Direction da plan osculateur de la développante

Le plan osculateur contient la tangente, et alors, d'après la situation, donnée dans le N" i44i de la tangente à la développante, le plan osculateur do cette courbe coupe celui de la ligne primitive selon une parallèle à la normale principale de cette ligne. Comme il

est perpendiculaire k la droite rectifiante puisque cette droite est polaire de la développante, l'angle qu'il forme avec le plan oscillateur de la primitive est le complément de l'angle )J ; sa tangente a

donc pour expression lim -, ou -, On arriverait à la même conclusion

en partant du fait que le plan osculateur de la développante est parallèle à deux rayons de courbure de la primitive infinîmeut voisins, puisi^ue les tangentes de la développante sont parallèles à

Remarque. A continuant à désigner le point d'une développante qui correspond au point M de ia lig^ne primitive, la projection de M sur le plan osculateur de la développante est le centre du cercle

I, puisque

osculateur do cette courbe au point A. Ce théorème va Ai

par rapport à le développante la ligne primitive est unt

Le centre du cercle osculateur de ia développante est le pied de la

perpendiculaire abaissée de A sur la rectifiante, puisque la rectifiante

est la polaire de la développante.

150. Rayon de courbure et rayon de torsion des développantes.

Désignons par A;, e et h, l'arc infiniment petit d'une développante, son angle de contingence et son angle de torsion : les rayons de courbure et de torsion sont respectivement égaux aux limites des rapports

—, -j-i cherchons donc les expressions des termes de ces rapports.

Soient A, A' les points d'une développante correspondants aux points M, M' de la ligtie primitive : on a ij =: arc AA', et cet arc est ég:al au produit de l'angle des tang^cntes en M et en M' par la

longuE