LES LIGNES PLANES

De la tangente.

1. On admettra qu'une ligne convexe, c'est-à-dire une ligne qu'aucune droite ne coupe en plus de deux points, est plus courte que toute ligne qui l'enveloppe,

2. Définition de la tangente. Qu'on fasse passer une droite par deux points M et M' d'une courbe; si l'on suppose M fixe et M' infiniment voisin de M, c'est-à-dire se rapprochant de M et finissant par se confondre avec lui, la droite tournera autour de M et tendra vers une certaine position limite. C'est cette position limite qu'on appelle la tangente à la courbe au point M.

Ensuite de cette définition, l'angle que la corde d'un arc infiniment petit fait avec la tangente en l'une de ses extrémités est un angle infiniment petit.

3. Lemrne. — Un nrc infiniment petit et sa corde sont deux infiniment petits égaux.

Soient M, M' (fig. i) les extrémités de l'arc; la proposition sera

établie si l'on fait voir que, M' tendant vers M, on a

arc MM'

corde MM'

Soit L l'intersection des tangentes en M et en M' ; nous allons

ML + M'L , „

montrer que le rapport , tend vers i unité. La proposition

résultera de là, car d'un côté . ,„., est touiours plus a-rand que

corde MM

l'unité, et de l'autre il finit nécessairement par être et rester inférieur

à , puisque l'arc MM' étant infiniment petit arrive tou-

corde MM' ' ^ ^ *^

jours à être convexe s'il ne l'était pas dès l'abord, et par suite

moindre que la ligne brisée MLM' qui l'enveloppe (i).

Soit P le pied de la perpendiculaire abaissée de L sur MM'. Le