Expression de l'arc CC

Par G' menons un plan perpendiculaire à MC ; il coupe cette droite en un point B, et l'on a {%. 56)

(i) corde CC'= ^/BC" + BC^"-

BC est, en tant qu'infiniment petit, égal à la différence des rayons MC, M'C; on a donc

(2) BC := ap.

Pour évaluer BC appelons J) le point oii le rayon M'C traverse le plan osculateur en M, et E le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur ce même plan. On a

ËC=DC' sinEDC.

L'angle EDC est égal à »i {l&)- DM' est infiniment petit (*), ce qui fait qu'on peut remplacer DG' par le rayon M'C et coiiséqucmment par p. Nous pouvons donc écrire

EC=p«.

Enfin EB est égal à la distance de G' au plan normal en M, et celle-ci est d'un ordre supérieur au premier puisque la tangente en C à l'arc CG' est située dans ce même plan (86). EB est donc infiniment petit comparé à EC',,et il suit de là que EC et BC sont égaux en tant qu'infiniment petits. On a donc

(3) BC ^ py,.

(*} li esl ^gaJ à ^sAs, comme on le vérifie au iiioycii des !\" 63 et 76.

Mettant dans (1) les valeurs (2) et (3) et subsliluant l'arc CC à sa corde, il vient

arc ce = i/V+pV. (*)

Nous étudierons dans un autre chapitre la sphère osculatrice, qui, de toutes Ses sphères passant par le point M, est la plus voisine de la courbe près de ce point, et l'on verra, à l'expression de son rayon R, que d'après ta relation qui vient d'être obtenue, l'arc CC est ég^al à Ri], ce qui en outre sera établi directement.

88. Direction de la tangente en C au Uea des centres de courbure.

On sait déjà (86) que cette tangente est située dans le plan normal ; sa direction sera donc déterminée entièrement si nous trouvons Fang'Ie x qu'elle fait avec le rayon MG.

Dans la fig'ure du numéro précédent la tang'ente de l'angle que fait

la corde CC avec MC est égale au rapport -j^ . Dès lors la tangente

de l'angle x est ia limite de ce rapport. Les valeurs de BC et de BC ont été données tout à l'heure, et l'on en déduit

tangx^^ lim — .

D'après ce résultat, MC est constamment perpendiculaire au lieu des centres de courbure dans les lignes où, comme par exemple dans l'hélice tracée sur un cylindre rond, le rayon p est invariable,

89- Remarque. Les valeurs de arc CC et de tang k obtenues dans les deux derniers numéros montrent que dans les courbes non planes le lieu des centres des cercl&s osculaleurs n'est pas, comme dans les ■courbes planes, une développée de la courbe primitive; car, d'après la définition de la développée, pour que ce lieu en fût une on devrait avoir arc CC^ Ap, et x =; o. Cette proposition est d'ailleurs une conséquence de ce que l'angle de deux normales principales infiniment voisines et leur plus courte distsmce sont du même ordre, ainsi qu'il Tésulte des expressions, données dans les N''^ 77 et 79, de ces deux

iialytique, par Molins. Voir le Journal di Lîouuille,

grandeurs. Cap si le lieu des centres de courbure était une développéede la courbe primitive, les normales principales étant alors tangentes à une même ligne, la plus courte distance de deux d'entre elles infiniment voisines serait, d'après le N" 64, d'ordre supérieur à celui de leur angle.

Dans les lignes planes il n'y a pas de torsion, et l'on voit par les égalités qui terminent les deux derniers numéros que c'est à cet élément qu'est due, dans les lignes non planes, la différence entre l'arc ce et ip, ainsi que l'existence de l'angle *.

On aurait encore à rechercher les angles de contingence et de torsioQ du lieu des centres de courbure, et aussi la position de son plan osculateur. Il y a quelque avantage à différer un peu cette étude ;, elle trouvera sa place plus loin.

Notions sur les surlaces réglées.

Nous avons maintenant à nous occuper d'une nouvelle série dopropriétés des courbes non planes, de la théorie de leurs développées, de celle de leurs développantes, de la sphère et de l'hélice osculatrices; mais il est indispensable d'établir préalablement quelques théorèmes sur les surfaces réglées.

On a souvent à considérer une surface comme engendrée par une ligne mobile dont le mouvement est dirigé par une ou plusieurs lignes fixes. La ligne mobile a reçu le nom de génératrice, et les lignes fixes sont appelées directrices.

90. La surface engendrée par une droite qui se meut sur unecourbe non plane en lui restant toujours tangente, ou, en d'autres termes, le lieu des tangentes d'une courbe non plane, est une' sur/ace déueloppable. Cette surjace a pour plans tangents lesplans oscalatears de la courbe directrice (*).

Soit P (fig. 57) un point de cette courbe, et soif A un point quelconque de la tangente en P. Concevons une ligne tracée à volonté sur la surface par le point A : nous allons montrer que la tangente

(*) Si le lecteur possède des

ligées dans la préface, il reooni

laîtra que cette proposition est contenue dans

lëorème général delà Ihtorie de

s surfaces enveloppa.

en A à cette lig-ne est contenue dans le plan osculateur de la directrice au point P. Il sera établi par là que le plan osculaffiup en un point quelconque de la directrice est tangent à la surface tout le long de la giînératrice qui passe par ce point. On en conclura que la surface lieu des tangentes est (36) une surface développable, et qu'elle a pour plans tangents les plans osculateurs de la directrice.

Soit P' un point de la directrice inSniment voisin de P, et soit A' le point où la ligne tracée sur la surface coupe la tangente en P'. Considérons l'arc PP' comme du premier ordre : l'arc AA' est aussi du premier ordre, car les longueurs des deux courbes, comptées sur chacune d'elles à partir de l'un de ses points, sont deux quantités fonctions l'une de l'autre. D'un autre côté, l'angle que fait la tangente en P' avec le plan osculateur en P étant du second ordre (5()), la dislance du point A' à ce plan est une longueur du second ordre. Il suit de là que la direction AA' fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur en P, lequel, par conséquent, contient la limite de celte direction, c'est-à-dire la tangente en A à la courbe tracée sur la surface. La proposition est ainsi démontrée et le lieu des tangentes en a reçu le nom de surface oscalatrice. Il est (4çi) le lieu des intersections successives des pians osculateurs. Un plan tangent à cette surface est osculateur a la directrice en l'un de ses points, et il contient la tangente à la directrice en ce point,

91. Cette surface se compose de deax nappes qui se rencontrent le long de la directrice, et celle-ci joue dans la surface le rôle d'arête de rehroussement.

Pour s'en convaincre il suffit de couper la surface par le plan normal à la directrice au point P, car nous allons montrer sans peine que la ligne d'intersection est formée de deux branches PA, PB tangentes toutes deux en P à la normale principale PK, et disposées par rapport à cette normale comme on le voit dans la figure 58, où GPD représenta la courbe directrice.

Dans cette figure les branches PA, PB sont situées d'un môme côté de la binormale en P à la directrice CD. Pour montrer qu'il en est bien ainsi en général, remarquons que la ligne d'intersection est précisément celle que la tangente trace sur le plan normal en P quand

on la fait rouler sur CD, et que celle droite en décrit l'une des deux branches pendant son mouvenaent de C en P cl l'autre pendant son mouvement de P en D. Soit PA la branche que la tang;eote trace sur le plan normal quand elle roule sur CP, et soit PB celle qu'elle trace en roulant sur PD ; par l'apport au plan mené par P perpendiculairenient à la normale principale PK, les branches PC, PA se trouvent l'une d'un côté et 1 autre de 1 antre et il en est de niÉme des branches PD, PB II suit de là jup les deux branches PA, PB de la li^ne d'intersPLtion sont en çéneial aitnee& d un même cô(i5 du plan mené par P perpen Zicul urement i la normale principale PK, et, par conséquent, d un môme cîté de la bmirmale; car pour que le contraire eût lieu il faudt iit net essai rement d après ce que nous venons de faire observer que la couibe CD tia\ersât au point P le plan en question; en d autres termes il faudrait que la directrice présentât une inflexion eu P et les inflexions ne peuvent se rencontrer sur une ligne qu'en des points isoles

Par rapport au plan osculateui en P à la directrice, les branches PC, PA sont cvi lemment situées 1 une d un oôté, l'autre de l'autre, et l'on en dirait autant des branches PB PD. Il suit de là et de la proposition du N" 44 (*) q«e les brandies PA, PB se trouvent en général l'une d'un côté de ce plan et l'autre de l'autre, et, par conséquent, qu'elles sont situées de part et d'autre de la normale principale PK.

Nous allons maintenant faire voir que les branches PA, PB sont l'une et l'autre tangentes en P à PK. De là et de ce qui précède on conclura que le point P est, sur la courbe APB, un point de rebroussement. Et comme la courbe APB n'est autre que l'intersection de la surface lien des tangentes de la directrice par un plan, le plan normal, il en résultera que la directrice joue sur cette surface le rôle d'arête de rebroussemenl, ce qui est la proposition énoncée. Or PK est tangent en P à PA et à PB, puisque ces trois lignes sont les intersections, par un même plan, du plan osculateur en P et de la surface, et que ce plan osculateur est, on l'a vu au numéro précédent, tangent à la surface tout le long de la tangente PT à la directrice.

{*) D'après laquelle la courbe traverse en jjéuéral le i)lan osculateur au point de contact, par quoi PC, PD sont de part et d'autre du plan osculateur en P à la directrice.

Mais il est à remarquer que dans l'une et dans l'autre des branches PA et PB, la distance de la courbe à PK, dans le voisinage du point P, n'est pas de l'ordre du carré de l'arc, ainsi qu'il semblerait devoir être d'après la proposition du N° i5. On doit s'attendre k chose pareille quand l'origine de l'arc est un point de rebroussement. La distance en question est bien sans doute d'un ordre supérieur à celui de l'arc, car c'est là la condition nécessaire et suffisante pour que PK soit la tangente au point P; mais au lieu d'Être du second ordre par rapport à l'arc, elle est de l'ordre 3- C'est ce que nous allons montrer sur la branche PA.

Les mêmes lettres (fig. Sg) conlinuantà désîg'ner les mêmes choses, soient

PT la tang'ente à la directrice au point P ;

Q' le point en lequel la tangente en P' traverse le plan osculateur en P à la directrice;

e celui où cette tang'ente traverse le plan normal en P à la directrice, et la courbe PA;

h le pied de la perpendiculaire abaissée de e sur PK, et par conséquent aussi sur le plan osculateur en P,

La direction P'e différant infiniment peu de celle de îa tangente PT, elle tend à devenir perpendiculaire au plan normal en P, dans lequel est située la droite Pe. Dès lors l'angle PeP' est droit à la limite, et par conséquent Pe est, en tant qu'infiniment petit, égal à la distance de P à la tangente en P', d'où il suit qu'il est du second ordre. D'un autre côté, P'Q' ayant pour expression -PP' (62), et P'e étant, en tant qu'infiniment petit, égal à PP', on a Q'e ■=z aP'Q' ; et comme h est le pied de la perpendiculaire abaissée de e sur le plan osculateur en P, il résulte de lA que eh est le double de la distance de P' à ce même plan, et par suite qu'il est, ainsi que cette distance, du troisième ordre (63).

On voit maintenant que l'ordre de eh, distance de e à la tangente en P, n'est pas de l'ordre de la seconde puissance de l'arc dont P et e sont les extrémités, mais de sa puissance -.

Dans cette courbe PA, le cercle osculateur au point P est nul. Le

cercle osculateur, par définition, est le cercle qui, à partir du point considéré, passe plus près de la courbe que tout autre. Prenons dans le plan de la courte PA, sur la normale en P (laquelle se confond avec la binormale en P à ia directrice) et du côté de la taug^ente PK où se trouve PA, un point quelconque I i le cercle de centre I et de rayon IP est tang«nt en P à la courbe PA et il passe, à partir de P, entre la courbe et la lang-ente, puisque, dans le voisinage de P, la distance de la courbe à la tangente est, on vient de le voir, d'un ordre inférieur à celui du carré do l'arc, tandis que pour le cercle cette distance est de l'ordre même du carré de l'arc. Il suit de là que le cercle I est d'aulaot plus voisin de la courbe aux environs immédiats de P qu'il s'écarte plus rapidement de la tangente PK. Or il s'en écarte d'autant plus rapidement qu'il est de plus faible rayon. Ceci démontre la proposition.

Toute surface développable qui n'est ni conique ni cylindrique est le lieu des tangentes k une ligne. Ce théorème, qui est en quelque sorte la réciproque de celui établi au N" go, résultera de certaines des propositions qui vont faire l'objet des numéros suivants à partir du N" 93.

*92. Le lieu des tangentes d'une courbe, développé sur un plan, en recouvre une partie et laisse l'autre à découvert. Et telle région sera recouverte par chacune des deux nappes du lieu, le sera donc doublement, tandis que telle autre pourra ne recevoir qu'une seule nappe. Comme exemple envisageons le cas où la transformée de l'arête de rebrou ssemenf dans le plan est une ligne fermée et convexe : l'espace entouré par cette ligne restera libre, mais à part cela tout le plan sera couvert par chacune des deux nappes séparéme-nf. Car prenons l'une de celles-ci; elle est formée par les tangentes à l'arête tirées dans un sens seulement à partir du point de contact, le même sens pour toutes les tangentes, et i! résulte clairement de ce qui précède que, dans l'exemple actuel , son développement recouvrira tout le plan, à la seule exception de l'espace enfermé dans la transformée de l'arête.

Supposons en second lieu que cette transformée soit une courbe convexe se prolongeant indéfiniment d'un côté et de l'autre et ayant

deux asymptotes AOB, COD (fig. 60) à la manière d'une branehe d'hyperbole ; sur l'espace compris entre la courbe et l'une des asymptotes s'étalera l'une des deux nappes, et sur l'espace compris entre la courbe et l'autre asymptote s'étalera la seconde nappo. Il suit de là que la région du plan qui est dans la concavité de la courbe et celle qui est dans l'angle BOD opposé à l'angle AOG dans lequel se trouve la courbe resteront à découvert toutes deux; que la région comprise dans ce dernier angle et limitée à la courbe sera recouverte doublement, et enfin que les deux régions comprises dans les angles opposés AOD, BOC le seront simplement.

93. L'angle des génératrices gai passent par les deux extrémités d'un arc infiniment petit tracé sur une surface réglée est, en général, du même ordre que cet arc.

Considérons le cône lieu des parallèles menées par un point aux génératrices de la surface. Soient D, E les extrémités de l'arc considéré, et d, e les points correspondants d'une ligne tracée à volonté sur le cône, c'est-à-dire les points de cette ligne situés sur les parallèles aux génératrices qui passent par D et E. Les arcs DE, de sont de même ordre infinitésimal, et c'est aussi le cas de l'arc de et de l'angle dOe. Par suite, l'arc DE et l'angle dOe sont de même ordre, -et comme cet angle est précisément celui des génératrices de la surface considérée qui passent par D et par E, la proposition est démontrée.

Ce raisonnement se trouve en défaut si la surface est cylindrique, «t il devait en être ainsi, car, dans ce cas, le théorème cesse d'avoir lieu.

Cor. L'angle des plans tangents en deux points d'une surface infiniment voisins est en général du même ordre que la distance de ces points. On le fera voir sans difficulté à l'aide du cône qui a pour génératrices les normales menées d'un même point au.ï plans tangents à la surface en tous les points d'une ligne tracée à volonté sur elle par les deux points considérés. On déduit de là et de la proposition tout à l'heure établie, que, dans une surface réglée, l'angle des plans tangents et celui des génératrices en deux points infiniment voisins sont du même ordre infinitésimal.

94. ConsidcroDS sur une surface rég'lée deux g'onératrices infiniment voisines, et cencevons que l'on compare leur plus courte distance à leur an^le Ecartant les surfaces cylindriques, où cet angle est nul» et les surfaces coniques, où ia plus courte distance est nulle, deux cas seulement peuvent se présenter : ou bien les deux grandeurs sont constamment du même ordre infinitésimal, ou bien la première est constamment d'un ordre supérieur à l'ordre de la seconde. La surface lieu des normales principales d'une ligne non plane, et la surface lieu des binormales, sont dans le premier cas; cela résulte, pour l'une, des foimules obtenues aux N^" 77 et 79, et, pour l'autre, de ce que la plus couite distance de deux binormales infiniment voisinesa pour expression As (8i), tandis que leur angle est égal à n- Le second cas »e présente dans la surface lieu des tangentes d'une ligne non plane car d'après l'expression, formée au N" 64, de la plus courte distance de deux tangentes d'une telle ligne infiniment voisines, cette dislance est de l'ordre du cube de l'arc qui joint les points de contact des deux tangentes, donc de l'ordre du cube de l'angle de celles-ci.

On pourrait concevoir encore un troisième cas, celui d'une surface réglée où l'angle de deux génératrices infiniment voisines serait constamment d'un ordre supérieur à l'ordre de leur plus courte distance ; mais une telle surface ne peut pas exister, car cet angle serait à fortiori d'un ordre supérieur à celui d'un arc tracé à volonté sur la surface de l'une à l'autre des deux génératrices; or, d'après le théorème qui fait l'objet du numéro précédent, l'arc qui s'appuie par ses extrémités sur deux génératrices d'une surface réglée infinireient voisines est en générai du même ordre que leur angle.

Indépendamment de ce théorème on rend évident comme suit qu'il n'y a pas de surface réglée où l'angle de deux génératrices infiniment voisines soit constamment d'un ordre supérieur à celui de leur plus courte distance.

Appelons « la première de ces deux grandeurs, et 3 la seconde. Considérons sur une surface réglée deux génératrices quelconques, que nous appellerons les génératrices extrêmes, puis entre elles des génératrices dont nous ferons croître le nombre indéfiniment, et cela de telle façon qu'une ligne tracée sur la surface de l'une à l'autre

atrices extrêmes soit coupée par ces nouve en parties tendant toutes vers zéro. Chacune de ces génératrices forme avec la suivante un angle : nous désignerons la somme de tous ces angles par 2a, et par sS la somme des plus courtes distances de la première génératrice à la seconde, de celle-ci à la troisième, et ainsi de suite jusqu'à la dernière. Si « est constamment d'un ordre supérieur à l'ordre de S, le rapport — tend vers zéro, ce qui exig-e que 2a, ait zéro pour limite, ou que sS tende vers l'inSni. Or la somme 2k ne tend pas à s'annuler, car elle est plus grande que l'angle des deux génératrices extrêmes, et sa limite est égale à la longnieur de l'arc suivant lequel la surface d'uue sphère de rayon unité est coupée par les droites menées de son centre parallèlement à toutes les génératrices comprises entre les deux génératrices extrêmes. D'un autre côt^, la limite de 23 n'est pas infinie, car cotte somme reste constamment plus petite qu'un arc quelconque tracé sur la surface considérée de l'une à l'autre des deux génératrices extrêmes et coupant toutes les génératrices intermédiaires. Donc, etc.

95. Lorsque Pangle de deux génératrices d'une surface réglée infiniment voisines est du même ordre que leur plus courte distance, la sur/ace est une surface gauche; elle est ane surface développable lorsque la seconde de ces deux grandeurs est d'un ordre infinitésimal supérieur à celui de la première.

Soient(*) en effet /)A, p'A' (Bg. 6i) deux génératrices infiniment voisines, pp' leur commune perpendiculaire, et /»'B une parallèle menée par p' à la génératrice pk ; le plan A'jo'B est parallèle aussi à cette génératrice. Soient E un point de la surface pris sur la droite jdA, et ^K=pp' la perpendiculaire abaissée de E sur p'^. De K élevons dans le plan A'/>'B une perpendiculaire à la même droite /)'B : elle rencontre la génératrice />' A' en un point E', et le plan tangent à la surface au point E est la limite du plan AEE'. Désignons par a l'angle que fait ce plan tangentavecla position limite du plan Ap/)'B; comme les angles E'EA et KEA sont droits, on a n ^: lim KEE', donc

(*| Je tire la démonstratiopi qu'on va lire d'un cours lie J. Bertrand, ù l'Ecole polytechnirjne de Paris;.

E'K tg-ï — i'^ËK- Appelons a l'angle des génératrices A, A' : il est ég'al à l'angle A'p'B, et l'on a E'K^p'Ktga^pElga. Remplaçant tg-a par a et désignant par S la plus courte distance des deux génératrices, l'égalité précédente devient, à cause de EK = pp' =; S,

3 = lim pE X li

Remarquons maintenant que le point p ne saurait s'éloigner indéfiniment de E, car alors J'ang-le A'p'R, qui est celui des deux génératrices, serait infiniment petit comparé à KE', et à plus forte raison comparé à un arc EE' ; or nous savons (98) que cet angle et cet arc sont du même ordre infinitésimal. Le point p tend donc vers une certaine position limite que nous appellerons O, et l'on a

tg« = OR X lim-^.

Ce point a reçu le nom de point central. Chaque génératrice a son point central. Dans une surface g'auche la ligne de striction est le lieu des points centraux.

De la dernière égalité résultent les conséquences suivantes :

I" Si B et ! sont du même ordre infinitésimal, le rapport - a une

limite finie, et tg a est proportionnel à la distance de E au point central O. Le plan tangent varie donc d'un point à un autre de la génératrice, et la surface est par conséquent gauche.

2» Si 8 est d'un ordre supérieur à celui de «, tga est infini et l'angle a est droit, quelle que soit la position du point E sur la génératrice A. Le plan tangent reste donc le même tout le long de cette droite, et la surface est par conséquent développable.

96. Dans la surface lieu des normales principales d'une ligne non plane, et dans la surface lieu des binormales, les quantités désignées ici par « et S sont du même ordre infinitésimal, ainsi que nous l'avons fait remarquer au commencement du N" i)4' H en résulte que ces deux surfaces sont des surfaces gauches.

97. Lorsque, dans une surface réglée, la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines est d'un ordre infinité' simal supérieur à celui de leur angle, la surface est le lieu des tangentes à la courbe des points centraux.

Soient A, A' (fig. 62) deux génératrices de la surface donnée infiniment voisines, et p, p' les extrémités de leur commune perpendiculaire. Soient 0, 0' les points centraux situés sur les génératrices A, A', et f le pied de la perpendiculaire abaissée de 0' sur la génératrice A, Nous allons faire voir que O'I est infiniment petit comparé à 00'. Il en résultera que la génératrice A est la limite de la direction OO'. Comme 00' est une corde infiniment petite de la courbe des points centraux, il suivra de là qne la génératrice A est tangente en à cette courbe, et la proposition se trouvera démontrée.

Remarquons d'abord que la longueur pp' est infiniment petite comparée à l'arc 00' (que l'on n'a pas tracé sur la figure, qu'il aurait chargée sans utilité) ; cela résulte de ce que cet arc est du même ordre que l'angle des génératrices A, A' (gS), et de ce que, ensuite de l'hypothèse, pp' est infiniment petit comparé à cet angle. Remarquons encore que p et />' étant infiniment voisins de et de 0' ' les longueurs 0/>, O'p' sont infiniment petites.

Soit V la projection de 0' sur le plan mené par A parallèlement à A' : on a 0'V=/>/)', et \p = O'p'. O't est plus grand que V(, car ran|;le O'Vf est droit; mais la diS^érence est inférieure à O'V ou pp', d'où il suit que si \t est infiniment petit comparé à 00', il en est de même de 0'^ Il suffit donc de montrer que Yt est infiniment petit comparé à 00'. On a

Yl. = \psmVpl, d'où il résulte, puisque \p, égal à O'p', tend vers zéro, que \7 est infiniment petit comparé à l'angle V/)i; mais cet angle n'est autre que celui des génératrices A et A', et comme ce dernier est du même ordre que l'arc 00', Yt est infiniment petit comparé à cet arc.

98. il résulte des deux derniers théorèmes (96 et 97) que toute surface développable qui n'est ni un cône ni un cylindre est le lieu des tangentes à une ligne. D'après le n" 91 cette ligne joue sur la Surface le rôle d'arête de rebrou ssement. Ainsi, toute surface déve-

loppabte qui n'est ni conique ni cylindrique a une arête de rebroussement à laquelle sont tangentes les génératrices, et la surface est engendrée par une droite qui roulerait sur l'arête en lui restant toujours tangente. De là et du N» 90 (dernière phrase) il suit qu'un plan tangent à une surface déueloppable est osculatear à l'arête de rebroussement en an de ses points, et qu'il confient celle des génératrices qui passe par ce point.

* Nous avons appris au N* 96 que le lieu des normales principales d'une ligne non plane est une surface gauche, et c'est une conséquence presque immédiate des propositions auxquelles nous venons de parvenir qu'il n'est pas développabie. Si, en effet, le lieu des normales principales d'une ligne non plane était une surface développabie V, ses génératrices seraient toutes tangentes à une même ligne (K), et si nous appelons K le point de cette ligne qui correspond à un point P de la ligne primitive, le plan tangent à la surface au point K lui serait langent tout le long de la génératrice PK, qni est une normale principale de la ligne primitive, et ce plan serait, en ce point, osculateur k la ligne (K). Gomme plan tangent à la surface V il contiendrait la tangente PQ à la ligne primitive au point P puisque cette ligne est située sur la surface et qu'il serait tangent en P à la surface comme en tout autre point de PK. Contenant la tangente PQ et la normale principale PK, ce plan ne serait autre que le plan osculateur de la ligne primitive en son point P. Cette ligne et la ligne (K) auraient ainsi môme plan osculateur ans points correspondants. Elles auraient dès lors en ces points même tangente puisque (49) la tangente est l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins. Le lieu des normales principales d'une ligne non plane n'est donc pas une siirface développabie, les tangentes en P et en K aux deux lignes étant distinctes, même à angles droits l'une sur l'autre.

*99. Un plan tangent à une surface développabie est osculateur à son arête en un point M et contient celle des génératrices qui passe par ce point. I! coupe en outre la surface suivant une certaine courbe A qui est tangente en M à l'arête. Le rayon de courbure en M à cette courbe est égal à -p, p désignant le rayon de courbure de l'arête en son point M. Supposons, en effet, que dans la figure ^a l'arc MM'

soit un arc de l'arête en question ; en se j-eportant au N° 6a, qui Dst celui de cette figure, on verra que l'arc MN' est un arc de notre courbe A. Or le rayon de courbure de cet arc en son poïut M est la arc MN' * angle N'NT'

tiers de l'arc MM', ou 5AS, et comme la di-oite NN' est l'intersection des plans oscuiateurs en M et M', l'angle N'NTvaut-si par la proposition du N" 60. Le rayon considéré est donc la limite du quotient ^4s : -xs, et cettf! limite est ^p (*).

lOO. Que par un point on mène des parallèles à toutes les génératrices d'une surface développable, l'ensemble de ces parallèles est un cône. Les plans tangents à ce cône et à la surface donnée, suivant deux génératrices parallèles, sont-ils parallèles?

Soient G et G' deux génératrices de la surface donnée infiniment voisines; elles sont tangentes à l'arète de rebroussement en deux points A et A'. Chaque point de G' est distant de G d'une longueur du premier ordre, l'arc AA' de l'arête et l'angle des droites G et G' étant considérés comme du premier; il est distant du plan tangent à la surface le long de G d'une longueur du second ordre. Le plan normal en A à l'arête coupé G' en un point B, et AB est du second ordre, car il est, en tant qu'infiniment petit, égal à la distance de A à la génératrice G', c'est-à-dire à la distance de A à la tangente en A' À l'arète. Dès lors si l'on transporte la génératrice G' parallèlement à elle-même de façon que son point B vienne coïncider avec A, chaque point de G' se déplace d'une quantité qui est du second ordre, en tant qu'égale à AB. Il suit de là qu'après ce mouvement les distances d'un point quelconque de G' à G et au plan tangent le long de G continuent à être, la première du premier ordre et la seconde d'un ordre supérieur. Conséquemment, si l'on transporte toutes les géné-

(*) Ce théorème est donné en deus endroits du volume de 1865 des Nouvelles Annales de nrntkêmatiqaes, savoir dans deux articles qui commencent respectiremeiil aux pagres 288 et 267. On en trouve aussi une démonstration dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences de /'apis, volume du premier semestre de 1886, pilles 1332 et

ratrices de la surface parallèment à elles-mêmes pour les faire passer par A, le plan tangent à la surface le long de G est tangent aussi le long' de G au cône ainsi obtenu. Si donc par un nifime point quelconque on mène des parallèles à toutes les génératrices d'une surface développable, les plans tangents au cône ainsi formé et à la surface donnée, le long de deux génératrices correspondantes, sont parallèles.

101. AB et CD (fig. 63) sont deux droites situées ou non dans un même plan et dont l'angle est du premier ordre. Soient C et D' les projections de C et de D sur la direction AB. La différence CD— CD' est de l'ordre du carré de l'angle des deux droites AB, CD, par conséquent du second. Si donc nous négligeons les grandeurs d'ordres supérieurs au premier, la différence CD — AB est égale à CD' — AB, et ne dépend dès lors que des longueurs AC et BD'.

Ceci posé, concevons que sur une ligne non plane, que nous appellerons la courbe P, on fasse rouler la tangente sans la laisser g'ïisser aucunement : par l'effet du mouvement un point de la tangente choisi à volonté décrit une certaine ligne Q, Soient (fig. 64) A, A' deux points de la courbe P infiniment voisins, et B, B' les points correspondants de la courbe Q ; les droites AB et A'B' sont tangentes à P en A et on A'. L'angle de ces tangentes et les arcs AA', BB' sont trois grandeurs du même ordre infinitésimal ; considérons-les comme du premier.

Puisque la tangente est supposée rouler sur la ligne P sans glisser on a, esactement,

AB — A'B'=are AA'.

D'un autre côté, d'après la remarque faite au commencement de ce numéro, on a, en négligeant une quantité d'ordre supérieur au premier,

AB — A'B'^AA''-hBB',

A" et B" étant les projections de A' et de B'sur la direction AB. Donc, au môme degré d'approximation, on a

arc AA' = AA°-|-BB".

Or AA' est égal à l'arc AA' à une quantité près du troisième ordre ; par conséquent BB" est d'un ordre supérieur au premier; il est dès lors infiniment petit comparé à l'arc BB'. 11 suit de là que la corde