On a (') R^=p^-HCs

et cetfe relation permet de retrouver, par »n calcid très simple, la

valeur de l'arc SS' obtenue au N" ii^. La diffère ntiatioo donnerait immédiatement

(2) Rill = pi^ + CS.iCS,

où aR représente M'S' — MS, Mais comme on ne suppose pas le calcul différentiel connu du lecteur, remarquons qu'en passant au point M' l'égalité (i) devient

(R + iR)==: (p + ipf + (CS + iCSf .

Développant les carrés, retrauchant l'équation (ï), ôtant les termes du second ordre, et divisant par 2, il vient la relation (2), qui nous est ainsi acquise.

Par M' et par S' menons des plans perpendiculaires à MS ; ils sont traversés par cette droite en des points A et B (fig, 81), et l'on a

(3) aR = BS,

en négligeant i'' la différence M'S' — AB qui est du second ordre puisque l'angle des directions AB et M'S' est du premier el que les angles BAM' et AES' sont droits; et, 2" la longueur MA qui, le plan qu'on a mené par M' étant parallèle à la tangente à la courbe au point M, est moindre que la distance de M' à cette tangente, distance que nous savons être du second ordre.

Comme CS est tangent en S à l'arc SS', l'angle BSS' a pour limite

l'angle CSM dont le cosinus est —, d'où , puisque l'angle SIÎS' est droit, ™— ^ =: —, d'où, par la relation (3),

(4) RaR = CS.SS'.

Mettant dans (2) cette valeur de RaR et divisant par CS il vient

ss'=£^ + ACS,

d'où enfin l'on déduit, en remplaçant le dénominateur CS par sa valeur — (lia),

SS' = pli + iCS, ce qui est bien l'expression trouvée au N'' 1 14.

Mettant pour GS, dans la relation (4), cetlf ^alour —, il vient un résullat qui peut s'écrire

Le lieu du centre de la sphère osculatrice étant l'arête de rebroussement de la surface polaire, ses angles de contingence et de torsion sont donnés par le N" i lo, et sont ég^aux, le premier à ;î, le second à s.

Remarque. — R étant plus grand que CS d'après la formule (i), il suit de la relation (4) que la distance SS' des centres des sphères oscuiatrices en M et en M' est plus grande que la différence ûR de leurs rayons, et qu'en conséquence ces deux sphères ne sont point intérieures l'une à l'autre, mais se coupent. On verra au N** 128 que c'est le cercle osculateur qui est la limite de leur intersection.

123. La sphère osculatrice est la limite de la sphère déterminée par M et par trois autres points de la courbe infiniment voisins de M.

Considérons le cercle qui est tanguent en M à ia courbe (fig'. 82) et qui la rencontre en un second point A ; ce cercle est coupé par le plan normal en M suivant un diamèti-e dont M est l'une des extrémités et dont soit B l'autre.

Concevons que le point A se meuve sur la courbe donnée; le point B se déplacera dans le plan norm.al en M et y décrira une certaine courbe S. Si A se rapproche do M et tend à se confondre avec lui, B tendra vers une limite N située dans le plan osculateur au point M (4i), et MN e?t un diamètre du cercle osculateur en ce point {71).

Considérons la iphere déterminée par le cercle osculateur en M et par le point M infiniment \oisin de M; nous savons qu'elle a pour limite la sphère osLulatiice Le cercle qui est tangent en M à ia courbe donnée et qui passe pai W coupe la courbe S en un point N' infiniment voisin de N, et N est situé ainsi que N sur la sphère que nous considérons. Le centre de cette .sphère est donc l'intersection du plan normal à la courbe donnée au point M et des plans menés perpendiculairement aux droites MN et NN' par leurs milieux. Le dernier de «es trois plans a pour limite le plan normal à la courbe S au point N. Le centre de la sphère osculatrice est donc l'inlersection des plans

M à la courbe donnée et en N à la courbe S, et du plan mené perpendiculairement à. la droite MN par son milieu. Maintenant, nous allons faire voir que le centre de la sphère qui contient le point M et trois autres points de la courbe infiniment voisins de M est déterminé par trois plans dont chacun se confond à la limite avec l'un des trois pians qui déterminent le centre de la sphère osculatrice, et la proposition que nous avons en vue se trouvera démontrée.

Soient M et M' (%. 83) (*) deux points de la courbe donnée, et K le plan mené perpendiculairement à la corde MM' par son milieu. Considérons le cercle déterminé par les points M, M' et par un troisième point A pris sur la courbe : ce cercle est coupé par le plan K suivant un diamètre dont l'une des extrémités tendrait à se confondre avec M si l'on faisait décroître indéfiniment l'arc MM' , et dont l'autre resterait à une distance finie de M. Nous désignerons celle-ci pai' G et la première par D.

Le point A se mouvant sur la courbe donnée, les points C et D se déplacent dans le plan K et y décrivent des courbes que nous appellerons T et U. Si l'oci fait décrottre indéfiniment l'arc MM' ia courbe U tendra à se réduire au seul point M, Quant à la courbe T, elle tendra à se confondre avec la courbe S considérée tout à l'heure. En effet, prenons deux points B et C, situés l'un sur la courbe S, l'autre sur la courbe T, et correspondant à un même point fixe A de la courbe donnée r les points B et G sont ceux en lesquels le plan normal à la courbe donnée au point M et le plan K sont traversés, le premier par le cercle assujetti à être tangent à la courbe au point M et à passer par A, le second par le cercle qui contient les points M, M' et A ; or comme les deux plans coïncident à la limite et qu'il en est de môme des deux cercles, les points B et G tendent à se confondre. Il suit de là que chaque point de la courbe T tend à se confondre avec un point de la courbe S, et, par conséquent, que ces deux courbes tombent l'une dans l'autre à la limite.

Considérons maintenant la sphère déterminée par quatre points M, M', M", M™(fig:. 84) pris sur la courbe donnée et infiniment voisins.

(*) L'are des points M ne devrait jamais, dans nos figures, prëseiiter d'inflexions, et si ou l'a onduli! dans celle-ci et dans la suivante, c'est qu'on y a élé contraint pour pouvoir ramener les traces k de petites dimensions sans leur lîter la clarté.

Soient P, P' les points qui correspondent à M", M" sur la courbe T, «t Q, Q' ceux qui leur correspondent sur la courbe U. Ces points sont ceux en lesquels le plan K est traversé par les cercles MM'M" et MM'M™. Le centre de la sphère considérée est l'intersection du plan K et des plans nienés perpendiculairement aux droites PQ et PP' par leurs milieux, et il reste seulement à montrer que ces trois plans coïncident à la limite avec ceux qui déterminent le centre de la spbère osculatrice.

D'abord le plan K se confond à la limite avec le plan normal à la courbe au point M. En second lieu, P étant situé dans le plan MM'M' qui coïncide à la limite avec le plan osculateur au point M, le point de la courbe S avec lequel il tend à se réunir ne saurait être que celui qui est situé dans ce dernier plan, c'est-à-dire le point N; et comme d'ailleurs le point Q tend h se confondre avec M, le plan mené perpendiculairement à PQ par son milieu coïncide à la limite avec celui mené perpendiculairement à MN par son milieu. Enfin, le point P' a aussi N pour limite, et puisque les courbes S et T finissent par se confondre, la corde infiniment petite PP' a pour limite de sa direction la direction de la tangente en N à la courbe S; donc le plan mené perpendiculairement à la corde PP' par son milieu tend à coïncider avec celui mené par N perpendiculairement à cette tang;ente, c'est^^liire avec le plan normal en N à la courbe S. Les plans qui déterr minent le centre de la sphère MM'M''M'' ont donc pour limites ceux qui déterminent le centre de la sphère osculatrice, et noire proposition se trouve ainsi démontrée.

124. Grâce à cette proposition, la construction décrite au N" io8 rend sensible le fait que le centre de la sphère osculatrice est situé sur l'arête de rebroussement de la surface polaire. Qu'on reprenne, en effet, la lîii;upe 68 qui est celle de ce numéro; le point L y représente l'intersection des plans menés perpendiculairement à trois cordes consécutives du polygone inscrit dans la courbe donnée par leurs milieux, et, conséq ne minent, le centre de la sphère qui contient les quatre points de la courbe que ces cordes joignent deux à deux. Si donc on suppose ces points infiniment voisins, le point L est, à la limite, le centre d'une sphère osculatrice. Or il est situé sur l'arête

polygonale suivant laquelle se rencontrent les deux nappes de la surface polji5drale, et cette arrête diffère infiniment peu de l'arfite de rebroussement de la surface polaire.

*125. Angle des deux rayons MS eiM'S'. Appelons cet angle 9, et par un point (fig'. 85) menons OT, OT', OV respectivement parallèles, aux deux rayons et à. la projection du dernier, M'S', sur le plan normal en M : l'angle TOT' n'est autre que 6; l'angle VOT' est celui que le second rayon fait avec le plan normal en M, et TOV est celui que fait le premier rayon avec la projection du second sur ce plan. Appelons ces deux derniers angles « et 6 : puisque le trièdre dont les arêtes sont OT, OT', OV est rectangle suivant l'arête OV et que ses faces S, a, h sunt infiniment petites, on a

Tout revient donc à trouver les expressions de a et de b.

Soient A et B (fig. 86) les projections de M' et de S' sur le plan normal en M : les angles a ci b sont ceux que la droite AB forme avec M'S' et avec MS. Or les distances AM et BS' sont d'ordres supérieurs au premier; en effet, AM est du second ordre en tant qu'égal à la distance de M' à la tangente en M, et BS' est du troisième parce que le plan normal en M est osculateur au point S à l'arc SS'. Dès lors les angles a et 6 ne sont altérés que de quantités d'ordres supérieurs au premier si l'on remplace AU par la droit* MS'. Nous pouvons donc écrire

<i = MS'M', b = SMS'.

Considérons d'Eibord l'angle a : l'angle M'MS' étant droit à la

R" Passons à l'angle b. Représentant par iS l'arc SS', dont l'expression, on s'en souvient, a été formée aux N''^ 1 14 et 122, le triangle SMS' donne

, ASsinMS'S * = F^-

yGoosle

Mais MS' coïncide à la limite avec MS, et la direction S'S tond a s confondre avec la direction SC puisque cette dernière est tang'cntc e S à l'are SS'; par conséquent

Jim sin MS'S = sin MSC =^^^l.