Corollaire du numéro précédent

Soit C le centre du cercle osculateur en M commua à la courbe et à la projection; tirons la droite Cm', et soit h le point oà elle conpe le cercle. Conservons les notations des derniers numéros. Par le théorème du. N" aS on a la relation

Mais a' est égal à s (54), et l'on vient de voir que a est égal à l'accroissement ip que prend le rayon de courbure de la courbe donnée quand on passe de M à M' ; donc

D'après les considérations exposées au N" 5i ci-dessus on pourrait mettre en doute la légitimité de l'application que nous venons de faire du théorème du No 25, car outre que ce théorème est de ceux qui peuvent cesser d'avoir lieu en des points isolés, l'application en a ét^ faite à un point déterminé de la projection, et celle-ci est une ligne qui varie d'un point à un autre de la courbe donnée. Mais si l'on tient compte de ce qu'on a vu au N" 52 on reconnaîtra, en relisant la démonstration du N" 25, que pour qu'elle puisse se faire il suffit que l'angle des tangentes en M et en M' (fig. 21) et l'arc CC de la développée soient tous deux du même ordre que l'arc MM', et, par conséquent, que la distance d'une courbe plane au cercle osculateur a pour expression, toutes les fois que cette condition est remplie, le sixième du produit du carré de l'angle de contingence par l'accroissement du rayon de courbure. Dès lors, pour légitimer entièrement l'emploi fait tout à l'heure de cette proposition, il suffit de montrer que arc M/n', (' et u sont tous trois du même ordre infinitésimal. Or ces grandeurs sont respectivement égales à arcMM', s et Ap, et celles-ci sont en

général du même ordre. Par suite arcMm', i' et u sont, sauf peutêtre en des points isolés, du môme ordre infinitésimal. La relation m'k = is^ip a donc lieu en général.

Expressions de diverses grandeurs qui naissent de la considération de certaines normales en deux points d'une ligne infiniment voisins, ainsi que de celle des centres de courbure.

Les angles que fait la normale principale en M' avec le plan normal et avec le plan osculateur en M sont égaux, en tant qu'infiniment petits, le premier k s, le second à )?. La démonstration préalable de ces deux théorèmes simplifiera la recherche des relations auxquelles est consacré le présent article. Elle fera l'objet des deux numéros qui vont suivre.

75. L'inclinaison de la normale principale en H' sur le plan normal en M est égale à s.

Nous montrerons que cette inclinaison est égale à l'angle des plans normaux en M et en M' ; ce qui suffira, puisque l'angle des plans normaux ne diffère point de celui des tangentes.

Soient (fig. 48)

CD l'intersection de ces deux plans normaux;

M'A la normale principale en M', coupant CD en A;

M'B perpendiculaire à CD;

P la projection de M' sur ie plan normal en M ; PA et PB sont les projections de M'A et de M'B sui' ce même plan.

L'angle M'A? est l'inclinaison de la normale principale en M' sur le plan normal en M; c'est donc l'angle que nous considérons ici. L'angle M'BP est celui des deux plans normaux, car les droites BP et BM' sont respectivement contenues dans ces deux plans et elles sont perpendiculaires l'une et l'autre à l'intersection CD. Il j a donc seulement à faire voir que les angles M'AP et M'BP sont égaux.

Le' second de ces deux angles est la projection, sur son plan, du premier; or nous allons montrer que l'angle de leurs plans est infiniment petit, et alors l'égalité de nos deux angles sera établie en suite du principe exposé au N" 53. Les plans M'AP, M'BP étant tous

deux perpendiculaires au plan normal à la courbe au point M, leur angle est égal à APB. Tout est donc ramené à faire voir que l'angle APB est inSniment petit.

Les aTigles APB et AM'B sont égaux, puisque le premier est la projection, sur son plan, du second, et que l'angle de leurs plans, étant égal à s, est infiniment petit. Il suffit donc de montrer que AM'B est infiniment petit; et comme M'B est à angle droit sur AB, tout revient à faire voir que AB est k la limite perpendiculaire à M'A. Or AB étant perpendiculaire à la tangente en M et à celle en M', il est perpendiculaire à un plan mené parallèlement à ces deux tangentes, ce qui fait qu'il tend à devenir perpendiculaire au plan osculateur en M', donc h M'A, qui par définition est contenu dans ce dernier plan.

76. L'inclinaison de la normale principale en M' sur le plan oscalateur en M est égale à ij.

Soient (fig. 49)

NA l'intersection des plans oscuJateurs en M et en M' (le point M n'est pas indiqué sur la figure) ;

M'N' et M'K la tangente et la normale principale en M' ; l'angle KM'N' est droit;

N' et B les intersections de ces deux droites par NA;

Bk la projection de la droite BM'Ksur le plan osculaleur en M;

BC, BD des perpendiculaires menées à NA dans les plans osculateurs en M et en M' ; les angles KBD et M'N'A sont égaux, car ils sont situés dans un mémo plan et leurs côtés sont deux à deux perpendiculaires.

L'angle KBk est celui que nous considérons; l'angle DBC est celui des deux plans osculateurs, et il s'agit par conséquent de montrer que les angles KBk et DBC sont égaux. Or le second étant la projection, sur son plan, du premier, la proposition sera démontrée si l'on fait voir que l'angle des plans DBC et KBk est infiniment petit.

Cet angle n'est autre que l'angle kBC, et celui-ci est la projection, sur son plan, de l'angle KBD. Ces deux angles sont égaux, car l'angle de leurs plans est infiniment petit, puisque c'est précisément l'angle ;î. Or KBD est infiniment petit, car il est, comme nous l'avons

fait obsei-ver, égal à l'angle M'N'A, lequel a pour expression - = (Oo). iDonc feBG est infiniment petit.

77. Anffle des normales principales en M et en M'. Appelions cet ang-le ç.

Par un point menons OR et OR' (fig. 5o) respectivement parallèles à ces deux normales, puis OS et OT parallèles respectivement aux projections de la normale principale en M' sur le plan normal et sur le plan osculateur en M : les plans ROS, ROT sont parallèles, le premier, au plan normal, et le second, au plan osculateur en M; les plans R'OS, R'OT sont respectivement perpendiculaires à ces deux plans, et les angles R'OS, R'OT sont présisément ceux qui ont été considérés dans les deux numéros précédents et reconnus égaux, le premier à i, le second à n.

Par le point a pris sur OR à l'unité de dislance de menons un plan perpendiculaire à cette droite, et soient b^ c et cl les points où il coupe OT, OR' OS : abcd est un rectangle infinitésimal dont chaque côté est é§:al à l'angle de celles des droites issues de qu'il réunit, et il en est de même des diagonales. En particulier, les angles ROR', R'OS, R'OT sont respectivement égaux à ac, cd et bc. Mais ROR' est justement l'angle Ç des deux normales en M et en M', et nous venons de rappeler que R'OS, R'OT sont égaux, l'un à e, l'autre à îj. On peut donc écrire

ac = ç, cd = z, bc = r,.

Or le triangle bcd, rectangle en c, donne, en tenant compte de bd := ac,

ai: T^cd + bc , et dans celle relation remplaçant les termes par les valeurs qu'en fournissent les égalités précédentes puis prenant les racines cari'ées des deux membres, il vient

Cette formule est due à Lancret, qui l'a donnée dans les premières 'années du siècle passé (*).

(*) Mémoires présentés à rinsillat. SrAences math, el pht/s. Vol, 1, 1805, p. 430.

* On sera peut-être désireux de savoir comment ce géomètre y est parvenu. II faut à cet eflet concevoir la courbe comme un poljg-one ABCD..., k côtés infiniment petits, en prenant AB, UC,... prolonges pour tangentes en les sommets A, B>---i pu's les plans ABC, BGD,... pour plans osculateurs en ces sommets, et pour normales principales les perpendiculaires élevées dans ces plans aux tangentes, de telle sorte, par exemple, que la perpendiculaire élevée de A à AB dans le plan ABC sera la normale principale en A, Cela posé voici, aux termes et à la rédaction près, la démonstration de Lancret.

Que par le centre d'une sphère de rayon unité on conduise dos parallèles aux trois tangentes, AB, BC, CD; elles traversent la surf ace «n des points a, b, c (fig- 5i) qu'on reliera par deux arcs de ffrands cercles ab et bc, dont les plans sont parallèles respectivement aux plans osculateurs ABC, BGD, Par a menons un grand cercle perpendiculaire à l'arc ab, et par b menons en un autre perpendiculaire à l'arc bc : les plans de ces deux cercles sont perpendiculaii'es, le premier à la normale principale en A, le second à celle en B, ce qui fait que leur angle est égal à celui de ces deux normales. Ces mêmes cercles se coupent en deux points dont l'un, d, est situé du côté de ab prolongé où se trouve le point c, et le triangle abd, rectangle en a, <lonnc, par une formule de la trigonométrie sphérique, cosadb ^= cosab sinabd.

L'arc bc et le prolongement bl de l'arc ab form.ent un ang-le cbl qui est le complément de abd; on a donc la relation

œsadb =^ cosab coscbl, où l'arc ab et les angles cbl et adb sont égaux respectivement aux angles dos tangentes, des plans osculateurs et des nonnales principales en A et en B, Or si trois angles a, j3, 8 sont infiniment petits et «n même temps tels qu'on ait cosS = cosa cos^, remplaçant les cosinus par leurs développements en séries et rejetant tes termes de dégrés supérieurs au second, il vient une égalité qui peut s'écrire

par quoi la relation que l'on vient d'obtenir fournit le théorème de Lancret.

78. Direction de la commune perpendiculaire aux deux normales. Dans la figure 5o l'angle bac est celui que fait avec le plan osculateur on M un plan mend parallèlement aux normales principales en M et en M'. L'angle abc étant droit, on a

hc i^nghac^-.

Mais ab est égal à cd puisque ahcdest un rectangle, et l'on a vu tout à l'heure que bc et cd sont respectivement égaux à u et £ ; donc

lim. tang bac ^^ lim -.

Maintenant, la commune perpendiculaire aux deux normales est perpendiculaire au plan ROR' ; l'angle qu'elle fail avec le plan osculateur en M est par conséquent le coniplém.ent de l'angle bac; si donc on appelle); sa limite, on a

tang Si = lim-,

ou, multipliant haut et bas par &s, remplaçant— par sa limite — et désignant, comme nous en sommes convenus (48), par <t le rajon de torsion, c'est-à-dire la limite du rapport -^i

tang!i=-.