petit puisque OB, qui est normal au plan AOC, donc à l'une des deux faces du dièdre, tend par hypothèse à le devenir au plan AOA', qui en constitue l'autre. Il suit de là que l'angle A'a est infiniment petit comparé à l'ang-le AA', comme on s'en assure par la considération du trièdre infinitésimal OAA'a, où deux des trois dièdres, savoir ceux qui ont pour arrêtes Oa et OA', sont droits à la limite, où le dièdre que nous venons de reconnaître infiniment petit forme le troisième dièdre , où l'angle A'a constitue la face opposée à ce dièdre infiniment petit, et où l'angle AA' forme la face opposée à l'un des deux dièdres qui deviennent droits à la limite.

Le plan A'OB', qui contient les droites Oa, Ob, est incline sur le plan AUB d'un ang:le qui n'est pas d'ordre inférieur à celui des angles AA', BB'. Car soit 01 l'inlersectiou des deux plans : les angles AI, BI ne sauraient être infiniment petits tous deux, et si BI par exemple est fini, le dièdre BOIB', qui est l'angle des deux plans, ne peut pas être d'un ordre inférieur à celui de l'angle BB', vu que, pour que le

rapport — - ^ pût tendre vers zéro, il faudrait que, contrairement

à la supposition, l'angle BI filt infiniment petit. Il suit de là et du numéro qni précède que, prenant pour premier ordre infinitésimal celui de AA' et BB', la différence entre l'angle aà et l'angle AB, projection de ab sur le plan AOB, est du second ordre au moins. Cette différence est la même que celle des angles ab et A'B', puisque AB et A'B' sont égaux, et elle est conséquemmeot soit la somme soit la différence des deux angles A'a et B'b, les quatre droites OA', OB' , Oa, 06 étant dans un même plan. Puis donc que A'a est d'ordre supérieur au premier d'après ce que nous avons vu tout à l'heure, if en est de même de B'b. Ainsi B'b est infiniment petit comparé à BB', que nous avons supposé de même ordre que AA', et il résulte de là que, OA étant perpendiculaire à OB et au plan BOè, l'est aussi à la situation finale du plan BOB'. En d'autres termes, ce plan tombe à la limite dans le plan BOG, d'où la proposilion.

57. Lemme III. Le carré de l'aiig-le des plans AOB, A'OB' est la

somme des carrés des angles AA' et BB'.

On vient de voir que les ang'les A'd, Wb sont infiniment petits comparés aux angles AA', BB' respectivement. Il suit de là que les angles AA' et Ad d'un côt^, BB' et B6 de l'autre, sont des infiniment petits égaux. Il suffira dès lors de montrer que le carre de l'angle des plans AOB, A'OB' est la somme dos carrés des angles Aa et B*. Soit OC une normale au plan A'OB' ou «06; l'angle CC est ég-al à celui de nos deux plans, et ii s'agit donc d'établir la relation

Les six points A, B, C, C, a, b, nous les prendrons (fig. 38) sur une sphère de centre 0. Le point « est situé sur le grand cercle AC, le point b sur le grand cercle BC. Le grand cercle dont a est un pôle passe par C et coupe le grand cercle AG à angle droit en un point d voisin de C. De plus, les arcs AC et ad étant égaux puisqu'ils valent un quadrant l'un et l'autre, on a arc Cd ^ arc Aa. Pareillement, le grand cercle dont b est un pôle passe par C et coupe le grand cercle BG à angle droit en un point e voisin aussi de C, et l'on a arc Ce =z; arc Bb. La relation (i) devient par là

(a) CC''' = C5' + Cë^

où CG' est une diagonale du quadrilatère sphérique infinitésimal CdC'e, Dans ce quadrilatère les angles C, d, e sont droits ; en d'autres termes, les trois dièdres OC, Od, Oe de l'angle solide tétraèdre OCiiC'e sont droits, et il suit de là que la section de cet angle par un plan perpendiculaire à OC est un rectangle. Les diagonales et les côtés de cette section sont égaux en tant qu'infiniment petits aux diagonales et aux côtés du quadrilatère sphérique si le plan sécant est mené par C. D'ailleurs, dans un rectangle, le carré d'une diagonale vaut la somme des carrés de deux côtés contigus, et par là se trouve établie la relaUon (a) (*).

58. Nous reprenons maintenant le couis de notre exposition. Il a été reconnu plus haut que dans une courbe plane l'angle de la tangente en M et de la corde MM' est égal à la moitié de l'angle de con-

{*) Voir Aoust, Analyse inJinUésimaie des courbes dans l'espace, K" 30.

tingence, et que la distance de M' à la tangente en M vaut la moitié du produit de l'arc par l'angle de contingrence. Il faut établir d'abord que ces deux propriétés appartiennent aussi aux courbes non planes. i» Projetons la courbe sur le plan osculateur en M (ëg. 3g), et soit m' la projection de M'. Menons la tangente en m' à la projection et soit q le point où elle coupe la tangente MT; on a (i3)

angle m'UT — ^angle m'yT.

Mais des deux angles qui figurent dans cette égalité le premier peut (53) être remplacé par l'angle M'MT puisque le plan de celui-ci tend à se confondre avec le pian osculateur, tandis que le second peut (54) être remplacé par l'angle des tangentes en M et en M' à la courbe considérée, c'est-à-dire par e. On a donc

.B(.leM'MT = i,.

T!" Abaissons M'P perpendiculaire sur MT, on a

M'P = corde MM'x sin M'MT.

Remplaçons la corde par l'arc, puis le sinus par l'angle, et celui-ci

par 5!, auquel il est égal, comme nous venons de le reconnaître; il

vient, on désignant l'arc MM' par âs,

M'P =: isA5.

S9. Inclinaison de la tangente en M' sur le plan osculateur en M.

Cette inclinaison est égale à la moitié du produit de l'angle des tangentes en M et en M' par celui des plans osculateura; en d'autres termes, l'angle que fait avec le plan osculateur en l'origine d'un arc infiniment petit la tangente en son extrémité vaut la moitié du produit des angles de contingence et de torsion.

Sur lasurface conique lieu des parallèles aux tangentes de la courbe soient fi et f*' les sçénératrices parallèles aux tangentes en M et en M', L'angle de (ict p,' est égal à l'angle de contingence; l'angle des plans tangents au cône suivant fi et ft' est égal h l'angle de torsion puisque ■ces deux plans sont respectivement parallèles aux plans osculaleure en M et en M' ; enfin l'angle que fait ft' avec le plan tangent au cône suivant [i est égal à l'angle de la tangente en M' avec le plan oscula-

îeur en M. La question est dès lors ramenée à montrer que l'incliiiaison de ;*' sur le plan tang-ent au cône suivant ft est égale en tant qu'infiniment petite à la moitié du produit de l'ang^ie des génératrices fi et n' par l'angle des plans tangents suivant ces génératrices.

Soit o (fig. 4o) le sommet du cône. Sur l'intersection des plans tangents suivant f* et ^i' prenons ol égal à l'unité, et par le point l menons un plan perpendiculaire à cette intersection. Soient m et m' les points où ce plan coupe fi et a' : ml et m'I sont tangents en m et en m' à la section du cône par le plan (35). Abaissons m'p perpendiculaire sur ml; m'p est normal au plan tangent suivant la génératrice fi. Il suit de là que m'op est l'incUnaison de (t' sur le plan tangent suivant ji; et comme m'ip est l'angle des plans tangents suivant fi et fi' il s'agit de montrer qu'on a

angle m'op = ^angle mom'X angle m'ip.

L'angle de contingence et l'angle de torsion de l'arc MM' étant du même ordre infinitésimal puisqu'ils sont l'un et l'autre de l'ordre de l'arc, les angles mom' et m'Ip, qui leur sont respectivement égaux, sont du même ordre; et comme l'arc mm' est du même ordre que l'angle mom' (il lui est même égal en tant qu'infiniment petit), l'arc mm' et l'angle m'Ip sont aussi du même ordre. Mais cet angle est celui des tangentes aux extrémités de l'arc mm' ; donc on a (5a) :

m'p = ^arc mm'x angle m'Ip.

Maintenant, m'p étant perpendiculaire à op, les longueurs om, om' tendant vers l'unité et. leurs directions étant à la limite perpendiculaires à la corde mm', à m'p on peut substituer l'angle m'op, et à l'arc mm' l'angle mom'. Par ces substitutions on tombe sur la relation qu'il s'agissait d'établir.

60. L'angle qae fait l'intersection des plans oscillateurs en M et en M' avec la tangente en l'an ou l'autre de ces points est égal à la moitié de l'angle de contingence.

Reprenons la figure du numéro précédent; il s'agit de faire voir que l'angle lom vaut la moitié de l'angle mom'.

Puisque l'arc mm' et l'angle des tangentes en ses extrémités sont, ainsi qu'on l'a vu tout à l'heure, du même ordre infinitésimal, Im et

Im' sont des infiniment petits égaux (62) : et comme Im + Irn' et arc mm' sont aussi des infiniment petits ég'aux, on a la relation

-arc mm

où l'on peut remplaiier Im et arc mm' par les ang'les lom et mom' , qui, d'après la construction de la fig-ure, leur sont respectivement égaux en tant qu'infiniment petits. Par quoi l'on obtient

anffle lom

lim — 2— — — ^=; i ,

-ang'lemom'

d'où résulte la proposition,

61 . L'angle que fait avec le plan osculateur en M le plan, mené par la tangente en M parallèlement à celle en M' est égal à la moitié de l'angle de torsion.

Les mêmes lettres (fig-, 4i) désignant les mêmes choses que dans la figure des deux numéros précédents, le plan mom' est parallèle au plan mené par la tangente en M parallèlement à celle en M', et le plan oml est parallèle au. plan osculateur en M. Dès lors, comme l'angle /)/m' est égal à l'angle des plans osculateurs en M et eu M', il suffit de montrer que le dièdre ^mom' vaut la moitié de l'angle p/m'.

Dans le plan oml tirons ma perpendiculaire à om, et dans le plan mom' tirons m,b perpendiculaire aussi à om ; tout revient à établir ''égalité

angle amb = jangle plm' .

Menons la corde mm': les côtés de l'angle amb sont les projections orthogonales, sur le plan amb, des côtés de l'angle Imm' ; or l'angle que font entre eux les plans de ces deux angles est infiniment petit, car il est précisément égal à l'angle lom, puisque les côtés de ce dernier angle sont respectivement perpendiculaires aux deux plans. Par conséquent on a (53)

angle amb = angle Imm'.

Mais on a aussi (ôa)

angle Imm' =^ ^angle plm' ,

et de ces deux relations on Jéduit, en les ajoutant, celle qu'il s'agissait d'établir.

62. Nous nous proposons maintenant de cherclier l'expression de la dislance de M' au plan osculateur en M, et celle do la plus courte distance des tangentes en c«s deux mêmes points. Concevons qu'on ait mené les tang'entes et les plans osculateurs en M et en M', et soient N, N' (fig. 42) les points où l'intersection de ces plans est coupée par les tangentes. Nous établirons d'abord que les trois long^ueurs MN, NN', M'N' sont, en tant qu'infiniment petites, égales chacune au tiers de l'arc MM'. Cela fait, la recherche que nous avons en vue s'accomplira avec la plus grande facilité.

A cet effet nous montrerons : i" que la somme MN +NN'+ M'N' est égale à l'arc MM'; 2" que les termes dont elle se compose sont des infiniment petits égaux. Il résultera immédiatement de là que chacun de ces termes vaut le tiers de l'arc.

Au sujet de la seconde partie de la démonstration, comme M'N' est, par rapport au point M', ce qu'est MN par rapport au point M, si MN et NN' sont des infiniment petits égaux, il en est de même de M'N' et NN', et par suite les longeurs MN, NN' et M'N' sont trois infiniment petits égaux. Il suffira donc de faire voir que MN et NN' jsont égaux.

Projetons la courbe sur le plan osculateur en M, et soit toujours m' la projection de M'. Menons !a tangente en m' à la projection : cette tangente passe parN', puisqu'elle est la projection de la tangente en M' à la courbe. Soit q le point où elle coupe la tangente MT. Des cordes MM' et Mm' la seconde étant la projection do la première et leur angle étant infiniment petit, ces cordes, et par suite les arcs MM' et Mwi' sont des infiniment petits égaux.

1° La somme MN + NN'+ M'N' est égale à l'arc MM'. En effet, les directions des longueurs MN et M'N' tendent à se confondre avec celle de la corde MM', et il en est de même de la direction NN', car elle fait un angle infiniment petit avec MT (60). II suit de là que la somme considérée est égale à cette corde, et par suite égale aussi à l'arc MM' que la corde soutend.

2" Il reste à faire voir que MN et NN' sont égaux. Considérons à

cet effet la ligne tracée sur lu plan osculateur en M par une droite qui g^lisse le long de la courbe donnée en !ui restant toujours tangente : d'après ce qu'on a vu au N» 49 cette ligne est tangente en M k la droite MT et en N' à ia droite NN'. Dès lors il sera prouvé que MN et NN' sont égaux si l'on démontre que l'arc MN' de cette ligne et l'angle des tangentes en ses extrémités, c'est-à-dire l'angle N'NT, sout du mSme ordre infinitésimal (Sa). Cet angle est du premier ordre puisqu'il est la moitié de l'angle des tangentes en M et en M' (60); il suffit donc de montrer que l'arc MN' est du premier ordre.

Cet arc étant, d'après la première partie du N'- l]Çf, situé entre la courbe Mm' et la tangente MT, et l'extrémité N' se trouvant entre les points m' et ç sur la droite m'q, la longueur de sa corde est comprise entre celles de M^ et de corde Mm', Comme l'arc Mm' est du premier ordre, la question est ramenée à faire voir que My est du premier ordre.

Le point q est celui où se coupent les tangentes aux extrémités dé l'arc Mm'. Les longueurs Mç et m'y sont alors égales entre elles, et par suite du même ordre que Mm', c'estr^-dire du premier, si l'angle m'qH est du premier ordre (5a). Or cet angle est du premier ordre, puisqu'il est (54) égal à l'angle des tangentes en M et en M' à la courbe donnée.

II est ainsi acquis que les trois longueurs MN, NN' et M'N' valent chacune le tiers de l'arc MM',

Ce résultat est formulé dans les deux énoncés que voici :

La partie de la tangente en M, comprise entre ce point et l'intersection des plans osculateurs en M et en M', est égale au tiers de l'arc.

La partie de l'intersection des plans osculateurs en M et enW comprise entre les points où elle est coupée par les tangentes en M et en M' est égale au tiers de l'arc.

Cor. En combinant le premier de ces deux théorèmes avec celui du N" 60 on trouve que les distances de M et de M' à l'intersection des plans osculateurs en ces deux points sont égales au sixième du produit de l'arc par l'angle de contingence.