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Le rayon du cercle d'intersection des deux sphéi-es est conséquemment ^ à la limite. Comme ce cercle a pour ase la droite SS' qui tend à se confoodre avec la polaire, on a le choix seulement entre le cercle osculateur et le cercle situé symétriquement au cercle osculateur par rapport au centre S. Or ce dernier cercle doit être écarté, parce que si, par exemple, c'est la sphère de centre S qui est la plus petite des deux, S est, on va le reconnaître, plus prés que S' du plan osculateur, et comme il est plus près aussi que S' du plan d'intersection des deux sphères, ce dernier plan ne peut être que le plan osculateur.

En vue de la vérification qu'il nous reste à faire, et pour laquelle le lecteur se construiia '.ans peme en pensée H figure eousîdérons la polaire et le cercle osculateui lelatifs au point M Lt plan m.ené par la polaire et par M' coupe le cercle en deux points dnmétralement opposés dont soit E le plui \oisin de M' la distance M E est d un ordre supérieur au premiet et c est la également le cas de la Jistaoce S'F, F désig'nant le pied de la perpendiculaiie abaissée de S' sur la polaire. Il suit de tout ceci que la dilîérenie des lon^eurs S'M' et FE est d'ordre supérieur au premîei dorn, infioiment petite comparée à celle des rayons SM et S'M' qui est du premier ordre, par quoi FË est plus grand que SM, qui a été supposé le plus petit des deux rayons. Puis dès lors que F et S sont l'un et l'autre sur la polaire,

— iU — E et M l'un et l'autre sur le eerele, et que la polaire passe par le centre du cercle et est perpendiculaire à son plan, le centre S est plus près que le point F de ce plan, donc plus près aussi de lui que le centre S', qui en est à la même dislance que F. La proposition est par là vérifiée, ce plan n'titant autre que le plan osculateur au point M.

*129. Angle des deux sphères S et S'. Cet an§-le est celui que font entre eux les pians tangents aux deux sphères en un point quelconque de l'intersection de celles-ci, ou encore l'ang'le des deux rayons qui passent par ce point.

Le plan MSS' coupe le cercle d'intersection des sphères en deux points dont l'un, le point K de la première partie du numéro précédent (fig. 88), est infiniment près de M. L'angle SKS' est celui des deux sphères.

Faisons passer un cercle par les trois points S, S' et K; les angles SKS' SMS' interceptent l'un et l'autre sur ce cercle un arc SS'. L'angle SMS' intercepte en outre sur le cercle un second arc; mais celui-ci est infiniment petit en comparaison du premier, puisque M, qui est infiniment voisin de K comme on l'a vu au précédent numéro, l'est aussi de la circonférence. Il suit de là que les angles SKS', SMS' sont égaux en tant qu'infiniment petits. Or au N° 126 on a eu à s'occuper du second de ces deux angles, et on hû a trouvé pour

expression

Le lecteur qui omet les paragraphes marqués de l'astérisque doit passer dès à présent au chapitre des développées.

*J 30. En comparant entre elles les relations établies jusqu'ici, on obtiendrait de nouveaux théorèmes exprimant chacun une propriété des lignes. Par exemple, si l'on rapproche les résultats des 'N'^ 87 et 88 de ceux du N^ 121, on obtient les deux théorèmes que voici :

i" Le rayon de la sphère osculatrice est la limite du rapport de l'arc élémentaire du lieu des centres de courbure à l'angle de torsion.

2» Les angles que le rayon de la sphère osculatrice et la tangente au lieu des centres de courbure font avec le rayon du cercle

oscalatear sont complémentaires, les deux payons, Lien entendu, étant ceux qui passent par M(*).

Si l'on désire vérifier ces deux propositions immédiatement sur la figure même, on considérera en premier lieu la seconde en la tenant d'abord pour vraie. Soit CX {Hg. 90) le prolongement de MC, et soit CY tang-ent au cercle circonscrit au triangle MCS, qui est rectang-le en G. Les deux angles YCX et SMC sont complémentaires, parce que le second est égal à SCY par les éléments ; partant, puisque la tangente ea G à l'arc CC' est contenue dans le plan MCS (80), cette tangente se confond avec CY en vertu de la proposition admise. L'arc CC est en conséquence tangent à la sphère dont MS est un diamètre, ce qui fait que la distance de C à cette sphère est du second ordre. Le plan MC'S coupe la sphère suivant un grand cercle sur lequel l'angle MC'S intercepte, outre la demi-circonférence MS, un petit arc ab (fig. 91) qui est de l'ordre de la distance de C à la sphère, donc du second, d'où il résulte que l'angleMC'S ne diffère d'un droit que d'une quantité du second ordre. II suit de là, et de ce que l'angle M'G'S' est droit, que la proposition jusqu'ici admise se trouvera vérifiée si seulement on montre que les angles M'C'S', MC'S sont égaux à une quantité près du second ordre.

Soient SA, CD (fig. 90) perpendiculaires respectivement à la droite C'S' et au plan MCS : ces longueurs sont l'une et l'autre du second ordre; par suite on a, au second ordre prés,

angle M'C'S' — angle M'J>S.

Soit M'P normal au plan MCS : l'angle PDS est une projection orthogonale de l'angle M'DS, et comme tes plans des deux angles font enti-e eux un angle du premier ordre (**) on a (55), au second ordre près,

angle M'DS — angle PDS.

Enfin, les distances PM, CD étant du second ordre, on a, toujours au même degré d'approximation,

(*) Molins, Mémoire cité au N« 87 ci-dessus, p. 383.

(**) Cet angle est en effet, en tant qu'infiniment petit, égal à e ; uar le plan PDS est normal à la courbe au point M, et ie plan M'DS se chanye en le plan M'C'S'. qui lai est normal en M', si on le fait toarner de deux quantités du second ordre, d'abord autour de M'S de telle sorte qu'il aille passer par C, puis autour de M'C de manière à le faire passer par A.

angle PDS = angle MC'S, et de ces trois égalités il résulte, en les ajoutant, que les angles MC'S et M'C'S' ne diffèrent que d'une quantité du second ordre.

La seconde des deux propositions énoncées en tête de ce numéro étant ainsi vérifiée sur la %ure, nous passons à l'autre. L'angle C du triangle MCS (fig. (fa, où les mûmes lettres désignent les mêmes choses que dans la fig. 90) étant droit, MS est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle. Si donc on nomme E le point où la droite MD coupe ce cercle, par quoi CE en est l'arc intercepté entre les côtés de l'angle CMD, on a

cCE i^CMD'

car !e rapport de l'arc intercepté entre les côtés d'un angle inscrit dans un cercle à l'angle lui-même est égal au diamètre. Or la distance de C à la sphère dont MS est un diamètre étant, on l'a vu tout à l'heure, d'un ordre supérieur au premier, il en est de même de la distance de D au cercle, distance plus petite que celle de C à la sphère, donc aussi de la longueur DE. Mais on a en outre vu tout à l'heure que la longueur CD est d'ordre supérieur au premier; il en est dès lors également ainsi de CE, qui est un côté d'un triangle dont ces deux longueurs forment les deux autres. CE étant par là infiniment petit comparé à l'arc CC du lieu des centres de courbure, on peut écrire

ai-cCE = arcCC,

et alors, ensuite de l'égalité précédente, il reste seulement, pour avoir effectué la vérification, à montrer que l'angle CMD est égal à « en tant qu'infiniment petit.

Soit à cet effet N le point où la droite CM', qui est la normale principale au point M', rencontre le plan osculateur en M, savoir le plan mené par MC perpendiculairement au plan MCS, et soit NK la projection de cette normale sur ce plan osculateur. L'angle C'NK est égal à « (76). D'autre part, la longueur M'N est du second ordre, vu que la distance de M' au plan osculateur est du troisième (63), et que l'angle C'NK est du premier, car pour qu'il fût d'ordre supérieur à l'arc ce, qui est du premier ordre, cet arc devrait être

C à la droite MC, ce qui n'a lieu (88) que dans les lignes où » est nul, c'est-à-dire que dans les lig^nes planes. Dès lors si P est le pied de la perpendiculaire abaissée de N sur MC, MP est d'ordre supérieur au premier, et l'angle CMD peut être remplacé par l'ang^le GPD. Celui-ci étant la projection, sur son plan, de rang;le C'NK, il est égal comme infiniment petit à ce dernier angle, donc îi n, car la différence des deux angles est (53) de l'ordre au moins du carré de l'angle des plans des deux angles, donc du second ordre au moins, vu que l'angle des deux plans, dont l'inlersection est perpendiculaire à MC, valant s, puisque telle est (76) l'expression de l'inclinaison de M'C sur le pian MCS, il est du premier ordre.

Voici une autre forme du théorème Énoncé sous 3" : La droite qui joint C avec le milieu de MS est perpendiculaire au lieu des centres de courbure. Le lecteur vérifiera,

*131. Considérons, sous le rapport de leurs distances au point M', les cônes ronds qui passent par le cei'cle de courbure au point M et dont le sommet, dès lors, est situé sur la polaire relative à ce point (*). Nous allons montrer que l'un d'eux passe infiniment plus près du point M' que tous les autres et que la distance do chacun de ceux-ci à ce point est du troisième ordre.

Soit A, pris sur la polaire, le sommet d'un cône mené par le cercle de courbure, et dont AM, par suite, est une génératrice. La perpendiculaire élevée de M à la droite AM coupe la polaii-e en un point B (fig. 93), et le cône est tangent le long du cercle de courbure à la sphère de centre B menée par ce cercle. Nous allons reconnaître que les distances de M' au cône et à la sphère sont égales comme infiniment petites , et de là se déduira sans peine la proposition tout à l'heure énoncée.

Concevons que le plan du papier soit le plan déterminé par la polaire et par le point M'. Ce plan, qui coïncidera à la limite avec le plan normal en M, coupe la sphère suivant un grand cercle pq, et le cercle de courbure en un point K de la perpendicidaire élevée du centre de courbure C à AB; l'angle AKB est droit, et AK est une

(*) Cf. W. ScheU, ouvrage râlé, î" édit., p. 67 et m.

^nératrice du cône, tangente au cercle pq. CIC est un rayon du cercle de courbure. M'K est la distance de M' à ce cercle; c'est donc une grandeur du troisième ordre. Tirons la droite BM' : elle coupe en un point e le cercle pq et en un point / la génératrice AK. La longueur eK est du troisième ordre comme M'K, par quoi el est du sixième, étant de l'ordre du carré de eK. Or d'après les résultats obtenus au N" 119, M'e, distance de M' à la sphère, est d'un ordre supérieur au troisième si B se trouve être le centre de la sphère osculatrice, et dans l'article qui terminera le volume on verra que cet ordre est le quatrième. Dans toutes les autres positions de B sur la polaire M'e est du troisième ordre d'après le même N" 119. Puis donc que el est d'un ordre supérieur au quatrième, les deux longueurs M'e et Wl sont, dans tous les cas, égales en tant qu'infiniment petites. Par suite aussi les distances de M' à la sphère et au cône, puisque M'e est la première de ces deux distances et que, l'angle M'/K tendant à devenir droit, le rapport de M'/ à la distance de M' au cône a pour limite l'unité.

Par là se trouve établie la proposition énoncée et, en plus, la suivante :

S étant le centre de la sphère osculali-ice, donc le point où la polaire touche l'arête de rebroussemeot de la surface polaire, le point où la perpendiculaire élevée de M à SM dans le plan normal coupe la polaire est le sommet d'un cône rond qui, aux environs de M, serre la courbe d'infiniment plus près que tout autre cône rond ayant aussi soa sommet sur la polaire.

Le sommet de ce cône étant sur la polaire et du côté du plan osculateur opposé à celui où se trouve le centre S de la sphère osculatrice, on aura entièrement déterminé sa position quand on aura formé l'expression de sa distance à ce plan. Supposons k cet effet que dans notre figure actuelle, la fig. gS, A soit ce sommet; AG .sera la distance en question, et le point B coïncidera avec le centre S. L'angle AKB étant droit, AC s'obtiendra, d'après les éléments, en divisant le carré de KG, c'est-à-dire du rayon de courbure, par GB, dont l'expression est donnée au N" i la, CB étant égal à CS. On obtient ainsi