AC

*'132. Ce cône exceptionnel est !a limite du cône rond assujetti à conteoir le cercle de courbure et à passer par le point M', La première en effet de ces deux conditions place le sommet du cône sur la polaire, et l'autre, on le reconnaît sans peine, achève de déterminer la position de ce sommet, donc aussi de déterminer le cône, que l'on ne saurait dès lors astreindre à passer par un second point de la courbe infininient voisin de M, d'où il suit que la limite du cône rond conduit par le cercle de courbure et par M' est, de tous les cônes rouds dont le sommet est sur la polaire, celui qui passe le plus près de la courbe dans le voisinage du point M de contact de celle-ci avec le cercle de courbure, et de là, comme conséquence immédiate, résulte la proposition.

Appelons, ainsi que déjà précédemment, m' {è^. Ç|4) la projection du point M' sur le plan osculateur, et h l'intersection de Cm', prolongé au besoin, avec le cercle de courbure. La droite M'/t va couper la polaire en un point P qui est le sommet du cône rond passant par le cercle de courbure et par M'. On doit donc trouver, pour CP, la même valeur que pour la longueur CA du numéro précédent. On a

CP M' m'

— = — Tj. Or G^ vaut CM ou p, et M' m', m'h valent respectivement ginis, j,s^i/ï (Nos 63 et 74)- Substituant ces valeurs dans la dernière égalité et écrivant p au lier •'" ■' * ^-"^ ^^ —

Des développées.

133. La théorie des développées sera basée sur la proposition suivante :

Si l'on fait rouler le plan tangent sur la surface polaire, ce plan, qui dans son mouvement reste toujours normal à la ligne considérée, est traversé par elle constamment au même point.

Pour le démontrer nous ferons voir premièrement que si le plan tangent à la surface polaire, d'abord normal eu M, roule jusqu'à devenir normal en M', le point M, envisagé comme appartenant au plan normal et comme entraîné dans son mouvement, se trouve alors à une dislance de M' infiniment petite comparée à l'arc MM'.

Appelons A et A' (%. gS) les plans normaux en M el, en M', C leur intersection, et B, B' les droites de contact de ces plans avec ia surface polaire, c'est-à-dire les polaires relatives aux points M et M'. Traçons dans le plan A deux droites quelconques, et soient/), q les points où elles coupent la polaire B. Le plan A roulant sur la surface polaire, ces droites s'enrouleront sur cetl« surface suivant des courbes dont nous désignerons par p' et q' les points situés sur la polaire B'. Soit/)' et q" les points des deux droites qui vont s'appliquer sur/>' et q'. Les arcs pp' , qq' , sont du même ordre que MM', donc du premier, et respectivement ég^aux en longueur h. pp" , qq" . De là, et de ce que les droites tracées dans le plan A sont tangentes en p et en q aux courbes suivant lesquelles elles s'eni-oulent (87), il résulte que les distances jd'/)", q'q' sont du second ordre.

Ceci posé, nous allons faire exécuter au plan A trois mouvements consécutifs dont l'ensemble équivaudra au roulement de ce plan sur la partie de la surface polaire qui est comprise entre les polaires B et B'. Nous voulons dire par là que, ces trois mouvements accomplis, chaque point du plan A occupera dans l'espace exactement le même lieu que si ce plan était venu coïncider avec le plan A' en roulant sur la surface polaire. Le premier de ces mouvements sera un mouvement de rotation autour de la droite C, intersection des plans A et A', qui amènera le premier de ces plans à coïncider avec le second. Le suivant sera un mouvement de translation qui amènera le point/)', situé après le premier mouvement dans le plan A', à coïncider avec p' , et par lequel tous les points du plan A décriront des droites parallèles et égales èip"p'. Ces deux mouvements effectués, on aura p'q" t= p q cai a loiigine on avait p'q' ^: p"q°- Le troisième et dernier seia un moir. 3ment de rotation autour d'un axe passant par/)' et peipendiculairr-iu plan A', mouvement qui amènera q' à coïncider avec y et p ir 1 effet duquel chaque point du plan A décrira un arc de ceicle ayant/? pour centre. Les points p" et q" étant ainsi venus se 1 ontondro avec p' et q', l'ensemble de ces trois mouvements équivaut au roulement sur la surface polaire qui amènerait le plan A à comciiei a\ec le plan A',

Examinons l'action de chacun d'eux sur le point M considéré comme appartenant au plan A et entrafaé par lut.

Le plan A éfant normal à la courbe considérce, le premier mouvement fait décrire au point M un arc de cercle tangent à celte courbe au point de départ, d'où il suit que le point M vient occuper un lieu qui est distant de M' d'une longueur infiniment petite du second ■ordre au moins.

Avant de rechercher l'influence qu'a sur la situation du point M le second mouvement, qui est destiné à conduire le point p" sur/i', il faut examiner celle que le premier mouvement a eue sur la situation de ce point 7»" .

Appelant r le pied de la perpendiculaire abaissée de p" sur l'intersection C, le déplacement de/*" qui résulte de ce premier mouvement est la corde d'un arc de cercle qui a pour rayon rp" , et pour angle sa centre l'ang^le des plans A, A'. Cet angle est du premier ordre puisqu'il est é8:al à e, et rp° est du même ordre que pp', c'est-à-dire du premier. Le déplacement en question est donc du second ordre. Donc la distance/)"/)', qui était du second ordre avant le premier mouvement ainsi que nous l'avons fait remarquer tout à l'heure, est du second ordre ou d'un ordre supérieur une fois ce mouvement exécuté. Et il en est de même de la distance q''q'.

Maintenant, le deuxième mouvement ayant pour effet de déplacer tous les points du plan A d'une longueur égale à p"p' , le point M se trouve eneore, après ce mouvement, a. une distance de M' infiniment petite comparée à l'arc MM'.

Le point q" s'étant aussi déplacé d'une longueur égale s. p"p', la distance q'q' est, après le deuxième mouvement, du second ordre ou d'un ordre supérieur.

Le troisième mouvement est un mouvement de i-otation autour de p' qui a pour but de faire coïncider q' avec q' . L'angle dont le plan A doit tourner à cet effet est du mfime ordre que la distance q"q' ', donc la quantité dont se déplace le point M ensuite du troisième mouvement est du même ordre que q''q' , et, par conséquent, infiniment petite comparée k l'arc MM',

Il suit de là que, le troisième mouvement accompli, la distance à laquelle le point M se trouve de M' est infiniment petite comparée à l'arc MM' ; et comme 1rs trois mouvements sont équivalents par leur ensemble au roulement sur la surface polaire qui amènerait le plan A

— '152 — à coïncitîcr avec le plan A', ht proposition pri^lim avioas en vue se trouve établie.

Ce point acquis, la démonstration s'achève de la manière dont on a déjà eu un exemple au N" <). Considérons un arc fini commençant au point M, et décomposons-le en n parties terminées en des points que nous appelions M', M", M", , M'°', ce dernier étant l'extrémité de l'arc. On suppose ces parties infiniment petites et croissant en nombre indéfiniment. Concevons maintenant que le plan normal roule sur la surface polaire à partir de la position où il coupe la courbe au point M jusqu'à celle où il la coupe au point M*"', et qu'il

emporte successivement les pointa M, M' M", Ml°-''. Quand il

est arrivé en M', le point M se trouve à une distance de iVI' infiniment petite comparée à l'arc MM'; quand il est arrivé en M", le point M' se trouve à une distance de M' Infiniment petite comparée à l'arc

M'M" ; quand il est arrivé en M*l, le point M'°~''se trouve à une

distance de M'°l infiniment petite comparée k l'arc M'''~''M'"'. Or la distance à laquelle M est situé de M'°' lorsque le plan normal coupe la courbe en ce dernier point est inférieure à la somme de toutes ces distances infiniment petites en comparaison des arcs qui leur correspondent sur la courbe; donc cette distance est infiniment petite comparée à la somme de ces arcs, c'estr^-dire à l'arc fini MM'"*, donc elle est nulle,

Il est ainsi démontré que, si l'on fait rouler le plan normal sur la surface polaire, il est traversé par la courbe constamment au même

La génération des développées et leurs propriétés se déduisent de ce tbeoième comme simples conséquences

Cor Les divers points d'un plan qui roule sut une surface dé\eloppable V donnent, par leur mouvement naissance à autant de liçnes qui taules ont V pour suiface polaue Les h^'nes engendiées sont planes si la suiface est un cylindre, et «i elle est un cône ces lignes «ont sphéiiques, car chaque point du plan loulant conseuf (onslammenf la même distance ïu sommet du cône

134. Concevons qu'on ait tracé dans le plan tangent à la surface polaire une droite indéfinie qui rencontre la courbe, et qu'on fasse

après cela rouler le plan sur la surface. Ensuite du théorème qui vient d'être établi la droite ne cesse pas de rencontrer la courbe, et est coupée par elle constamment au même point. Considérons maintenant la ligne suivant laquelle cette droite s'enrotde sur la surface. A chaque instant du mouvement la partie non enroulée se raccorde avec celle qui l'est déjà, en sorl« qu'au point de séparation celle-ci a pour taog'ente la première (87). Si donc on suppose un fil enroulé sur cette ligne jusqu'à un point quelconque à partir duquel il s'en détache tangentiellement, la partie rectiligne du fil ira rencontrer la courbe primitive; et si l'on coupe le fil au point d'intersection, de sorte que ce point en devienne une extrémité, puis qu'ensuite on développe la partie enroulée du fil en le maintenant toujours tendu et tangent à la partie non encore développée, . cette extrémité décrira la courbe primitive.

La ligne suivant laquelle s'enroule sur la surface polaire une droite tracée dans un plan tangent à cette surface et dirigée de manière à rencontrer la courbe primitive jouit donc de la propriété d'engendrer cette dernière par son développement en lig^ne droite. Cette propriété lui a fait donner le nom de développée. Par chaque point de la surface polaire il passe une développée, car par tout point de cett« surface on peut, dans le plan tancent en ce point, tirer une droite qui aille couper la courbe primitive.

Il n'existe pas de développées hor.s de la surface polaire. Nous établirons cette proposition en montrant qu'une développée est nécessairement située sur cette surface. Remarquons d'abord que la tangente à une développée est forcément normale à la courbe primitive, car une droite qui roule sur une courbe sans glisser est constamment normale à la ligne que décrit l'un quelconque de ses points (loi). Ainsi la tang:ente à une développée quelconque est contemie dans le plan normal à la courbe primitive.

Ceci posé, soit NN' l'arc qui, sur une développée, correspond à l'arc MM' : la droite MN est tangente en N à la développée et la droite M'N' lui est tangente en N' . Nous allons faire voir que le point N est infiniment voisin de l'intersection des plans normaux en M et en M' à la courbe primitive. Comme la limite de cette intersection est une génératrice de la surface polaire il sera prouvé par là que le point N

~ 154 — est situé sur cette surface, et la proposition que nous avons en vue se trouvera démontrée.

La distance du point N à la droite M'N' est du second ordre puisque l'arc NN' est du premier ordre et que M'N' est tangente à cet arc en N'. Mais cette droite M'N' est située dans le plan normal en M' à la courbe primitive. Donc la distance de N à ce dernier plan ne saurait être d'un ordre inférieur au second. Or le point N étant contenu dans le plan normal en M, s'il n'était pas infiniment voisin de l'intersection des plans normaux en M et en M' sa distance à celui en M' serait de l'ordre de l'angle de ces plans, c'est-à-dire du premier. Le point N est donc infiniment voisin de cette intersection.

135. Les développées d'une courbe sont les lignes géodésiques de la surface polaire. En vertu même de leur génération les développées se transforment en lignes droites lorsqu'on étale cette surface sur un plan (voir le N" io3), en sorte qu'il reste seulement à établir que, réciproquement, toute g«odésique de la surface polaire est une développée de la courbe primitive.

Soit A la surface polaire ou telle surface développable que l'on voudra, et soit B une ligne géodésique de A : le développement de la surface transforme la courbeB en une droite (io3). Sur un des plans tangents de A traçons la tangente T à la courbe B ; si l'on enroulait le plan sur la surface, la droite T viendrait i-ecouvrir exactement la ligne B. Que maintenant on fasse rouler le plan : par l'effet du mouvement chaque point de T se met à décrire une ligne dont A est la surface polaire et dont B est une développée. Ainsi toute géodésique d'une surface développable est une développée d'une infinité de courbes qui toutes ont cette surface pour surface polaire.

136. Si l'on développe la surface polaire sur un plan, les transformées des développées iront toutes concourir en an même point.

Concevons que le plan tangent roule sur la surface polaire en en entraînant les parties à mesure qu'il les touche : le mouvement une fois terminé, cette surface se trouvera développée sur un plan. Puisque pendant tout le cours du mouvement toutes les développées se rencontrent en un même point, qui est celui où le plan est cous-

tamment traverse par la courbe, la même ehose a lieu une lois le mouvement achevé.

137. Tout ce que nous avons dil sur les développées s'applique aux courbes pianos aussi bien qu'aux courbes noo planes. Seulemeat, dans le cas d'une courbe plane, la surface polaire est un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan de la courbe, et qui dans ce plan a pour section le lieu des centres de courbure.

Les développées d'une lijg'nc non plane sont elles-mêmes des lig:nes non planes, et, à part le lieu des centres des cercles osculateurs, aucune développée d'une ligne plane ne saurait elle-mâme être plane. La raison de ces faits est qu'une courbe plane ne peut, par son développement, donner naissance qu'à des courbes planes situées dans son propre plan.

Les développées sont engendrées par des droites tracées sur un plan qui s'enroule sur une surfaco développable. Dans le cas d'une ligne plane, cette surface étant cylindrique, chaque développée en coupe toutes les génératrices sous un même angle. Les développées d'une ligne plane sont donc toutes des hélices, à part le lieu des centres de courbure. Car on nomme hélice toute ligne tracée sur une surface cylindrique de façon à en couper toutes les génératrices sous un même angle autre que l'angle droit.

La réciproque est vraie, et nous verrons ailleurs qu'une liélîce, par son développement, n'engendre que des lignes planes.

'138. La surface polaire ayant été développée sur an plan, la transformée du lien des centres des cercles osculateurs est le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées sur les tangentes de la transformée du lieu des centres des sphères oscalalrices depuis te point du plan où vont concourir les transformées des développées {*). En outre, les longueurs de ces perpendiculaires sont égales auœ rayons de courbure.

Cette proposition est encore une conséquence immédiate de celle du N" i33. Dans le triangle MCS, qui est situé dans le plan normal au point M, MC et MS sont les rayons du cercle osculateur et de la

(*) Un lieu de pieds de perpendiculaires est appelf^ une podnire.An mot grec qu' signifie pied.

sphère osculatrice, CS est une générafa-ice de la surface polaire, et MC est perpendiculaire à CS. Concevons maintenant qu'en chaque point de la courbe on ait construit ce triangle, puis qu'on fasse rouler le plan langent sur la surface polaire; ce plan viendra coïncider successivement avec celui de chacun des triangles et emportera le triangle sans l'altérer, d'où il résulte que, le mouvement terminé, les droites MC seront encore perpendiculaires aux droites CS. Le plan roulant étant pendant tout le cours du mouvement traversé par la courbe au même point, une fois le mouvement achevé tous les sommets M coïncideront, de sorte que toutes les perpendiculaires MC seront issues d'un même point, qui est celui où vont concourir les développées quand on étale la surface sur un plan. L'ensemble des points C constituera la transformée du lieu des centres des cercles osculateurs, et les droites CS, qui avant le mouvement étaient tangentes au lieu des œntres des sphères osculatrices {io8 et 121), sont, après le mouvement, tangentes à la transformée de cette ligne (37).

139. Le plan oscalaleur d'une développée est le plan NMT déterminé par la tangente NM de la développée et la tangente MT de la coarbe primitive.

Cette proposition résulte du dernier alinéa du N" (oi ci-dessus, d'aprè-s lequel, on effet, la normale principale en N à la développée est parallèle à la tangente MT.

Directement, elle se démontre comme suit ;

Par N menons NH (fig. 96) parallèle à la tangente N'M' au point N': le plan osculateur en N à la développée est la limite du plan MNH (42), et il suffit par conséquent de montrer que ce plan fait un angle infiniment petit avec le plan NMT.

La distance du point M' à la tangente MT et celle du point N' à la tangente MN sont du second ordre; par suite, les distances de M' et de N' au plan NMT sont d'ordres supérieurs au premier, car elles sont respectivement plus petites que les distances de ces points aux droites MT, MN. Or la longueur M'N' est finie, et quand les distances des deux extrémités d'une droite de longueur finie à un plan sont d'ordres supérieurs au premier il en est de même de l'inclinaison de la droite sur le plan. Donc l'angle que fait M'N' avec le plan NMT,

— 157 ~ et par suite aussi l'ang^Ie que fait NH avec le même plan, est d'un ordre supérieur au premier. D'autre part l'angle MNH est du premier ordre puisqu'il ne diffère pas de celui des lang-entes aux extrémités de l'arc NN' . Si donc d'un point quelconque a pris sur NH on abaisse des perpendiculaires au plan NMT et à la droite NM et qu'on en

désigne les pieds par b et c. le rapport — est infiniment petit. Mais

ce rapport est le sinus de l'angle des plans NMT, MNH. Cet angle est donc infiniment petit, comme on voulait le montrer.

Cor. Faisons rouler le plan normal sur la surface polaire : les droites MN et MT, si on les suppose invariablement liées à ce plan, restent tangentes pendant tout le cours du mouvement, l'une à la développée et l'autre à la courbe primitive. 11 suit de là et du présent théorème que le plan NMT, supposé invariablement lié au plan normal, reste pendant tout le cours du mouvement osculateur à la développée. On en déduit que les plans osculateura à deux développées, aux points de ces lignes qui correspondent à un même point de la courbe primitive et qui sont situés par conséquent sur une même polaire, forment entre eux un angle constant. Nous entendons par là que la grandeur de cet angle ne varie pas lorsque les deux points se déplacent sur leurs développées respectives de façon à se trouver toujours sur une même polaire.

140. La tangente MT étant perpendiculaire au plan normal en M à la ligne primitive, et ce plan étant tangent à la surface polaire au point N, cette tangente est parallèle à la normale à la surface en ce point, par quoi le plan osculateur de la développée contient la normale de la surface polaire.

Il suit de là, et de ce que toute ligne gcodésique d'une surface développable est une développée (i35, second alinéa), que le plan osculateur en un point d'une géodésique d'une surface développable contient la normale à la surface en ce point (*).

'*) La proposition est d'ailleurs vraie lie toutes les surfaces, non pas uiiiqucincnt de celles qui sont développables ; et si l'on a fait ici ressortir ce cas particulier de ce IhéorÈme de la théorie des surfaces, c'est en vue de l'un des imméros qui vont

141, Considérons J'angle que fait MN, c'est-à-dire la tangente en N à une développée arbitrairement choisie, avec la polaire NC de la courbe primitive : la variation que subit cet aug'le quand ou passe de M à M' est égale à l'ang'ie sj des plans osculateurs ou des polaires en ces deux points. Pour le montrer rappelons que, le plan normal à la primitive roulant de M à M', la tangente en N à la développé& vient (i34) coïncider avec la tangente en N', savoir avec M'N', et que NC, qui est dans le plan normal en M, vient se placer dans le plan N'M'C puisque c'est là le plan normal en M', puis remarquons qu'if suit de ce double fait que la variation considérée est égale à l'angle que fait la polaire N'C du point M' avec la position qu'est venu prendre la polaire NC par l'effet du roulement. Tout est donc ramené à faire voir que cet angle est égal en tant qu'infiniment petit à celuii des polaires NC, N'C. Or i! est ce que devient l'angle de ces deux polaires par l'effet du développement de la surface polaire sur un plan. Comme les polaires sont les génératrices de cette surface, et que l'angle de deux génératrices d'une surface développable infiniment voisines n'est altéré par le développement de la surface que d'une fraction infiniment petite de lui-même (102), la proposition que nous avions en vue est acquise.

* Elle est d'ailleurs une conséquence du théorème du N" io4 appliqué à l'arête de rebroussement de la surface polaire. Car les polaires étant les tangentes de cette arête, une ligne géodésique de la surface polaire coupe deux polaires déterminées sous des angles dont la différence, d'après le dit numéro, est indépendante du choix de cette ligne et s'obtient à l'aide de la courbe sphérique intersection d'une sphère de rayon unité par le cône des parallèles menées du centre de la sphère à toutes les polaires. Les parallèles aux deux polaires considérées traversent la sphère en des points a et b, et l'arc ab de la courbe sphérique fournit précisément (io4) la différence en question. Si les deux polaires sont infiniment voisines, l'arc ab, alors infiniment petit, est, comme tel, égal à l'angle des deux polaires, et de là résulte la proposition, puisque rien n'empêche (i35} de choisir la ligne géodésique qui coupe les deux polaires parmi l( primitive.

142. La variation de l'an^lo MNC, qui vient d'être étudi-^e, est égale à celle de l'angle NMC que fait MN avec la normale principale MC de la ligne primitive. C'est parce que l'angle MCN étant droit est constant. Ces deux variations sont égaies et de sens contraires. Or les plans oscillateurs en M à la ligne primitive et en N à la développée se coupant suivant MT (iSp) qui est perpendiculaire à la fois à MG et à MN, l'angle de ces deux plans n'est autre que NMC, par où l'on voit que la variation que subit l'angle des plans osculateurs à la ligne primitive et à une développée quelconque quand on passe de M à M' est égale à l'angle de torsion de la ligne primitive. Cette proposition se démontre encore comme suit :

Par un point (fig. 97) menons Om, Oin' , On, On' respectivement parallèles aux binormales, donc aussi aux polaires de la courbe primitive en M et en M' et à celles de la développée en N et en N': l'angle mOn est celui des plans osculateurs en M à la courbe primitive et en N à la développée; l'angle m'On' est celui des plans osculateurs à ces deux lignes en M' et en N'; et comme l'angle iiiOin' est ég'al à vj tout est ramené à obtenir la relation

mOn — m'On' :r: mOm', dont le premier mem.bre doit être pris en valeur absolue.

Soit 0^ une parallèle quelconque menée par au plan normal en N à la développée : le plan nOt est lui-môme parallèle à ce plan normal ; de plus le pian mOn est parallèle au plan normal en M à !a ligne primitive, et les deux plans mOn, nOl se coupent suivant On à angle droit. Maintenant On' , parallèle à la binormale en N' à la développée, fait avec le plan nOl, qui est parallèle au plan normal en N à la môme ligne, un angle du second ordre (82), et il suit de là que les deux angles m'On', m'On ne diffèrent l'un de l'autre que d'une quantité d'un ordre siipérieur au premier. On peut dès lors, dans la relation précédente, remplacer !e premier de ces deux angles par l'autre, par quoi elle devient

mOn — m'On = mOm'.

Or cette égalité a lieu parce que Om', qui est parallèle k !a binormale en M' à la ligne primitive, n'est incliné que d'un angle du second ordre sur le plan mO/i, qui est parallèle au plan normal en M à la même ligne.

— leo —

La varialion de l'ang^le MNC que la polaire de la ligne primitive fait avec la tangente de la développée étant égale à », dans les lig;nes pianos cet angle est constant pour une inènae développée puisque dans ces lignes w est nul. Nous avions déjà trouvé au N" 187 que si la ligne considérée est plane, une développée quelconque coupe toutes les polaires sous un même angle, ce qui est, exprimée on d'autres termes, la même proposltioii.

*143. Expression de l'arc NN' et valeurs de ses angles de torsion et de contingence.

Les droites SN, S'N' sont tangentes, en ses extrémités, à l'arc SS' de l'arête de rebroussement de la surface polaire, et SN est perpendiculaire à MG. D'autre part la plus courte distance de ces deux droites est d'un ordre plus élevé que le premier (64), et leur commune pei'pendiculaîre est infiniment voisine de l'arc SS'. D'après tout ceci on a

^.SN=arcNN'.cosi., appelant u l'inclinaison NMC de la tangente de la développée sur la norm.a!e principale do la lig'ue primitive, et cotte relation donne

La longueur SN qui figure au second membre est égale à NC — CS, ou à GS — NG, ou à CS + NG, selon que des trois points S, N, G c'est le premier, ou le deuxième, ou le dernier, qui se trouve entre les deux autres. Or l'expression de GS a été donnée au N" 112, et quant à NG il est égal à ptangu.

Désignons par E l'angle des tangentes et par H l'angle des plans osculateurs à la développée aux extrémités de l'arc NN': se fondant sur ce que s est égal à l'angle dos plans normaux en M et en M' à la courbe primitive, le lecteur trouvera

E — jcosu.

La normale principale de la développi^e étant parallolc à la tangente de la courbe primitive, on a (77),

E''^-H^=£^ et celtft formule, combinée avec la précédente, donne H^Èsin;..

yGoosle

De la surface rectifiante et des développantes.

144. Définitions. Parmi les diverses surfaces développables que l'on peut faire passer par une courbe donnée il v en a une qui est telle que si on la développe la courbe se trouve transformée en ligne droite. Cette propriété lui a fait donner par Lancret, dans le travail dont il a été parlé au N<*77 ci-dessus, le nom de surface rectifiante.

Nous savons que par le développement de la surface polaire les développées d'une courbe sont transformées en lignes droites. Par rapport aux développées la courbe primitive s'appelle développante. Si nous pouvons trouver une développante de la courbe primitive, e'est-à-dîre une ligne dont celle-ci soit une développée, la surface polaire de celt« développante jouira de la propriété de transformer par son développement la primitive en une droite, et sera en conséquence pour elle une surface rectifiante.

Concevons que la langenle roule sur la courbe primitive sans glisser, et considérons la ligne que décrit alors un point de la tangente choisi à volonté : la ligne engendrée est une développante de la primitive, et celle-ci, comme on voit, a autant de développantes qu'il y a de points sur une de ses tangentes. Ces développantes sont toutes situées sur la surface lieu des tangentes, laquelle est par conséquent le lieu des développantes de la courbe primitive.

Soit A le point d'une développaute qui correspond au point M de la courbe primitive ; la droite MA est langente en M à la seconde de ces deux lignes, elle est normale en A à la première (loi), el la tangente en A à la développante est parallèle à la normale principale en M à la primitive (loi, dernier alinéa). Il suit de laque le plan normal de la développante se confond avec le plan que déterminent la tangente et la binormaie à la ligne primitive. Ce plan a reçu le nom de plan rectifiant ; il est tangent à la surface polaire de la développante (107}. On voit que le plan normal à une développante est normal à toutes les autres. Il résulte de là qu'une même surface est polaire à toutes les développantes. C'est cette surface polaire des développantes qui est la surface rectifiante de la ligne primitive.

La position limite de l'intersection des plans rectifiants en M et en M' s'apptïlte la droite rectifiante. Cette droite est donc, pour une

développanl« donnée quelconque, îa polaire relative au point où cette développaûte est rencontrée par la tangente à la primitive en son point M. Elle passe dès lors par ce point puisque, en sa qualité de polaire de la développante considérée, elle en coupe toutes les développées, donc aussi la primitive, qui est l'uoe de ces développées. La droite rectifiante est la polaire commune des développantes, aux points de ces lignes qui sont situés sur la tangente en M à la primitive. La surface rectifiante est le lieu des droif«s rectifiantes. Le pian rectifiant est tangent à cette surface tout le lon^ de la droite rectifiante. Cette droite est tangente, et le plan rectifiant est oscillateur, à l'arête de rebroussement de la surface rectifiante.

145. // n'y a, pour une courbe donnée, (jaune seule surface rectijianle.

Concevons en effet deux surfaces développables dont chacune, par son développement, transforme en une droite la courbe donnée. Cette courbe étant, de ce fait, une géodésique de chacune des deux surfaces développables, sa normale ])rincipale en un de ses points choisi à volonté, et que nous nommerons I, se confond avec les normales en ce point de chacune des deux surfaces {i4o), dont les normales en I sont dès lors dans une même droite. Les deux surfaces ont donc aussi en I le même plan tangent. Ayant ainsi le même plan tangent en chacun des points de la courbe donnée, les deux surfaces se confondent, puisqu'une surface développable est le lieu des limites des intersections de ses plans tangents consécutifs en fous les points d'une ligne quelconque tracée sur elle.

146. Une développée étant transformée eu ligne droite par le développement de la surface polaire, elle a cette surface pour surface rectifiante. Il suit de là que le plan normal de la ligne primitive es le plan rectifiant de la développée. Ce plan répond, en effet, à la définition du plan rectifiant telle qu'elle a été donnée dans l'avantdernier numéro, car il contient la tangente de la développée, et il en contient aussi la binormale, vu qu'il est à angle droit sur le plan osculateur de la développée, puisque celui-ci, on l'a vu au N" iSg, contient ia tangente de la ligne primitive.

147. Inclinaison de la droite rectifiante sar la tanf/ente et sur le plan osculatear de la ligne primitive.

Le plan rectifiant étant perpendiculaire à la normale principale puisqu'il contient la tangente et la binormale, la droite rectifiante, intersection limite dt« plans rectifiants en deux points de la ligne primitive infiniment voisins, est parallèle à la commune perpendiculaire aux normales principales en ces points. Or l'angle que fait cette commune perpendiculaire avec la tangente et avec le plan osculateur est celui qui a été considérée au N" 78 et appelé Ij . On a trouvé que

sa tangente trigonométrique est égale à lim - ou -. Telle est donc

" P l'expression de l'inclinaison de lu droite rectifiante sur la tangente et sur le plan osculateur.

*148. Formons, au moyen des résultats obtenus jusqu'ici, l'angle u que fait la tangente du lieu des centres de courbure avec la droite rectifiante.

Cette droite étant d'après le précédent numéro parallèle à la direction de la plus court* distance de deux normales principales infiniment voisines, si l'on nomme h, comme au N" 79, cette plus courte distance, et CC l'arc (qui s'appuie par ses deux extrémités sur les deux normales principales), du lieu des centres de courbure, on a