Centre et rayon de la sphère osculatrice

La polaire en M, qui passe par le centre G du cercle osculateur, coïncide avec l'axe de ce cercle. C'est donc sur elle qu'il faut chercher le centre de la sphère osculatrice. Appelons-la CX (fig. 78.)

Soit MY la limite de la direction M'I considérée dans les deux numéros précédents : c'est la limite de la direction de la droite qui joint M' au point I on lequel le plan déterminé par M' et par la droite CX coupe le cercle osculateur en M. Cett« direction limite est située dans le plan normal à la courbe au point M, et elle est tangente en ce point à la sphère osculatrice. Si donc de M on élève dans le plan

(•) Sa distance à la courbe est du quatrième ordre, comme on le verra s l'cxprcseion que j'en donnerai dans l'arUcle final du ïolume.

— 13-2 — normal une perpendiculaire à MY, le point où elle va couper UX est le centre de la sphère osculatrice. Désig:nons ce poiot provisoirement par E, cl proposons-nous d'obtenir l'expression de CE.

On a, puisque MC est le rajoû p du cercle osculateur, (a) CE = p tang: EMC = p œlg CMY,

ce qui fait que tout est ramené à connaître la cntang'ente do l'ang^le CMY, c'est-à-dire do l'ang-le que fait la direction MY avec le plan osculateur en M.

Cet angle est la limite de l'inclinaison do M'I sur le même plan, ef si l'on continue à appeler m' (%. 79) la projection de M' sur le plan osculateur en M, la cotangente de l'angle que fait avec ce plan la

direction M'I est égale k ~ — ;; on a donc

cûtgCMY— lim-p-,.

Or les longueurs m'I et M'm' ont pour expressions, la première, rt^Ap (74). et la seconde, pviis (63); donc

d'où, à cause de (a),

CE = li

On a vu au N" 113 que la distance de C au point S où CX touche l'arSte de rebi'oussem.ont de la surface polaire a pour expression

lim— , et nous venons de déduire de la définition de la sphère osculatrice que la distance de son centre E au point C a aussi pour expression lim—. Partant, E et S coïncident s'ils tombent d'un même côté

du plan osculateur, et alors la dite arête se trouve être le lieu du centre de la sphère osculatrice. Voyons ce qu'il en est. D'abord, puisque ME est perpendiculaire à la direction limite de M'I, E est situé du même côté du plan osculateur que le point M', ou du côté opposé, selon que m' se trouve entre 1 et la tangente MT au point M,

ou qu'au contraire I tombe entre m' et cette tangente. Supposons que l'on soit dans le premier cas (Bg. 80). Comme la projection de la courbe sur le plan osculateur en M a pour cei'cle de courbure en ce point le cercle MI de centre G (72), le rayon de courbure de la projection, dans le cas considéri5, va croissant de M à m' (10), et, par suite, le rayon de courbure de la courbe elle-même va croissant de M à M', puisque les rayons en M' et en m' de la courbe et de la projection ne diffèrent que par le deuxième ordre (73}. On reconnaîtrait pareillement que dans le second cas, où I est situé entre m' et MT, le rayon de courbure décroît de M à M'. Ainsi le point E se trouve, par rapport au plan osculateur en M, du même côté que W ou du côté opposé, selon que le rayon de courbure est en M' plus grand qu'en M ou plus petit. Or il en est de même du point S (ii3). Les points E et S sont donc situés d'un même côté du plan osculateur, et l'arête de rebrousse ment de la surface polaire est le lieu du centre de la sphère osculairice.

Ce centre, coïncidant avec S, sera dans ia suite habituellement désigné par S.

Le rayon de la sphère osculaîrice n'est autre que la lona^ueur ME de la figure 78. Appelons-la R La propriété du carré de l'hypoténuse donne

résultat peut être mis sous une autre forme. Multiplions et lis le rapport — -par as; il vient

Le centre et le rayon de la sphère osculatrice sont souvent appelés centre et rayon de courbure spkérique. Ils coïncident avec le centre et avec le rayon du cercle osculateur dans les lignes où ce dernier rayon ne varie pas.