IH

BB' fait avec AB un ang'le qui est droit à la limite, ou, en d'autres termes, que la tang'cnte en B à la ligiie Q est perpendiculaire à AB.

Ainsi, la tangente gai roule sur une ligne sans glisser reste constamment normale à la courbe que décrit l'un qnelcongue de ses points.

La lig^ne Q étant contenue dans la surface lieu des tang-cntes de la ligue P, sa tangente en B est située dans le plan tanguent suivant AB à cette surface, donc (go) dans le plan osculateur en A à la lig-ne P. Alors, puisque la tang'ente de Q est perpendiculaire à AB, elle est parallèle à la normale principale de P.

102. Dans la seconde des deux fig-ures du numéro précédent soit DD' la commune perpendiculaire aux tang'entes AB, A'B' : cette perpendiculaire étant d'un ordre supérieur à celui de l'arc AA' (64), donc infiniment petite comparée à l'arc BB', et AD étant infiniment petit tandis que AB est fini, l'angle des tang-entcs AB, A'B' est ég'al à

— — — — . Ceci posé, concevons qu'on développe sur un plan la surface

développable lieu des tangentes de la courbe considérée, et soient a, a', b, i'ies positions que les points A, A', B,B' viennent prendre sur le plan par l'effet du développement r les droites ab et a'b' sont tangentes en a et en a' à l'arc aa' , transformée de l'arc AA', et normales en b et b' à l'arc bb', transformée de l'arc BB' (37). Il suit

de là que l'angle des droites ab et a'b' est égal au rapport —.

Or comme les arcs BB' et bb' sont égaux (38), et qu'il en est de même des distances AB et ab, ce rapport ne diffère point de celui que nous avons obtenu tout à l'heure pour expression de l'angle des génératrices AB et A'B'. L'an§:le des génératrices AB, A'B' est donc égal, en tant qu'infiniment petit, à celui des droites ab, a'b'. Mais ce dernier angle est précisément ce que devient le premier par l'effet du développement de la surface. Par conséquent, l'angle de deux génératrices d'une surface développable est égal à sa transformée plane, si les deux génératrices sont infiniment voisines.

103. Parmi les lignes qu'on peut tracer sur une surface, on appelle lignes géodésiques celtes qui jouissent de la propriété d'être,

— 1.12 — sur la surface, le plus court chemin entre deux quelconques de leurs points. Tels sont sur une sphère les grands cercles. . Pour qu'une lig'ne située sur une surface développable soit géodésique il faut et il suffît que le développement de la surface la transforme en une droite. Ceci résulte clairement de ce que le développement n'altère point la longTieur d'une lig'ne préalablement tracée sur la surface (38).

*104. Soient P, Q, R (iig. 65) trois lignes g^éodcsiques d'une surface développable dont la dernière coupe les deux autres sous des angles que nous appellerons a et ^, le premier étant pris à l'extérieur et le second à l'intérieur. Par le développement de la surface les trois courbes sont transformées en trois droites {io3), dans le trîang-le desquelles soit 1 l'angle opposé au côté R. Comme le développement n'a pas altéré les anjj^les « et p (37), on a

par oit l'on voit que la différence o; — |3 est indépendante du choix de la géodésique R.

Les génératrices de la surface étant évidemment des lignes géodésiques, nous pouvons supposer que P et Q sont deux génératrices. Dès lors, comme la surface lïeu des tangentes d'une courbe non plane est toujours développable, l'égalité qu'on vient d'écrire montre que les tangentes en deux points donnés d'une courbe quelconque sont coupées par une ligne géodésique du lieu des tangentes sous deux angles dont la différence est indépendante du choix de celte ligne.

Cette différence constante, qui sera désignée par D, a une expression géométrique que nous allons faire connaître.

Soient A et B les points de contact de la courbe avec les deux tangentes considérées. Le cône lieu des parallèles menées d'un point à toutes les tangentes do la courbe est coupé par la sphère de centre et le rayon unité suivant une ligne dont nous appellerons a et b les points situés sur les parallèles aux tangentes en A et en B. Si la courbe donnée était plane, l'arc ab, — - qui serait alors un arc de grand cercle, — se trouverait évidemment être égal à l'angle de ces

deux tangentes, et comme celui-ci est ég'al à D dfliis le cas d'une ■courbe plane, on aurait (,) D=.,c»i,.

■Or cette ég'alitù, oo va le reconnaître, est vraie «ussi des lig:nes non plane..

Concevons qu'on divise l'arc AB en parties iniiniment petites dont le nombre n aille croissant indéfininaent, et dont les angles de contingence seront appelés respectivement e' ,s" , , e'"'' ; on a évidemment

Hm (i' + <" 4- ■+■ '^'"1 ) = arc ab.

Transformons maintenant la courbe donnée en une courbe plane «n développant la surface lieu des tangentes. Après le développement D est resté le même, puisque les deux angles dont il représente la ■différence n'ont pas cliang-é (87) ; et comme le développement n'altère

chacun des angles s' , s" , , /"> que d'une fraction infiniment petite

■de lui-même (102), la limite de leur somme est restée la même aussi. Les deux membres de l'égalité (i) conservent donc après le développement les valeurs qu'ils avaient avant. Or le développement ayant pour effet de transformer la courbe considérée en une courbe plane et l'égalité (1) étant vraie des courbes planes, il est démontré qu'elle a lieu aussi dans les autres courbes (*).

Les notions dont nous avions besoin sur les surfaces réglées sont maintenant établies, et nous retournons aux lignes. Nous allons nous occuper de la polaire, dont îa considération est la base de la théorie ■des développées.

De la polaire et de la surface polaire.

10». Dans les lignes planes nous avons considéré l'intersection ■des normales en M et en M' et reconnu qu'elle coïncide avec le centre ■de courbure. Pour continuer l'étude des lignes non planes il faut maintenant considérer l'intersection des plans normaux en M et en M' . La situation limite de cette droite a reçu le nom de polaire, et l'on va voir qu'elle est le lieu des pôles du cercle oseulateur, La proposition suivante, que nous allons établir, comprend conmie cas particulier celle qui vient d'être rappelée.

(*)Voir Wilhelm Sckell, Allçfiitflne Tkeovie dei'Cai-om flu/ip,-ll,-r Kràmmamj, JSS9, nap. II, | S.

La polaire se confond auec la normale au plan osculateur menée par le centre de courbure, donc avec l'axe da cercle osculateur.

Conduisons par M un plan A perpendiculaire à l'intersection des plans normaux en M et en M'. Etant perpendiculaire aux deux plans normaux et passant par M, le plan A contient la tangente au point M et la parallèle menée de M à la taa§:eQte en M'; il se confond donc à la limite avec le plan osculateur en M. Puis donc que l'intersection des deux plans normaux est perpendiculaire au plan A, il est déjà prouvé que la polaire est perpendiculaire au plan osculateur, et si l'on désîgiie par (fig-- 66) le point où le plan A coupe l'intersection des plans normaux, il reste seulement, pour que la proposition soit entièrement démontrée, à faire voir que la limite de la longueur MO est égale au rayon du cercle osculateur.

Soit m' la projection de M' sur le plan A : la droite M'm' étant perpendiculaire au plan A, elle est contenue dans le plan normal en M'. Par conséquent m' est un point de l'intersection de ce plan et du plan A, d'où il suit que cette intersection n'est autre que la droite m'O. L'angle MOm' est donc l'ang-le des deux plans normaux; il vaut en conséquence s. Partant, le triang-le OMm' donne __ Mm'sinMoi'O

Nous allons faire voir que l'angle Mm'O est droit à la limite, et que Mm' et As sont des infiniment petits égaux. De là et de l'égalité précédente on conclura

limMO — lim — = p.

Mm' est la projection de la corde MM' sur le pian A; comme ce plan contient la tang'ente en M, l'angle m'MM', qui est celui que la corde MM' fait avec lui et avec Mm', tend vers zéro; et de tout cela il résulte que Mm' et 4s sont des infiniment petits égaux.

I^s cotés de l'angle Mm'O finissent par se confondre respectivement avec MO et avec la tangente en M, deux directions rectangulaires; m'O en effet tend à coïncider avec MO parce que l'angle MOm' est infiniment petit en tant qu'égal à s, et Mm' fait un angle infiniment petit avec la tangente en M puisque l'angle m'MM' qu'il forme

— 1!5 — avec la corde MM' tend vers zéro ainsi qu'on i'a reconnu tout à i'iicure. L'ang'le Mm'O est donc droit à la limite (*).

106. Le lieu des polaires d'une Hg'ne en est la surface polaire. Dans cette surface, comme aussi dans la surface lieu des tang'eiites, les génératrices sont les intersections limites d'une suite de plans, savoir des plans osculateurs pour le lieu des tangentes (puisque deux plans osculateurs infiniment voisins se coupent suivant une tangente), et des plans normaux pour le lieu des polaires. Une surface est développable quand elle a pour génératrices les intersections limites d'une suite de plans, et ces plans sont ses plants tangents. Et ce n'est même là qu'un cas particulierdu théorème des surfaces enveloppes. N'ayant pas ici le droit d'invoquer ce théorème, on va, ce qui est d'ailleurs très facile, établir directement la proposition pour le cas de ia surface polaire.

1 07. La surface polaire est développable , et les plans normaux de la courbe sont ses plans tangents.

Coupons la surface polaire par un plan quelconipie et appelons A la courbe d'intersection. Soit N (fig. 67) le point de cette courbe qui correspond au point M de la courbe donnée, c'est-à-dire le point où le plan sécant est percé par la polaire relative à M. Soit NU l'intersection du plan normal en M par le plan sécant; nous allons voir que NU est tangent en N à la courbe A. La proposition sera acquise alors, car le plan sécant étant arbitraire, eî N étant par suite un point quelconque de la polaire au point M, il sera établi par là que le plan normal en M est tangent à la surface tout le long de cette polaire. Soit N' le point de la courbe A qui correspond à M' : conformément à la définition de la tangente il s'agit de montrer que l'angle que fait NU avec la corde NN' est infiniment petit. Soient N'U' l'intersection du plan normal en M' par le plan sécant, et V le point de rencontre des droites NU et N'U'.

Remarquons d'abord que le point V est infiniment voisin de N. En effet, V appartenant à l'intersection des plans normaux en M et en M' , et N étant situé sur la polaire relative à M, laquelle n'est autre chose que ia limite de cette intersection, V et N sont les points en lesquels

(-) Voir Moiçno, Leçons de cahul dijféreniiel, etc., vol. !, N' 164.

le pian sécant est traversé par (ieux droites qui tendent à se confondre. Par une raison analogaie, V est infiniment voisin de N'. Les IoqgTieurs VN, VN' sont donc iafiniment petites. Remarquons en second lieu que l'arc NN' est du même ordre infinitésimal que l'are MM', donc du premier.

En troisième lieu, l'angle UVU' est aussi du premier ordre. Pour le faire voir nous allons montrer qu'il est du même ordre que l'ang'le des plans normaux en M et en M', ce qui suffira. A cet eifet considérons le trièdre dont le sommet est V et dont les trois arêtes sont VU, VU', et l'intersection VX des deux plans normaux. Dans ce trièdre, la (ace UVU' et le dièdre VX sont infiniment petits, tandis que les faces UVX, U'VX et les dièdres VU, VU' sont des grandeurs finies. Or puisque dans un trièdre les sinus des faces sont proportionnels à ceux des dièdres opposés, il suit de là, et de ce que la face UVU' est opposée au dièdre VX, que le rapport de l'angle UVU' à ce dièdre, c'est-à-dire à l'angle des deux plans normaux, a une limite finie, d'où résulte le point qu'on voulait établir.

D'après tout ce que l'on vient de voir l'angle UVU' et la longueur NN' sont du même ordre infinitésimal, ce qui fait que le rapport

sînUVU' ,. . ^ . . . , sinNVN'

— j^jy^ — a une limite finie, et par suite aussi le rapport — z^^, — ,

puisque les sinus des angles UVU', NVN' sont é^aux. Or le triangle NVN' donne

d'où l'on conclut que le rapport "■ — r^r—^ — tend vers une limite finie,

Puis donc que VN' est infiniment petit, il en est de même de l'angk que fait NU avec la corde NN' (*).

Cor. Le lieu des centres de courbure étant situé sur la surface polaire, sa tangente est contenue dans le plan normal. C'est la proposition du N» 8G.

(*) Cette dcmciiiïitratiiJii ;i une portée plus géiiéi-ale que renoncé; elle montre qu< toute surface lieu des intersections limites d'une suite de plans et.t développable ei a ces plans pour plans tangents. C'est la proposition énoncée itaus le N" 106.

108. Le plan tan^'ent à la surface polaire lui étant tangent tout le long d'une même polaire, il résulte de nos théorèmes sur les surfaces régulées (N^^ 90 à 98) que les polaires sont les tangentes d'une ligne qui constitue sur la surface polaire une arête de rebroussement. Une surface qui a une arête présente deux nappes qui se rencontrent suivant cette arête, et quand la surface est le lieu des tangentes à son arête il est évident que les deux nappes sont symétriques. Nous allons indiquer une construction qni, indépendamment des théorèmes en question, rendra sensible le fait que la surface polaire est composée de deux nappes symétriques se rencontrant suivant une ligne qui forme arête.

•soient P P P" tiDi-i points infiniment voisins pris sur une ligne non plane Appelons H et H' les plans menés perpendiculairement au\ cordes. PP P P pai' leurs milieux, La limite de leur intersection nest autie chose |ue la polaire relative au point P, car cette intersecticn est 1 a\e lu cercle des trois points P, P', P", lequel se contcnd a la limite ^^e^, le cercle osculateur au point P.

Cela posé c n e\ons qu'on inscrive un polygone dans une courbe non plane et que pai le milieu de chacun de ses côtés on mène un plan auquel ce côte soit perpendiculaire. Soient P, P', P", etc., les sommets consécutifs du polygone; H, H', H", etc., les plans menés pai les miheu\ des cûtts PP', P'P", P'P", etc.; K, K' K°, etc., les mteisections des [lans H et H', H' et H", H' et H", etc. Chacune des dioites de la seiie K, K', K°,.... est coupée par celle qui la suit, car deux droites consécutives de cette série sont situées dans un môme plan. Soient L, L', L", etc. (fig-. 68), les intersections des droites K et K', K' et K", K' et K"", etc. La longueur LL' fait partie de la droite K', la longueur L'L" fait partie de la droite K", et ainsi de

Considérons maintenant les espaces plans compris dans l'angle des droites K et K', dans celui des droites IC et K", dans celui des droites K' et K", etc. ; l'ensemble de ces espaces forme une surface polyédrale dont les arêtes sont les droites K, K', K", etc. Si l'on suppose que les côl^s du polygone inscrit dans la courbe donnée décroissent tous sans limite en même temps que leur nombre augmente indéfiniment, comme, d'après ce qu'on a vu tout à l'heure, les arêtes

tendent alors à coïncider avec les polaires de la courbe, la surface poljédrale tendra à se confondre avec la surface polaire.

LespartiesdesdroitesK,K',K", etc. qui relient les points LjL'.L", etc. constituent une ligne poIy§;onale non plane dont ces points sont les sommets. Notre surface poljédrale peut donc être considérée

comme obtenue en prolongeant les côtés du polyg-one LL'L" Or

si l'on cherche à se faire l'image d'une surface polyéd raie obtenue en prolongeant les côtés d'une ligne polygonale non plane, on verra qu'une telle surface est formée de deux nappes symétriques qui se rencontrent suivant cette ligne comme suivant une arête. Puis donc que la surface polyédrale que nous considérons tend à se confondre avec la surface polaire, la construction qui vient d'être décrite rend sensible le fait que la surface polaire offre une arête à partir de laquelle commencent deux nappes symétriques,

109. Les plans tangents de la surface polaire coïncidant avec les plans osculateurs de son arête de rebroussement (qo), il suit du N' 107 que cetf« arête a pour plans osculateurs les plans normaux de la courbe proposée. On conclut de là, ensuite de la proposition qui fait l'objet du N" 5o(*), que chaque point de l'arête de rebroussement de la surface polaire est la limite de l'intersection des plans normaux à la proposée en trois points infiniment voisins.

On rendrait ce fait sensible en remplaçant, dans la construction du dernier numéro, les plans menés perpendiculairement aux cordes PP', P'P°, etc. en leurs milieux par les plans normaux en les points P, P', P', etc. Car l'intersection des plans normaux en deux consécutifs de ces points tendant par définition à se confondre avec une polaire, la surface polyédrale qu'on obtient alors a pour limite la surface polaire, et par conséquent l'arête polygonale suivant laquelle se rencontrent les deux nappes de cette surface polyédrale tend à se confondre avec l'arête de rebroussement de la surface polaire. Or chaque sommet de l'arête polygonale est le point de rencontre de trois plans, et ces plans sont les plans normaux de la praposée en trois sommets consécutifs.

(*) D'après laquelle tout poiHt A d'une ligne iiaa plane esL l'intersection des pians

i 10. Corollaire du numéro précédent. L'arête de rebroussemeni de la surface polaire a pour plans osculateurs les plans normaux de la proposée, et pour tangentes elle a les polaires, lesquelles sont normales aux plans osculateurs de la proposée. Dès lors si l'on considère ces deux lignes, la proposée et l'arête de rebroussement de la surface polaire, on voit que la tangente de l'une est perpendiculaire au plan oscillateur de l'autre. On déduit de là les deux propositions suivantes :

i» Les normales principales de la proposée et de l'arête de rebroussement de la sar/ace polaire sont parallèles.

a" Les angles de contingence et de' torsion de la proposée sont respectivement égaux aux angles de torsion et de contingence de l'arête de rebroussement de la surface polaire (*). Par suite, le rapport des rayons de courbure et de torsion en un point de l'une des deux lignes est égal au rapport inverse en le point ■correspondant de l'antre.

1 il . Notons encore cet autre corollaire, afin de pouvoir l'invoquer au besoin. Les plans normaux étant osculateurs à une ligne à laquelle les polaires sont tangentes, il suit du No 69 que l'inclinaison de la polaire en l'extrémité d'un arc infiniment petit sur le plan normal en son orig^ine est de l'ordre du carré de l'arc. Ceci, on l'a vu au N" 82, est vrai aussi de la binormale, et c'est le même théorème, puisque «es deux droites, la polaire et la binormale, sont parallèles.

Cette proposition devient d'ailleurs évidente à la simple inspection de la figure .spbériqae que l'on forme en menant du centre de la sphère de rayon unité des parallèles aux polaires. Car si A, A'(fig. 69) sont les points où cette splière est traversée par les parallèles tirées de aux polaires en M et en M', et si A'B est un arc de grand cercle coupant en B à angle droit le grand cercle mené parallèlement au plan normal en M et passant dès lors par A, l'arc A'B mesure l'angle que nous considérons, et cet arc est du second ordre en tant que produit de l'arc AA' par l'angle A'AB qui sont du premier ordre l'un et l'autre. L'arc AA' en effet est égal à la torsion, et l'angle A'AB, d'après le N" 60, vaut la moitié de l'angle de contingence, car il ne diffère pas de celui de la tangente en M et de l'intersection des plans

(*) Mémoires présenlés à l'Inslitai, Se. molli. H phys., yûl. I, 1803, p. 4]ft.

oscillateurs en M et en M', puisque le plan AOB, parallèie au plan normal en M, est perpendiculaire à cette tangente, et que le plan AOA', étant perpendiculaire à chacun des deux plans osculateurs,. l'est à leur intersection.

112. Longueur de la partie de la polaire comprise entre le point oà cette droite touche l'arête de rebronssement de la surface polaire et celui oà elle traverse le plan osculateur de la ligne primitive.

Soient S, S' les points de contact des polaires relatives à M et à M'' avec l'arête en question. Ces polaires sont respectivement normales. aux plans osculateurs en M et en M', et elles traversent ces plans en les centres de courbure G et C. C'est de la longueur CS qu'il s'agit d'obtenir l'expression. Les arcs CC, SS' sont du même ordre infinitésimal que MM', savoir du premier.

Le plan mené par C normalement à MG coupe cette droite en un point B (fig. 70) et BC est, en tant qu'infiniment petit, évidemment 6gal à la dift'érence des rayons MC, M'G', c'est-à-dive à 4p.

Soient A et D les pieds des perpendiculaires abaissées de G' sur la droite CS et sur le plan MCS, qui est le plan normal en iM à la courbe r AD et BC sont égaux comme côtés opposés d'un rectangle, et l'on a par suite AD ^= A^. Or G'D, distance de C au plan normal, est du second ordre puisque C est sur la surface polaire et que celle-ci a le plan normal pour plan tang:ent le long de CS. On peut donc écrire

AC'=: ip.

Ceci posé, comme l'angle SAC' est droit et que l'angle des polaires CS, CS' est égal à n (110), si ces deux polaires se rencontraient la distance de A à leur point d'intersection serait précisément égale à

.Les deux polaires ne se rencontrent pas, mais comme elles.

tang>, ^ ^

sont tangentes à l'arc SS' en ses extrémités, leur plus courte distance

est d'un ordre supérieur au premier (64), dès lors infiniment petite

comparée à AC. Il suit de là que la distance de A au point où CS est

coupé par la perpendiculaire commune aux deux polaires diffère

iiiKniment peu de . Or ce point tend à se confondre avec celui

~ 121 — où la polaire touche l'arête, c'esW-dire avec le point S; par conséquent AS est éffal à !im , donc à lim— . Mais CA étant infini-

tançï, V)

ment petit puisqu'il est moinclre que CC, AS et CS oiU la m(^me limil*; donc

CS = lim^b.

Il suit de cette relation que l'arête de rebronssement de la surface polaire se confond avec le lieu du centre de courbure dans les li^es où p est constant. Dans ces lignes ce lieu a dès lors pour tangentes les polaires, ce que nous savions déjà par la remarque qui termine le N" 88.

Dans cette hypothèse de p constant on voit de plus que, appelant (M) la ligne pi-imitive, lieu du point M, et (C) le lieu du centre de courbure ou du point C, on voit, disons nous, que le plan normal de (C) coïncide avec le plan osculateur de (M), en sorte que la polaire de (C) n'est autre que la tangente de (M) puisque deux plans osculateurs infiniment voisins se coupent suivant la tangente, et la surface polaire de (C) se confond dès lors avec le lieu des tangentes de (M). Les deux lignes sont donc telles que le lieu des tangentes de chacune d'elles est en même temps la surface polaire de l'autre. Le centre du cercle osculateur étant sur la polaire on voit encore que M est le centre de courbure de la ligne (G) au point C, et qu'ainsi les rayons de courbure des deux lignes sont égaux et se recouvrent exactement. Enfin le produit des rayons de torsion des deux lignes est constant, car, par la dernière des propositions du N" iio il est égal au carré du rayon de courbure commun.

113. Retournant au cas général où &p n'est pas nul et où G et S sont distincts, de quel côté du plan osculateur se trouve le point S? Pour faciliter le discours supposons la courbe tournée de telle sorte que MG (iîg. 71) soit dirigé suivant le fil à plomb, et que le plan osculateur TMC (MT est la tangente) se présente à nous de face, aissant voir la partie de la courbe qui renferme M', et cachant l'autre.

(*) Le théorème qu'e.iprime cette formule a fois par Jaoobi en 1833, dans un article inséré

Ce plan partagée l'espace en deux régions, l'une antérieure et l'autre postérieure, la première étant celle où se voit M'. Soient CK, C'K' les parties antérieures des polaires en M et M' , c'est-à-dire celles qui, partant de G et de C, s'enfoncent dans la région antérieure de l'espace Supposons M non pas infiniment voisin mais tiès voisin de M, «t fixe Le plan osculateur en M est incline sui celui en M de façon a dispaïaStre deuiéie lui au dessus de I intersection les deux plans, et à se montrei au cantraire en a\-int de lui au dessous de cette interspctt in Alopi onime la duection C K est notmale au plan osculateu en M on verra f K sélevei à paitii de C et aller se rapprochant de plu en plus du plan horizontal que déterminent la tangente et la bmormale en M il finin pir rencontrer ce plan, le tra\erser et disparaître au delà 11 résulte de ceci que si C est plus Las que C G K ^a daboid se lappiochant ie la droite horizontale Gk ce qui fiit que la commune perpendiculaire EF aux deux droites est située lans le légion antérieure Si au contraire C est plus haut que < dèslaboidCK. \a s éloignant de ("h. et EF par suite est situé de l'autre côté du plan TMG, dans la région postérieure. Or EF est très voisin de S, et G' est plus bas ou plus haut que C suivant que M'C est plus grand ou plus petit que MC. Par conséquent, comme la courbure et le rayon de courbure varient en sens inverses, l'un décroissant lorsque l'autre croît, le point S se trouve situé, par rapport au plan TMC, du même côté qne M' et C' ou du côté opposé, selon qu'en M' la courbure est plus faible qu'en M ou qu'elle y est au contraire plus forte.

De part et d'autre de M prenons sur la courbe deux points U et V suffisamment rapprochés pour que la courbure, quand on va de l'un à l'autre, varie constamment dans le même sens : ces deux points se trouveront l'un d'un côté du plan osculateur en M, l'autre de l'autre. Dès lors la proposition obtenue tout à l'heure peut s'énoncer en disant que le point S est situé, par rapport à ce plan, du côté où se voit celui des deux points U et V en lequel la courbure est plus faible qu'en M.

114. Valeur de l'arc SS' de l'arête. Soit C'P (fig. 72) perpendiculaire au plan osculateur en M. SC étant perpendiculaire aussi à

! plan, et, de plus, tangent ainsi que S'C à l'arc SS', les ôaux

CS + arcSS' ot PC' + C'S' ne peuvent différer que d'une qaanlitÉ d'ordre supérieur au premier. Si donc on désig'ne par aCS la variation que sabît CS quand on passe de M à M', on a

arcSS' = 4CS + PC'.

L'expression de la long'ueur GS nous étant déjà colilhio (iis), il reste seulement à trouver celle de PC. Que de C on abaisse C'K perpendiculaire à l'intersection des plans osculateura en M et en M': l'angle G'KP est précisément égal à ij; dès lors, comme !es points C et K se confondent à la limite avec les points C et M, ce qui fait que KG' r^r MG := p, on a PC' =: p„- Donc

arcSS' — iGS + ,iM.

*H5. Nous avons promis de justifier la figure du N» 86 en montrant que les points M' et C' sont séparés l'un de l'autre par le pian normal en M ou qu'ils se trouvent d'un même côté de ce plan selon que le rajon de courbure est plus grand ou plus petit en M' qu'en M. Gonservons la disposition décrite au N" ii3. Le plan osculateur en M' coupe MG en un point F (fig'. 78) situé plus haut que M, le plan normal en M suivant une droite dont la partie descendante FG est en avant du plan osculaleur en M et fait avec FC un angle infiniment petit, et enfin le plan TMG suivant une droite FH qui se confond à la limite avec MT et fait avec FC un angle aigu HFG (49, 62).

Supposons M'OMC; alors S et S' se trouveront en avant du plan osculateur en M d'après ce qu'on a vu au N" 11 3. Puisque le plan normal en M est osculaleur en S à l'arête de rebroussement de la surface polaire et que S'C' est tangent en S' à cette arête, le point I où S'G' traverse ce plan est infiniment voisin de S', car S'I vaut le tiers de SS' (62), Le point I est donc en avant du plan TMG. La droite IC est perpendiculaire au plan GFH, osculateur en M', son point 1 est dans le plan GFC, normal en M, son point G' dans le plan GFH, et cela fait que C se trouve à gauche du plan GFC, ou à droite, suivant que le dièdre HFGC, dont l'arête est FG et dont les faces sont GFH, GFC, est aigu ou obtus. Si donc on fait voir que cet angle est

aigu il sera démoatrt; que, dans notre hypothèse de M'C > MC, le plan normal en M passe entre M' et C.

L'ang-le en question n'est autre que le dièdre FG du Irièdre PCGH, de sommet P. Dans ce trièdre l'angle plan HFC est aigu, ainsi qu'on l'a vu tout à l'heure, et le dièdre FC est droit. Dès lors le fait que le dièdre FG, opposé à la face HFC, est aigu, résulte de ce que, dans les triangles sphéviques rectangles, à un côté moindre qu'un quadrant est opposé un angle aigu, comme on le voit par une formule propre h ces triangles, la formule tgô = sin c tgB, où b, c sont les côtés de l'angle droit tandis que B l'eprésente l'angle opposé au côté b; et comme il est d'ailleurs évident, car soit ABC (flg. 74) «n triangle sphérique rectangle en A dont le cûté AG, prolongé au besoin, est coupé en D par le grand cercle perpendiculaire en B à AB ; AD vaut un quadrant, ce qui fait que si AG est moindre qu'un quadrant l'angle ABC est plus petit que l'angle ABD, donc aigu.

Si coQtrai rement à notre hypothèse le rayon de courbure était plus petit en M' qu'en M, alors les points S, S', et par suite le point I, seraient cachés derrière le plan osculateur en M, et l'on voit que le pied G' de la perpendiculaire IG' au plan GFH tomberait à droite du plan normal en M, donc du côté de ce plan où se trouve le point M'.

Le lecteur doit passer maintenant au chapitre de la sphère osculatrice s'il omet les numéros marques de l'astérisque, car tous ceux da chapitre qui vient le seront.

Du lien des centres de courbure.

On a déjà obtenu (N"s 86 à 88) la direction de la tangente en G à ce lieu, et aussi la valeur de l'arc CC. 11 reste à trouver l'angle de contingence, la position du plan osculateur, et l'angle de torsion.

*H6. Angle de contingence. Par un point (fig-. 'fi) tirons OD, OD' parallèles aux tangentes en C et C du lieu en question, donc parallèles aussi (86) aux plans normaux en M et M' à la ligne primitive : l'angle DOD' est la grandeur que l'on veut connaître. Tirons aussi OP, OP' parallèles aux polaires de la ligne primitive en les points M et M': les plans POD, P'OD' sont parallèles aux

— I'i5 — plans normaux à cette lig-ne en ces deux points ; leur angle est donc t. Ces plans sont tangents suivant OP et OP' au cône lieu des parallèles menées par à toutes les polaires (loo), ce qui fait que leur intersection OF est infiniment voisine de OP et de OP'.

Soit OE la projection de CD' sur le plan POD : le trièdre ODED' est rectang^le suivant l'arête OE, et comme les faces en sont infiniment petites, on a (i) DOD"- = D'OE»-f- UOE'^.

Dans le trièdre OFED' le dièdre OE esl droit. Partant, ta face D'OE est, en tant qu'infiniment petite, le produit du dièdre OF par le sinus de EOF. Ce dièdre vaut t, puisqu'il est formé par les plans POD, P'OD'. Quant à l'angle EOF, il finit par se confondre avec DOP, parce que EOD et POE sont nuls à la limite. Représentant DOP par >., on a donc (3) D'OE=ssini;

<ir l'augle i est connu, car j! est le complément de l'angle x du N" 88.

Soit OG la projection de OP' sur le plan POD, on a .(3) DOE — DOG — EOG.

L'ang^lc EOG est la projection de l'ang^le D'OP' .sur le plan POD, Ces deux an^fles ne diffèrent dès lors que d'un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, puisque l'angle de leurs plans, valant e, est du premier ordre (55). Or on a D'OP' =^ 1 + il, Ai désignant l'accroissement que prend À quand on passe de M à M'. Donc .(^) EOG = 1+ i\.

L'angle P'OG, inclinai.son de OP' sur le plan POO, est du second ordre {i 1 1), et comme POP' := j;, on peut prendre ^j pour valeur de POG; donc <5) DOG =:l-i-^.

De (i) éliminant au moyen des équations (a) à (5) les deux termes ■du second membre, il vient

DOD'^= a^sin^ -H (>! — ùXf (*).

Quand le rayon p est constant l'angle i est nul en tant que complément de l'angle r. du N" 88, qui est alors droit, et l'expression que

<*) Voir Willielm Scheil, Cap. VU. % 4, dans i'ouvrase cilé au N" lOi ci-dessus.

l'on vient d'écrire de l'ang'le de contingence du lieu du point G se réduit à «. Celle de l'arc infinitésimal de ce lieu, donnée au N° 87, se réduit dans le même cas à pu, et de cette double remarque il résulte que le rayon de courbure du lieu du point C est égal à celui de la Ug;ne primitive quand ce dernier est constant. En outre, par le N" 86 et par le dernier alinéa du N» 88, la tangente de ce même lieu est alors parallèle à la binormale de la ligne primitive.

117. Position du plan osculateur. Le plan osculateur en C au lieu des centres de courbure est parallèle à la position limite du plan DOD'; partant, son inclinaison fi sur le plan normal à la ligne primitive est égal à l'angle dièdre D'ODE. Or la tangente de cet angle est, à la limite, égale au rapport des angles D'OE, DDE, dont le premier est connu par l'équation {2) du précédent numéro, tandis que l'expression de l'autre se forme en retranchant l'équation (4) du résultat qu'on obtient en ajoutant les équations (3) et (5).

Appelant « le complément de cet angle p., a est l'inclinaison de la tangente à la ligne primitive sur le plan osculateur du lieu du centre de courbure. Sa tangente est dès lors la réciproque de celle de l'angle a, et l'on a

DOE lang«— Dm'

d'où, vu les relations (i) et (?) du numéro précédent,

Esin),

'^°^"~'DÔD'' Or ), étant, on l'a fait remarquer tout à l'beurc, le complément de l'angle x du N" 88 ci-dessus, cette égalité donne

^S^^dctF'

et comme DOO' est l'angle de contingence du lieu du centre de coui'bure, et que x est l'inclinaison de la tangente de ce lieu sur le plan osculateur de la courbe primitive, on a ce théorème de Mollins : La courbe primitive et le lieu du centre de courbure soiil deux lignes telles que le rapport des cosinus des inclinaisons de la tangente de chacune d'elles sar le plan osculateur de l'autre est égal au rapport de leurs angles de contingence.

Par un point (fig. 85) menons OA, OB, OC respectivement | ralièles à la normale principEJe de la lig^ne primitive, à la au Heu du centre de courbure, et à l'intersection des plans oseulaleurs de ce lieu et de la ligae primitive. Si, dans l'angle trlèdre que forment ces trois droites, le dièdre OA (c'est-à-dire le dièdre dont l'arête est OA) est droit, une formule des triangles sphérîques rectang'les donne

(i) cos dièdre OC :^ cos angle AOB sin dièdreOB ;

or il est droit, car les faces AOB, AOC sont parallèles respectivement au plan normal et au plan osculateur de la ligne primitive. Puis, la face BOC est parallèle au plan osculateur du lieu du centre de courbure, par quoi le dièdre OC est l'inclinaison de ce plan sur le plan osculateur de la ligne primitive. Enfin l'angle AOB est l'angle x, et le dièdre OB est l'inclinaison du plan osculateur du lieu du centre de courbure sur le plan normal de la ligne primitive, donc l'angle dont nous venons de nommer a le complément. La relation (i) donne alors-

cos dièdre OC = cosx cosa, d'où cet antre théorème, aussi de Mollins : Le cosinus de l'angle que font entre eux les plans osculateurs de la ligne primitive et du lieu du centre de courbure est le produit des cosinus des inclinaisons des tangentes de chacune de ces deux lignes sur le plan osculateur de Vautre.

*H8. Angle de torsion. Soient (fig. 76) OD, OB, OB' parallèles respectivement à la tangente en C et aux binormales en C et en C au lieu considéré, c'est-à-dire au lieu des centres de courbure de la ligne donnée ou ligne primitive : l'angle de torsion de ce lieu est égal à BOB'. Soient OT, OT' des parallèles aux tangentes en M et en M' à la ligne primitive, et 01, OJ les projections de OB', OT' sur le plan BOT.

OB est perpendiculaire à OD, et il en est de même de OT, parce que OD est parallèle au plan normal en M à la ligne donni'e (80). Le plan BOT est par suite perpendiculaire à OD, dès lors parallèle au plan normal en C au lieu considéré. L'angle B'OI est en conséquence du second ordre (Sa), Partant, on a, à un infiniment petit près d'ordre supérieur au premier.

, -128 — (i) IOB=BOIi'.

Au même deg'i'é d'approximation on peut écrire (a) B'OT'=:IOJ,

parce que de ces deux ang:les le second est la projection du premier sur le plan BOT, et que l'angle de leurs plans est du premier ordre (*). Or on a

lOB ~ lOJ — BOT — TOJ,

donc, par (i) et (a),