Sa définition

Cherchons rordre de grandeur de ]a distance de M' à ucie sphère de centre menée par M, c'est-à-dire dont la surface comprend le point M. On sait que la distance d'un point à une sphère se mesure sur le rayon conduit par ce point. I-a droite OM' traverse la sphère en deux points dont soit P celai qui est infiniment près de M : P est de tous les points de la sphère le plus voisin de M', et c'est de la longueur PM' que nous voulons connaître l'ordre infinitésimal.

A l'aide du triangle PMM' on montre sans difficulté qu'elle est du premier ordre toutes les fois que n'est pas contenu dans le plan normal en M à la courbe; toutes les fois, en d'autres termes, que la tangente en M à la courbe n'est pas tangente à la sphère.

Supposons donc contenu dans le plan normal, et prcnons-lc d'abord sur la binormale; alors le plan osculateur en M est tangent à la .sphère. OM' traverse ce plan, auquel il devient perpendiculaire à la limite, en un point A. Comme l'arc de grand cercle MF est du premier ordre puisqu'il est, en tant qu'infiniment petit, égal à MM', PA est du second ordre. Or M'A est du troisième (63). Par suite

FM' ~ FA zh M'A, PM' est du second ordre.

Supposons maintenant que se troave dans le plan normal sans Être situé sur la binormale ; alors le plan osculateur au point M coupe la sphère suivant un cercle qui est tangent en M à la courbe. PM' est du second ordre toutes les fois que ce cercle n'est pas le cercle osculateur. En d'autres termes, étant situé dans le plan normal, la distance de M' h. la sphère est du second ordre si cette surface ne contient pas le cercle osculateur.

Pour le vérifier soit m' (fig'. 77) la projection de M' sur ic plan osculateur. Le plan OM'm' est perpendiculaire à ce plan et se confond à la limite avec le plan normal. Il coupe la section de la sphère par le plan osculateur en deux points dont soit I celui qui est infiniment voisin de M : M'I est précisemeot la distance de M' à cette section. Or la distance de M' à tout cercle tangent à la courbe au point M autre que le cercle osculateur est du deuxième ordre (69). Donc M'I est du deuxième ordre.

PI élant une corde infiniment petite de la sphère, l'angle IPM' est droit à la limite. Dès lors, pour que PM' soit du même ordre que M'I, par conséquent du deuxième, il faut seulement que l'ang'lc IM'P ne tende pas à devenir droit. Or la direction IM' se confondant à la limite avec la direction Im' puisque M'm' est du troisième ordre tandis que M'I n'est que du deuxième, pour que l'angle IM'P devint droit il faudrait que la direction OM' tendît à être normale au plan osculateur; mais ceci n'a pas lieu, puisque le centre a èt*^ pris en dehors de la binormale. L'angle IM'P n'est donc pas droit à la limite, et il est ainsi vérifié que, dans le cas qui nous occupe, la distance de M' à la sphère est du deuxième ordre.

Supposons enfin que la sphère contienne le cercle osculateur, ce qui exige seulement que le centre en ait été pris sur la polaire relative au point M. Alors m'I n'est autre chose que la dislance de m' au cercle osculateur en M; il est donc du troisième ordre (74); or M'm' est du troisième ordre, et par suite aussi M'I. On déduit de là que PM' est du troisième ordre toutes les fois que l'angle PIM' ne tend pas vers zéro, et qu'il ne peut être d'un ordre supérieur au troisième que si cet angle est infiniment petit, ce qui suppose que les directions PI et M'I aient la même limite. Or M'I est la plus courte distance de M' au cercle osculateur en M; et comme PI est une corde infiniment

petite de la sphère, infiniment voisine de M, et située dans un plan qui tend à se confondre avec le plan normal à la courbe au point M, la direction PI a pour limite la direction de celle des tangent^î en M à la sphère qui est contenue dans ce plan normal. Donc, parmi toutes les sphères qui passent par le point M il en est une, et une seule, dont la distance à M' est d'un ordre supérieur au troisième : c'est la sphère qui contient le cercle osculateur, et dont celle des tang;entes en M qui est contenue dans le plan normal à la courbe en ce point a pour direction la limite de la direction suivant laquelle se mesure la distance de M' au cercle osculateur en M.

Cette sphère, qui parmi toutes celles qui passent par M a avec la courbe le contact le plus intime, est la sphère osciilatrice (*).

120. Considérons la sphère variable déterminée par la condition de renfermer le cercle osculateur en M et de passer par le point M', et cherchons quelle est sa limite. M'I étant une corde infiniment petite de cette sphère, et la direction de cette corde faisant avec le plan normal à la courbe au point M un ang'le infiniment petit, celle des tang;entes en M à la sphère limite qui est contenue dans ce plan normal a pour direction la limite de la direction M'I. Par conséciuent cette sphère limita n'est autre que la sphère osculatrice. Donc, la sphère osculatrice est la limite de la sphère déterminée par la condition de renfermer le cercle osculateur au point considéré, et de passer par un second point de la courbe infiniment voisin.