MD

yGoosle

La grandeur et la position, de la commune perpendiculaire se trouvent aiasi complètement déterminées. Si dans la formule précédente on remplace t par sa valeur en p et » qui est — ■■ ■ — . on

reconnaîtra que MD est plus petit que p, el que le point D est par conséquent toujours situé, sur la normale principale, entre la courbe et le centre du cercle osculateur. Soit C ce centre; il existe une relation simple entre les distances de D à M et à C ; on déduit en effet de la dernière formule

MD n^

ÔD ~ ^^' 81 Ld su fa e i eu deb rm les ];r n | 1 st une surface ga, he a na qu ou» le icconnatt ons plus lo n | (6). On nomme gorge o i / gne de sir cl on la I j^ne qui sur une surface gauche réunit les posit ons 1 m tes des pieds les pe pend cula r s communes à deux génératrices infin ment vo s ne Ld courbe 1 pi des points D est donc la prorge o I gne de strict on de la surface des normales pr ] aies Cette cou be cou t su la u la e ei Ire la courbe primit e et le l eu des entres d s les osc late irs (8o dernier alinéa).

On volt que son arc élémentaire est égal à 1/ A" -J- aMD , et que l'inclinaison de sa tangente sur la normale principale a pour tangente trigono métrique le rapport , d'où il suit que la ligne de striction de la surface des normales principales ne court perpendiculairement à CCS normales que dans les courbes où MD, c'est-à-dire -r^ ■ , est

constant. On aura un plan dans lequel cette tangente est située en cherchant le plan tangent à la surface au point D. Ce plan contient la normale principale MD en tant qup génératrice de la surface (35, Cor. Il) Il contient aussi la commune perpendiculaire à deux normales principales infiniment \oisin s car c est là une tangente à la surface comme position limite d une droite pissant par deux points de la surface infiniment voisins II contient dès lors la parallèle menée de M \ la commune pcrpendiculaiie parallèle qui a été nommée la droite nclijiaute df njiniuation dont on aura plus loin

— yi —

la justification. Ainsi la tang^ente à la lig-ne de stnctioo de la suri'ace des normales principales est située dans le plan que déterminent la normale principale et la droite rectifiante. Nous avons donné tout à l'heure sa direction dans ce plan.

82. Parmi les normales au point M considérons celle qui est perpendiculaire au plan osculateur. Elle a été nommée par de Saint- Venant !a binormale (*), c'est-à-dire la doublement normale, parce que non seulement elle est perpendiculaire à la tangente en M, mais l'angle qu'elle fait avec la tangente en M' ne diffère de l'angle droit que d'une quantité infiniment petite comparée à. is. Cette quantité a en effet pour expression jnj, puisque telle est (Sg) l'expression de l'inclinaison de cette tangente sur le plan osculateur. Or la différence entre un droit et l'angle que fait la binormale en M avec la tangente en M' est précisément égale à l'inclinaison de cette binormale sur le plan normal en M'. L'inclinaison de la binormale en l'une des extrémités de l'arc As sur le pian normal en l'autre extrémité vaut donc |Eïj, et elle est ainsi du second ordre. De là , et de ce que les binormales en les deux extrémités de l'arc font entre elles un ang'le du premier ordre (l'angle w), il résulte que la tangente est perpendiculaire à un pian parallèle à deux binormales infiniment voisines, et qu'un tel plan, par suite, est parallèle à la limite au plan normal.

Que la tangente soit perpendiculaire k un plan parallèle à deux binormales infiniment voisines est, d'ailleurs, une conséquence immédiate de ce que l'intersection des plans osculateurs en M et M' tend A se réunir à la tangente (ig), puisque cette intersection est perpendiculaire à chacune des deux binormales. Et c'est une conséquence immédiate encore de la proposition qui a fait l'objet du N" 56, si l'on y suppose OA, OA' parallèles à deux tangentes infiniment voisines, OB, OB' parallèles aux binormales correspondantes, et si l'on remarque que OB est alors perpendiculaire à la limite du plan AOA' puisque cette limite est parallèle au plan osculateur.

Si les OA et les OB du N" 56 sont parallèles aux tangentes et aux binormales, — par quoi les angles AA' et BB' valent t et j;, — les OC

(*) Joarmil de l'Ecole polytechnique, trentième cahifii-, p, IT.

du paragraphe 6-j sont parallèles aux normales principales, et la proposition établie dans ce paragraphe nous donne à nouveau l'expression de ç obtenue ci-dessus au N" 77,

83. L'inclinaison sur le plan normal aa point M da plan mené par la binormale en ce point parallèlement à celle au point M' vaut la moitié de l'angle de contingence.

Cette proposition, qui sera utilisée, s'établit comme celle du N" 61, et sur la même figure, savoir la figure 4i'

Concevons que par un point o on ait mené des parallèles à toutes les binormales : ces parallèles constituent un cône dont les plans tangents sont, d'après le précédent numéro, parallèles aux plans normaux de la ligne primitive. Appelons fi, ft' les génératrices du cône parallèles aux binormales en M et M', et soit ol l'intersection des plans tangents au cône le long: de ces deu s génératrices. Prenons, sur cette intersection, ol égal à l'unité. Par l menons un plan perpendiculaire à ol. Ce plan coupe le cône suivant une courbe dont soit mm' l'arc qui joint les points m, m' où le plan coupe les génératrices (i, [i', que nous nommerons désormais om et om' . De m' abaissons m'p perpendiculaire à ml : m'p est perpendiculaire au plan mol, tangent au c6ne le long de om. L'angle plm' est l'angle dos deux plans tangents ; il vaut donc s puisque l'angle de deux plans normaux est égal à celui des deux tangentes correspondantes. Dès lors, les plans mol, mom' étant respectivement parallèles au plan normal en M et au plan mené par la binormale en M parallèlement à celle en M', tout est ramené à montrer que le dièdre Imom', formé par les plans mol et mom', est la moitié de l'angle jsta'. Or à la preuve de ce fait ont été consacrés les deux derniers alinéas du N" 61 .

84. Remarque préliminaire. Soient AB, CD deux droites , et AG leur commune perpendiculaire. On suppose leur angle un infiniment petit d'ordre «. Soit EF une parallèle à AC qui passe k une distance finie de cette droite. Si la distance de EF à l'une des deux droites données AB, CD est d'un ordre supérieur à et, sa distance à l'autre est, on le voit, de l'ordre a. Pour que cette seconde distance pdt être, elle aussi, d'un ordre plus élevé que h, il faudrait que EF, contrairement à l'hypothèse, fût infiniment voisin de la commune

— 93 ~ perpendiculaire AC. Si donc une parallèle à AC passe à des distances de AB et de CD l'une et l'autre d'ordre supérieur à l'ordre de l'ang'le de ces deux droites, elle est infiniment voisine de leur commune perpendiculaire AC.

On verra an N" g6 que le lieu des binormaîes est une surface gauche. La lig'ue de striction de ce lieu n'est aulrc que la courbe elle-même. En effet, les binormaîes en M et en M' étant perpendiculaires aux plans osculaleurs en ces mêmes points, leur commune perpendiculaire est parallèle à l'intersection de ces deux plans. Or les distances de cette intersection aux points M et M' , et par suite ■aussi aux deux binormaîes, sont du second ordre (62, cor.). De plus, l'angle des binormaîes est du premier ordre, puisqu'il est égal à celui des plans osculateurs. Donc les distances des binormaîes en M et en M' à l'inlersection des plans osculateurs en ces mêmes points sont toutes deux d'ordre supérieur à l'angle des binormaîes. Il résulte de là, d'après notre remarque préliminaire, que cette intersection ne saurait être parallèle à la commune perpendiculaire aux deux binormaîes sans en être en même temps infiniment voisine. Or nous avons fait remarquer tout à l'beure que ces deux droites sont parallèles; par conséquent la commune perpendiculaire aux deux .binormaîes tend à se confondre avec l'intersection des plans osculateurs, et, par suite, avec la corde MM'. De là résulte que la ligne de striction de la surface lieu des binormaîes coïncide avec la courbe considérée.

On voit en outre que la plus courte distance des binormaîes en M et en M* a pour expression As. On voit aussi que dans la surface lieu des binormaîes la ligne de striction coupe les génératrices à angle

85. Remarque préliminaire. Soit ABDC (fig. 54) un quadrilatère dont les côtés opposés AB, CD sont finis, dont les côtés AC, BD sont inliaiment petits et du même ordre, — disons les du premier, — et dont les angles sont tous droits à la limite. Soit EF une transversale qui fait avec AB et CD des angles intérieurs d'un même côté égaux : dans chacun des deux quadrilatères AEFC, EBDF les quatre angles sont droits à la limite.

, Sur EA prenons EG égal à FC : les angles A et G du ti-iangle ACG

sont droits à la limite, d'où il suit que GA est infiniment petit comparé à AC. Ainsi, dans le quadrilatère AEFC, la diiFérence des deux côt^ finis est d'ordre supérieur au premier; et comme il en est de même dans le quadrilatère EBDF, la différence des côtés finis AB, CD du quadrilatère donné ABDC est d'ordre supérieur à l'ordre des côtés infiniments petits.

Concevons actuellement que deux courbes soient constamment coupées l'une el l'autre à angles droits par une droite qui se déplace sans jamais cesser de s'appujer sur elles, et supposons que AB, CD soient, dans deux positions de la droite infiniment voisines, les parties comprises entre les deux courbes : AC et BD sont les cordes de deux arcs infiniment petits des deux courbes, et les quatre ang'les du quadrilatère ABDC tendent dès lors à devenir droits. La différence de ces parties AB, CD, si elle existe, est, par suite, infiniment petite comparée aux arcs AC, BD.

Soit maintenant MN, non tracé sur la figure, une position de la droite mobile prise à une distance finie de AB, M et N étant les points d'intersection de la droite et des deux courbes. Concevons que l'on ait marqué sur l'arc AM des points dont on fera croître le nombre indéfiniment, et, sur l'arc EN, les points correspondants, deux points correspondants étant ceux qui appartiennent à une même position de la droite mobile. On aura une suite de quadrilatères où la différence des deux côtés finis est d'ordre supérieur k celui des arcs qu'ils comprennent entre eux, et la somme de ces différences est infiniment petite comparée aux sommes des arcs, c'est-à-dire aux arcs AM, BN. Elle est donc nulle, et MN est ég:al à AB.

On vient de voir que dans la surface lieu des binormales la lig-ne de striction coupe les génératrices à ang^les droits. Il n'en est pas de même dans la surface lieu des normales principales, car si dans cette surface la ligne de striction coupait les génératrices à angles droits, comme celles-ci sont déjà coupées à angles droits par la courbe primitive, l'ensemble des normales principales pourrait être considéré comme la suite des positions d'une droite mobile qui reste constamm.ent perpendiculaire à deux courbes fixes, et alors, appellant D le point de la ligne de striction qui correspond au point M de la courbe

primitive , d'après notre remarque préliminaire la longueur MD

serait constante. Mais nous avons trouvé MD = — , et — est égal à

-^ ■ Il faudrait donc que cette dernière expression conservât la

même valeur en tous les points de la courbe; or c'est ce qui en g'énéral n'a pas lieu, car il n'existe pas de relation nécessaire entre le rayon de courbure et le rayon de torsion, et la constance du rapport que l'on vient d'écrire ne peut être le propre que de certaines lignes.

86. La tangente au lieu des centres de courbure est située dans le plan normal, appelant, pour abréger, centre de courbure te centre du cercle osculateur.

Ici et dans toute la suite G et C seront les centres de courbure en M et en M', en sorte que MC et M'C seront les rayons de courbure et les normales principales en ces deux derniers points.

Soient L (fig. 55) le point où M'C traverse le plan normal en M, et PLQ la projection de M'C sur ce plan, P et Q étant les projections de C et de M'.

L'ang:le CGP étant celui que iait CC avec le plan normal, il suffit de montrer que cet angle est infiniment petit. L'arc GC est du même

ordre que MM', donc du premier, et comme sin CGP = p^ , tout

revient à montrer que la longueur CP est d'un orfre supérieur au premier.

L'ang^le M'LQ est l'inclinaison de la normale principale en M' sur le plan normal en M, et cette inclinaison est égale à i (75). D'un autre côté la longueur QM étant du second ordre puisqu'elle est égale à la distance de M' à la tangente en M, on a M'Q:=MM'=is, d'où, il résulte, comme l'angle Q est droit, que la longueur M'L diffère infiniment peu de — , et par conséquent de p ou MC. Dès lors elle

diffère infiniment peu aussi deM'G', ce qui fait que CL est infiniment petit. Or on a CP = CL sinCLP, et comme l'angle CLP est égal à M'LQ, donc à i, CP est d'un ordre supérieur au premier.

La figure suppose M'C> MG, et si l'on y a mis les points M' et C l'un k droite et l'autre à gauche de MG prolongé, c'est que, 1

on le prouvera plus loin (ii5), quand M'C surpasse MC, le plan nonnal ea M passe entre ces deux points. La démonstration qu'on vient de lire se serait d'ailleurs faite tout aussi bien avec les deux points du même côté de MC, mais alors la figure eût été incorrecte. Dans une ii§:ne plane M' et C sont situés de part et d'autre du plan normal en M, ou du même côté, suivant que le rayon de courbure est plus grand en M' qu'en M, on qu'il y est au contraire plus petit (9, cor.). Or en cela il n'y a pas de différence entre les lignes non planes et les lignes planes, ainsi que nous le ferons voir ci-aprÈs au N" ii5, ce qui justifiera le dessin de notre figure.