EE' = EP 4- PE

Or EP n'est autre que k. Et PE' est, oq tant qu'infiniment petit, ég'al à iME, c'est-à-dire à l'accroissement que reçoit ME quand on paiSse de M à M', et l'on a donné tout à l'heure le moyen d'écrire l'expression de ME. Voilà pour l'arc EE'. Quanta latan§:ente en E à cet arc, elle est située dans le plan tangent en E à la surface des rayons MS, c'est-à-dii'e dans le planMEP, dont la position est fixée par les déterminations précédentes, puisque ME, pour la direction, ne diffère pas de MS, et que EP, perpendiculaire à ME, fait avec MT l'angle connu y. Il suffit donc pour connaître entièrement la tangente en question de savoir l'angle qu'elle fait avec MS ; or la tangente de cet angle

EP

est évidemment égale au rapport ^=7, dont les deux termes sont

précisément les deux longueurs qui ont figuré dans l'expression de l'arc EE'.

127. Lemme. Dans la figure 87 supposons AB infiniment petit et les longueurs BG et BD finies et égales : AD est plus grand que AC puisque l'angle ABD surpa.sse l'angle ABC, et la différence AD — AC, que nous nommerons ^, sera supposée d'ordre supérieur à l'ordre de AB. L'angle ABC enfin sera supposé ne fendre ni vers zéro ni vers deux droits. Posons

AB = «, BC = BD ^ a, AC = b, d'où AD = 6 + ^, angle ABC = w, angle CBD = S.

On a en vue de montrer que la distance CD est infiniment petite et

de l'ordre de la fraction -. Puisque a est fini, il suffira de montrer

que l'ordre de l'angle 8 est le mCme que celui de cette fi-action.

Par la formule qui exprime un côté d'un triangle au mcj-en des deux autres et de l'angle que ceux-ci comprennent, le triangle ABC donne

et le triangle ABD,

(b -t- |S}^ =«=-]- «^ ^ 2a« cos (o> + 3).

De cette dernière égalité retranchant la précédente, le premier membre

- 14-t — de la relation résultante est composé de deux termes, et l'on ôtera le second, savoir ^', comme infiniment petit comparé à l'autre. Dans celui-ci OD écrira a au lieu de b, par quoi il ne sera altéré que d'une fraction iofiniment petite de lui-même, parce que h est ég'al à a à la limite. Divisant ensuite par aaa il vient

équation qui montre que 3 est inlinimeut petit puisque d'après les hypothèses - tend vers zéro. Elle peut s'écrire

A — siQ(„)*5)sinis.

Or comme w est supposé ne tondre ni vers zéro ni vers deux droits, le prem.ier facteur du second membre no saurait être infiniment petit;

partant, 3 est de l'ordre de -,

Remarque. — Remettant AB et AD — AC pour « et ^, il suit de la dernière égalité que si AB est du premier ordi'e, l'ordre de la distance CD, étant le même que l'ordre de 8, est inférieur d'une unité exactement à celui de ta différence AD — AC.

128. Le cercle oscalaleur est l'intersection limite de deux sphères osculatrices infiniment voisines.

L'intersection des deux sphères osculatrices dont les centres sont S et S' est un cercle dont !a droite SS' est l'axe. Or cette mémo droite devient à la limite l'ase du cercle osculateur en M. Pour démontrer la proposition il suffit par conséquent de faire voir que le point M est infiniment voisin de l'intersection des deux sphères.

Des deux points où la droite S'M traverse la sphère osculatrice en M' soit A (fig, 88) celui qui est infiniment voisin de M; S'A est égal à S'M', et MA est d'un ordre supérieur au troisième car il est précisément égal à la distance de M à la sphère osculatrice en M', Dans le plan SMS' décrivons de S et de S' comme centres deux cercles avec SM et S'A pour rayons, respectivement : ces deux cercles se coupent, car, S'A étant ég-al à S'M', la distance de leurs centres est

plus grande que la différence de leurs rayons (122, remarque terminale), et comme ils sont situés l'un sur l'une des deux sphères et l'autre sur l'autre, leurs deux points communs appartiennent au cercle d'intersection des deux sphères. Soit K celui de ces points qui se trouve d'un môme côté de ia droite SS' avec M : nous allons reconnaître que KM est infiniment petit (nous le trouverons même d'ordre supérieur au second), et de là découlera la proposition.

SM et SK sont égaux, M et K étant sur un môme cercle de centre S. D'aulre part, K étant sur la sphère osculatrice en M', la différence entre S'M et S'K est égale à MA; elle est donc d'ordre plus élevé que SS'. Dès lors on se trouve ici dans le cas considéré au précédent numéro, eo sorte que l'ordre infinitésimal de KM est fixé par la remarque qui termine ce numéro. Il est inférieur d'une unité à l'ordre de la différence S'M — S'K, doue à l'ordre de MA, ce qui fait que KM est d'un ordre supérieur au deuxième.

*Pour montrer que le cercle osculateur est la limita de l'intersection de deux sphères asculatrices infiniment voisines on pourrait aussi se servir de la formule connue qui exprime la surface d'un triangle au moyen de ses trois côtés, formule dont on déduit

(■) * = îj/,)(/)-«)(p-6)(p-t),

OÙ fj, a, b, c, h représentent le demi-périmètre du triang'lc, ses trois côtés, et la hauteur correspondant au côté a. Soit A (fig-. 8g) un point quelconque de l'intersection des deux sphères dont les centres sont S et S', et soit AP la perpendiculaire ahaissée de A sur la corde SS' prolongée ; les deux sphères se coupent suivant un cercle de centre P et de rayon PA. DÉsi§;nons les côtés SS', AS, AS' du triangle ASS' respectivement par a, b, c; alors le h de la relation (i) sera la longueur PA. Les côtés 6 et c valent B et R -|- aR, et aR est égal à a casa, a désignant l'angle ASP. Dans l'évaluation des facteurs p et p — ^ d il convient de négliger la partie infiniment petite devant la partie finie, en sorte q^io l'un et l'autre seront remplacés simplement par R; puis on a

p — b—\(a — h + c), p — c ^\{a + h — c), d'où, à cause de c = ;<-!- a cos«,

yGoosle

par quoi la formule (i) devient, toutes réductions faites PA — Rsin«.

aR CS.iH , , , , .,

Or on a cos « = — = ^g^„ oa , par le. résultat., des Nos M.

et ii4,

CS.aR

et comme CS.iCS vaut RaR — pip par l^alitc (3) du N« 122, on a

es , ,