ML + M'L . , , ML 4- M'L

''*PP°''' corde MM' "^ mP + M'P ' ^^^ ""'^'^^'^ ^"'''^ ''^^

ML M'L . , „

deux rapport -r—, -— - ; mais ceux-ci fendent vers i unité, car ils ^'^ MP M'P

sont respectivement éiraux k ; - z -7 ^ > ttttt; ^ et les ang-les

'^ " cos LMP cos LM P °

ML + M'L

LMP, LM'P ont pour limite zéro (2). Ainsi , ^,~; - est compris

■^ ^ ' corde MM' '

entre deux nombres qui tendent vers l'unité, il tend dès lors luimême vers l'unité.

Il est donc acquis que la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est infiniment petite comparée à chacun d'eux. On fera connattre plus loin (17) l'ordre de grandeur et l'expression de cette dif-

Remarque I. Il suit encore de cette démonstration que la différence entre l'arc et la ligne brisée MLM' est infiniment petite comparée à chacun d'eux. On fera eorinaître aussi l'ordre et l'expression de cette différence (17).

Remarque II. Nous aurons quelquefois, dans le cours de cet ouvrage, à considérer le sinus ou la tangent* d'un angle infiniment pe-

tit. Si l'on prend pour raeKure d'un angle le rapport, ati rayon,, de l'arc de cercle qu'interceptent ses côtés quand son sommet coïncide avec le centre du cercle, un angle infiniment petit, son sinus et sa tangente sont trois infiniment petits égaux. Supposons, en effet, que l'arc MM' soit un arc de cercle, appelons son centre, et D le point où il est coupé par LP. Un angle égal à la moitié de l'angle MOM', son sinus et sa tangente, sont respectivement égaux aux rapports arcMD MP ML OM ' ÔM ' OM ' or il résulte de ce qu'on vient de lire que les numérateurs de ces trois rapports, et par suite les rapports eux-mêmes, sont égaux en tant qu'infiniment petits.

Corollaire. Voici du présent lemnie une conséquence qui sera utilisée plus loin.

Entre les deux extrémités A et li (fig. 2) d'un arc quelconque mai'quons une suite de points a, h, c, .... que nous supposerons augmenter en nombre indéfiniment, et qui diviseront l'arc AB en arcs iufiniment petits, Aa, ab, bc, .... Puisque chacun de ces arcs ne diffère de sa corde que d'une partie infiniment petite de lui-même, la somme des différences entre les arcs et leurs cordes respectives est infiniment petite comparée à la somme des arcs, c'est-à-dire comparée à l'arc AB, donc elle tend vers zéro. Ce qui fait que si l'on appelle polygone inscrit la longueur du contour polygonal Aaèc.B formé par les cordes, on a

!im (arc AB ^ polygone inscrit) ^= o.

Menons les tangentes aux points de division ainsi qu'en A et en B.

Soient m, n, o, les intersections des tangentes en A et en a, en

a et en b, en b et en c,.... La différence entre chacune des lignes brisées Ama, anb, boc,.... et l'arc compris entre ses extrémités étant infiniment petite comparée à cet arc, la somme de ces différences est infiniment petite comparée à la somme des arcs, laquelle n'est autre que l'arc AB ; elle tend en conséquence vers zéro. Si donc on appelle polygone circonscrit la longueur du contour polygonal Am«o.,.B formé par les tangentes, on a

lim (polygone circonscrit — arc AB) = o.

4. L'angle que font entre elles les tangentes aux deux extrémités d'un arc qui tend vers zéro est, en général, du même ordre infinitésimal que l'arc.

Traçons dans le plaa de la courbe une droite quelconque A{fîg-. 3), et marquons sur la courbe elle-même un point B. L'ang'le que fait avec la droite A la tangente en un point M de la courbe, et la longueur de l'arc BM, sont deux grandeurs fonctions l'une de l'autre. Le rapport des accroissements que reçoivent ces deux grandeurs quand on passe du point M à un point M' infiniment voisin tend donc en général vers une limite finie (*). Or l'angle que font entre elles les tangentes en M et en M' est égal à l'accroissement que prend alors la première, et l'arc MM' est l'accroissement que reçoit la seconde. De là résulte la proposition.

Voici, au surplus, la démonstration directe : Entre deux points H et K d'une courbe marquons une série de points d, h, c, .... que nous supposerons ensuite augmenter en nombre indéfiniment. Soient a^, «3, etc., les angles des tangentes en H et en a, en a et en b, etc., et soient s^, Sg, etc., les longueurs des arcs Ha, ab, etc. Si les rapports —, —, —, .... tendent tous vers zéro ou tous vers l'infini

Su Sg Sg

quand le nombre des points de division crott indéfiniment, le rapport

(") On sait, el cela depuis un demi-siètle environ, qu'elle n'est pas d'une vériié absolue la proposition qui veut que le rapport des accroissements simultanés et infiniment petits de la fonction el de la variable ne puisse tendre vers zéro ou vers l'infini que pour des valeurs de la variable isolées, jamais pour toutes celles comprises dans un intervalle ; et sans aller plus loin on trouvera un exemple de fonction où cette proposition ne se vérifie point dans les Archiaei des sciunces physiques el natareltes de la Bibliothèque universelle et Revue suisse, au cahier du J5 septembre 1873. Il est de M. Schwarz, aujourd'hui à l'université de Berlin, alors à l'Ecole polyteclinique fédérale de Zurich, et il a été donné aussi dans les Verhandlangen der sckweizerischeri Natarforsckendeit Geselhchaft de la même année 1873. Supposant a la variable une valeur positive, d'ailleurs quelconque, l'auteur montre d'abord que la fonction qu'il considère et qu'il a définie, est continue, c'est-à-dire qu'à un acccroissement infiniment petit de la variable correspond toujours un accroissement infiniment petit de la fonction, puis, que le rapport de ce dernier Bccroissemci.it au premier tend toujours ver.s l'infini, jamais vers une limite

~ '- tend aussi vers zéro ou vers l'infini. Mais la

somme Sj H- % -H s^ -|- .... est é§:ale à l'arc HK, et la sora.me Kj + «g + «3 + .... à l'anj(le des tangentes en H et en K pourvu toutefois que l'arc HK soit convexe, condition qu'on peut toujours réaliser en le prenant assez petit. Le rapport en question est donc fini, c'estrà-dire différent de zéro et de l'infini, et il est même constant. Les fractions —, —, —,.... ne sauraient donc tendre toutes vers

Sf Sj S3

zéro ou toutes vers l'infini. Comme cette conséquence a lieu quelque petit que soit l'arc HK, ce n'est qu'en des points isolés que le rapport de l'ang-le des tang'entes en deux points infiniment voisins à l'arc compris entre ces points peut tendre vers zéro ou vers l'inBni. Eh d'autres ternies, cet ang^Ie est, en général, du même ordre que l'arc.

Toutes les fois que dans le cours de cet ouvrage il s'introduira la considération du rapport des accroissements simultanés et infiniment petits de deux grandeurs fonctions l'une de l'autre, un raisonnement semblable montrerait qu'en des points de la courbe isolés seulement ce rapport peut croître au-deli de tout nombre assignable, ou décroître sans autre limite que zéro.

L'angle des tangentes en deux points d'une courbe infiniment voisins porte le nom A'angle de contingence ; nous le représenterons habituellement par le signe £.

De la courbure.

5. Définition de la courbure, da cercle, du rayon et du centre de courbure. L'angle que l'ont entre elles les tangentes aux deux extrémités d'un arc convexe exprime la quantité dont la courbe a dévié de la ligne droite dans l'étendue de cet arc ; mais c'est bien moins cette quantité elle-même que son rapport à la longueur de l'arc qu'il peut être utile de connaître, car c'est ce rapport qui dorme une idée du degré d'intensité de la courbure de l'arc.

Si la courbe est un cercle le rapport en question est constant, c'estrà-dire indépendant de la longueur de l'arc. Il est alors égal à la réciproque du rayon, et constitue ce qu'on nomme la courbure da

cercle. Dans tout autre courbe plane il est variable, et pour un arc donné il constitue ce qu'on pourrait appeler sa courbure moyenne. Supposons l'arc infiniment petit : le rapport que nous considérons tendra vers une limite que nous savons être en g^énéral finie (4), et désignant par M celle des deux extrémités de l'arc qui est fixe, cette limite est ce qu'on nomme la courbure au point M.

Le cercle dont la courbure est égale à cette limite est appelé le cercle de courbure au point M ; son rayon est le rayon de courbure. Si l'on place ce cercle tang«ntjellement à la courbe en M de façon que les concavités de la courbe et du cercle soient tournées du même côté, son centre est le centre de courbure au point M.

Il suit de la définition du rayon de courbure qu'il est la réciproque de la courbure, et, conséquemment, qu'i7 est égal à la limite da rapport d'un arc infiniment petit commençant au point M, à l'angle des tangentes en ses extrémités. Comme cet angle est en général du même ordre que l'arc, le rayon de courbure est en général fini, ou, en d'autres termes, ne peut devenir nul ou infini qu'en des points isolés.

Qu'à partir dn point M de contact de îa couibe et du cercle de courbure on prenne sur l'une et sur l'autre ligne des arcs infiniment petits égaux dont soit a la longueur commune. Soient e, s' les angles

de contingence respectifs de ces deus arcs. Le rapport — est égal au

rayon du cercle, et, partant, on a — ^= liin— , d'où lim niz i. Le £' e g'

cercle de courbure est donc celui qui a même angle de contingence que la courbe, au point de contact.

De tous les cercles tangents à une courbe en un point donné, le cercle de courbure est celui qui s'en rapproche le plus dans les environs de ce point. On peut dès à présent pressentir ce fait, dont nous aurons plus loin (19 et 25} la preuve.

6. Le centre de courbure en un point M d'une courbe est la limite du point de rencontre des normales en M et en un point M' infiniment voisin. On appelle normale la perpendiculaire élevée à la tangente au point où elle touche la courbe.

Soit (fig. 4) l'intersection des normales en M et en M' ; la proposition sera démontrée si l'on établît que la limite de la longueur MO est le rayon de courbure au point M, c'esl-à-dire, en désig^nant, comme nous en sommes convenus, par s l'angle des tang^cntes en M et en M', qu'on a

,i„MO = lim52iM:.

Les tangentes étant perpendiculaires ans normales, l'angle s est égal à l'angle des normales, c'est-à-dire à l'angle 0. La question est donc ramenée à montrer qu'on a

(a) lim MO = lïm "'''™^^ .

^ angle

De comme centre avec OM pour rayon décrivons un cercle ; il coupe la normale M'O en un point P et l'on a

et, par conséquent,

arcMP

limMO = lim-— f-K-

angle O

Ensuite de cette égalité, pour que la relation (a) que nous avons en vue d'établir aoit vraie, il faut et il suffit que les arcs MM' et MF soient des infiniment petits égaux ; tout revient donc à montrer qu'on a

,. arc MM'

, d'après le principe du n" 3, exige seulement qu'on ait ,. corde MM'

corde MP Or cette dernière relation est évidente, car les augles MM'P et MPM' sont droits à la limite.

Le lieu des centres de courbure en tous les points d'un arc donné est une ligne remarquable dont nous allons étudier les propriétés. Elle a recule ■aom.àn développée, fii l'on aura tout à l'heure la raison de cette dénomination.