Distance de M' au plan osculateiir en M

Reprenons la figure du numéro précédent; il s'agit de trouvei* i'cMprcssioo de la longueur M'm'; on a

M'm' = M'N'sinM'iVm'.

Remplaçant M'N' par - is (6a), puis le sinus par l'angic, ctœîui-ci par -£iî (5ç)), il vient ;

M'm' = -svîis.

Ainsi, la distance de M' aa plan osculateur en M est égale à la sixiènte partie da produit de l'arc, par l'angle de contingence, par l'angle de torsion.

Ce résultat sera utilisé dans la théorie de la sphère osculatrice, où. il nous servira à fixer la position du centre de cette sphère.

64. Plus courte distance des tangentes en M et en M' {*). Reprenons encore la figure du N" 62, et par le point N' menons

N'V parallèle à MT : MT est parallèle au plan M'N'V, et, par suite, la distance considérée est égale à la distance d'un point quelconque de MT à ce plan. Si donc on nomme s le pied de la perpendiculaire abaissée de g sur le plan M'N'V, le problème est ramené à former l'expression de gs.

Soit l le point de la tangente en M' dontq est la projection; l'anglo gst étant droit, on a

qs = qt cossql.

L'ang'îe N'gt est droit aussi; par stiite (jr/ = N'q tangçN';, d'où (a) V^^ N'y tanggN't cossqt.

L'angle sql est infiniment petit et le facteur cossqt a pour limite l'unité. Cet angle en effet n'est autre que c«lui des normales au plan osculateur en M et au plan M'N'V, ce qui fait qu'il est égal h i'angle

(*) La démonslralion qui va suivre n'est point, comme on le pourrait penser, empruntée au Mémoire intitulé Détermination fféométriqae de quelques infiniment petits, où elle se lit, aus termes près, dans les pages 422 et 423; car elle figurait déjà dans la seconde édition de cet ouvrage, antérieure de neuf ans au Mémoire, pages 83 et 8i.

- 74 ~ de ces deux plans, lequel est infiniment petit, puisque le plan M'N'V est parallèle au plan mené par la tangente en M parallèlement à celle en M'.

Les angles q'N'i et M'N'm' sont égaux comme opposés au sommet. Et comme on peut ici remplacer la tangente par l'angle (3, Rem. II), le facteur tang^N'i vaut -en (Sg).

N'q est égal à m'q — m'N'; or m'q et m'N' sont égaux, le premier à gds, et le second à M'N', par suite à ^Hs (62); donc N'y vaut

(s — ï/^^' '^'^sf-à.-dire ;is.

Remplaçant les trois facteurs du second membre de (a) respectivement par -AS, |-eu, et I, il vient

qs = jssnis.

Ainsi, la plus courte dislance des tangentes en M et en M' est égale à la douzième partie da produit de l'arc, par l'angle de contingence, par l'angle de torsion.

Le lecteur pressé peut dès à présent passer à l'article suivant, qui 1 numéro 68.

*65. L'élude des grandeurs qui .sont introduites par la considération des tangentes et des plans osculateurs en deux points d'une ligne infiniment voisins conduit à d'autres théorèmes encore. Nous en donnons quelques-uns dans ce numéro et dans le suivant.

Les deux que voici se vérifient immédiatement sur la figure ïa, la première par le théorème du N" 63, l'autre en combinant ce théorème avec la seconde des deux propositions du N" 58.

I" L'inclinaison de la corde MM' sur le plan oscalatettr en M est égale au sixième du produit de l'angle de contingence par l'angle de torsion.

2" L'angle que fait avec le plan osculateur en M le plan mené par la tangente en M et par le point M' est égale au tiers de l'angle de torsion.

*66. I" L'angle que fait la commune perpendiculaire aux tangentes en M et en M' avec la normale du plan osculateur en M est égal à la moitié de l'angle de torsion. II est, en effet, préci-

75 — sèment ég'al k l'inclinaisoii du plan oaculatcur en M sur !c plan moue par la tang-ente en M parallèlement à celle en M', inclinaison que nous avons reconnue au N<* 6i valoir la moitié de la torsion,

2" Les distances des deux extrémités d'an arc infinitésimal à la commune perpendiculaire aaœ tangentes en ces extrémités sont égales.

Appelant a et 6 les points où la commune perpendiculaire des tangentes en M et M' coupe ces deux droites, la proposition s'exprime par l'égalité Ma = M'è, Or celte relation va de soi, le rapport des deux lonjfueurs ne pouvant évidemment pas tendre vers une limite autre que l'unité, et alors, comme la distance ab est d'un ordre supérieur au premier (64) , par quoi le chemin brisé MaôM' entre M et M' vaut As, chacune des deux longueurs Ma et Wb vaut ^is. L'égalité Ma =r 'as s'établit directement comme suit.

Dans la figure 43 a et 6 désigneront les deux points que l'on vient de dire, et les lettres qui se voient déjà dans la figure 4^ désigneront les mêmes choses que dans cette figure. Alors, comme My vaut sis, on aura Ma = ris si qa est d'un ordre supérieur au premier, et l'on va reconnaître qu'il est du troisième.

De t tirons tv parallèle à MT, puis menons fec perpendiculaire à ti}. La direction ac est normale au plan osculateur en M, ce qui fait que l'angle bac est précisément celui qui a été considéré dans la première partie de ce numéro. L'angle bac est donc du premier ordre. Quant à l'angle abc, il est droit, car ab est normal au plan Wtv. Or ab étant du troisième ordre (64), il résulte de tout ceci que bc est du quatrième. L'angle btc est du premier ordre, car il n'est autre que s ; alors, bc étant du quatrième ordre, te est du troisième. Donc aussi qa, qui ne diffère point en longueur de te.

*67. Différence entre l'arc MM' et sa corde.

Dans les lignes non planes, la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est, comme dans les lignes planes, égale h. la vingtquatrième partie du produit de l'arc par le carré de l'angle de contingence.

Appelons c la corde de l'arc considéré; il s'agit do montrer que

sont des infiniment petits égaux.

Soit toujours m' la projection de M' sur le plan osculateur au point M. Désignant par is' l'arc Mm', par c' sa corde et par s' l'angle des tangentes en ses extrémités, nous savons que

sont des infiniment petits égaux (52). Nous savons aussi que « et e' d'un côté, as et As' de l'autre, sont égaux en tant qu'infiniment petits, et par conséquent que les quantités

sont encore dos infiniment petits égaux. Dés lors, pour que notre proposition soit établie, il suffit de faire voir que les deux différences

as — c et is' — c' sont égales en tant qu'infiniment petites.

A cet effet nous allons montrer que l'excès de c sur c' et celui de i,s sur As' sont l'un et l'autre d'ordre supérieur au troisième. Il résultera de là que la différence entre les quantités is — c et is' — c' est d'un ordre supérieur au troisième, et comme a.î' — c' est du troisième ordre, il sera prouvé que ces quantités sont des infiniment petits égaux.

Le triangle MM'/n' donne ;

c — c'=^ c (i ^ cosM'Mm') r^ 2c sin^^M'Mm' ,

et comme c est du premier ordre et l'angleM'M/w'du second {65, i"), on conclut de cette égalité que l'excès de c sur c' est du cinquième ordre.

Pour montrer que celui de as sur as' est d'un ordre supérieur au troisième, concevons qu'une droite glisse sur la courbe donnée en restant toujours normale au plan osculateur en M, et développons le cylindre que celle droite engendre, en vertu de ce mouvement, sur le plan tangent au cylindre le long de la génératrice qui passe par ce même point M, Soient N, n (fig, 44) les positions que viennent occu-

per les points M', m' par l'effet du développement. L'arc MM' ou As se transforme en un arc MN qui lui est ég^al en longueur (38) et qui est tanguent à MT au point M {87, avant-dernier alinéa); le point n est situé sur MT, et l'arc Mm' au As' est égal à Mn. Tout est donc ramené à faire voir que la différence arc MN — Mn est d'un ordre supérieur au troisième.

Soit Ny la tang:ente en N à l'arc MN, (/ étant son intersection avec MT; nous allons montrer que M-/ -+■ Nq — Mn est d'un ordre supérieur au troisième. Comme l'arc MN est plus petit queMy-H-Nijr, la différence arcMN — M« sera, à fortiori, d'un ordre supérieur au troisième.

On a My 4- Ny — Mn ^ Ny — qn, et si de 17 comme centre avec çN pour rayon on décrit un cercle qui coupe MT eiiD, on u. Ny — qn :^ TiD.

Tirons la corde ND. L'angle NnD étant droit, l'angle nND est égal à la moitié de l'angle N^D; donc il est infiniment petit, car l'angle N^D est celui des tangentes aux deux extrémités de l'arc MN. Dès lors rïD est infiniment petit par rapport à Nh; mais Nn étant la distance de M' au plan osculateur en M, il est du troisième ordre (63); ■donc «D est d'un ordre supérieur au troisième.

Du cercle de courbure et du cercle osculateur.

68- Le cercle de courbure en un point d'une courbe non plane ■est celui dont le rayon est la limite du rapport d'un arc infiniment petit compté à partir de ce point, à l'angle de contingence (48).

Ce cercle est identique au cercle de même définition de la projection de la courbe sur le plan osculateur. Si en effet nous reprenons la figure 42, les rayons de courbure en M à la courbe donnée et à la pro-

, ,..,„. AS arc Mm'

icction sont respectivement les limites des tractions — et --■ , ■■■ --,

^ * « angle m'^T'

dont les numérateurs sont des infiniment petits égaux, et aussi les

dénominateurs (5^).

69. Le cercle osculateur est, de tous les cercles qu'on peut mener par le point M, celui dont le contact avec la courbe est le plus intime. Pour le déterminer de grandeur et de position concevons un cercle

tangent à la courbe au point M. Prenons sur la tangente commune une longueur du premier ordre MA (fig, 45), et par l'extrémité A menons un plan perpendiculaire à la tangente; il coupe la courbe et le cercle en des points B et C. Pour résoudre la question il suffit de trouver les conditions sous lesquelles BC prend sa valeur minimum, et à cet effet nous allons passer en revue les divers cas imaginables.

Le plan du cercle contient la tangente commune ; si ce plan est différent du plan osculateur à la courbe au point M l'angle BAC est fini, et BG est par conséquent du second ordre comme AB et AC.

Supposons donc que le cercle ait été tracé dans le plan osculateur au point M, et appelons b le point où la projection de la courbe sur ce plan est coupée par le plan mené tout à l'heure perpendiculairement à la tangente commune : b est la projection de B sur le plan osculateur, et la longueur B6 est du troisième ordre (63). Si notre cercle ne se confond pas avec le cercle de courbure en M à la projection, la distance G6 est du second ordre (19), donc d'un ordre inférieur à celui de Bt, d'où il suit que BG et Cb sont alors des infiniment petits égaux. Conséquemment, si le cercle cboisi ne se confond pas avec le cercle de courbure en M à la projection, BC est du second ordre.

Il ne reste à examiner que le seul cas où le cercle considéré est identique au cercle de courbure en M à la projection. La distance Cb étant dans ce cas d'un ordre supérieur au second, il en est de même de BG, et ce cercle est, dès lors, le cercle osculateur cherché. Or on a vu au numéro précédent que le cercle de courbure de la projection

a pour rayon la limite du quotient — , As et s se rapportant à la courbenon plane. Par suite, le cercle oscillateur est tracé dans le plan oscillateur et son rayon est égal à lim — , Le centre en est situé sur

celle des normales en M qui est contenue dans le plan osculatflur. Gette normale s reçu le nom de normale principale, laquelle, d'après la définition du plan osculateur (4i), n'est donc autre chose que la situation limite de la droite M'P prolongée de part et d'autre, P étant le pied de la perpendiculaire abaissée de M' sur h en M.

70. Dans les courbes non planes, comme dans les coarbes planes, le cercle osculaleur ett déterminé par trois points de la courbe infiniment voisins. Dans le cas des courbes planes cette proposition a été déduite (20) du fait que le supplément d'un angle inscrit dans un arc infiniment petit vaut la moitié de l'angle de contingence. Commençons par montrer que ceci est vrai aussi des lignes non planes.

Soit H (fig. 4^) un point de l'arc MM'. Projetons la courbe sur le plan osculateur en M, et soient m' , h les projections des points M' et H ; désignant par i' l'angle de contingence de l'arc Mm', l'angle des cordes MA, hm' a pour expression ^t' {i4)- Comme l'angle des tangentes en M et en M' est égal à e' (54), tout revient à montrer que l'angle des cordes MH, HM' et celui des cordes MA, hm' sont égaux. Or cela résulte immédiatement de la proposition établie au N"» 53, puisque le second de ces angles est la projection du premier sur le plan osculateur en M, et que, d'après le théorème des ^'^ 45 et 46, l'angle de leurs plans est infiniment petit.

Il est ainsi établi que le supplément de tout angle inscrit dans un arc non pian infinitésimal a pour expression de sa valeur la moitié de l'angle de contingence.

Cela posé, pour prouver que le cercle conduit par trois points de la courbe infiniment voisins est identique au cercle osculateur, il suffira de répéter mot pour mot le raisonnement du N" 20, et de remarquer en outre que le cercle en question est situé dans le plan osculateur, puisque ce plan est lui-même déterminé par trois points de la courbe infiniment voisins,

71 . La limite du cercle qui est tangent en M à la courbe et qui passe par M' est identique aussi au cercle osculateur. D'abord il est contenu dans le plan osculateur (4i), en sorte qu'il y a seulement à montrer que son rayon est égal à celui du cercle de courbure. Le rayon du cercle que nous envisageons est égal au rapport

arc de cercle MM'

et comme l'arc de cercle MM' et l'ai'C is sont ég-aux puisqu'ils ont la même corde, et que l'angle TMM' a pour expression -s (58), ce rapport

a la même limite que le rapport — .

72, Chacun des cercles qui nous ont occupe dans les derniers numéros est identique au cercle de même définition de la projection de la courbe sur le plan osculateur. Cela résulte clairement de tout ce. qui précède, comme le lecteur le vérifiera sans peine. Cette remarque sera utilisée.

. 73. Ici trouve naturellement sa place un lemme dont nous aurons besoin plus tard. Considérons une courbe et sa projection sur le plan osculateur en M, et soit toujours m,' la projection de M' sur ce plan. Nous nous proposons de montrer que les accroissements que prend le rayon de courbure quand on passe de M à M' sur la courbe donnée et de M à m' sur sa projection sont égaux en tant qu'infiniment petits, A cet effet nous chercherons l'expression de la différence de ces accroissements; il viendra une quantité du second ordre, et comme l'accroissement que reçoit le rayon de courbure quand on passe de M à M' est en général du même ordre que l'arc MM', la proposition se trouvera démontrée.

Soient ;> et p -f- i^ les rayons de courbure de la courbe donnée en M et en M'. Le rayon de courbure de la projection au point M est ^ {68), et nous appellerons p + w celui au point m' . Il s'agit de former l'expression de la différence \u, — i^. A cet effet nous chercherons

d'abord colle du rapport ~ en supposant le point M' fixe.

Soient M" un point de la courbe considérée infiniment voisin de M' et m" sa projection sur le plan osculateur en M. Désignons par E l'angle des tangentes en M' et en M", et parE' celui des tangentes

,. arcM'M" ,. arcm'm"

La limite du rapport des arcs m' m" et M'M" est égale à celle du rapport de leurs cordes. Or cette dernière limite est le cosinus de

l'inclinaisoQ de la tangente en M' sur le plan osculateur en M, Désig'nant cette indinaison par (', on a donc

Par un point (Hg. ki) menons OT, OT', Ot, Ùt' respectivement parallèles aux tangentes en M',M°, m' et m\ Les ang-lcsTOT', tOt' sont ég'aux, le premier à E, et le second à E'. De plus, le plan tOt' étant parallèle au plan osculateur en M et le plan TOT' tendant à devenir parallèle à celui en M', la limite de l' angle de ces plans est égale à M- Remarquons encore que Ot et Ot' sont les projections sur le plan tOt' de OT et de OT', et que l'angle TOi n'est autre que l'angle i.

Menons un plan perpendiculaire à l'intersection OK des plans TOT' tOt'. Soient A, B, D les pointa où il coupe OK, OT, OT', et b, d ceux où ii coupe Ot, OV . Ces deux derniers points sont les projections de B et de D sur le plan tOt' . On a :

"" sin rf ~ "" sin 6 "" OB ~ '^"^ ' ■ Enfin le rapport -7-7 est la réciproque du cosinus du dièdre TOK(. Ce dièdre ayant pour limite «, le rapport a pour limite — — . On a donc

ee qui, a cause de (1), entraîne

/» + " ^ «Jïï (•)

/J + âp COSm

Cessons maintenant de considérer le point M' comme iixo et supposons-le de nouveau infinlmeot voisin de M. La fraction diffère

■ f ■ . .1 ■ , cos'i

mhniment pua de I uriite ; posons — — = i + a; on ji

OU, ne conservant du second membre que la partie principale^

Tout est donc ramené à trouver l'expression de a

cos'( COS^J COS^î

Remplaçant au dernier membre le dénominaieur pai* sa limite, qui est l'unité, on obtient cos^i — cosw pour valeur de a. Or

COS^I — COSlJ = I — COSlJ — (i COS^i)

= I — coSïj — (i + cosi -f- cos^i) (i — cosi")

(*) On Burait pu arriver à ce rcsultat uu peu plus prompte m eut, niais en utilisant ]e théorème qui apprend que le rayon du cercle circonscrit à un triangle est le produit de ses Irols côtés divisé par le quadruple de son aire. Soient en effet M* et M' deux points de la courbe infiniment voisins de M'; m' et m' leurs projections sur le plan osculateur en M; a, b, c, les côtés du triangle M'M'M"'; a' , b' , c' leurs projections, qai sont les côtés du triangle m'm'rri^; s et s' !es aires de ces deux

triangles ;R et R' les rayons de leurs cercles cirooiuicri^. On aR= — , R' i= — 7-j— , d'où — ^ — r— : — . Les rayons R et R' tendent respectivement vers p+^petp-j-u quand M' et M* se rapprochent de M', les rapports — , — , — tendent vers cos i, et alors il rest« seulement à obtenir lïm — =; cost?. Appelant à cet eil'et a l'ang-le des plans des deux triançles on a — =cosi(, car s' est la projection de s ; or a a pour limite îj puisque Je plan de î'aire s est osculateur en M' a la limite.

L'angle i étant du second ordre (09) et l'angle ni du premier, le seiiond terme de cette différence est infiniment petit compari^ au premier. Ne conservant que celui-ci et y remplaçant le sinus par l'angle, il vient -ï]^. On a donc a = 5»^, et, par suite,

grandeur du second ordre.